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UNIVERSIDAD FERMIN TORO FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ESTRUCTURAS DISCRETAS II Profesora: ING. Lisbeth Flores

Examen N° 3. Algebras Booleanas (20%)

1. Encuentre el circuito lógico asociado al siguiente polinomio. (Valor 7 puntos) P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’)´ + (yz’)´w´ 2. Encuentre el resultado lógico del siguiente polinomio booleano (Valor 6 puntos) P (x, y, z) = (x + y’) (x’ + z’)(y’ + z) 3. Considérese las retículas

y

, de todos los divisores positivos enteros de 20 y

30, bajo el orden parcial de divisibilidad, compruebe si son algebras booleanas, encuentre los isomorfos necesarios para tal comprobación y justifique su respuesta. (Valor 7 puntos)

Respuestas

1._ Encuentre el circuito lógico asociado al siguiente polinomio. (Valor 7 puntos) P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’)´ + (yz’)´w´ R= w x’

x

x’’

p(w,x,y,z)

(x’’+z’)’

y

(yz)’ (yz’)’w z’

z

W’

Humberto Rivas Cedula. V-26.990.816

2._ Encuentre el resultado lógico del siguiente polinomio booleano (Valor 6 puntos) Q (x, y, z) = (x + y’) (x’ + z’)(y’ + z) R= P (x, y, z) = (x + y’) (x’ + z’) (y’ + z) SOLUCION P (x, y, z) = ((x’.y) + (x.z) + (y.z’))’ LEY DE MORGAN = (X’. Y .1 + X . Z . 1 + Y . Z’ . 1) LEY DE DOMINACION = (X’ . Y . ( Z . Z’) + X . Z . (Y + Y’) + Y . Z’ . (X + X’))’ YA QUE (A + A’) = 1 = (X’ . Y . Z + X’ . Y . Z’ + X . Z . Y + X . Z . Y’ + Y . Z’ . X + Y . Z’ . X’) LEY DISTRIBUTIVA = (X’ . Y . Z + X’ . Y . Z’ + X . Y . Z + X . Y’ . Z + X . Y . Z’ + X’ . Y . Z’) LEY CONMUTATIVA = (X . Y . Z + X’ . Y . Z’ + X . Y’ . Z + X . Y . Z’ + X’ . Y . Z’)’ LEY IDEMPOTENCIA = (X . Y . Z)’ . (X’ . Y . Z’) . (X . Y’ . Z)’ . (X . Y . Z’)’ . (X’ . Y . Z’)’ LEY DE MORGAN = (X’ + Y’ + Z’) . (X + Y’ + Z) . (X’ + Y + Z) . (X’ + Y’ + Z) LEY DE MORGAN

Humberto Rivas Cedula. V-26.990.816

3._ Considérese las retículas

y

, de todos los divisores positivos enteros de 20 y

30, bajo el orden parcial de divisibilidad, compruebe si son algebras booleanas, encuentre los isomorfos necesarios para tal comprobación y justifique su respuesta. (Valor 7 puntos) R= Quien entero n ≥ 0, se concluye que D20 no es un algebra booleana. El conjunto parcialmente ordenado D30 tiene ocho elementos; como 8=2^3, podría ser un algebra booleana. Al comparar la figura 7.39 (b) y la figura 7.61, se observa que B3. De hecho, se ve que la correspondencia uno a uno f=D30 → B3 dada por F(1)= 000, f(2)= 100, f(3)= 010, F(5)= 001, f(6)= 110, f(10)= 101, F(15)= 011, f(30)= 111, Es un isomorfismo. Asi, D30 es un algebra boolena.

Humberto Rivas Cedula. V-26.990.816