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• Minako Takara Natsumi Yuri

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Estadística

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EJERCICIOS Binomial 1. Si X ~ B ( n , p )

ta. que E ( X ) = 3 y V ( X ) = 2.4 .calcular: Rp. n =15, p=0.2, Prob=0.60l98

2. Un estudiante contesta al azar (o sea sin saber nada) a 9 preguntas, siendo cada una de 4 respuestas de las cuales sólo una es la correcta. a) Determinar la distribución de probabilidades del número de preguntas contestadas correctamente. b) Si para aprobar tal examen debe contestar correctamente al menos 6 preguntas, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el examen?. Rp. a)

B{9. 0.25).

b) 0.01.

3. En una producción, la probabilidad de que un objeto sea defectuoso es 0.2. Si en una muestra de n de tales objetos escogidos al azar uno por uno, se espera que haya un defectuoso, a) calcular la probabilidad de que haya un objeto defectuoso. b) ¿cuántos objetos defectuosos es más probable que ocurra? Rp. a) /i = 5, 0.4096, b) 1.

4. El 75% de la mercadería que recibe un com erciante del fabricante A es de calidad excepcional, mientras que el 80% de la m ercadería que recibe del fabricante B es de calidad excepcional. El 60% del total de la m ercadería lo adquiere de A y el resto de B. Si se seleccionan 4 unidades de la mercadería, ¿qué probabilidad hay de que se encuentren 2 unidades que sean de calidad excepcional?. Rp. p=0.77,

X~B(4,p). />[X=2]=0.188

5. En una empresa donde los empleados son 80% hombres y 20% mujeres están aptos para jubilarse el 10% de las mujeres y el 10% de los hombres. De cinco solicitudes para jubilarse, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos estén aptos para jubilarse?. Rp. p=0.8x0.1+0.2x0.1 =0.1. 6

X ~ 8(5, 0.1). P[X > 2]=0.0815.

. La producción de cuatro máquinas es recogida en cajas de 5 unidades. La experiencia permitió establecer la siguiente distribución de las cajas, según el número de unidades defectuosas que contienen; # de unidades defectuosas Porcentaje de cajas

0 0.70

1

2

0.15

0.08

3 0.05

4 0 .0 2

La inspección diaria consiste en examinar las 5 unidades de cada caja.

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5 0.00

Distribuciones discretas

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Se acepta una caja, cuando contiene menos de dos unidades defectuosas. En caso contrario se rechaza. a) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar una caja que no contenga unidades defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar una caja que contenga tres unidades defectuosas? Rp. Sea X :# unidades defectuosas en la caja, a) X ~ B(5. 0.7), P[X>2]= 1-0.031 =0.969, b) X ~ B { 5,0.05). />[X3]=0.909.

9. Una secretaria que debe llegar a la oficina a las 8 de la mañana, se retrasa 15 minutos en el 20% de las veces. El gerente de la compañía que no llega si no hasta las 10 de la mañana llama ocasionalmente a la oficina entre las 8 y 8.15 de la mañana para dictar una carta. Calcular la probabilidad de que en 5 mañanas por lo menos en una no encuentre a la secretaria. Rp. Exito=No está de 8am a 8 .15am. X: # de éxitos de n - 5, X~B(5.0.2), f[X > l ]=0.C72.

10. Al realizar un experimento, la probabilidad de lograr el objetivo es 0.4. Si se realiza el experimento 2 0 veces bajo las mismas condiciones y asumiendo resultados independientes a) Calcular la probabilidad de lograr el objetivo por lo menos en tres de las 20 veces b) El costo de realizar el experimento es de S/.1500, si se logra el objetivo; y de S/.3000 si no se logra. Calcular el costo esperado para realizar el experimento. Rp. X.tt éxitos de n-20. éxito=lograr el objetivo, p=0.4. X~B(20.0 4), a) / >[X>3]=0.996. b) costo=1500A'+3000(20-X), £(costo|=48000

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Estadística

11. Una prueba de aptitud consta de 10 preguntas con cinco alternativas cada una, de las cuales sólo una es la correcta. La calificación se realiza de la siguiente manera: Cada pregunta correctam ente contestada vale 2 puntos. Por cada pregunta mal contestada se descuenta k puntos. a) Determine el valor de k de tal manera que la nota esperada de un alumno que responde al azar las 1 0 preguntas sea cerc b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que responde al azar las 10 preguntas , tenga una nota mayor o igual a 1 1 ?. Rp. a) X: # i)" respuestas correctas, X-fl(10, 0.2). E(X)=2, Nola=2X-15]=0.271.

13. El tiempo de duración X, en meses, de un tipo de resistencia eléctrica tiene función de densidad de probabilidad: . Í0.5e~°5*, si x Z O /(* )H [0 , en oiro caso a) ¿Cuál es la probabilidad de que una de tales resistencias eléctricas dure más de 4 meses?. b) Si se prueban 10 resistencias eléctricas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna dure más de 4 meses?. c) ¿Cuántas resistencias se probarían para que con probabilidad igual a 0.9 se tenga al menos uno que dure más de 4 meses? d) Si el costo de producción de una resistencia es: C = 2+ (3 0 - X ) 2 ¿cuánto es el valor esperado del costo? Rp. a) p=P[X>4]=e 2=0.135, b) V'-B(lO.p), / >[K=0]=(0.865),°, c) W-B(n.p), 0.9=/>[W^l], implica, (0.865)"=0.1, entonces, n=15.877sl6, d) £ (0 = 7 9 0 .

Geométrica y Pascal 14.

En cierto proceso de producción se sabe que el porcentaje de artículos defectuosos es de 0.02. Se controlan la calidad de los artículos uno por uno a) Calcular la probabilidad de que el décimo artículo probado sea el primer defectuoso encontrado. b) En promedio, ¿cuántos artículos se probarían hasta encontrar el primer defectuoso? Rp. a) 0.017, b) 1/0.02= 50.

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Distribuciones discretas

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15. Cierto virus ha invadido un colegio atacando al 5% de los niños. Si tales niños son examinados uno por uno, ¿cuál es la probabilidad de que el doceavo niño examinado sea el quinto niño encontrado atacado por el virus?. Rp. CJ'íftDSVVo.f^)7. 16. Un vendedor a domicilio estima en 0.3 la probabilidad de efectuar una venta. Suponga ventas independientes. a) En promedio, ¿cuántas visitas domiciliarias debe efectuar hasta tener 12 ventas?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se hagan al menos 10 visitas para tener 4 ventas?. R p .a ) 40.

b) l - X t = 4 C * “ , (0 .7 )* “ 4(0.3)4

17. En un proceso de producción, la probabilidad de que se produzca cada artículo que cumpla ciertas especificaciones es 0.99. En determinado momento se plantea el objetivo de producir 150 artículos que cumplan con las especificaciones; pero al mismo tiempo se decide detener el proceso de producción tan luego se produzca el primer artículo que no cumpla con las especificaciones. a) ¿Cuál es la probabilidad de lograr el objetivo?. b) Si después de producir 100 artículos aún no se ha detenido el proceso, ¿cuál sería la probabilidad de lograr el objetivo?. Rp. X: # de arlículos producidos hasta que ocurra 1er defectuoso. X~G (0.0l), *=1.2. etc.. a) P[X>150]=(0.99)150. b) />[X>150/X>100H0.99)5°.

18. Una compañía petrolera ha sido designada para perforar pozos en la amazonia peruana hasta obtener un resultado exitoso. La Compañía estima en 0.7 la probabilidad de no hallar petróleo para cada pozo que perfora. a) Suponga que la compañía petrolera cree que una serie de exploraciones será rentable si el número de pozos perforados hasta que ocurra el primer éxito es menor o igual que 5. Calcule la probabilidad de que la exploración no será rentable si ya fueron perforados 3 pozos y en ninguno de ellos se encontró petróleo. b) El costo para perforar cada pozo es de $10,000. Si un ensayo no resulta exitoso, el siguiente ensayo tiene un costo adicional de $5000. ¿Cuánto es el costo esperado del proyecto? c) Si la compañía dispone de un presupuesto de $145,000, ¿cuál es la probabilidad de que los trabajos experimentales tengan un costo que sobrepase el presupuesto de la compañía?. Rp. X = # de perforaciones hasta obtener éxito. X~C(¡i), p=0.3. a )f’[X>5/X>31=P[X>2]=(0.7)' . b) C(X) = 15,000X - 5.000. E(C(X)) = $45,000. c)/>[C(X)>I45.000]=P[X>10] =(0.7)"'

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Estadística

19. Un experimento se repite de manera independiente hasta que se obtiene el primer éxito. El costo C producido, está en función del número X de repeticiones necesarias hasta tener éxito y es dado por:

C = 200 + 5 * + 4 X 2 Se sabe que la varianza del número de repeticiones necesarias hasta obtener éxito es 40/36. Si en estas condiciones, el experimento debe ser realizado por 2 0 0 personas hasta que cada una de ellas obtenga éxito, ¿cuánto sería el costo esperado?. Rp. E(Q=200+5ETO+4E(X2)=221.2, de Var(X)=40/36=(l-pVp2, resulta p=0.6. £(X>1/0.G, V(X)=[40/36+{ 10/6)2], 200/T(Q=200x221.2=42,443.8.

20. En un lote de 15 artículos existen n que son defectuosos. Se extraen uno por uno con restitución hasta obtener el primer defectuoso. El costo total por inspección es 2* donde X es el número de artículos inspeccionados. Hallar n si el costo total esperado por inspección es $16. Rp. X~ G(p), c o n p=n/\5. De IG=£(2*)=2p/(2p- I), sale p=8/15. y n = 8.

21. Verificar que:

' T . kq k=1

ü -< 7 )2

“ k 1 Rp Derive respecto a q ambos lados de X