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Prueba De Hartley Homogeneidad de Varianzas

Over Jos´e L´ opez Mu˜ noz Departamento de matematicas y estad´ıstica Universidad de Cordob´ a

19 de septiembre de 2019

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Prueba De Hartley

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Prueba de Hartley Introducci´on Procedimiento Condiciones Criterio de rechazo Tabla FMAX Ejemplos

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Introducci´on

Uno de los supuestos que mas se requieren en aplicaciones estad´ısticas populares, tales como el an´alisis de varianza, el an´alisis de regresi´on, etc., es el de la homogeneidad de varianzas. Este supuesto es crucial para garantizar la calidad de los procedimientos estad´ısticos utilizados tanto en pruebas de hip´otesis como en la construcci´ on de intervalos de confianza. Existen muchas pruebas para verificar si el supuesto de homogeneidad es plausible o no, pero, en este caso hablaremos de la prueba de Hartley o tambi´en conocida como la prueba Fm´ax de Hartley.

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Procedimiento

Para probar la hip´otesis H0 : σ12 = σ22 = σj2 = σ 2 contra H1: las varianzas no son homog´eneas. Hartley propone la siguiente estad´ıstica FMax =

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Max(Sj2 ) Min(Sj2 )

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Condiciones

Esta prueba asume que las poblaciones son normales e independientes y todos los tratamientos tienen el mismo numero de repeticiones, es decir r1 = r2 = ... = rt = r Si la hip´otesis nula es cierta, la distribuci´ on muestral del estad´ıstico FMax (asumiendo independencia de las muestras aleatorias tomadas de las poblaciones normales) es FMAX con t grados de libertad en el numerador y v = r − 1 grados de libertad en el denominador.

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Criterio de rechazo

En esta prueba, H0 se rechaza si FMax > FMAX (α,t,v ) ; donde FMAX (α,t,v ) es el valor en la tabla FMAX al nivel de significancia α, para t tratamientos y v =r −1

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Tabla FMAX

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Ejemplo 1 Queremos llevar a cabo la prueba de hip´ otesis H0 : σ12 = σ22 = · · ·σj2 = σ 2 contra H1 : las varianzas no son homogeneas donde σj2 representa la varianza del j-´esimo tratamiento Dieta A B C D E

1 7 12 14 19 7

2 7 17 18 25 10

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3 15 12 18 22 11

4 11 18 19 19 15

5 9 18 19 23 11

Totales Y·j 49 77 88 108 54

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Promedios Y ·j 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8

Varianzas Sj2 11.20 9.80 4.30 6.80 8.20

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Las varianzas obtenidas para cada tratamiento son: S12 = 11.20, 2 S22 = 9.80, S32 = 4.30, S42 = 6.80, y S52 = 8.20, as´ı que SMax = 11.20 y 2 SMin = 4.30 entonces calculando Fmax de Hartley se obtiene: FMax =

Maxj {Sj2 } Minj {Sj2 }

=

11.20 = 2.60 4.30

Como v = r − 1 = 5 − 1 = 4, entonces el valor tabulado en la tabla de valores cr´ıticos de Hartley para α = 5% es: FMax(0.05,5,4) = 25.2, luego, al nivel de significancia anterior, no se rechaza la hip´ otesis nula de igualdad de varianza de los tratamientos aplicados u homogeneidad de varianza de los errores.

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Ejemplo 2

Los siguientes datos provienen de un experimento sobre una prueba de aprendizaje Queremos llevar a cabo la prueba de hip´ otesis H0 : σ12 = σ22 = · · ·σj2 = σ 2 contra H1 : las varianzas no son homogeneas donde σj2 representa la varianza del j-´esimo tratamiento

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Grupo 1 (Sin droga) 1 8 9 9 4 0 1

Grupo 1 (Droga 1) 12 10 13 13 12 10

Grupo 1 (Droga 2) 12 4 11 7 8 10 12 5

Grupo 1 (Ambas drogas) 13 14 14 17 11 14 13 14

32

70

69

110

4· 57

11· 67

8· 63

13· 75

16· 29

1· 87

9· 69

2· 79

Totales Y·j Promedios Y ·j Varianzas Sj2

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Las varianzas obtenidas para cada tratamiento son: S12 = 16· 29, 2 2 S22 = 1· 87, S32 = 9· 69 y S42 = 2· 79, as´ı que SMax = 16· 29 y SMin = 2· 79 entonces calculando Fmax de Hartley se obtiene: FMax =

Maxj {Sj2 } Minj {Sj2 }

=

16· 29 = 8.72 2· 79

Como los r no son iguales, usaremos una prueba m´as liberal tomando v = Max(rj ) − 1 = 8 − 1 = 7; donde rj es el numero de repeticiones en el j-´esimo tratamiento, entonces el valor tabulado en la tabla para α = 5% es: FMax(0.05,4,7) = 8.44, por lo que se rechaza la hip´ otesis nula de igualdad de varianza de los tratamientos, es decir las varianzas no son homogeneas.

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