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• Greiis Vazquez Russo

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Examen Resuelto de Matemática 1.- Si a y b son soluciones de 𝑥 2 + 5𝑥 + 7 = 0 , halle el valor de : 𝐽 = (𝑎 + 4)(𝑎 + 3) + 𝑎2 + 𝑏 2 + 2𝑏 + 20 a) 26 b) 24 c) 21 d) 32 e) 17 Solución: Como a y b son solución de: 𝑥 2 + 5𝑥 + 7 = 0 → 𝑎2 + 5𝑎 + 7 = 0 hacemos 𝑎2 = −(5𝑎 + 7) y lo mismo para b 𝑥 2 + 5𝑥 + 7 = 0 → 𝑏 2 + 5𝑏 + 7 = 0 hacemos 𝑏 2 = −(5𝑏 + 7) reemplazamos 𝐽 = 𝑎2 + 7𝑎 + 12 + 𝑎2 + 𝑏 2 + 2𝑏 + 20 𝐽 = 2𝑎2 + 7𝑎 + 𝑏 2 + 2𝑏 + 32 𝐽 = −2(5𝑎 + 7) − (5𝑏 + 7) + 7𝑎 + 2𝑏 + 32 desarrollando se obtiene: 𝐽 = −3(𝑎 + 𝑏) + 11 Reconociendo la suma de raíces S= - b/a se obtiene que es -5 J=-3(-5) + 11 = 26 2.- Dada la ecuación: 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0 . Determinar el valor de 𝑟 𝑠 𝑄 = + . Si r y s son raíces b la ecuación. a)

𝑠 2 − 3

𝑟

2 5

b)

c) −

1 9

d) 2

1

2 9

e)

3 5

Solución: Por suma y producto de raíces 𝑥 2 − 3 𝑥 + 3 = 0 ↔ 𝑥 2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0 2

𝑆 =𝑟+𝑠 =3 1

𝑃 =𝑟∙𝑠 =3

2 2 1 𝑟 𝑠 𝑟 2 + 𝑠 2 (𝑟 + 𝑠)2 − 2𝑟𝑠 (3) − 2 (3) 2 𝑄= + = = = =− 1 𝑠 𝑟 𝑟𝑠 𝑟𝑠 3 3 𝑥−2𝑎−𝑏 𝑥−3𝑐−𝑏 𝑥−2𝑎−3𝑐 3.- Al resolver + + = 6 ; 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ 𝑐

Halle 𝑀 = a) 5/2 Solución:

5𝑥 4𝑎+2𝑏+6𝑐

𝑎

𝑏

b) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 c) 5

d) 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐

e) 10

𝑥 − 2𝑎 − 𝑏 𝑥 − 3𝑐 − 𝑏 𝑥 − 2𝑎 − 3𝑐 + + =3+2+1 𝑐 𝑎 𝑏 𝑥 − 2𝑎 − 𝑏 𝑥 − 3𝑐 − 𝑏 𝑥 − 2𝑎 − 3𝑐 −3+ −2+ −1 = 0 𝑐 𝑎 𝑏 𝑥−(2𝑎+𝑏+3𝑐) 𝑥−(2𝑎+𝑏+3𝑐) 𝑥−(2𝑎+𝑏+3𝑐) Resolviendo: + + =0 𝑐 𝑎 𝑏 1

1

1

[𝑥 − (2𝑎 + 𝑏 + 3𝑐)] [ + + + ] = 0 𝑐 𝑎 𝑏 𝑥 = 2𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 Piden:

5𝑥 4𝑎+2𝑏+6𝑐

=

5(2𝑎+𝑏+3𝑐) 2(2𝑎+𝑏+3𝑐)

=

5 2

4.- Resolver : |𝑥 − 2| + 4 = |𝑥 + 2| a) [2, +∞[ b) ]−∞, 2] c) [−2,2] d) ]−4,2[ e) ]−2,4] solución: analizando con números reales en: |𝑥 − 2| + 4 = |𝑥 + 2| ↳ −2; −1; 0; −1 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 ↳ +2; +3; 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑥≥2 Por lo tanto la solución [2; +∞[ 𝑥−1

2𝑥

𝑥

5.- Un intervalo de la inecuación : 𝑥 ≤ 𝑥+1 − 𝑥−1 es : a) ]0,1[ b) ]−∞, −1] c) [−1,1] d) [1, +∞[ solución:

e) ]−1,1[

𝑥−1 2𝑥 𝑥 − + ≤0 𝑥 𝑥+1 𝑥−1 Sacando mcm y resolviendo obtenemos 𝑥−1≤0 𝑥≤1 ∴ ]0; 1] 6.- Determinar la suma de los valores enteros que debe tomar “a” en la inecuación cuadrática cuyo conjunto solución son todos los reales. 𝑥 2 + 𝑎𝑥 − 2 ≤ 2𝑥 2 − 2𝑥 + 2 a) -18 b) 12 c) -23 d) 20 e) -14 Solución: Ordenando y buscando siempre que sea real se obtiene 0 ≤ 𝑥 2 − (2 + 𝑎)𝑥 + 4 𝑥 2 − (𝑎 + 2)𝑥 + 4 ≥ 0 Propiedad del trinomio positivo 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≤ 0 2 [−(𝑎 + 2)] − 4 ∙ 1 ∙ 4 ≤ 0 Resolviendo Se obtiene (𝑎 + 6)(𝑎 − 2) ≤ 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 = 2 𝑦 𝑎 = −6 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 Por lo que la suma de los valores enteros son Σ = −6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1+1+2 Σ = −18 7.- Resolver : √1 − 𝑥 + √1 − 2𝑥 + √1 − 3𝑥 < √𝑥 + 4 e indique el conjunto solución. 1 1 1 a) [0, 3] b) ℝ− c) 〈3 , +∞〉 d) 〈0, 3〉 e) ℝ+ solución: Evaluando pp. de raíces 1 – x ≥ 0 ˄ 1 - 2x ≥ 0 ˄ 1 -3x ≥ 0 ˄ x ≥ 0 X≤1

x≤

˄

1 2

˄

x≤

1 3

˄ x ≥ 0

Grafica cada raíz y observa la intersección que se obtiene como resultado [0;

1 ] 3

8.- Determina la suma de los valores enteros que satisfacen la desigualdad: −12 ≤ 5𝑥 − 3 < 5𝑥 + 8 a) -1 b) 1 c) 0 d) -3 e) 3 solución: En −12 ≤ 5𝑥 − 3 < 5𝑥 + 8 descomponemos −12 ≤ 5𝑥 − 3 ᴧ −12 < 5𝑥 + 8 −9 ≤ 5𝑥 −20 < 5𝑥 9 9 −5 ≤ 𝑥 −4 < 𝑥=> − 5 ≤ 𝑥 < 4 Rpta 3 9.- 18 obreros hacen en 8 días los 1/3 de una obra, si en los siguientes días ingresan “x” obreros más, concluyendo la obra. Hallar “x”. a) 18 b) 20 c) 12 d) 15 e) 24 solución: obreros días obra 1 18 8 18+x  18 x 8 x 36 x 8 X

3 2 3

16-y 2 3

= (18+x)(16-y) x = (18+x)(16-y) = 18 obreros

1 3

10.- Al cabo de 25 días de trabajo falta concluir la quinta parte de la obra. Entonces para terminar el resto de la obra en la quinta parte del tiempo empleado, los obreros deben aumentar su rendimiento en: a) 25% b) 15 c) 18 d) 20 e) 30 solución: Rendimiento días obra 4 1 25 5 1+x Entonces :

5

1 5

4

1

(1+x)(5)(5) = 1 x 25 x 5 4 + 4x = 5 4x =1 1 X = 4 = 0.25 x% = 25%

11.- 𝑎2 obreros han hecho en “𝑎 + 1” días la tercera parte de una obra, pero un obrero se retira demorando los restantes 9 días en terminar la obra. ¿Con cuántos días de demora entregan la obra? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 solución:

Resolviendo:𝑎2 − 9𝑎 + 9 = 0 donde a = 3 ˄ a = 2/3

∴ días de demora 9 – 8 = 1 día

12.- En un edificio, el volumen de agua que se lleva al piso n es IP a 𝑇 𝑛 , donde T es el tiempo que demora en llevar el agua. Si cuando se lleva 80 litros al segundo piso la demora es de 4 segundos. ¿Qué tiempo demorará en llevar 5 litros al cuarto piso? a) 4 s b) 4,5 c) 5 d) 8 e) 16 solución: 𝑉𝑜𝑙 × 𝑇 𝑛 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 80 ∙ 42 = 5 ∙ 𝑥 4 42 ∙ 42 = 𝑥 4 → 44 = 𝑥 4 ∴ 𝑥=4 13.- Martín pensaba vender su auto ganando el 42% del costo, sin embargo, lo vendió ganando el 35% del precio de venta, ganándose así $770 más de lo que pensó inicialmente. ¿A Martín cuánto le costó su auto? a) $6500 b) 6850 c) 7850 d) 8900 e) 7500 solución: 42 21 Supuesto: 𝐺𝑠𝑢𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 42%𝑃𝐶 = 100 𝑃𝐶 = 50 𝑃𝐶 Real:𝐺𝑟𝑒𝑎𝑙 = 35%𝑃𝑉 = 𝑃𝑉 − 𝑃𝐶 ⇒ 𝑃𝐶 = 65%𝑃𝑉 ⇒ 𝑃𝑉 = 35 20 7 𝐺𝑟𝑒𝑎𝑙 = ( 𝑃𝐶) = 𝑃𝐶 100 13 13

100 𝑃𝐶 65

20

= 13 𝑃𝐶

7

21

Por Dato: 𝐺𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝐺𝑠𝑢𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 13 𝑃𝐶 − 50 𝑃𝐶 = 770 ⇒ 𝑃𝐶 = 6500 14.-

Alonso compró camisetas deportivas y vendió el 75% ganando el 20% sobre el precio de compra, después vendió el 44% del resto, perdiendo el 10% sobre el precio de venta. Si ya no se vendió más y en total ganó S/. 264. ¿Cuántos soles pagó por las camisetas que no vendió? a) S/. 336 b) S/. 320 c) 312 d) 300 e) 350 solución: x=camisetas } PC=XP p= precio unitario 3 3 1 3 3 v1=75% xp = 4 xp -> G=20% (4 𝑥𝑝)= 5 (4 𝑥𝑝)=20 𝑥𝑝 1

11

v2=44% (4 𝑥𝑝)=100 𝑥𝑝 -> P= 10% PV :: P=10%(PC-P) -> 10P = PC-P -> 11P = PC 1

3

11

1

 P=11 (100 𝑥𝑝) = 100 𝑥𝑝 1

Gtotal = 20 𝑥𝑝 − 100 𝑥𝑝 = 264 → 𝑥𝑝 = 2400 3 4

No se vendio: 𝑥 − 𝑥 −

11 𝑥 100

=

7 𝑥 50

→ 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜

7 (2400) 50

= 𝑆/.336

15.- Un vendedor posee dos cocinas iguales, vende la primera perdiendo el 25% de su precio de venta. ¿Qué porcentaje de costo debe ganar en la segunda cocina para que su ganancia total sea el 10% del precio de costo de una de las cocinas? a) 30% b) 25 c) 20 d) 15 e) 10 solución PC=100 1 P=25%PV :: P=4 𝑃𝑉

PV=PC-P 4P=PC-P 1

5P=PC -> P=5 𝑃𝐶 = 20%PC 100(-0.2) = -20 PC= 100 :: G= x%PC -> G = 100x 100x – 20 = 10%(100) 100x = 10+20 30 X=100 = 30%