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CONCURSO DE ESTRUCTURAS

OBJETIVO: Diseñar una armadura Pratt de acero para soportar tres cargas de 10 kips, como se muestra en la figura:

REQUISITOS:  La longitud de la armadura debe ser de 40 ft.  La altura de la armadura, y por ende el ángulo , así como las áreas de las secciones transversales de los diferentes elementos, deben seleccionarse para obtener el diseño más económico.

 El área de la sección transversal de cada elemento se debe elegir de manera que el esfuerzo (fuerza dividida entre el área) en ese elemento sea igual a 20 kips/in.2

 El esfuerzo permisible para el acero utilizado, el peso total del acero y, por tanto, su costo, deben ser tan pequeños como sea posible.

PROCEDIMIENTO:  a) Si se sabe que el peso específico del acero usado es de 0.284 lb/in3, utilice software para calcular el peso de la armadura y el área de la sección transversal de cada elemento que soporta carga, para valores de que van de 20° a 80° con incrementos de 5°  b) Utilice incrementos más pequeños y adecuados para determinar el valor óptimo de y los valores correspondientes del peso de la armadura y de las áreas de las secciones transversales de los diferentes elementos.

 c) Muestre en una tabla el ángulo que determino y el peso calculado de la estructura. SOLUCION Teniendo en cuenta los requerimientos del concurso, se procede en primer lugar a solucionar la armadura de la siguiente forma: B

D

F Hy

Ay

Ax

A

H C

E

G

1. Calculo de fuerzas: Desarrollamos la armadura con el método de los Nodos: 

Calculamos la sumatoria de momentos respecto al Nodo A. ∑ 𝑀𝐴 = −𝑀𝐶 (10) −𝑀𝐹 (20)−𝑀𝐺 (30)+𝑀𝐻𝑌 (40) ∑ 𝑀𝐴 = −10(10) − 10(20) − 10(30)+𝐻𝑌 (40) ∑ 𝑀𝐴 = −100 − 200 − 300 + 𝐻𝑌 (40) 𝐻𝑌 =

600 = 15 40



Calculamos la sumatoria de fuerzas respecto al Nodo H: ∑ 𝐹𝑦 = 𝐻𝑦 − 𝐻𝐹 sen( 𝜃) = 0 ∑ 𝐹𝑥 = 𝐻𝐺 + 𝐻𝐹 cos( 𝜃) = 0 Despejamos: 𝐻𝐹 =

𝐻𝑦 sen( 𝜃)

𝐻𝐹 =

15 sen( 𝜃)

HF está a compresión 𝐻𝐺 = −𝐻𝐹 cos( 𝜃) 𝐻𝐺 = −

15 cos( 𝜃) = − 15cot(𝜃) sen( 𝜃) HG está a tensión.



Calculamos la sumatoria de fuerzas respecto al Nodo G: ∑ 𝐹𝑦 = 𝐺𝐹 − 10𝑘𝑖𝑝𝑠 = 0 ∑ 𝐹𝑥 = −𝐺𝐻 + 𝐺𝐸 = 0 Despejamos: 𝐺𝐹 = 10𝑘𝑖𝑝𝑠 GF está a tensión. 𝐺𝐸 = 𝐺𝐻 𝐺𝐸 = −15cot(𝜃) GE está a tensión.



Calculamos la sumatoria de fuerzas respecto al Nodo F:

∑ 𝐹𝑥 = 𝐹𝐷 − 𝐹𝐻 sen(90 − 𝜃) + 𝐹𝐸 sen(90 − 𝜃) = 0 ∑ 𝐹𝑥 = 𝐹𝐷 −

15 sen(90 − 𝜃) + 𝐹𝐸 sen(90 − 𝜃) = 0 sen( 𝜃)

∑ 𝐹𝑦 = −𝐹𝐺 + 𝐹𝐻 cos(90 − 𝜃) + 𝐹𝐸 cos(90 − 𝜃) = 0 ∑ 𝐹𝑦 = −10 +

15 cos(90 − 𝜃) + 𝐹𝐸 cos(90 − 𝜃) = 0 sen( 𝜃)

Despejamos: −10 + −𝐹𝐸 =

15 (cos(90 − 𝜃)) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(90 − 𝜃)

15 (cos(90 − 𝜃)) −10 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝐹𝐸 = − ( ) cos(90 − 𝜃) FE está a tensión.

𝐹𝐷 =

15 sen(90 − 𝜃) − 𝐹𝐸 sen(90 − 𝜃) sen( 𝜃)

15 (cos(90 − 𝜃)) −10 + 15 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝐹𝐷 = sen(90 − 𝜃) + ( ) sen(90 − 𝜃) sen( 𝜃) cos(90 − 𝜃)



Calculamos la sumatoria de fuerzas respecto al Nodo D: ∑ 𝐹𝑦 = −𝐷𝐸 = 0 𝐷𝐸 = 0

2. Calculo de longitud: Por relación de triángulos

x h

10ft = 120in tan(𝜃) =

ℎ 120

120tan(𝜃) = ℎ cos(𝜃) = x=

120 𝑥

120 cos(𝜃)

3. Calculo de sección trasversal: Se calculo la sección transversal del elemento que soportaba mayor fuerza de la siguiente forma: 20𝑘𝑖𝑝𝑠 𝐹 = 𝑖𝑛2 𝐴 𝜎 𝐴= 20𝑘𝑖𝑝𝑠

𝜎=

DONDE: Fuerza: F Área de sección transversal: A

4. Calculo de peso: Se procede a calcular el peso respecto al volumen de los elementos y despejando la fórmula de peso específico. 𝑃𝐸 =

𝑤 𝑉

𝑤 = 𝑃𝐸 ∗ 𝑉 𝑤 = 𝑜. 284𝑙𝑏/𝑖𝑛3 ∗ 𝑉

DONDE: Peso: w Peso específico: PE Volumen: V

RESULTADOS

Teniendo en cuenta lo obtenido anteriormente, se procede y teniendo una exactitud de 2 decimales para el ángulo optimo y 10 decimales para las área y los pesos:

 a) Si se sabe que el peso específico del acero usado es de 0.284 lb/in 3, utilice software para calcular el peso de la armadura y el área de la sección transversal de cada elemento que soporta carga, para valores de que van de 20° a 80° con incrementos de 5° ANEXO TABLA DE EXCEL HOJA 1: Elementos para que van de 20° a 80° con incrementos de 5°.  b) Utilice incrementos más pequeños y adecuados para determinar el valor óptimo de y los valores correspondientes del peso de la armadura y de las áreas de las secciones transversales de los diferentes elementos.

ANEXO TABLA DE EXCEL HOJA 2: Incrementos más pequeños y adecuados.

 c) Muestre en una tabla el ángulo que determino y el peso calculado de la estructura. ANEXO TABLA DE EXCEL HOJA 3: Angulo y peso determinado.

CONCLUSIONES

a) En el primer punto a través de software Excel se calculó el peso de la armadura y el área de la sección transversal de cada elemento que soporta carga, para valores de que van de 20° a 80° con incrementos de 5°, donde se determinó que el ángulo que arroja un peso menor para así para obtener el diseño más económico se encuentra en el rango de 45° a 50°. b) A continuación, a través del mismo software, pero con intervalos más pequeños

y adecuados se calculó el peso de la armadura y de las áreas de las secciones transversales de los diferentes elementos y se comprobó que el valor del ángulo óptimo para obtener el diseño más económico es de 48.90° para un peso total de 526,503132 libras. c) Para finalizar se determinó el ángulo optimo y los valores correspondientes del peso de la armadura y de las áreas de las secciones transversales de los diferentes elementos cumpliendo con lo propuesto en los requisitos para así obtener el diseño de la armadura con el costo más pequeños como fue posible.