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FICHA DE IDENTIFICACIÓN DE PROYECTO

Título Autor/es Fecha Carrera Asignatura Grupo Docente Periodo Académico Subsede

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN UN SISTEMA DE TRATAMIENTO DE AGUA Nombres y Apellidos Código de estudiantes Jorge Alberto Mamani Barrera 32169 23/06/2017 Ingeniería en gas y petróleo Calculo II A Pedro Galvis Quintanilla I/17 Santa Cruz

Copyright © (2017) por (Jorge Alberto Mamani Barrera). Todos los derechos reservados.

Título: APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN UN SISTEMA DE TRATAMIENTO DEAGUA Autor/es: Jorge Alberto Mamani Barrera

RESUMEN:

Para (Ruiz Zúñiga Barrantes campos, 1997) el cálculo diferencial consiste en el estudio del cambio de los variables dependiente cuando cambian los variables independiente de las funciones. El principal objeto de estudio es el cálculo diferencial de las derivadas en una gran cantidad de procesos donde se relacionan dos o más variables. Frecuentemente el cambio de una de ellas induce un cambio en el valor de las otras. El objetivo de un sistema de tratamiento de agua es la eliminación de sustancias no deseadas frecuentemente halladas en el agua de alimentación y/o en el agua de pozo con sólidos acuosos. Los sólidos acuosos mencionados son: arena de corrientes de residuos, suciedad, limo, escala, lodos y óxidos. El sistema elimina estos sólidos acuosos, y mediante carbón elimina cloro, olores y cloruros, THM, MTBE, pesticidas, contaminantes orgánicos, y partículas disueltas. Este proceso se denomina tratamiento de agua. Simple, pero muy efectivo

Palabras clave: agua de alimentación, dependiente.

ABSTRACT:

For (Ruiz Zúñiga Barrantes campos, 1997) the differential calculation consists in the study of the change of the dependent variables when they change the independent variables of the functions. The main object of study is the differential calculation of the derivatives in a large number of processes where the most variable are related. Frequently the change of one of them induces a change in the value of the others. The purpose of a water treatment system is the removal of undesirable substances frequently found in feed water and / or well water with aqueous solids. Aqueous solids are son: sand from waste streams, dirt, limousine, scale, sludge and oxides. The system eliminates these aqueous solids, and charcoal eliminates chlorine, odors and chlorides, THM, MTBE, pesticides, organic pollutants, and dissolved particles. This process is called water treatment. Simple but very effective

Key words: feeding water, dependent.

Asignatura: CALCULO II Carrera: INGENIERIA EN GAS Y PETROLEO

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Título: APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN UN SISTEMA DE TRATAMIENTO DEAGUA Autor/es: Jorge Alberto Mamani Barrera

Tabla De Contenidos Lista De Tablas .......................................................................................................................... 3 Introducción ............................................................................................................................... 4 Capítulo 1. Planteamiento del problema ................................................................................... 5 1.1. Formulacion del problema ........................................................................................ 5 1.2. Objetivos ................................................................................................................... 5 1.3. Justificación....………………………………………………………………………5 1.4. Planteamiento de la hipótesis………………………………………………………5 Capítulo 2. Marco teorico ......................................................................................................... 6 2.1. Definicion ................................................................................................................. 6 2.2. Antesedentes ............................................................................................................. 6 2.3. Derivada parcial de una funcion de varias variables ................................................ 7 2.4. Diferencial de una funcion de varias variables……………………………………..8 Capitulo 3. ……………………………………………………………………………………13 3.1. Bibliografía…………………………………....…………………………………..13

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Título: APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN UN SISTEMA DE TRATAMIENTO DEAGUA Autor/es: Jorge Alberto Mamani Barrera Introducción Este trabajo de investigación titula “aplicación de las derivadas en un sistema de tratamiento de agua” El objetivo de un sistema de tratamiento de agua es la eliminación de sustancias no deseadas frecuentemente halladas en el agua de alimentación y/o en el agua de pozo con sólidos acuosos. Los sólidos acuosos mencionados son: arena de corrientes de residuos, suciedad, limo, escala, lodos y óxidos. El sistema elimina estos sólidos acuosos, y mediante carbón elimina cloro, olores y cloruros, THM, MTBE, pesticidas, contaminantes orgánicos, y partículas disueltas. Este proceso se denomina tratamiento de agua. Simple, pero muy efectivo – el operador de la planta puede efectuar una prueba para monitorear el funcionamiento del sistema de tratamiento de agua. El sistema de tratamiento de agua Tipton es una completa unidad pre armada en fábrica y lista para su sencilla instalación en el sitio del proyecto. El principal objeto de estudio es el cálculo diferencial de las derivadas en una gran cantidad de procesos donde se relacionan dos o más variables. Frecuentemente el cambio de una de ellas induce un cambio en el valor de las otras.

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Título: APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN UN SISTEMA DE TRATAMIENTO DEAGUA Autor/es: Jorge Alberto Mamani Barrera Capítulo 1. Planteamiento Del Problema 1.1. Formulación del Problema ¿Qué importancia tiene el cálculo infinitesimal dentro los conocimientos necesarios que debe adquirir un estudiante de la carrera de ingeniería petrolera para aplicarlo en problemas que presenta? ¿Cómo aplicar los conocimientos adquiridos de la asignatura de cálculo diferencial en el contexto de la ingeniería petrolera? 1.2. Objetivos Objetivo general  Identificar la importancia de las derivadas y su aplicación en la ingeniería petrolera. Objetivo especifico  Conocer que son las derivadas  Optimización de las derivadas en la ingeniería.  Aplicar los conocimientos adquiridos en la asignatura de cálculo diferencial en el contexto de la ingeniería petrolera.  Determinar y analizar el método aplicado en los ejercicios 1.3. Justificación Este trabajo se realiza con el fin de conocer las derivadas y su aplicación en la ingeniería petrolera para hacer cálculos en presupuestos, costos, gastos, etc. También es una herramienta que no solamente se utiliza en la ingeniería si no también lo utilizamos en nuestra vida cotidiana sin darnos cuentas lo utilizamos La razón por la que escogimos este tema es para conocer más en plenitud ya que las derivadas es una herramienta indispensable que un ingeniero de saber en este trabajo de investigación se abordara problemas que se le puede presentar a un ingeniero. 1.4. Planteamiento de hipótesis La propuesta de este trabajo es demostrar mediante la optimización problemas resuelto de las derivadas También podemos ver que el ingeniero petrolero aplica las derivadas para operar sistema de tratamiento de aguas. Para hacer estudio de contaminación y diagnóstico.

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Título: APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN UN SISTEMA DE TRATAMIENTO DEAGUA Autor/es: Jorge Alberto Mamani Barrera Capítulo 2: Marco Teórico 2.1. Definición Para (Ruiz Zúñiga Barrantes campos, 1997) el cálculo diferencial consiste en el estudio del cambio de los variables dependiente cuando cambian los variables independiente de las funciones. El principal objeto de estudio es el cálculo diferencial de las derivadas en una gran cantidad de procesos donde se relacionan dos o más variables. Frecuentemente el cambio de una de ellas induce un cambio en el valor de las otras. 2 2.Antecedentes Los problemas típicos que dieron origen al calculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Issac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:  El problema de la tangente a una curva  El teorema de los extremos: máximos y mínimos En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como calculo diferencial. Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Newton y Leibniz A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo). Newton: desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo. Leibniz: por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolo matemático. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos y el símbolo de la integral Asignatura: CALCULO II Carrera: INGENIERIA EN GAS Y PETROLEO

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Título: APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN UN SISTEMA DE TRATAMIENTO DEAGUA Autor/es: Jorge Alberto Mamani Barrera Definición de derivada Según (purell y rigdon 2007 pág. 13 la derivada puede entenderse geométricamente de la siguiente forma: “La recta tangente a la curva y=f(x) en p [c f(c)] es la recta que pasa por p con pendiente”

Siempre i cuando exista el límite y no sea ∞ o -∞ También (porcell y Rigdon 2007 pág. 100) nos presenta la definición formal de la derivada de la siguiente forma: La derivada una función f es otra función (véase f “prima”) cuyo valor en cualquier numero x es:

Si este límite existe decimos que f es derivable en x. Determinar una derivada recibe el nombre de derivación, la parte del cálculo asociado con la derivada se denomina cálculo diferencial. 2.3. Derivada parcial de una función de varias variables. Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable). Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante. Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función: : Para ello u u recordemos que la derivada de la función z = e es: z’ = u’ . e , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:

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Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:

Mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:

en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada. Diferencial de una función de varias variables. Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta función como:

Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos”

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Título: APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN UN SISTEMA DE TRATAMIENTO DEAGUA Autor/es: Jorge Alberto Mamani Barrera 2.4. Aplicación Una empresa de tratamiento de agua potable desea saber qué cantidad de agua de agua necesita para proveer a una población de 540 personas si cada persona necesita 1.5 litros de agua diarios apta para su consumo. Si luego el tratamiento de agua respectivo debe almacenarla en un tanque de forma de cilindro de altura “hoy con tapa de radio “r” Y además el costo por metro cuadrado del material es k a. Que cantidad de agua deberá almacenar diariamente el tanque de forma cilindro para Satisfacer las necesidades de la población. b. Cuales deberán ser las medidas del tanque para que el costo de construcción sea mínimo

Datos    

# de personas=540 Agua por persona=1.5litros C.de agua diaria=? Medidas del tanque=?

Solución Entonces: (540)*(1.5litros)=Agua necesaria + capacidad del tanque =810litros Ahora: Determinar el volumen del tanque Tanque=Cilindro + Media esfera=810litros

Función G (hora) Restricción Ahora determinar función costo F (hora) Costo=Costo Base + Costo Paredes + Costo Techo Si el costo de un metro cuadrado =K Costo Base:

Costo Paredes:

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Costo:

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Título: APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN UN SISTEMA DE TRATAMIENTO DEAGUA Autor/es: Jorge Alberto Mamani Barrera Techo:

Luego de tener F y G es necesario obtener: Los gradientes

Ahora calculamos los gradientes para cada función

Teniendo los gradientes aplicamos LaGrange así:

Donde alfa es el multiplicador de LaGrange Gradiente de F

Gradiente de G

Resolviendo la igualdad obtenemos:

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Obtenemos un sistema de 3×3 agregando la restricción De ecuación (2)

Factor común

Dividiendo entre 2 pi

Obtenemos (2) simplificada Reorganizando el sistema

Reemplazando en (1)

Simplificando

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Si h=r entonces

Si reemplazamos el valor obtenido en la función costo C (5.36; 5,36)=451.27K ➡ costo mínimo posible Deberá almacenar diariamente: 810 litros Las medidas del tanque para que el costo de construcción sea mínimo es: h=r=5.36

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Título: APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN UN SISTEMA DE TRATAMIENTO DEAGUA Autor/es: Jorge Alberto Mamani Barrera Capítulo 3 BIBLIOGRAFIA  http://todosobreladerivada.blogspot.in/p/historia-de-la-derivada.html?m=1  http://recursosticeducaciones/descartes/web/materiales_didacticos/Derivada_de_una_func ion/Derivada_de_una_funcion.htm  DOLORES.C.(2007).Matemática Educativa. Capitulo 4 tratamiento de la derivada. Ciudad de mexico:Diaz de santos  RUIZ ZUÑIGA.A.A.Y BARRANTES CAMPOS,H.(1997).Elementos de calculo diferencial capitulo 3 “Derivadas, aplicaciones y temas” San José Costa Rica : Universidad de Costa Rica.  PURCELL E & RIGDON S.(2007) calculo diferencial e integral (9na ed.) Capitulo 2 “la derivada” capitulo 3 “aplicaciones de las derivadas Washington: Pearson Education.

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