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Solución del examen de ingreso Matemáticas segunda opción 2017, …la 2 A1. Una persona hace las 78 partes de un viaje en tren, los 35 del resto en coche y los 28 Km. que quedan en bicicleta. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido? (A) 557 (B) 558 (C) 559 (D) 560 (E) Ninguno Solución: Sea  la distancia que la persona recorre, entonces µ ¶ 7 3 7 = +  ¡  + 28 8 5 8 resolviendo  = 560. A2. Un estudiante se propone el primer día de un mes de 31 días, repasar matemáticas durante todo ese mes, resolviendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el décimo día resolvió 21 ejercicios, ¿cuántos ejercicios habrá resuelto en total y al cabo del mes? (A) 1023 (B) 1024 (C) 1025 (D) 1026 (E) Ninguno Solución: Sea 10 = 1 + 9 £ 2 = 21 de donde 1 = 3 y así 31 = 3 + 30 £ 2 = 63 luego 31 = 12 (3 + 63) 31 = 1023 A3. Pedro pensando en lo rápido que pasa el tiempo, re‡exiona como sigue, dentro de 10 años, mi edad será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 14 años. Halle la suma de los dígitos del año en que nació Pedro. Esta re‡exión la hace Pedro en el presente año. (A) 24 (B) 25 (C) 26 (D) 27 (E) Ninguno Solución: Sea  la edad actual de Pedro, entonces:  + 10 =

1 2 ( ¡ 14) 2

resolviendo  = 22 y  = 8 la última solución se descarta, entonces Pedro nación en 2017 ¡ 22 = 1995 y la suma de los dígitos de ese año es: 24 A4. Dada la ecuación: ¡ ¢ 3 ¡ log (125) = 2 ¡ 5 + 9 log (2) entonces el producto de las raices de esta ecuación es: (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) Ninguno Solución: 3

3 ¡ log (125) = log 10 ¡ log (125) = log entonces

¡ ¢ 3 log (2) = 2 ¡ 5 + 9 log (2) 

µ

103 53

¶

= 3 log (2)

3 = 2 ¡ 5 + 9

simpli…cando y resolviendo tenemos  = 3 y  = 2 de donde el producto de las raices es 6. G5. En un triángulo rectángulo de lados: 5, 12 y 13, se traza un cuadrado como en la …gura, entonces el área del triángulo sombreado es igual a: (A) 750 (B) 751 (C) 752 (D) 753 (E) Ninguno 289 289 289 289 Solución: Sea  la longitud del cuadrado, del grá…co se tiene la siguiente proporción 13 5

12

5 12 =   12 ¡  ¡ ¢ 60 750 entonces el área buscada es igual a: 12 5 ¡ 60 17 17 = 289

1

=

60 17

G6. Un cuadrado se inscribe en una circunferencia de diámetro 12, y en este cuadrado se inscribe una circunferencia, entonces el cociente entre las áreas de la circunferencia mayor y la circunferencia menor es igual a: (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) Ninguno Solución: p Sea  el lado del cuadrado entonces 122 = 22   = 72de donde el rádio de la segunda circunferencia inscrita en p este cuadrado es  = 272  así el cociente entre las áreas de la circunferencia mayor y la circunferencia menor es igual a 

62 ³ p ´2 = 2 72 2

G7. En un triángulo equilátero de lado 6, se sombrea un triángulo con lados 3 y 4 , ver …gura, entonces el área de este triángulo sombreado es igual a:: p p 1p 3p (A) 3 3 (B) 3 (C) 3 (D) 2 3 E) Ninguno 2 2 Solución: De la …gura se tiene

6

6 4

4

h 60

3

3

p p  3 sin (60) = =  =2 3 4 2 p ¡ p ¢ 1 luego el área buscada es 2 (3) 2 3 = 3 3 G8. Sea  un ángulo del tercer cuadrante tal que cos() = ¡23 entonces simpli…cando la expresión = se obtiene: 7 (A)  = 75 Solución: Simpli…cando

(B)  =

8 75

(C)  =

cot2 (3 + ) + cos ( ¡ 2) tan2 (18 + )

11 75

(D)  =

13 75

(E) Ninguno

tan (18) + tan () = tan () 1 ¡ tan (18) tan () 1 ¡ tan (3) tan () 1 cot (3 + ) = = = cot () tan (3) + tan () tan () cos ( ¡ 2) = cos () cos (2) + sin () sin (2) = cos ()

tan (18 + ) =

reemplazando

=

cot2 (3 + ) + cos ( ¡ 2) cot2 () + cos () = 2 tan (18 + ) tan2 ()

y como cos () = ¡23 entonces tan () =

p 5 2

=

y cot () =

p2  5

de donde

cot2 () + cos () = tan2 ()

2

4 5

¡ 5 4

2 3

=

8 75