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PRIMER EXAMEN DE FISICA Pregunta N° 01   F1 y F2 son fuerzas cuyos módulos son iguales    a 6 u. Si el módulo de F3 es igual a F1 + F2 ,    calcule F1 + F2 + F3 .

  El módulo de la resultante de F1 y F2 es:   F1 + F2=

2  2   F1 + F2 + 2 F1 ⋅ F2 cos 60°

  F1 + F2 = 6 3u

Resolución N° 01 ♦ Debemos

determinar

el

módulo de la    resultante de los vectores F1 , F2 y F3 . Es    decir nos piden F1 + F2 + F3 .

♦ Método I Aplicamos el método del paralelogramo para     = F= 6u F1 y F2 . Dato : F 1 2

Finalmente, el módulo de la resultante de los    vectores F1 , F2 y F3 es:    F1 + F2 + = F3

(6 3) 2 + (6 3) 2

   F1 + F2 + F3 = 6 6u

♦ Método II Aplicamos el método del polígono, para lo cual ordenamos a los vectores de tal forma que sean consecutivos.

Resolución N° 02 ♦ Debemos determinar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. Es decir        nos piden R = A + B + C + D + E + F ...(α)

De la figura, el módulo de la resultante de los    vectores F1 , F2 y F3 es:    F1 + F2 + = F3

(6 3) 2 + (6 3) 2

   F1 + F2 + F3 = 6 6u

♦ De la figura se deduce que:

  → El vector C es el opuesto de A

  → El vector D es el opuesto de B ♦ Por lo tanto:

      A+C = 0 y B+D = 0

♦ Reemplazando en (α): Pregunta N° 02 Se muestra una circunferencia de 2 cm de radio, en cuyo interior hay una conjunto de vectores. Determine el módulo del vector resultante.

   R= E + F

  ♦ Acomodamos los vectores E y F de tal forma que sean consecutivos.

Considere OM = MN .

♦ Finalmente, de la figura se deduce que:

   R = E + F = 2cm

Pregunta N° 03

Pregunta N° 04

Dados los vectores:

Si el móvil mostrado realiza MRU, determine su rapidez. Considere que los recorridos están en metros.

 A= 3iˆ − 2 ˆj

 B= iˆ + 5 ˆj = C miˆ + njˆ determine m × n , de modo que     A + 2 B + 3C = 0 Resolución N° 04

Resolución N° 03 ♦ Debemos determinar m × n ♦ Del problema se tiene que:

 A= 3iˆ − 2 ˆj

...(α)

 B= iˆ + 5 ˆj

...(β)

 = C miˆ + njˆ

♦ Debemos determinar v

...(θ)

♦ Donde: v =

    A + 2 B + 3C = 0 ...(φ) ♦ Reemplazando (α), (β) y (θ) en (φ):

 (3iˆ − 2 ˆj ) + 2(iˆ + 5 ˆj ) + 3(miˆ + njˆ) = 0     ˆ + (0) ˆj (5 + 3m) iˆ + (8 + 3n) ˆj= (0) i     ♦ Luego: 5+3m=0 → m = − 8+3n=0 → n = −

5 3

8 3

5 8 m × n = (− ) × (− ) 3 3

40 m× n = 9

...(α)

♦ Recuerda que en el M.R.U. la distancia (d) y el tiempo transcurrido (t) son directamente proporcionales: d D.P. t ♦ Por lo tanto:

d + 40 d d AB d BC = = → 6 2 t AB t BC d=20m ...(β) ♦ Reemplazando (β) en (α):

= v

♦ Por lo tanto:

d d BC → v= t BC 2

20 = 10 ms 2

Pregunta N° 05

Pregunta N° 06

Un tren de 72 m de longitud que realiza MRUV empieza a ingresar a un túnel de 110 m de longitud con rapidez de 12 m/s. Si cuando empieza a salir del túnel su rapidez es 32 m/s, determine la rapidez que presentará en el instante que sale completamente del túnel.

Los tres jóvenes A, B y C avanzan con una rapidez de 6 m/s, 5 m/s y 2 m/s, respectivamente. Desde que C se cruza con A, ¿cuánto tiempo transcurre para que se cruce con B? Considere MRU para todos los jóvenes.

Resolución N° 05

Resolución N° 06 ♦ Debemos determinar t2 ♦ Donde t2 es el tiempo que transcurre para que el joven C se cruce con B, después que C se cruzó con A.

♦ Debemos determinar vc ♦ Donde vc es la rapidez del tren cuando sale completamente del túnel.

♦ Primeramente, calculemos cuántos metros avanzan los jóvenes C y B cuando C se encuentra con A.

♦ En el trayecto "AC" Aplicamos :

2 v= vo2 + 2ad f

vC2 =(12) 2 + 2a (72 + 110)

= vC

144 + 364a

...(α)

♦ En el trayecto "AB" Aplicamos :

2 v= vo2 + 2ad f

(32) =(12) + 2a (72 + 38) 2

2

a = 4 sm2 ...(β) ♦ Reemplazando (β) en (α):

= vC

144 + 364(4)

vC = 40 ms

Aplicamos la ecuación del tiempo encuentro para los jóvenes A y C.

= t1

de

16 16 = → t1 = 2 s v A + vC 6 + 2

Por lo tanto C avanzó dC = vct1 = (2)(2)=4m y B avanzó dB = vBt1 = (5)(2)=10m. Esto implica que C y B se encuentran separados 14m un instante después del cruce entre C y A.



♦ En el problema, debemos determinar x A( ENC ) 

♦ Donde x A( ENC ) es la posición de A cuando se

♦ Aplicamos la ecuación del tiempo encuentro para los jóvenes C y B:

14 14 = t2 = vC + vB 2 + 5

de

encuentra con B, esto ocurre para el instante de tiempo tENC. Por ello, antes debemos encontrar tENC y luego reemplazarlo en la ecuación del movimiento para el móvil A. ♦ De las ecuaciones:  →= x A 100 + 15 t    

t2 = 2 s

xoA

 200 + ( −35) t → x= B   

Pregunta N° 07 Dos móviles A y B viajan sobre el eje x, de modos que sus posiciones son xA=100+15t y xB=200-35t, donde t se expresa en segundos y x en metros. Determine la posición del móvil A en el instante en que se encuentra con B.

...(α)

vA

xoB

vB

Se deduce que:

Resolución N° 07 ♦ Aspecto previo: Consideremos un móvil que realiza un M.R.U. a lo largo del eje x.

♦ Aplicamos encuentro: = t ENC

Del M.R.U.:

  d = v ⋅t  

la

d 100 = v A + vB 15 + 35

Ecuación del movimiento del M.R.U. Donde  x : Posición del móvil para cualquier instante de tiempo t.  xo : Posición inicial del móvil, cuando t=0.

del

tiempo

→ t ENC = 2 s

de

...(β)

♦ Reemplazando (β) en (α):  x A( ENC = 100 + 15(2) )

x − xo

   x= xo + vt

ecuación

 x A( ENC ) = +130m 

Esta _ es _ la _ posición _ del móvil _ A _ cuando _ se encuentra _ con _ B

Pregunta N° 08 Un automóvil se mueve a 45 km/h en una zona donde la velocidad máxima permitida es 35 km/h. Un policía motociclista arranca en su persecución justo cuando el auto pasa frente a él. Si la aceleración del policía es de 0,5 m/s2, ¿cuánto durará la persecución? Considere que el automóvil realiza MRU y la motocicleta MRUV.

Resolución N° 08

Resolución N° 09

♦ Debemos determinar t ♦ Donde t es el tiempo que durará la persecución. ♦ De la figura se observa que la distancia que avanza el automóvil (dA) es igual que la distancia que avanza la moto (dM):

♦ De la figura se observa que:

+x+

dA 

1 voA ⋅t + a A ⋅t 2 2

dB 

= 3x

1 voB ⋅t − aB ⋅t 2 2

1 1   2 2 2x 5(2) + 2 (2)(2)  + 5(2) − 2 (2)(2)  =

d A = dM  

M . R.U .

♦ Debemos determinar x

M . R.U .V .

1 v A= ⋅ t vo ( M ) ⋅ t + aM ⋅ t 2  2

x = 10m

0

1 12,5t = (0,5)t 2 2

t = 50 s

Pregunta N° 09 Los autos A y B realizan MRUV. El primero aumentando su rapidez y el segundo disminuyéndola. Si desde el instante mostrado pasan 2 s para que la separación entre los autos sea 3x, determine x.

Pregunta N° 10 Un esfera es lanzada verticalmente hacia arriba y luego de 3 s su rapidez se duplica. Determine la rapidez de lanzamiento. (g=10 m/s2)

Resolución N° 10 ♦ Debemos determinar v. ♦ Donde v es la rapidez de lanzamiento. ♦ En el trayecto AB Aplicamos: v= v0 − gt → 0= v − 10t f

v = 10t ...(α)

♦ En el trayecto BC

Resolución N° 11

0 + 10(3 − t ) Aplicamos: v = v0 + gt → 2v = f = v 5(3 − t ) ♦ De (α) y (β) se obtiene:

♦ Debemos minar h2.

...(β)

♦ Donde h2 es el recorrido de la esfera que fue lanzada hasta alcanzar a la primera.

v = 10 ms

Otro Método ♦ Dado que el movimiento es de subida y bajada, aplicamos la siguiente ecuación vectorial:

   v= vo + gt f

(−= 2v) (+v) + (−10)(3) v = 10 ms

♦ Para la esfera 2 aplicamos:

1 h = vo ⋅ t + g ⋅ t 2 → h= 10t + 5t 2 ...(α) 2 2 ♦ De la figura: h2 − h1 = 20

      1 1  vo (2) ⋅ t + g ⋅ t 2  −  vo (1) ⋅ t + g ⋅ t 2  =20  2 2     0   10 m   s 

t = 2s Pregunta N° 11 Se suelta una esfera en el mismo instante en que otra es lanzada verticalmente hacia abajo con una rapidez de 10 m/s, tal como se muestra. Determine el recorrido de la esfera que fue lanzada hasta alcanzar a la primera. (g=10 m/s2)

deter-

...(β)

♦ Reemplazando (β) en (α):

= h2 10(2) + 5(2) 2

h2 = 40m

Pregunta N° 12 Una partícula se lanza verticalmente hacia arriba desde la posición (3; 2) m y luego de 4 s pasa por la posición (3; 22) m. Determine su rapidez de lanzamiento. (g=10m/s2)

Resolución N° 12

Resolución N° 13

♦ Debemos hallar v. ♦ Donde v es la rapidez de lanzamiento de la partícula. ♦ Aplicamos la siguiente ecuación vectorial:

 1  dVER = vo ⋅ t + g ⋅ t 2 2 1 = (+20) (+v)(4) + (−10)(4) 2 2 v = 25 ms

♦ Debemos determinar dHOR. ♦ Donde dHOR es el alcance horizontal del proyectil. ♦ De la figura : d HOR = 12k ...(α) ♦ En la proyección vertical (M.V.C.L.) En el trayecto AC (en la subida) aplicamos:

NOTA:

v= vo − gt f

Para determinar la velocidad luego de 4s después del lanzamiento, aplicamos:

   v= vo + gt f

 v f (+25) + (−10)(4) → =

Pregunta N° 13 Se lanza un proyectil con un rapidez vo, de modo que emplea 4 s para ir desde A hasta B. ¿Cuál es el valor del alcance horizontal AB? (g=10m/s2)

= 0 4k − 10(2)

k = 5 ...(β) ♦ Reemplazando (β) en (α): d= 12(5) = 60m HOR

 v f = −15 ms Luego de 4s después del lanzamiento la partícula está bajando

→

Otro Método (Método geométrico) ♦ Aplicamos la siguiente ecuación vectorial:

  1 d = vo ⋅ t + g ⋅ t 2 2 Donde

 d

: desplazamiento

 vo t

 : vector paralelo a la vo

 12 gt : vector paralelo a la g 2

Resolución N° 14

♦ Debemos determinar d ♦ Aplicamos el método del polígono con los 1  vectores " vot " y " gt 2 " donde la resultante 2  es " d ".

° De la figura: tg 53=

80 4 = d 3

♦ Debemos determinar d ♦ Del triángulo rectángulo mostrado se tiene que:

= d

d = 100m

d = 60m

Pregunta N° 14 En el instante mostrado, las esferas son lanzadas simultáneamente. Determine la separación entre ambas luego de 2 s. (g=10m/s2)

(60) 2 + (80) 2

Pregunta N° 15 Si luego de haber sido lanzados simultáneamente los proyectiles, estos impactan. Determine α.

Resolución N° 15

♦ Debemos determinar la medida del ángulo α ♦ Para que las partículas logren impactar, sus desplazamientos verticales deben ser iguales, tal como se observa en la figura.

  dVER ( A) = dVER ( B ) 1 1   vVER ( A)t + gt 2 = vVER ( B )t + gt 2 2 2 3 3 (+ v)t = (+ vsenα )t 5 4 senα =

4 5

α=53°