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Estadística

Evaristo Diz Cruz

aniversit edio y u fasis en m , o ic én técn a nivel tica con riptiva y e texto ráctica estadís c s d e d ro a ib L la p dístic a a t s o e d ocimien a e t o n d ren c n á ie t rio orie ptos básicos u s e q s re e , pu o se ce ilidad. N icas y/o cálculo el munlos con b a b ro át en ep l lector es teoría d dos de matem iniciar a es en diferent za a r n a a v p a e s t n n to io e c a m c a s apli o just pensad stadística y su uctoria e la e l introd ia ic do d in cipales rte s. una pa las prin , así e o d d campo n a a t s iz con ticas nfat El libro mayor nivel e sus caracterís is. Utias, ótes a de tadístic prueba de hip poderocon otr nes es a io r uy c a u m p y ib s r dist tuito ístico oso st estad ierto, libre, gra tido lo noved e t o m n b co e ro a s p e re e t a ión d oftw En es la soluc liza un s el Lenguaje R. n e R e nd es iso que tilizació y se util a es la u s varios. r b o la so de R ero de u o l de a ic t n ís cció úm estad introdu de un buen n blemas esa breve n n ística d u ió d c a a t lu d s o e s Se la la e n ada. quete e an desd te aplic za el pa básicos que v n Multivarian se puede s e sió ejercicio asta la Regre l sistema dond e h a a n . criptiv mencio en-ware ente se atis Op r g Igualm a m progra bajar el

Ejemplos prácticos

Ejercicios resueltos

Estadística básica Introducción a la estadística con R®

Evaristo Diz Cruz

de la

ediciones

Doctor en Estadística Actuarial en la Escuela de Ciencias Estadísticas y Actuariales de la Universidad Central de Venezuela (UCV), Especialización en Ciencias Actuariales en la Universidad Pontificia Católica de Chile ,Master en Estadística Matemática y Especialista en Estadística Computacional, con una concentración en Teoría de Riesgo, de la Universidad Simón Bolívar (USB), Master en Sistemas de Información, Master en Administración de Empresas y Lic. en Física y Matemáticas de la Universidad Católica Andrés Bello (UCAB),Lic en Ciencias Actuariales y Financieras (H. España). Cursos de Entrenamiento Actuarial en Buck Consulting Actuaries en New York y Paul Westbrook & Associate en New Jersey, patrocinados por PDVSA durante dos (2) años. Miembro Titular del Colegio de Actuarios Español. Certificado en Riesgo(CRM) por IIPeR USA. Daytraining Electrónico Avanzado de la American Academy Wall Street LLC. Tasador profesional Universidad del Zulia. Asesor y consultor en entidades públicas y privadas. Actualmente es Presidente de la firma E. Diz Actuarial Services and Consulting. Profesor de pregrado, postgrado y doctorado en las Universidades Metropolitana, Católica Andrés Bello, y Central de Venezuela. Autor del libro Teoría de riesgo, y diversos artículos científicos para revistas científicas.

Estadística básica

Evaristo Diz Cruz

Estadística

Estadística básica Introducción a la estadística con R® Evaristo Diz Cruz

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Diz Cruz, Evaristo Estadística básica, introducción a la estadística con R®/ Evaristo Diz Cruz -Bogotá : Ediciones de la U, 2016 176 p. ; 24 cm. ISBN 978-958-762-464-9 1. Estadística 2. Probabilidad 3. Distribuciones de probabilidad 4. Muestreo 5. Prueba de Hipótesis 6. Distribución binomial Bin I. Tít. 519.5 ed.

Área: Estadística Primera edición: Bogotá, Colombia, enero de 2016 ISBN. 978-958-762-464-9 © Evaristo Diz Cruz © Ediciones de la U - Transversal 42 # 4 B-83 - Tel. (+57-1) 4065861 - 4942601 www.edicionesdelau.com - E-mail: [email protected] Bogotá, Colombia

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Contenido Prefacio ............................................................................................................. 13 Presentación .................................................................................................... 15 Capítulo 1 Introducción ................................................................................................................. 17 1.1 Definición Estadística ...................................................................................... 17 1.2 Estadística en los Negocios ........................................................................... 18 1.3 Tipo de Datos ...................................................................................................... 18 1.4 Fuentes de Datos ............................................................................................... 18 Capítulo 2 Estadística Descriptiva ............................................................................................ 19 2.1 Distribuciones de Frecuencias (Gráficos)................................................... 19 2.2 Modelos de Tendencia Central ..................................................................... 20 2.3 Medidas de Variación ....................................................................................... 21 2.4 Comparación de Medidas .............................................................................. 23 Capítulo 3 Introducción a la Probabilidad ............................................................................ 25 3.1 Probabilidad......................................................................................................... 25 3.2 Axiomas de Probabilidad................................................................................ 26 3.3 Métodos de Calcular Probabilidades ......................................................... 27 3.4 Decisión Bayesiana............................................................................................ 29 3.5 Probabilidad en Forma Tabular..................................................................... 30 3.6 Árboles de Probabilidad.................................................................................. 30 7

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Capítulo 4 Distribuciones de Probabilidad........................................................................... 33 4.1 Variables Aleatorias........................................................................................... 33 4.2 Distribución de Probabilidad Discreta....................................................... 34 4.3 Distribución de Probabilidad Contínua..................................................... 36 Capítulo 5 Muestras y Distribuciones en el Muestreo........................................... 41 5.1 Tipos de Muestras.............................................................................................. 41 5.2 Relación entre Población y Muestra............................................................ 42 5.3 Error Muestral...................................................................................................... 42 5.4 Distribuciones de la Media en el Muestreo.............................................. 43 5.5 Distribución de la Proporción en el Muestreo......................................... 44 5.6 Teorema del Límite Central............................................................................ 44 Capítulo 6 Estimación por Intervalos....................................................................................... 47 6.1 Teorema del Límite Central............................................................................ 47 6.2 Estimación por Intervalos de una Proporción......................................... 49 6.3 Determinación del Tamaño Muestral......................................................... 50 Capítulo 7 Prueba de Hipótesis................................................................................................... 53 7.1 Prueba de Hipótesis.......................................................................................... 53 7.2 Pasos en el Prueba de Hipótesis................................................................... 53 7.3 Prueba de Hipótesis de la Media.................................................................. 54 7.4 Prueba de Hipótesis de Proporciones ....................................................... 56 7.5 Errores Tipo I y II (Errores a y b)..................................................................... 57 Capítulo 8 La Distribución Binomial Bin (n, p) .................................................................... 60 8.1 Test - Binomiales................................................................................................. 60 8.2 Aproximación de la Normal a la Binomial................................................. 60 8.3 La Distribución Poisson X – POIS(l) ........................................................... 61 8.4 La Distribución Exponencial X – EXP(l) .................................................... 63 8.5 Distribución Normal.......................................................................................... 63 8.6 Distribución de F cuando X – N (0,1).......................................................... 64 8.7 Estimadores de µ si X – N(µ, s2) ................................................................... 64 8.8 Intervalos de Confianza para s2 y s desviación .................................... 65 8.9 Propiedades de la Distribución Normal..................................................... 65 8

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Contenido

8.10 Distribuciones Conectadas con la Normal ............................................... 65 8.11 La Distribución T-Student................................................................................ 66 8.12 La Distribución F de Fisher.............................................................................. 66 Capítulo 9 Análisis de Varianza (Anova) ................................................................. 67 9.1 Introducción ....................................................................................................... 67 9.2 Comparación de Media de Tres Muestras................................................. 68 9.3 Prueba de CHI-Cuadrado................................................................................ 70 9.4 Supuesto de Normalidad................................................................................ 71 9.5 Residuales Estandarizados.............................................................................. 71 9.6 Tablas de Contingencia.................................................................................... 75 9.7 Residuos Estandarizados................................................................................. 77 9.8 Test X 2 para tablas 2 x 2.................................................................................... 78 9.9 Test de Fisher para tablas 2 x 2 ..................................................................... 79 9.10 Ejemplo (Test exacto de Fisher).................................................................... 79 9.11 Test de Distribución Libre............................................................................... 80 9.12 Test de Wilcoxon para un Conjunto de Observaciones........................ 80 9.13 Ejemplo ................................................................................................................. 81 9.14 Aproximación Normal al Test Wilcoxon para un Conjunto de Datos ............................................................................................ 81 9.15 Test de Wilcoxon con dos Conjunto de Observaciones....................... 82 9.16 Aproximación Normal al Test de Wilcoxon con dos Conjuntos de Observaciones.............................................................................................. 82 9.17 Regresión Lineal................................................................................................. 83 9.18 Estimación de los Parámetros b0 y b1 ......................................................... 83 9.19 La Distribución de los Estimadores............................................................. 84 9.20 Predicciones yˆi y residuales eˆi ........................................................................ 84 2 9.21 Estimación de la Varianza s .......................................................................... 84 9.22 Intervalos de Confianza para b0 y b1........................................................... 85 9.23 Coeficiente de Determinación R2 ................................................................ 85 9.24 Intervalos de Predicción ................................................................................. 85   Tabla de Distribución Normal ............................................................................. 87  Tabla X 2 CHI-Cuadrado Fx2 x = 0.5 ................................................................ 93  Tabla t Student Ft x = 0.6 ................................................................................. 97   Tabla de la Distribución de Fisher F(x) = 0.90 ................................................ 99   Tabla de la Distribución de Fisher F(x) = 0.95 ................................................ 101   Tabla de la Distribución de Fisher F(x) = 0.99 ................................................ 103   Test de Wilcoxon para un Conjunto de Observaciones.............................. 105   Test de Wilcoxon para dos Conjuntos de Datos X = 5% ............................. 106   Sumario de Fórmulas.............................................................................................. 107   Resumen de Distribuciones de Probabilidad Discreta................................ 108

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Conceptos Básicos de la Teoría de la Probabilidad........................................... 109 Variables Aleatorias ..................................................................................................... 115 Valores Esperados y Varianza.................................................................................... 117 La ley de los Grandes Números................................................................................ 119 Estadística Descriptiva................................................................................................. 124 Pruebas de Hipótesis Estadísticas........................................................................... 125 Distribución Binomal................................................................................................... 126 Distribución Poisson.................................................................................................... 127 Distribución Geométrica............................................................................................ 130 Distribución Hipergeométrica.................................................................................. 132 Distribución Multinomial........................................................................................... 133 Distribución Binomial Negativa............................................................................... 134 Distribución Exponencial........................................................................................... 135 Distribución Normal..................................................................................................... 135 Distribuciones Conectadas a la Distribución Normal...................................... 136 La prueba de Chi-cuadrado....................................................................................... 141 Tablas de Contingencia............................................................................................... 144   Curvas de Distribución Standard Normal........................................................ 152   Curvas de Distribución Student ......................................................................... 153 Resumen de Comandos en R para un curso de Estadística Básica ............. 154 Bibliografía ............................................................................................. 175

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Índice gráfico Gráfico 1............................................................................................................................ 23 Gráfico 2............................................................................................................................ 24 Gráfico 3............................................................................................................................ 26 Gráfico 4............................................................................................................................ 27 Gráfico 5. .......................................................................................................................... 29 Gráfico 6............................................................................................................................ 31 Gráfico 7............................................................................................................................ 33 Gráfico 8............................................................................................................................ 35 Gráfico 9............................................................................................................................ 36 Gráfico 10......................................................................................................................... 37 Gráfico 11......................................................................................................................... 37 Gráfico 12......................................................................................................................... 38 Gráfico 13. ....................................................................................................................... 38 Gráfico 14. ....................................................................................................................... 38 Gráfico 15......................................................................................................................... 39 Gráfico 16......................................................................................................................... 42 Gráfico 17......................................................................................................................... 43 Gráfico 18......................................................................................................................... 44 Gráfico 19......................................................................................................................... 45 Gráfico 21......................................................................................................................... 50 Gráfico 22......................................................................................................................... 51 Gráfico 23......................................................................................................................... 55 Gráfico 24......................................................................................................................... 56 Gráfico 25......................................................................................................................... 57 Gráfico 26......................................................................................................................... 61 Gráfico 27......................................................................................................................... 110

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Índice tablas Tabla 1............................................................................................................................... 19 Tabla 2............................................................................................................................... 30 Tabla 3............................................................................................................................... 58 Tabla 3............................................................................................................................... 60 Tabla 4............................................................................................................................... 62 Tabla 5............................................................................................................................... 64 Tabla 6............................................................................................................................... 120 Tabla 7............................................................................................................................... 121 Tabla 8............................................................................................................................... 122 Tabla 9............................................................................................................................... 128 Tabla 10............................................................................................................................. 129 Tabla 11............................................................................................................................. 129 Tabla 12............................................................................................................................. 130 Tabla 13............................................................................................................................. 134 Tabla 14............................................................................................................................. 141 Tabla 15............................................................................................................................. 141 Tabla 16............................................................................................................................. 142 Tabla 17. .......................................................................................................................... 142 Tabla 18............................................................................................................................. 143 Tabla 19............................................................................................................................. 143 Tabla 20............................................................................................................................. 144 Tabla 21............................................................................................................................. 144 Tabla 22............................................................................................................................. 145 Tabla 23............................................................................................................................. 146 Tabla 24............................................................................................................................. 147 Tabla 25............................................................................................................................. 147 Tabla 26............................................................................................................................. 148 Tabla 27............................................................................................................................. 149 Tabla 28............................................................................................................................. 150

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Prefacio Evaristo Diz, nos trae y sorprende nuevamente con un texto que recoge, como nos tiene acostumbrado, los conocimientos fundamentales en el campo de la estadística. El libro se orienta a proporcionar al lector del conocimiento básico de la estadística descriptiva, probabilidades, así como la estadística inferencial, enfocado en aquellas definiciones y temas claves a ser utilizado con mayor frecuencia. Su estructura facilita la comprensión de estos temas, por lo cual creo que sólo poseyendo algunos conocimientos básicos de matemáticas, aritmética y álgebra elemental, lo hace accesible a todo interesado en ésta importante área para su aplicación en diferentes campos. La capacidad del autor de presentar sucintamente los conceptos claves, sus expresiones matemáticas etc. se refuerzan con el desarrollo de ejemplos y ejercicios, para facilitar la comprensión absoluta de cada tema tratado, constituyendo esto un elemento valiosísimo de aporte para aquellos que se aproximan por primera vez a estos contenidos y que de una manera rápida y sencilla, sin necesidad de leer un tratado de Estadística-matemática, accedan a estos conocimientos, o si los poseen ayuda a refrescarlos de una manera muy práctica. Destaco el alcance y enfoque que hace Evaristo en el capítulo de las distribuciones de probabilidades donde en mi ejercicio docente, se observan a veces desconocimiento o falta de claridad de las mismas por parte de los estudiantes o profesionales. 13

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En su último capítulo el autor nos agrega, basado en la herramienta de Software R, programa de código abierto y gratuito, una serie de comandos para aplicación de conceptos estadísticos simples la cual se convierte en una opción adicional para el aprendizaje fundamentado en alguno de los conceptos teóricos contenidos en el libro. Esta obra es, en mi opinión, con su manera instructiva y legible capaz de proporcionar los conocimientos técnicos necesarios para resolver una gran parte de los problemas que se presentan más frecuentemente en las áreas de ciencias económicas, sociales, naturales, permitiéndole al lector abrir caminos para profundizar en la medida que la complejidad e interés se lo imponga. Caracas, 2015 Ing. Guillermo Muñoz Rojas, Msc, CRM Prof. Post-Grado Universidad Católica Andrés Bello. Caracas-Venezuela

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Presentación Este libro es una contribución más a los excelentes libros en Estadística que ya existen en el mercado; pero con una orientación muy directa y clara al conocimiento de los conceptos básicos y su aplicación inmediata. El libro está estructurado en tres partes; una primera parte muy básica o introductoria que va desde el primer capítulo hasta el séptimo. Una segunda parte constituida por los capítulos ocho y nueve donde se trata de una manera más formal el tema de inferencia estadística cubriendo Estimación y Pruebas de Hipótesis; y una tercera que son problemas resueltos en detalle (90 problemas) incluyendo el uso de lenguaje de programación en R para la solución de problemas más complejos, tanto del punto de vista del cálculo como de representación gráfica de resultados estadísticos fundamentales. En esencia el libro de texto pretende o al menos eso fue lo que se trató de hacer, dar una introducción lo más pedagógica posible a la Estadística Básica y su aplicación. Agradezco al Ingeniero Guillermo Muñoz, profesor y colega por la revisión y prólogo de este texto. Este es un libro que cubre un material para ser dictado en un semestre en cualquier carrera universitaria, tales como Administración, Economía, Industriología, Comunicaciones, etc. 15

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Introducción

1.1 DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA El concepto moderno de estadística está relacionado con la necesidad de recoger, analizar, interpretar y presentar los datos. La estadística es una ciencia con nombre propio que se deriva de las matemáticas para lograr los objetivos antes señalados. a)

Descriptiva La estadística descriptiva hace referencia a un grupo de métodos que permite describir como su propio nombre lo indica, un conjunto de datos de manera reducida y ordenada.

b) Inferencial La estadística Inferencial es la que permite llegar a conclusiones de un conjunto de datos más grande, observando una pequeña porción de ellos conocido como muestra. Más adelante veremos con mayor profundidad los detalles de los conceptos: población, muestra, entre otros, para poder abordar con éxito conclusiones creíbles.

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1.2 ESTADÍSTICA EN LOS NEGOCIOS La gerencia moderna en todas las áreas utiliza cada vez más la estadística como ciencia para la toma de decisiones sumergidas en atmósferas de gran volumen de datos e incertidumbre. La estadística es la que permite dilucidar qué tipo de datos son claves y críticos para la toma de decisiones y cuáles serían las conclusiones y consecuencias.

1.3 TIPO DE DATOS Existen dos tipos de datos sobre los cuales se puede aplicar los conceptos estadísticos a) Cualitativos Cuando las variables vienen dadas por atributos propios que las definen, como por ejemplo sexo, raza, tipo de nómina, ciudadanía, etc. b) Cuantitativos Aquellos de carácter numérico que permiten entre ellos aplicar el álgebra a todos los niveles para reducir, clasificar, predecir, a través de las operaciones matemáticas tradicionales desde las más elementales como suma o resta, hasta integraciones en varias dimensiones.

1.4 FUENTES DE DATOS La fuente de datos puede ser múltiple, si nos ubicamos en una organización pudiéramos hablar al menos de dos fuentes. Internas Colección de datos de una organización generadas internamente. Ejemplo: ventas, inventarios, nóminas, etc. Externas Fuentes externas a la organización que a su vez pueden ser de dos tipos •

Fuentes Primarias Datos publicados de primera mano por organizaciones públicas o privadas generalmente es data ordenada y reducida.

•

Fuentes Secundarias Cualquier otro tipo de datos tratados de cualquier fuente primaria; incluye los datos del primero como insumo para obtener información aguas abajo.

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Estadística descriptiva

2.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS (GRÁFICOS) Una distribución de frecuencia es un método de condensación de data. Generalmente se adopta el método tabular. a)

Datos Cualitativos Cuando las distribuciones de frecuencia hacen referencia a descubrir datos categóricos, generalmente se determinan cuantos datos caen en que categoría.

Ejemplo 1 Tabla 1. TiPO (SEXO)

nÚMERO DE ESTUDiAnTES

%

Masculino

100

2/3

Femenino

50

1/3

Total

150

100

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2.2 MODELOS DE TENDENCIA CENTRAL Una medida de tendencia central es un promedio o media. Su propósito es reducir el volumen de la data en un solo número. a) Media Aritmética Es el promedio resultante de sumar todos los valores observados de la variable y dividirlos entre el número de observaciones. La fórmula es: µ =

ΣX N

Donde: m = Media Poblacional S = Sumatorio X = Variable N = Número de Observaciones X =

SX N

Donde: X = Media Muestral X = Variable N = Número de Observaciones b) Ponderada La media ponderada es exactamente igual a aritmética pero contada con las frecuencias o pesos que se repiten en las observaciones. La fórmula es: Xw =

Swx Sw

Donde: W = Pesos asociados a cada valor observado y Sw = 1

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