• Author / Uploaded
• OSCARIEM

Citation preview

2º EXAMEN PARCIAL ELEMENTOS FINITOS CIV - 313

1.

Calcular : σ , ε

y

(u, v) para la siguiente estructura :

Arena :

γa = θ= Arena

1700 kg/m3 30 º

Tajmar de HºCº : E = 180000 kg/cm2

P

υ=

Roca

a) DISCRETIZACION

Y

5

4 3

4

P

3

2 6

2 1 5 1

7

X

0.25

c) DETERMINACION DE "P" (para 1m de ancho)

P= P=

γ a ⋅ H 2 ⋅ Tg 2 ( 45 + θ / 2) 2 22950

kg

d) ELEMENTOS Nº 1 2 3 4 5

i 1 2 3 3 1

j 6 6 5 6 7

e) COORDENADAS DE NODOS

Nodo 1 2 3 4 5 6 7

x 0 0 0 0 60 150 150

y 0 100 200 400 400 100 0

k 2 3 4 5 6

Elemento 5: Nodo i j k

Nº 1 7 6

x 0 150 150

y 0 0 100

1 1 1

0 150 150

0 0 100

=

15000

y23 =

-100

x32 =

0 -150

Cálculo de Area

2A =

y31 =

B = e

100

x13 =

y12 =

0

x21 =

150

0

-100 0 0

0 0 -100

100 0 -150

0 -150 100

0 0 150

0 150 0

1 -0.01 0 0

0 0 -0.01

4 0.01 0 -0.01

0 -0.01 0.01

2 0 0 0.01

0 0.01 0

-0.01 0 0.01 0 0 0

0 0 0 -0.01 0 0.01

0 -0.01 -0.01 0.01 0.01 0

1 0.25 0

0.25 1 0

[B ]= e

[Be ]T=

Mariz constitutiva E= u= t=

### 0.25 100

kg/cm2 D=

192000

cm

v = Axt = 750000 D=

-1280.00 -320.00

0.00

0 0 0.38

192000 48000 0 48000 192000 0 0 0 72000

0.00 0.00 [B ] [D]= 1280.00 320.00 -480.00 -1920.00 0.00 0.00 480.00 1920.00

-480.00 -720.00 480.00 720.00 0.00

8.53 0.00 -8.53 3.20 0.00 -3.20

0.00 3.20 4.80 -3.20 -4.80 0.00

-8.53 4.80 15.73 -8.00 -7.20 3.20

### 0.0

0.0 ###

### ### 0.0 ###

### ### ### 0.0

e T

[Be ]T[D][Be ]=

3.20 -3.20 -8.00 22.40 4.80 -19.20

0.00 -4.80 -7.20 4.80 7.20 0.00

### ###

### ###

0.0 ###

### 0.0

### ### ### ###

### ### ### ###

### ### ### 0.0

### ### 0.0 ###

1

Ke =

7

-3.20 0.00 3.20 -19.20 0.00 19.20 6 1 7 6

Una vez resuelto el sistema obtenemos las tensiones y las deformaciones unitarias

0

ex

0

e = [B][u] = [B}x

0

=

ey gxy

0 0 0

sx s = [D][e] =

sy txy

0 =

0 0

0 =

0 0

Ejemplo de tensión plana Nodos 1 2 3 4

x

y 0 120 0 120

30 30 0 0

Elem. 1 2

i 1 1

j 4 3

k 2 4

2º EXAMEN PARCIAL ELEMENTOS FINITOS CIV - 313

1.

Calcular : σ , ε

y

(u, v) para la siguiente estructura :

Arena :

γa = θ= Arena

1700 kg/m3 30 º

Tajmar de HºCº : E = 180000 kg/cm2

P

υ=

Roca

a) DISCRETIZACION

Y

5

4 3

4

P

3

2 6

2 1 5 1

7

X

0.25

c) DETERMINACION DE "P" (para 1m de ancho)

P= P=

γ a ⋅ H 2 ⋅ Tg 2 ( 45 + θ / 2) 2 22950

kg

d) ELEMENTOS Nº 1 2 3 4 5

i 1 2 3 3 1

j 6 6 5 6 7

e) COORDENADAS DE NODOS

Nodo 1 2 3 4 5 6 7

x 0 0 0 0 60 150 150

y 0 100 200 400 400 100 0

k 2 3 4 5 6

Elemento 3: Nodo i j k

Nº 3 5 4

x 0 60 0

y 200 400 400

1 1 1

0 60 0

200 400 400

=

12000

y23 =

0

x32 =

-60 0

Cálculo de Area

2A =

y31 =

B = e

200

x13 =

y12 =

-200

x21 =

60

0

0 0 -60

0 -60 0

200 0 0

0 0 200

-200 0 60

0 60 -200

1 0 0 -0.01

0 -0.01 0

4 0.02 0 0

0 0 0.02

2 -0.02 0 0.01

0 0.01 -0.02

0 0 0.02 0 -0.02 0

0 -0.01 0 0 0 0.01

-0.01 0 0 0.02 0.01 -0.02

1 0.25 0

0.25 1 0

[B ]= e

[Be ]T=

Mariz constitutiva E= u= t=

### 0.25 100

kg/cm2 D=

192000

cm

v = Axt = 600000 D=

0.00

0.00

-360.00

0 0 0.38

192000 48000 0 48000 192000 0 0 0 72000

-240.00 [B ] [D]= 3200.00 0.00 -3200.00 240.00 e T

[Be ]T[D][Be ]=

1.80 0.00 0.00 -6.00 -1.80 6.00

-960.00 0.00 800.00 0.00 0.00 1200.00 -800.00 360.00 960.00 -1200.00 0.00 4.80 -4.00 0.00 4.00 -4.80

0.00 -4.00 53.33 0.00 -53.33 4.00

-6.00 0.00 0.00 20.00 6.00 -20.00

-1.80 4.00 -53.33 6.00 55.13 -10.00

### 0.0

0.0 ###

0.0 ###

### 0.0

### ###

### ###

0.0 ### ### ###

### 0.0 ### ###

### 0.0 ### ###

0.0 ### ### ###

### ### ### ###

### ### ### ###

3

Ke =

5

6.00 -4.80 4.00 -20.00 -10.00 24.80 4 3 5 4

Una vez resuelto el sistema obtenemos las tensiones y las deformaciones unitarias

0

ex

0

e = [B][u] = [B}x

0

=

ey gxy

0 0 0

sx s = [D][e] =

sy txy

0.01 =

-0.16 0.08

0 =

0 0

Ejemplo de tensión plana Nodos 1 2 3 4

x

y 0 120 0 120

30 30 0 0

Elem. 1 2

i 1 1

j 4 3

k 2 4

2º EXAMEN PARCIAL ELEMENTOS FINITOS CIV - 313

1.

Calcular : σ , ε

y

(u, v) para la siguiente estructura :

Arena :

γa = θ= Arena

1700 kg/m3 30 º

Tajmar de HºCº : E = 180000 kg/cm2

P

υ=

Roca

a) DISCRETIZACION

Y

5

4 3

4

P

3

2 6

2 1 5 1

7

X

0.25

c) DETERMINACION DE "P" (para 1m de ancho)

P= P=

γ a ⋅ H 2 ⋅ Tg 2 ( 45 + θ / 2) 2 22950

kg

d) ELEMENTOS Nº 1 2 3 4 5

i 1 2 3 3 1

j 6 6 5 6 7

e) COORDENADAS DE NODOS

Nodo 1 2 3 4 5 6 7

x 0 0 0 0 60 150 150

y 0 100 200 400 400 100 0

k 2 3 4 5 6

Elemento 4: Nodo i j k

Nº 3 6 5

x 0 150 60

y 200 100 400

1 1 1

0 150 60

200 100 400

=

36000

y23 =

-300

x32 =

-90 -60

Cálculo de Area

2A =

y31 =

B = e

200

x13 =

y12 =

100

x21 =

150

0

-300 0 -90

0 -90 -300

200 0 -60

0 -60 200

100 0 150

0 150 100

1 -0.01 0 0

0 0 -0.01

4 0.01 0 0

0 0 0.01

2 0 0 0

0 0 0

-0.01 0 0.01 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 -0.01 0 0.01 0 0

1 0.25 0

0.25 1 0

[B ]= e

[Be ]T=

Mariz constitutiva E= u= t=

### 0.25 100

kg/cm2 D=

192000

cm

v = Axt =1800000 D=

-1600.00 -400.00 -180.00

0 0 0.38

192000 48000 0 48000 192000 0 0 0 72000

-120.00 [B ] [D]= 1066.67 -80.00 533.33 200.00

-480.00 -600.00 266.67 -120.00 -320.00 400.00 133.33 300.00 800.00 200.00

e T

[Be ]T[D][Be ]=

13.78 2.50 -8.59 -0.33 -5.19 -2.17

2.50 6.20 0.33 -2.53 -2.83 -3.67

-8.59 0.33 6.13 -1.11 2.46 0.78

3 ### ###

Ke =

-0.33 -2.53 -1.11 2.76 1.44 -0.22

-5.19 -2.83 2.46 1.44 2.73 1.39

6 ### ###

### 600000.0 -600000.0 ### ### ### ### ###

5

### -600000.0 600000.0 ### ### ### ### ###

-2.17 -3.67 0.78 -0.22 1.39 3.89

### ### ### -400000.0

### ###

### ###

### ### ### ###

### -400000.0 ### ###

3 6 5

Una vez resuelto el sistema obtenemos las tensiones y las deformaciones unitarias

0

ex

0

e = [B][u] = [B}x

0

=

ey gxy

0 0 0

sx s = [D][e] =

sy txy

-0.02 =

-0.11 0

0 =

0 0

Ejemplo de tensión plana Nodos 1 2 3 4

x

y 0 120 0 120

30 30 0 0

Elem. 1 2

i 1 1

j 4 3

k 2 4

2º EXAMEN PARCIAL ELEMENTOS FINITOS CIV - 313

1.

Calcular : σ , ε

y

(u, v) para la siguiente estructura :

Arena :

γa = θ= Arena

1700 kg/m3 30 º

Tajmar de HºCº : E = 180000 kg/cm2

P

υ=

Roca

a) DISCRETIZACION

Y

5

4 3

4

P

3

2 6

2 1 5 1

7

X

0.25

c) DETERMINACION DE "P" (para 1m de ancho)

P= P=

γ a ⋅ H 2 ⋅ Tg 2 ( 45 + θ / 2) 2 22950

kg

d) ELEMENTOS Nº 1 2 3 4 5

i 1 2 3 3 1

j 6 6 5 6 7

e) COORDENADAS DE NODOS

Nodo 1 2 3 4 5 6 7

x 0 0 0 0 60 150 150

y 0 100 200 400 400 100 0

k 2 3 4 5 6

Elemento 2: Nodo i j k

Nº 2 6 3

x 0 150 0

y 100 100 200

1 1 1

0 150 0

100 100 200

=

15000

y23 =

-100

x32 =

-150 0

Cálculo de Area

2A =

y31 =

B = e

100

x13 =

y12 =

0

x21 =

150

0

-100 0 -150

0 -150 -100

100 0 0

0 0 100

0 0 150

0 150 0

1 -0.01 0 -0.01

0 -0.01 -0.01

4 0.01 0 0

0 0 0.01

2 0 0 0.01

0 0.01 0

-0.01 0 0.01 0 0 0

0 -0.01 0 0 0 0.01

-0.01 -0.01 0 0.01 0.01 0

1 0.25 0

0.25 1 0

[B ]= e

[Be ]T=

Mariz constitutiva E= u= t=

### 0.25 100

kg/cm2 D=

192000

cm

v = Axt = 750000 D=

-1280.00 -320.00 -720.00

0 0 0.38

192000 48000 0 48000 192000 0 0 0 72000

-480.00 -1920.00 -480.00 [B ] [D]= 1280.00 320.00 0.00 0.00 0.00 480.00 0.00 0.00 720.00 480.00 1920.00 0.00 e T

[Be ]T[D][Be ]=

15.73 8.00 -8.53 -4.80 -7.20 -3.20

8.00 22.40 -3.20 -3.20 -4.80 -19.20

-8.53 -3.20 8.53 0.00 0.00 3.20

-4.80 -3.20 0.00 3.20 4.80 0.00

-7.20 -4.80 0.00 4.80 7.20 0.00

### ###

### ###

### ###

### ###

### ###

### ###

### ### ### ###

### ### ### ###

### 0.0 0.0 ###

0.0 ### ### 0.0

0.0 ### ### 0.0

### 0.0 0.0 ###

2

Ke =

6

-3.20 -19.20 3.20 0.00 0.00 19.20 3 2 6 3

Una vez resuelto el sistema obtenemos las tensiones y las deformaciones unitarias

0

ex

0

e = [B][u] = [B}x

0

=

ey gxy

0 0 0

sx s = [D][e] =

sy txy

-0.64 =

-2.54 -0.61

0 =

0 0

Ejemplo de tensión plana Nodos 1 2 3 4

x

y 0 120 0 120

30 30 0 0

Elem. 1 2

i 1 1

j 4 3

k 2 4

2º EXAMEN PARCIAL ELEMENTOS FINITOS CIV - 313

1.

Calcular : σ , ε

y

(u, v) para la siguiente estructura :

Arena :

γa = θ=

1700 kg/m3 30 º

Tajmar de HºCº :

A re n a

P

E = 180000 kg/cm2

υ= R o ca

a) DISCRETIZACION

Y

5

4 3

4

P

3

2 6

2 1 5 1

7

X

0.25

c) DETERMINACION DE "P" (para 1m de ancho)

P= P=

γ a ¿ H 2⋅Tg 2  45θ /2  2 22950

kg

d) ELEMENTOS Nº 1 2 3 4 5

i 1 2 3 3 1

j 6 6 5 6 7

k 2 3 4 5 6

e) COORDENADAS DE NODOS

Nodo 1 2 3 4 5 6 7

x 0 0 0 0 60 150 150

y 0 100 200 400 400 100 0

Nodo i j k

Nº 1 6 2

x 0 150 0

y 0 100 100

1 1 1

0 150 0

0 100 100

=

15000

y23 =

0

x32 =

-150

y31 =

100

x13 =

0

y12 =

-100

x21 =

150

100

0

Elemento 1:

Cálculo de Area

2A =

0

0

-100

0

Be =

0

[B ]= e

[B ] = e T

0 -150

-150 0

0 0

0 100

0 150

150 -100

1 0 0 -0.01

0 -0.01 0

4 0.01 0 0

0 0 0.01

2 -0.01 0 0.01

0 0.01 -0.01

0 0 0.01 0 -0.01 0

0 -0.01 0 0 0 0.01

-0.01 0 0 0.01 0.01 -0.01

1 0.25 0

0.25 1 0

Mariz constitutiva E= u= t=

### 0.25 100

kg/cm2 D=

192000

cm

v = Axt = 750000 D=

0.00 0.00 -480.00 -1920.00 [Be ]T[D]= 1280.00 320.00 0.00 0.00 -1280.00 -320.00 480.00 1920.00

-720.00 0.00 0.00 480.00 720.00 -480.00

7.20 0.00 0.00 -4.80 -7.20 4.80

0.00 -3.20 8.53 0.00 -8.53 3.20

[Be ]T[D][Be ]=

0.00 19.20 -3.20 0.00 3.20 -19.20 1

Ke =

-4.80 0.00 0.00 3.20 4.80 -3.20

0 0 0.38

192000 48000 0 48000 192000 0 0 0 72000

-7.20 3.20 -8.53 4.80 15.73 -8.00

6

4.80 -19.20 3.20 -3.20 -8.00 22.40 2

### 0.0

0.0 ###

0.0 ###

### 0.0

### ###

### ###

0.0 ### ### ###

### 0.0 ### ###

### 0.0 ### ###

0.0 ### ### ###

### ### ### ###

### ### ### ###

1 6 2

Una vez resuelto el sistema obtenemos las tensiones y las deformaciones unitarias

0

ex

0

e = [B][u] = [B}x

0

=

ey gxy

0 0 0

sx s = [D][e] =

sy txy

0 =

0 0

0 =

0 0

Ejemplo de tensión plana Nodos 1 2 3 4

x

y 0 120 0 120

30 30 0 0

Elem. 1 2

i 1 1

j 4 3

k 2 4

Ejemplo de tensión plana Nodos 1 2 3 4

x

Elemento 2 Nodo i j k

y

Elem. 1 2

0 120 0 120

30 30 0 0

Nº 1 3 4

x 0 0 120

i 1 1

j 4 3

k 2 4

y 30 0 0

Cálculo de Area 1 1 1

2A =

0 0 120

30 0 0

=

y23 =

0

x32 =

120

y31 =

-30

x13 =

-120

y12 =

30

x21 =

0

0

0 0 120

0 120 0

-30 0 -120

0 -120 -30

30 0 0

0 0 30

0 0 0.03

0 0.03 0

-0.01 0 -0.03

0 -0.03 -0.01

0.01 0 0

0 0 0.01

0 0 -0.01 0 0.01 0

0 0.03 0 -0.03 0 0

0.03 0 -0.03 -0.01 0 0.01

1

0.3

###

0.3

1

0

0

0

0.35

###

###

###

###

0

0

0

###

224.36

Be =

[Be ]=

[Be ]T=

Mariz constitutiva E = 2100000 k/cm2 u= 0.3 t= 4 cm v = Axt =

3600

D=

7200 D=

0 ###

[B ] [D]= e T

0 ###

### 0

### -5769.23

###

###

0

0

### -6730.77

### 5769.23 0 0 0 6730.77 897.44

0 -897.44 -224.36

0

0

2564.1 -192.31 -2564.1

192.31

[B ] [D][B ]= -897.44 -192.31 1057.69 e T

e

-224.36 -2564.1 0

192.31 -160.26 -192.31

224.36

0 -224.36

1

Ke =

0

416.67 -160.26 -224.36

416.67 2620.19 -192.31

-56.09

160.26

0

0

56.09

-56.09

3

4

###

0.0

###

###

0.0

0.0

###

###

###

###

0.0

###

###

###

###

###

### ###

###

###

###

###

###

###

0.0

###

###

###

###

0.0

###

0.0

###

###

0.0 403846.2

1 3 4

Una vez resuelto el sistema obtenemos las tensiones y las deformaciones unitarias

#REF!

ex

#REF!

e = [B][u] = [B}x

0

=

ey gxy

0 #REF! #REF!

sx s = [D][e] =

sy txy

#REF!

=

#REF! #REF!

#REF!

=

#REF! #REF!

Elemento 1: 1 5400000 0 0 14400000 0 -2400000 -3600000 0 -5400000 2400000 3600000 -14400000

6 2 0 -3600000 -5400000 3600000 -2400000 0 2400000 -14400000 6400000 0 -6400000 2400000 0 2400000 3600000 -2400000 -6400000 3600000 11800000 -6000000 2400000 -2400000 -6000000 16800000

1 6 2

Elemento 2: 1 ### 0 ### ### 0 ###

Elemento 3: 3

0 ### ### ### ### 0

3 ### ### ### 3000000 ### ###

5

### ### 3000000 ### ### ###

4 0 ### ### 0 ### ### ### ### ### 0 0 403846.15

6

7

4

3 5 4

5

### 4500000.0 ### -600000.0 ### ### 4500000.0 ### 600000.0 ### ### ### ### 600000.0 ### ### 4433333.3 1400000.0 -600000.0 ### ### 4960000.0 2600000.0 -400000.0 ### ### 4433333.3 2600000.0 4916666.7 2500000.0 ### ### 1400000.0 -400000.0 2500000.0 7000000.0

Elemento 5: 1

3

4

1080000.0 0.0 0.0 ### ### 3600000.0 0.0 2880000.0 ### 0.0 2400000.0 ### 0.0 ### ### 0.0 ### 2400000.0 ### 0.0 0.0 ### 3600000.0 ### ### 2400000.0 ### 3600000.0 ### ### 3600000.0 ### 2400000.0 ### ### ###

Elemento 4: 3

1

3 6 5

6

6400000.0 0.0 ### 2400000.0 0.0 ### 0.0 2400000.0 3600000.0 ### ### 0.0 ### 3600000.0 ### ### ### 2400000.0 2400000.0 ### ### ### 3600000.0 ### 0.0 ### ### 3600000.0 5400000.0 0.0 ### 0.0 2400000.0 ### 0.0 ###

1 7 6

ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ u1

v1

u2

1 ###

v2

u3

v3

2 0.0

###

u4

v4

0.0

4 1615384.6

3 ###

###

###

0.0 ### -184615.4 ### ### ### 1384615.4 0.0 -5400000 2400000 11800000 -6000000 0 0 0 0 3600000 -14400000 -6000000 16800000 0 0 0 0 ### ### 0 0 ### 3000000 ### ### ### ### 0 0 3000000 ### ### ### 0 ### 0 0 ### ### ### -6000000 ### 0 0 0 ### ### -6000000 ### 0 0 0 0 -9350000 -7500000 -32000000 2400000 0 0 0 0 -7500000 -6600000 3600000 -12000000 0 -6000000 -6400000 2400000 -15460000 600000 0 0 -6000000 0 3600000 -2400000 -600000 -4560000 0 0 -6400000 3600000 0 0 0 0 0 0 2400000 -2400000 0 0 0 0 0 0

Vector de fuerzas:

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14

u5

= = = = = = = =

3000000 ###

### ###

-9350000 -7500000

-7500000 -6600000

u3 v3

v7 7 2400000.0

0.0

###

###

0.0 0 0 -7500000 -6600000 3600000 -12000000 2500000 19000000 1400000 -400000 0 0

### -6400000 2400000 -15460000 600000 0 0 ### 1400000 ### -2000000 -5400000 3600000

0.0 3600000 -2400000 -600000 -4560000 0 0 2600000 -400000 -2000000 21760000 2400000 -14400000

3600000.0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5400000 2400000 11800000 -6000000

0 0 0 0 0 0 0 0

### ###

u7

0.0

luego la matriz se reduce a: ### 3000000

v6 6

0.0 0 0 -9350000 -7500000 -32000000 2400000 ### 2500000 ### 2600000 0 0

Condiciones de borde u1 v1 u2 v2 u6 v6 u7 v7

u6

0.0

0 0 0 0 22950 0 0 0 0 0 0 0 0 0

=

v5 5

22950 0

### 0 0 0 0 0 0 0 0 3600000 -14400000 -6000000 16800000

1 2 3 4 5 6 7

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 u5 v5 u6 v6 u7 v7

### ### -9350000 -7500000

### ### -6000000 -32000000 3600000 ### -6000000 ### 2400000 -12000000 -7500000 -32000000 2400000 ### 2500000 -6600000 3600000 -12000000 2500000 19000000

Resolviendo el sistema siguiente tenemos: 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

luego los desplazamientos son: u3 v3 u4 v4 u5 v5

0 0 0 0 0 0

=

los desplazamientos finales son: u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 u5 v5 u6 v6 u7 v7

=

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

u4 v4 = u5 v5

0 0 0 0