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• Pedro J López Cabello

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Disponemos de 235 euros en billetes de 5, 10 y 20 euros. Sabiendo que tenemos un total de 19 billetes y que el número de billetes de 20 euros es el doble del de billetes de 10 euros: a) Plantear un sistema de ecuaciones que nos permita calcular el número de billetes de cada tipo. b) Calcular el número de billetes de cada tipo. (Extremadura, junio de 2010)

a) Tenemos tres tipos de billetes por lo que necesitaremos definir tres incógnitas: x, y, z como el número de billetes de 5, 10 y 20 € respectivamente. Para resolver un problema de tres incógnitas es necesario plantear tres ecuaciones que las relacionen: • • •

Disponemos de 235 € → 5‫ ݔ‬+ 10‫ ݕ‬+ 20‫ = ݖ‬235

Tenemos un total de 19 billetes → ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬19

Nº de billetes de 20 € es el doble de los de 10 € → ‫ = ݖ‬2‫ݕ‬

Hay que resolver el sistema: 5‫ ݔ‬+ 10‫ ݕ‬+ 20‫ = ݖ‬235
‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬19 ൝ ‫ = ݖ‬2‫ݕ‬ b) Sustituyendo z en las dos primeras ecuaciones obtenemos un sistema equivalente de dos ecuaciones con dos incógnitas: ൜

5‫ ݔ‬+ 50‫ = ݕ‬235
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ‫ ݔ‬+ 10‫ = ݕ‬47
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ 5‫ ݔ‬+ 10‫ ݕ‬+ 40‫ = ݕ‬235
‫ܿܧ‬1 − ‫ܿܧ‬2 → ൜ ‫ܿܧ‬ଵ : 5 ൜ ‫ ݔ‬+ 3‫ = ݕ‬19 ‫ ݔ‬+ 3‫ = ݕ‬19 ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ 2‫ = ݕ‬19

‫=ݕ‬4

7‫ = ݕ‬28 →

‫ ݔ‬+ 3 · 4 = 19 → ‫ = ݔ‬7 ‫= ݖ‬2·4=8

Comprobación •

Disponemos de 235 €: 5·7 + 10·4 + 20·8 = 235

•

Tenemos un total de 19 billetes: 7 + 4 + 8 = 19

•

Nº de billetes de 20 € es el doble de los de 10 €: 8 = 2·4

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