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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES MONOGRAFIA

“VARIABLE ALEATORIA Y PROBABILIDAD”

AUTOR: Melissa Jhenifer Maque Gutierrez CODIGO: 2011040719 DOCENTE: Ing. Humberto Espada GRUPO: A FECHA DE ENTREGA:

25/junio/2012

TACNA – PERU

1

INDICE INTRODUCCION ........................................................................................ 4 1. CONCEPTOS PREVIOS ............................................................................... 5 1.1 1.2 1.3 1.4

Probabilidad Experimento Experimentar Ensayo

2. EXPERIMENTO ........................................................................................... 6 2.1 Definición 2.2 Clasificación 2.2.1 Deterministico 2.2.2 Aleatorio 3. TEORIA DE PROBABILIDADES ....................................................................7 3.1 Definición 3.2 Suceso 3.3 Espacio Muestral 3.4 Suceso aleatorio 3.5 Otros tipos de suceso 4. VARIBLE ALEATORIA ................................................................................. 9 4.1 Definición 4.2 Variable aleatoria discreta 4.3 Variable aleatoria continua 4.4 Construcción de una variable aleatoria 5. PROBABILIDAD......................................................................................... 11 5.1 Definición 5.2 Objetivos y Valor de la Probabilidad 6. ENFORUES DE LA PROBABILIDAD ............................................................12 6.1 Enfoque de frecuencia relativa 6.2 Enfoque clásico 6.3 Enfoque subjetivo 7. FUNCIONES DE PROBABILIDAD.................................................................13 7.1 Definición 7.2 Función de Masa 7.3 Función de densidad 7.4 Distribuciones de una variable 8. DISTRIBUCION BINOMIAL ....................................................................... 16 8.1 Definición 8.2 Función matemática 8.3 Aplicación 9. DISTRIBUCION DE POISSON .................................................................... 17 9.1 Definición 2

9.2 Función matemática 9.3 Aplicación 10. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD ................................ 19 10.1 Definición 10.2 Propósito 10.3 Función matemática 11. DISTRIBUCION NORMAL......................................................................... 20 11.1 Definición 11.2 Características 11.3 Función matemática 11.4 Tablas de Z 12. DISTRIBUCIONES T STUDENT ............................................................... 23 12.1 Origen 12.2 Propósito 12.3 Diferencias entre la distribución T y normal 12.4 Variable T 12.5 Función de distribución T Student 12.6 Tablas de Distribución 12.7 Aplicación 13. PRUEBA DE HIPOTESIS ......................................................................... 28 13.1 Conceptos Previos 13.2 Definición 13.3 Procedimiento para la prueba de hipótesis 14. PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA MEDIA ................................................. 35 14.1 Definición 14.2 Procedimiento para la prueba de hipótesis de una media 15. PRUEBA DE HIPOTESIS DE DIFERENCIAS DE MEDIAS ............................ 39 15.1 Definición 15.2 Procedimiento para la prueba de hipótesis 16. PRUEBA DE HIPOTESIS DE PROPORCION DE UNA MUESTRA.................. 41 16.1 Definición 16.2 Procedimiento 17. PRUEBA DE HIPOTESIS DE PROPORCION DE DOS MUESTRAS ............... 43 16.1 Definición 16.2 Procedimiento 16.3 Aplicación CONCLUSIONES ......................................................................................... 44 BIBLIOGRAFIA .............................................................................................. 45

3

INTRODUCCION

En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Debido al importante papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística, es necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el objetivo del presente documento. Comienza con una motivación sobre la incertidumbre y los distintos grados de incertidumbre, relacionándolos de manera intuitiva con

los

enfoques

más

tradicionales

para

asignar

probabilidades.

Posteriormente, se introduce el sentido de la probabilidad en términos de experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos, etc., llegando a la formalización axiomática de la probabilidad y sus principales propiedades, junto con las expresiones de la probabilidad condicionada y los teoremas de la probabilidad compuesta o del producto, de la probabilidad total. Esta lección tiene los siguientes objetivos: Familiarizar al lector con experiencias de la vida cotidiana en las que interviene el azar comprender los enfoques de la probabilidad más usuales así como sus peculiaridades, ventajas e inconvenientes así como manejar el lenguaje de la probabilidad, sus propiedades y aplicarlo a problemas concretos.

“VARIABLE ALEATORIA Y PROBABILIDAD”

TEMA1: CONCEPTOS PREVIOS: 4

1.1 Probabilidad: Es una medición numérica que va de 0 a 1, es decir la posibilidad de que un evento ocurra. Si da cerca de 0 es improbable que ocurra el evento y si da cerca de uno es casi seguro que ocurra. Se usa en áreas como: estadística, Física, matemática, la ciencia y la filosofía. La probabilidad saca conclusiones sobre probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos. 1.2 Experimento: Es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar (confirmar o verificar) una o varias hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno, mediante la manipulación y el estudio de las correlaciones de las variables que presumiblemente son su causa. mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 1.3 Experimentar: Probar, comprobar características y propiedades del objeto estudiado. Por ejemplo: probar un tipo de material en una construcción, ver si cumple con las características y propiedades adecuadas. mmmmmmmmmmmmmmmmmm 1.4 Ensayo: En un experimento se consideran todas las variables relevantes que intervienen en el fenómeno, mediante la manipulación de las que presumiblemente son su causa, el control de las variables extrañas y la aleatorización de las restantes. Estos procedimientos pueden variar mucho según las disciplinas (no es igual en Física que en Psicología, por ejemplo), pero persiguen el mismo objetivo: excluir explicaciones alternativas en la explicación de los resultados. Este aspecto se conoce como validez interna del experimento, la cual aumenta cuando el experimento es replicado por otros investigadores y se obtienen los mismos resultados. Cada repetición del experimento se llama prueba o ensayo.

TEMA 2: EXPERIMENTO 2.1 Definición: Es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar 5

(confirmar o verificar) una o varias hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno. 2.2 Clasificación de los experimentos: 2.2.1 Determinístico: Se denominan experimentos deterministas aquellos que realizados de una misma forma y con las mismas condiciones iniciales, ofrecen siempre el mismo resultado. Como ejemplo, tenemos que un objeto de cualquier masa partiendo de un estado inicial de reposo, y dejado caer al vacío desde una torre, llega siempre al suelo con la misma velocidad.

2.2.2 Aleatorio: Cuando en un experimento no se puede predecir el resultado final, hablamos de experimento aleatorio. Este es el caso cuando lanzamos un dado y observamos su resultado. En los experimentos aleatorios se observa que cuando el número de experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso

f n ( e )=

numero de ocurrencias de e n

Tienden a converger hacia cierta cantidad que denominamos probabilidad de e.

Pro [ e ] =lim fn(e) n →∞

Para poder diferenciar ambas clases de experimentos mostraremos otros ejemplos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Lanzar un dado Encender una vela Marcar el 82-10-55 Lanzar una moneda Lanzar una nuez a una ardilla Tomar un taxi a la Universidad

ALEATORIO DETERMINISTICO DETERMINISTICO ALEATORIO ALEATORIO DETERMINISTICO

TEMA 3: TEORIA DE PROBABILIDADES 3.1 Definición: 6

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones: 3.1.1 Suceso Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria - Al lanzar una moneda se obtenga 2 posibles resultados. -

Al lanzar un dado se obtenga 4 posible resultados.

3.1.2 Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). o

Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

o

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3.1.3 Suceso aleatorio Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5. Ejemplo Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular: 1. El espacio muestral. E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)} 2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = {(b, b, b); (n, n, n)} 3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}. B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)} 4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}. C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)} 3.1.4 Otros tipos de Sucesos

7

o

Suceso elemental: Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.

o

Suceso compuesto: Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

o

Suceso seguro: Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

o

Suceso imposible: Suceso imposible, ningún elemento.

, es el que no tiene

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7. o

Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

o

Sucesos incompatibles: Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

o

Sucesos independientes: A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Al lazar dos dados los resultados son independientes.

o

Sucesos dependientes: Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

o

Suceso contrario: El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por

.

Ejemplo: son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

8

TEMA 4: VARIABLE ALEATORIA 4.1 Definición: Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. Se utilizan letras mayúsculas (X, Y, ...) para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas. 4.2 Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros. En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x) se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad. Ejemplo: El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado. 4.3 Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplo: La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila. 4.4 Construcción de una variable aleatoria Para la construcción de una variable aleatoria usaremos un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1. Ejemplos: Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de: 9

1º Seleccionar tres niños.

2º Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

3º Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

4º Seleccionar tres niñas.

TEMA 5: PROBABILIDAD 5.1 Probabilidad: 10

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) y luego al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos. La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que un hecho o condición se produzcan. La probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se obtiene un resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de estabilidad que el contexto supone de antemano.

5.2 Objetivos y valor de la probabilidad: El objetivo fundamental de la probabilidad, es la de mostrar al alumno la importancia y utilidad del Método Estadístico en el ámbito económicoempresarial. Con tal fin, el alumno deberá aprender a manejar los métodos y técnicas más adecuadas para el correcto tratamiento y análisis de la información proporcionada por los datos que genera la actividad económica. Para ello se comienza afianzando los conocimientos que el alumno ya posee de Estadística Descriptiva, además de algunos conceptos nuevos relacionados con este tema.

5.3 El valor de la probabilidad El valor más pequeño que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor mayor es 1, que indica que el evento ciertamente ocurrirá. Entonces si decimos que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A y P(A´ ) la probabilidad de no-ocurrencia de A, tenemos que:

TEMA 6: ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD

Debido a que hay tres enfoques de probabilidad se tiene diferentes conceptos de probabilidad.

11

6.1) Enfoque de frecuencia relativa: Número de veces que se repite o se presenta un evento. Ejemplo: el equipo A ->> gana 60 de 100 partidos al equipo B el equipo B ->> gana 40 de 100 partidos al equipo A 6.2) Enfoque clásico: Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:

El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada resultado sea igualmente posible. Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, (en caso de que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra Ejemplo: Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. La probabilidad de sacar una piedra roja en un intento es:

6.3) Enfoque subjetivo: Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

TEMA 7: FUNCIONES DE PROBABILIDAD 7.1 Definición: Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de x i de la variable su probabilidad pi. 12

0 ≤ pi ≤ 1 p1 + p 2 + p 3 + · · · + p n = Σ p i = 1 Ejemplo Calcular la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

x

p

i

1

2

3

4

5

6

Representación La representación de una distribución discreta de probabilidad es un diagrama de barras. Para simplificar el cálculo de probabilidad utilizando la variable aleatoria se han creado las funciones de probabilidades que son llamados: -

Función de Masa (cuantía)

-

Función de densidad

7.2 Función de Masa (Cuantía) 13

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x. Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución: 

Es una función continua por la derecha.



Es una función monótona no decreciente.

Para dos números reales cualesquiera y suceso

y

tal que,

los sucesos

son mutuamente excluyentes y su unión es el , por lo que tenemos entonces que:

P ( X ≤ b )=P ( X ≤a )+ P (a< X ≤ b) P ( a< X ≤ b )=P ( X ≤ b ) + P( X ≤ a) Y tenemos finalmente que:

P ( a< X ≤ b )=F ( b )−F (a) Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F(x) para todos los valores de la variable aleatoria “x” conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable. 7.2 Función de Densidad En teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua es una función, usualmente denominada f(x) que describe la densidad de la probabilidad en cada punto del espacio de tal manera que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la integral de la función de densidad sobre dicho conjunto. Una función de densidad de probabilidad es una función f cuyo dominio es un intervalo (a b) y que tiene las siguientes propiedades: 14

(a) (b) ab

f(x)

0 por toda x

f(x) dx =1

Permitimos que sea infinita a, b, de modo que la integral in (b) sería impropia. Calculación de probabilidad:

probabilidad

por

una

función

de

densidad

de

Una variable aleatoria continua X admite una función de densidad de probabilidad f si, por toda c y d,

P(c X d)=

cdf(x) dx

Ejemplo: Sea f(x)=2x2 en el intervalo [a b]=[1 2] Entonces propiedad (a) se aplique, pues es positiva 2x2 en el intervalo [1 2] Para propiedad (b),

abf(x) dx=

122x2 dx= [−x2]21=−1+2=1

Si X admite esta función de densidad de probabilidad, entonces P(1 5 X 2) = 1/3 En situaciones prácticas, la FDP utilizada se elige entre un número relativamente pequeño de FDP comunes, y la labor estadística principal consiste en estimar sus parámetros. Por lo tanto, a los efectos de los inventarios, es necesario saber qué FDP se ha utilizado e indicarlo en la documentación de evaluación de la incertidumbre. 7.3 Distribuciones de variable discreta más importantes Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:  Distribución binomial  Distribución binomial negativa  Distribución Poisson  Distribución geométrica  Distribución hipergeométrica  Distribución de Bernoulli

15

TEMA 8: DISTRIBUCION BINOMIAL 8.1 Definición La distribución binomial es una distribución de probabilidades que surge al cumplirse cinco condiciones: o o o

Solo dos posibles resultados Se conoce el valor de o(probabilidad del evento) N= número de ensayos

Cuando se cumple estas condiciones, la distribución binomial proporciona cada resultado posible de los N ensayos y la probabilidad de obtener cada uno de estos resultados. 8.2 Funcion matemática: Para este tipo de distribución de probabilidad, la función matemática es la siguiente:

()

P [ x=k ] = n p k q n−k k

k= N° de Éxitos n= N° de Ensayos P=Probabilidad de éxito q= Probabilidad de fracaso (q=1-p) Coeficiente Binomial

n! (nk)= k ! (n−k )!

8.3 Aplicación Suponga que un jefe de almacén desea comprar bolsas de cemento a una fábrica. El representante de la fábrica que de 1500 bolsas 12 son falladlas. Se desea hallar la probabilidad de que de un lote de 200 bolsas 12 estén falladas. Datos:

16

P= 12/1500 n= 200 k=12 Operación

n! (nk)= k ! (n−k )! 200 ! = (200 12 ) 12! (200−12)! =610769367224747640 0 (200 12 )

()

P [ x=k ] = n p k q n−k k 12 P [ x=12 ]= 200 12 1500

12

( )( ) (

12 1− 1500

200−12

)

P [ x=12 ]=9.27153 E−08

TEMA 9: DISTRIBUCION DE POISSON 9.1 Definición: En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo. Se dice que existe un proceso de Poisson si podemos observar eventos discretos en un área de oportunidad – un intervalo continuo (de tiempo, longitud, superficie, etc.) – de tal manera que si se reduce lo suficiente el área de oportunidad o el intervalo: 1.La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es constante. 2.La probabilidad de obtener más de un éxito en el intervalo es 0. 3.La probabilidad de observar un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente de la de cualquier otro intervalo. 17

9.2. Función matemática La expresión matemática para la distribución de Poisson para obtener X éxitos, dado que se esperan l éxitos es:

λt ¿ ¿ ¿k e−λt ¿ P[ x=k ]¿

Donde: o k = es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función

nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces). o Λ = es un parámetro positivo que representa el número de veces que

se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40. o E = es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...) o t numero de periodos

9.3 Aplicación Esta distribución se aplica en situaciones como en la salud para calcular: o o o o

El número de pacientes que llegan al servicio de emergencia de un hospital en un intervalo de tiempo. El numero de radiaciones radiactivas que se recibe en un lapso de tiempo, El número de glóbulos blancos que se cuentan en una muestra dada. El número de partos triples por año

Ejemplo1: Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son muy inteligentes. Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.

18

n = 100 P = 0.03 λ = 100 * 0.03 = 3 x=5 e = 2.718281828 Usando la formula de Poisson:

λt ¿ ¿ ¿k e−λt ¿ P[ x=k ]¿

TEAM 10: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD 10.1 Definición: Sea una variable aleatoria continua en función de la densidad puede presentar: o o o

Distribución normal Distribución normal estándar Distribución t-student

10.2 Propósito: El propósito de las distribuciones continuas de probabilidad es calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento o experimento aleatorio. 10.3 Función Matemática En teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por

La definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P[X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad 19

de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua. En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

Mientras que en una distribución de probabilidad discreta un suceso con probabilidad cero es imposible, no se da el caso en una variable aleatoria continua. Por ejemplo, si se mide la anchura de una hoja de roble, el resultado 3,5 cm es posible, pero tiene probabilidad cero porque hay infinitos valores posibles entre 3 cm y 4 cm. Cada uno de esos valores individuales tiene probabilidad cero, aunque la probabilidad de ese intervalo no lo es. Esta aparente paradoja se resuelve por el hecho de que la probabilidad de que X tome algún valor en un conjunto infinito como un intervalo, no puede calcularse mediante la adición simple de probabilidades de valores individuales. Formalmente, cada valor tiene una probabilidad infinitesimal que estadísticamente equivale a cero.

TEMA 11: DISTRIBUCION NORMAL 11.1 Definición Se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

20

11.2 Características: o

Una distribución normal es simétrica y tiene forma de campana, con parámetros y.

o

La media, divide al área en dos mitades, pues se localiza en el centro, coincidiendo con el modo y la mediana.

o

El área por debajo de la curva y sobre el eje de las x es la unidad en términos de probabilidad. En teoría la distribución se extiende desde -" a +" a lo largo del eje de las abscisas. Esto significa que una variable X ~ N, puede tomar cualquier valor, ya sea grande o pequeño, aunque los valores alejados de ± 3, son poco probables.

o

Un cambio en el valor de desplaza la distribución a la derecha o a la izquierda. Un cambio en el valor de altera su forma, sin moverla de izquierda a derecha.

11.3 Función matemática Sea X una VA continua, se dice que está distribuida normalmente con media “u” y variancia δ2 con una función de densidad.

1 f ( x)   2

e

1  x  2    2  

Así: x

1 P[ x  k ]   0  2

1  x  2    2  

e

dx

21

Dado que calcular la probabilidad con esta fórmula es un tanto complejo se simplifica “ESTANDARIZANDO” la función función NORMAL ESTANDAR.

Z

X    TRANSFORMACION

f ( z) 

1 2



e

Z2 2

Para hallar la PROBABILIDAD se requiere:

P[a  x  b]  [transformacionZ ] 

1 2

b



e

z2 2

dx

a

Como sigue siendo complejo se recurre a las tablas:

11.4 TABLAS DE Z: Existen 2 tipos de básicos de TABLA Z

11.4.1TABLA ACUMULADA

22

11.4.1TABLA PARCIAL

23

TEMA 11:

DISTRIBUCION T STUDENT 11.1 ORIGEN: Es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. 11.2 PROPOSITO La prueba t de Student se basa en el cálculo variables: el número de observaciones, la media y la desviación típica en cada grupo. A través de estos estadísticos previos se calcula el estadístico de contraste experimental.

24

Es decir sirve para la determinación de las diferencias entre las dos medias maestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones. 11.3 DIFERENCIAS ENTRE LA DISTRIBUCION NORMAL T Y NORMAL La diferencia es que la distribución normal tiene un comportamiento de parabólica invertido. El área debajo de la curva es uno, y si se divide en las dos áreas que hay miden 0.5. Se utiliza para muestras que son muy grandes y cuando la población es representativa. La t Student tiene un comportamiento similar solamente que nos permite utilizarla para muestras menores de 30 personas y tiene una semiamplitud mayor a la normal porque la muestra al ser más pequeña no es tan representativa como en la normal.

Distribución normal Distribución T Student

Distribución T de Student Distribución Normal

En esta presentación se podrá ver la relación que existe entre la distribución normal y la T-Student 11.4 VARIABLE T Una variable aleatoria, es decir una función que asigna un valor numérico a cada uno de los resultados de una experiencia aleatoria, se distribuye según el modelo de probabilidad t o T de Student con k 25

grados de libertad, donde k es un entero positivo, si su función de densidad es la siguiente:

Donde el parámetro n de distribución.

, se denomina grados de libertad de la

La distribución t de Student existe para todos los valores de x reales, y es simétrica respecto al eje y. 11.5 FUNCION DE DISTRIBUCION T STUDENT Es una función de densidad que se obtiene transformando la distribución normal mediante la variable T=

t

  s n

En donde la comprobación de las hipótesis toman el valor con:

K1   

s s  t (1 ) K 2     n n t (1 )

Tomando el nuevo valor de t , la formula general queda como:

11.6 TABLAS DE DISTRIBUCION 26

11.6.1 TABLA DE DISTRIBUCION ACUMULADA

11.6.2 TABLA DE DISTRIBUCION PARCIAL

27

11.7 Aplicación Aplicación a la ingeniería civil La empresa Spiaggia ha tenido una buena recepción en el mercado de Radio Transmisores, con una cantidad de 12 ensambladores especializados de alta capacitación técnica de los cuales se escogieron al azar 6 trabajadores obteniendo una producción unitaria diaria: 21-3032-30-25-33, unidades diarias. Por su buena recepción en el mercado la gerencia desea implantar una maquinaria que mejoraría la productividad de cada trabajador en un máximo de 30 unidades diarias Para un nivel de significación del 5%. Verifique si sería buena decisión implantar nuevas maquinarias en esta empresa.

x  28,5 DATOS:

28

  30   0.,05

n=6 s=4,593 Tenemos que:

H

0

   30

Utilizamos la formula anteriormente vista para aceptar o rechazar la hipótesis:

K1   

K1  30 

s n

 t (1 )

4.953  6 t ( 50,95) En

donde

reemplazando

por

los

valores

obtendremos:

=25,925

t

  s n Reemplazando en:

t

28,5  30 4,593 6 Obtenemos: 29

= -2.38

En la gráfica descriptiva vemos lo siguiente:

El promedio se encuentra en la región de rechazo por lo tanto se afirma que esta nueva maquinaria que se pensaba implantar no mejorara la productividad en un máximo de 30 unidades por trabajador con un 5% de significancia. Por lo tanto se rechaza H.

TEMA12: PRUEBA DE HIPOTESIS 12.1 CONCEPTOS PREVIOS 12.1.1 Prueba (Comprobación) Una prueba es un hecho conjeturado por alguna teoría cuya presencia o ausencia solo es compatible con determinada teoría científica. Así las pruebas permiten discriminar qué teorías científicas pueden dar cuenta adecuadamente de cierto conjunto de hechos y cuáles no. 12.1.2 Hipótesis (Supuesto) Son suposiciones que relacionan una variable con otra y que serán probadas a través de la investigación, con el fin de ser aceptadas o rechazadas por medio de los resultados obtenidos. 12.1.3Hipótesis estadística.Es un supuesto acerca de un parámetro o de un valor estadístico de una población. Una Hipótesis Estadística, también puede considerarse, como la afirmación acerca de una característica de una población 30

sobre la cual hay inseguridad en el momento de formularla y que, a la vez, es expresada de tal forma que puede ser rechazada. Requiere

suponer

sobre

un

parámetro

estadístico,

tal

como

2

μ , σ , σ , Me , Mo , etc

12.2 DEFINICIÓN DE PRUEBA DE HIPÓTESIS Una prueba de hipótesis es una herramienta de análisis de datos que puede en general formar parte de un experimento comparativo más completo. Se emplea para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable. Consiste en verificar o comprobar si una hipótesis estadística es verdadera o falsa. Ejemplo: suponer que la talla de las alumnas de ingeniería civil es 1.58 y de alumnos es de 1.70

12.3 PROCEDIMIENTO PARA LA PRUEBA DE HIPOTESIS

1. PASO: PLANTEAMIENTO DE LA HIPÓTESIS Para este fin se plantea: La hipótesis nula (Ho) se refiere siempre a un valor especificado del parámetro de población, no a una estadística de muestra. La letra H significa hipótesis y el subíndice cero no hay diferencia. Por lo general hay un "no" en la hipótesis nula que indica que "no hay cambio" Podemos rechazar o aceptar Ho. La hipótesis alternativa (H1) es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula. Es una afirmación que se acepta si los datos maestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa. Se le conoce también como la hipótesis de investigación. El planteamiento de la hipótesis alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.

31

2. PASO: NIVEL DE SIGNIFICACIÓN Nivel de significación es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra griega α, también es denominada como nivel de riesgo, este término es más adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es verdadera. Este nivel está bajo el control de la persona que realiza la prueba. Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 1.05 o menos. Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuera de área de aceptación. El nivel de confianza (1-α), indica la probabilidad de aceptar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población.

La distribución de muestreo de la estadística de prueba se divide en dos regiones, una región de rechazo (conocida como región crítica) y una región de no rechazo (aceptación). Si la estadística de prueba cae dentro de la región de aceptación, no se puede rechazar la hipótesis nula.

2.1 Tipos de errores 32

Cualquiera sea la decisión tomada a partir de una prueba de hipótesis, ya sea de aceptación del Ho o de la Ha, puede incurrirse en error: Error de tipo I: Se presenta si la hipótesis nula Ho es rechazada cuando es verdadera y debía ser aceptada. La probabilidad de cometer un error tipo I se denomina con la letra alfa α Error de tipo II: Se denota con la letra griega β se presenta si la hipótesis nula es aceptada cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada. En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión equivocada. En la siguiente tabla se muestran las decisiones que pueden tomar el investigador y las consecuencias posibles.

33

Para que cualquier ensayo de hipótesis sea bueno, debe diseñarse de forma que minimice los errores de decisión. En la práctica un tipo de error puede tener más importancia que el otro, y así se tiene a conseguir poner una limitación al error de mayor importancia. La única forma de reducir ambos tipos de errores es incrementar el tamaño de la muestra, lo cual puede ser o no ser posible.

3. PASO: ESTADISTICO DE LA PRUEBA Valor determinado a partir de la información muestral, que se utiliza para determinar si se rechaza la hipótesis nula., existen muchos estadísticos de prueba para nuestro caso utilizaremos los estadísticos z y t. La elección de uno de estos depende de la cantidad de muestras que se toman, si las muestras son de la prueba son iguales a 30 o más se utiliza el estadístico z, en caso contrario se utiliza el estadístico t. 3.1 Tipos de prueba a) Prueba bilateral o de dos extremos: la hipótesis planteada se formula con la igualdad. Ejemplo H0 : µ = 200 H1 : µ ≠ 200

34

b) Pruebas unilateral o de un extremo: la hipótesis planteada se formula con ≥ o ≤ H0 : µ ≥ 200 H0 : µ ≤ 200 H1 : µ < 200 H1 : µ > 200

En las pruebas de hipótesis para la media (μ), cuando se conoce la desviación estándar (σ) poblacional, o cuando el valor de la muestra es grande (30 o más), el valor estadístico de prueba es z y se determina a partir de:

El valor estadístico z, para muestra grande y desviación estándar poblacional desconocida se determina por la ecuación:

En la prueba para una media poblacional con muestra pequeña y desviación estándar poblacional desconocida se utiliza el valor estadístico t.

4. PASO: REGIONES CRITICAS Se establece las condiciones específicas en la que se rechaza la hipótesis nula y las condiciones en que no se rechaza la hipótesis nula. La región de rechazo define la ubicación de todos los valores 35

que son tan grandes o tan pequeños, que la probabilidad de que se presenten bajo la suposición de que la hipótesis nula es verdadera, es muy remota.

Distribución muestral del valor estadístico z, con prueba de una cola a la derecha Valor crítico: Es el punto de división entre la región en la que se rechaza la hipótesis nula y la región en la que no se rechaza la hipótesis nula. 5. PASO: TOMAR LA DECISION Tomar la decisión. Se compara el valor observado de la estadística muestral con el valor (o valores) críticos de la estadística de prueba. Después se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Si se rechaza ésta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisión tendrá efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estándar de desempeño o cuál de dos estrategias de mercadotecnia utilizar.

36

La distribución apropiada de la prueba estadística se divide en dos regiones: una región de rechazo y una de no rechazo. Si la prueba estadística cae en esta última región no se puede rechazar la hipótesis nula y se llega a la conclusión de que el proceso funciona correctamente. Al tomar la decisión con respecto a la hipótesis nula, se debe determinar el valor crítico en la distribución estadística que divide la región del rechazo (en la cual la hipótesis nula no se puede rechazar) de la región de rechazo. A hora bien el valor crítico depende del tamaño de la región de rechazo.

TEMA13: PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA MEDIA 13.1 DEFINICION Consiste en elaborar una prueba de hipótesis para comparar el valor de la medida de una muestra con el de la población donde extrajo la muestra. (Fuente: Cuaderno) Las pruebas de hipótesis para la media se basan en el estadístico dado por la media muestral cuya distribución tiende a la distribución normal (m, s /n) para muestras grandes. El promedio aritmético poblacional es un indicador muy importante, por lo tanto, frecuentemente se desea probar si dicho promedio ha permanecido igual, ha aumentado o ha disminuido. A través de la

prueba

de

hipótesis

se

determina

si

la

media

poblacional

es

significativamente mayor o menor que algún valor supuesto. (Fuente: web_ http://www.mitecnologico.com/Main/PruebaHipotesisParaMedia) 13.2 PROCEDIMIENTO PARA UNA PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA MEDIA

Población = N

37

u

´x

Muestra

Comparamos:

{}

¿ ´x ¿¿ ≠

u

13.2.1 PASOS DE LA PRUEBA:

1. PASO: PLANTEAR LA HIPÓTESIS

Ho: ´x =u

{}

¿ ´x ¿ =u ≠

2. PASO: NIVEL DE SIGNIFICACIÓN Nivel de significación es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra griega α. Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 1% 38

α = 5%, 1%

Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuera de área de aceptación. El nivel de confianza (1-α), indica la probabilidad de aceptar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población. 3. PASO: ESTADÍSTICO DE PRUEBA

Si n x´ 2 ´x 1 ≠ ´x2

2. PASO: NIVEL DE SIGNIFICACION

∝=5 , 1 3. PASO: ESTADISTICO DE PRUEBA Si n1, n2 < 30  t Si n1, n2 > 30  z 3.1) ESTADÍSTICO CALCULADO Si n1, n2 < 30  t

t c=

n 1+ n2−2 ¿ n 1 n2 ¿ ¿ ´x 1−´x 2

√ ( ´x −1 ) s

2

1

1

+ ( ´x1 −1 ) s 22

√¿

Si n1, n2 < 30  t

Z c=

( ´x 1−´x 2 )−(u1−u2 )

√

2

2

σ1 σ1 + n1 n1

3.2) ESTADÍSTICO TABULADO tt: con (n-1)gl Zt: 4. PASO: REGIONES CRITICAS 42

Unilateral Derecha

Tt o Zt Unilateral Izquierda

-Tt o -Zt

Bilateral

- Tt o - Zt

Tt o Zt

5. PASO: DECISION 5.1 MATEMÁTICAMENTE Mediante el desarrollo de las fórmulas matemáticas de obtienen los resultados 5.2 INTERPRETACION Según los resultados obtenidos, se decide si se acepta o rechaza las hipótesis tanto hipótesis nula como la alternante.

TEMA 15: PRUEBA DE HIPOTESIS DE PROPORCION DE UNA MUESTRA

15.1 DEFINICION Las pruebas de proporciones son adecuadas cuando los datos que se están analizando constan de cuentas o frecuencias de elementos de dos o más clases. El objetivo de estas pruebas es evaluar las afirmaciones 43

con respecto a una proporción (o Porcentaje) de población. Las pruebas se basan en la premisa de que una proporción muestral (es decir, x ocurrencias en n observaciones, o x/n) será igual a la proporción verdadera de la población si se toman márgenes o tolerancias para la variabilidad muestral. Las pruebas suelen enfocarse en la diferencia entre un número esperado de ocurrencias, suponiendo que una afirmación es verdadera, y el número observado realmente. La diferencia se compara con la variabilidad prescrita mediante una distribución de muestreo que tiene como base el supuesto de que es realmente verdadera. En muchos aspectos, las pruebas de proporciones se parecen a las pruebas de medias, excepto que, en el caso de las primeras, los datos muestrales se consideran como cuentas en lugar de como mediciones. Por ejemplo, las pruebas para medias y proporciones se pueden utilizar para evaluar afirmaciones con respecto a: 1) Un parámetro de población único (prueba de una muestra) 2) La igualdad de parámetros de dos poblaciones (prueba de dos muestras), y 3) La igualdad de parámetros de más de dos poblaciones (prueba de k muestras). Además, para tamaños grandes de muestras, la distribución de muestreo adecuada para pruebas de proporciones de una y dos muestras es aproximadamente normal, justo como sucede en el caso de pruebas de medias de una y dos muestras. 15.2 FUNCION MATEMATICA Cuando el objetivo del muestreo es evaluar la validez de una afirmación con respecto a la proporción de una población, es adecuado utilizar una prueba de una muestra. La metodología de prueba depende de si el número de observaciones de la muestra es grande o pequeño. Como se habrá observado anteriormente, las pruebas de grandes muestras de medias y proporciones son bastante semejantes. De este modo, los valores estadísticos de prueba miden la desviación de un valor estadístico de muestra a partir de un valor propuesto. Y ambas pruebas se basan en la distribución normal estándar para valores críticos. Quizá la única diferencia real entre las ambas radica en la forma corno se obtiene la desviación estándar de la distribución de muestreo.

Esta prueba comprende el cálculo del valor estadístico de prueba Z

44

Posteriormente este valor es comparado con el valor de Z, obtenido a partir de una tabla normal a un nivel de significación seleccionado. Como ocurrió con la prueba de medias de una muestra, las pruebas de proporciones pueden ser de una o dos colas.

La primera alternativa establece una prueba de cola derecha, la segunda, izquierda y la tercera, una prueba de dos colas.

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TEMA 16: PRUEBA DE HIPOTESIS DE PROPORCION DE DOS MUESTRAS

16.1 DEFINICION: El objetivo de una prueba de dos muestras es determinar si las dos muestras independientes fueron tomadas de dos poblaciones, las cuales presentan la misma proporción de elementos con determinada característica. La prueba se concentra en la diferencia relativa (diferencia dividida entre la desviación estándar de la distribución de muestreo) entre las dos proporciones muestrales. 16.2 PROCEDIMIENTO: La hipótesis nula en una prueba de dos muestras es

16.3 APLICACION Se ponen a prueba la enseñanza de la Estadística empleando Excel y Winstats. Para determinar si los estudiantes difieren en términos de estar a favor de la nueva enseñanza se toma una muestra de 20 estudiantes de dos paralelos. De paralelo A 18 están a favor, en tanto que del paralelo B están a favor 14. ¿Es posible concluir con un nivel de significación de 0,05 que los estudiantes que están a favor de la nueva enseñanza de la Estadística es la 46

misma en los dos paralelos? Como esta pueden existir otros tipos de problemas en los que tenga que usar la prueba de hipótesis de una proporción CONCLUSIONES o

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables los problemas de probabilidad proporcionan una fuente interesante para que pensemos un poco más allá de nuestro sentido común, y unido a las estadística nos permite hacer la llamada inferencia estadística.

o

En la ingeniería la estadística ocupa un lugar fundamental ya que tiene como objetivos proporcionar el lenguaje, los métodos y procedimientos básicos en la investigación al ingeniero, por lo que se le hace indispensable ya que le servirá de mucha ayuda en la solución de problemas en su campo de trabajo.

o

En nuestra sociedad el estudio de la probabilidad cumple un papel importante ya que la Probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades que un hecho o condición se produzca. Gracias a esta los seres humanos podemos anticiparnos a que algún suceso potencial ocurran finalmente.

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BIBLIOGRAFIA

-

“Estadistica Basica en administración”, Mark L. Berenson, David M. Levine, 1996 “Estadsitica General Aplicada”, Francisco Javier Tejedor, Juan E. Murgiondo, 2006 “Estadistica y Probabilidades”, Moisés Lázaro Cuaderno del Curso de Estadistica y Probabilidades, Universidad Privada de Tacna, III ciclo Informes de Laboratorio del Curso de Estadistica y Probabilidades, Universidad Privada de Tacna, III ciclo

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