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EXERCICES DUREE DE VIE ET FIABILITÉ EXERCICE 1 Un ensemble comporte 3 roulements tournant à 1500 t/mn. - 2 roulements à billes : C1 = 21600 N P1 = 1800 N. C2 = 15000 N P2 = 1000 N. - 1 roulement à rouleaux : C3 = 27000 N P3 = 2000 N. Q1 : Déterminer la fiabilité de l'ensemble au bout de 10 000 heures. Q2 : Quelle est la durée de vie correspondant à une fiabilité de 0,98 ? Réponse Q1 6

Durée de vie nominale L10h i : L10h i = Ln0,9. ( L

h 10h i Fiabilité : Fi = e Fiabilité globale : F = Π.Fi L

)β

10 60.N

 Ci   Pi

  

n

avec n = 3 (ponctuel) et n = 10/3 (linéique)

avec Lh = 10000 h dans notre cas et β = 1,5

Tableau de synthèse : Roulement 1 Roulement 2 Roulement 3 L10 i (Mtr) L10h i (h) Lh / L10h i Fi

1728 19200 0,52 0,96

3375 37500 0,267 0,986

5858,4 65093 0,154 0,994

F

0,94

Réponse Q2 Fiabilité globale : F = Π.Fi

F=e

(

et

Ln0,9. L h β 1 L10 h 1 β +1 L10 h 2 β +1 L10 h 3 β

Ln0,9. ( L L10 i ) β

)

Fi = e

 1 1 1  β LnF = Ln0,9 . Lh .  + + 1 , 5 1 , 5 1,5  L10h L10h 2 L10h 3  1 

Fi = e

Lh =

1, 5

Ln0,9. ( L h L10h i ) β

  LnF  1 . 1 1 Ln0,9  1 + +   L10h 1,5 L10h 1,5 L10h 1,5 1 2 3 

      

Lh = 4816 heures

EXERCICE 2 On souhaite une fiabilité f = 0,95 au bout de 12 000 heures pour un ensemble comportant 4 roulements. Q1 : Quelle durée de vie nominale faut-il obtenir en moyenne pour chaque roulement ? Q2 : Les 3 premiers roulements déterminés ayant des fiabilités respectives fi = 0,99 , 0,995 et 0,97 , quelle doit être la durée de vie minimale du quatrième ? Réponse Q1 Durée de vie nominale L10h i moyen : F = Π.Fi

Fi moy = e

(

Fiabilité moyenne : F = (Fi)4

 L h LnFi moy = Ln 0,9 .   L10 h i moy 

)

Ln0,9. Lh L10 h i moy β

   

β

 Ln 0,9 L10 h i moy = L h .   LnFi moy 

Réponse Q2

F4 =

Durée de vie nominale minimale L10h 4 : F = Π.Fi

 L LnF4 = Ln0,9 .  h  L10h 4 

β

   

Fi = F (1/4)

F F1.F2.F3

1/β

 Ln0,9   L10h 4 = Lh .   LnF4 

L10h 4 ≈ 80909 heures

1

F4 = 0,994

Fi = 0,987

1/ β

   

L10hi moy = 48207 heures

EXERCICE 3 (METRO VAL)

Détail de la roue de guidage D

Roues de guidage extérieures M2

M1

M3

M4

Rails de guidage

32

G

O2

62

I

R z

14

Rmin = 35 m

y 0 Rail

d 261,7

O1

Le VAL (MATRA Transport) est un système automatisé de transport urbain de personnes sans conducteur. Le guidage latéral est réalisé par des roues équipées de pneumatiques. L’étude concerne la vérification de durée de vie de l’une des roues composant le guidage latéral. Sur un trajet type, on estime qu’il y a 60 % de ligne droite, 20 % de virage à gauche et 20 % de virage à droite. Sur le roulement le plus chargé R1, la charge radiale équivalente en ligne droite P1 = 2040 N et en virage P2 = 4900 N (roulement SKF 32309B 45 x 100 x 38,25 C = 128000 N). Les roues de guidage situées à l’intérieur du virage ne supportent aucun effort radial. Q1 : Calculer la charge équivalente Pe (charge constante qui donnerait la même durée de vie que celle obtenue avec le chargement réel). Q2 : Calculer la durée de vie L10 en millions de tours pour une fiabilité de 90 %. Q3 : Sachant que pour un véhicule de transport urbain la durée de vie estimée est de 1,5 millions de kilomètres parcourus, en déduire la fiabilité espérée du montage. Que peut-on en conclure ? Réponse Q1 Calcul de la charge équivalente moyenne : Pe • 60 % en ligne droite (P1 = 2040 N) • 20 % de virage à gauche (P2 = 4900 N) • 20 % de virage à droite (P3 = 0 N)

 Σ l .P n  Péq =  i i   Σl i 

( 1 / n)

avec n = 10/3 (rouleaux coniques)

 0,60.204010 / 3 + 0,2.490010 / 3 + 0,2.010 / 3   Péq =    1  

3 / 10

Péq = 3162,5 N

Réponse Q2 Durée de vie L10 C L10 =   P

n

 128000  L10 =    3162,5 

10/3

L10 = 227654 106 tours

Réponse Q3 Rayon de la roue Rroue = 261,7 mm L10s = L10 . s . 10 –3

L10s = 374,25 106 km

Pour L = 1,5 106 km

et

F=e

Ln0,9. (1,5 374,25 )

1, 5

F=e

le périmètre s = 2. π. r

et

Ln0,9. ( L L10s )

s = 1644,3 mm ou s = 1,644 m

avec une fiabilité de 90% 1,5

F ≈ 1 Fiabilité de 100%, les roulements sont très surdimensionnés au regard de la durée de vie.

2

EXERCICE MONTAGE PRECONTRAINT EXERCICE 1 (BROCHE D’UNE RECTIFIEUSE PLANE A AXE VERTICAL) 1. Intérêt du problème La figure 1 représente le montage d’une broche de rectifieuse plane à axe vertical.

z

Figure 1

01

δr1

01

Sous l’action des efforts de coupe, la meule s’incline d’un angle ϕ par rapport à l’axe de rotation théorique, ce qui introduit un défaut de planéité sur la surface à rectifier. Le but du problème est de calculer la partie ϕr de l’inclinaison de la meule due aux déflexions radiales des roulements dans le cas d’un chargement jugé le plus défavorable.

L = 120

2. Étude statique Dans le cas du chargement jugé le plus défavorable on admet que le torseur au point M des efforts de coupe s’écrit : r r r  R = T y + Az r avec A = 480 N et T = 90 N   M =0

02

02

δr2

a = 120

0’ 0

L’entraînement de la broche se fait par l’intermédiaire d’un r accouplement transmettant un couple pur d’axe z .

M T r = 70

x ϕ

A

ϕr

0

Q1 : Déterminer les efforts radiaux FR1 et FR2 supportés par les roulements 01 et 02. Q2 : Donner la valeur de l’angle β entre les directions de ces efforts. 3. Étude du montage de la broche La broche est montée sur deux roulements à contact oblique 7216 ACD : 80 x 140 x 26 (α = 25°), pour lesquels un essai de déformation sous charge axiale pure de 1000 N donne une déflexion de 11,75 µm. billes à contact oblique 7216 ACD

C 92300 N

Z 15

Dm 110,08

Dw 19,050

2ri/Dw 1,035

2re/Dw 1,06

Sous les efforts précédemment définis, on fait l’hypothèse que le roulement supérieur 01 reste, juste chargé sur toute sa périphérie (ε1 = 1). Q3 : Déterminer les efforts axiaux (FA1 et FA2), les déformations radiales (δ δr1 et δr2), et axiales (δ δa1 et δa2), dans les roulements. Q4 : En déduire : • La valeur de précharge P0 nécessaire ; • Le déplacement du point 0 ; • L’inclinaison ϕr de la broche due aux déformations des roulements. Réponse Q1 Calcul statique : arbre de broche isolé a. Actions extérieures b. Principe fondamentale de la Dynamique (PFD) r r TRD : ΣFext / arbre = 0

r r r TMD : ΣM(Fext / arbre)/ 0 = 0

Récapitulatif X1 = r . A / L = 168 N X2 = - r . A / L = -168 N Y1 = a . T / L = 54 N Y2 = -T . ( 1 + a / L ) = -144 N Fr1 = 176.5 N Fr2 = 221.26 N Réponse Q2 Calcul de l’angle β : Produit scalaire Fr1.Fr2 :=> cos (β) = ( X1.X2 + Y1.Y2 ) / ( Fr1.Fr2 ) => β = 157° Réponse Q3 Calcul des paramètres FA1, δr1, δa1, du roulement R1 3

a. Calcul de FA1 Hypothèse : ε1 = 1 FA1 = 137.2 N b. Calcul de Q1 Max Q1 Max = 50.99 N c. Calcul de δ1 Max δ1 Max = 0.00234 mm d. Calcul de δr1 et δa1 δr1 =0.00129 mm δa1= 0.00277 mm Calcul des paramètres FA2, δr2, δa2, du roulement R2 e. Calcul de FA2 FA2= 617.2 N f. Calcul de F(εε2), ε2, Jr(εε2), Ja(εε2) F(εε2) = 0.167 ε2= 2.937 Jr(εε2)= 0.123 Ja(εε2)= 0.747 g. Calcul de Q2 Max Q2 Max = 132.42 N h. Calcul de δ2 Max δ2 Max =0.0044 mm i. Calcul de δr2 et δa2 δr2 = 0.00083 mm δa2 = 0.00868 mm Calcul du paramètre de précontrainte e e = 0.0114 mm Réponse Q4 a. Calcul de la précontrainte P0 P0 = 340 N • Calcul du déplacement δa01 du roulement R1 pour la précontrainte P0 e/ 2 = 0.0057 mm • Calcul du déplacement δa02 du roulement R2 pour la précontrainte P0 e/ 2 = 0.0057 mm b. Calcul du déplacement du point 0 δa2 - δa02 = δa01 - δa1 = 0.003 mm c. L’inclinaison ϕr de la broche Hyp : forces radiales à 180° Tan ϕr = (δ δr2 + δr1) / L => ϕr = 2.18’’

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