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• Jhosep Lois Paez Danglades

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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación I.U.P “Santiago Mariño” Maturín Estado Monagas Ing. Civil (42)

Área: Resistencia de los materiales

ESFUERZO EN VIGAS

Profesor:

Bachiller:

Ing. Cesar Narváez

Jhosep Páez C.I 26.117.361 Sección: “B” (Mañana)

Maturín, Agosto de 2017.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE LA FLEXIÓN Los esfuerzos normales producidos por el momento flexionante se llaman esfuerzo por flexión y las relaciones entre estos esfuerzos y el momento flexionante se expresa mediante la fórmula de la flexión. Para su deducción se sigue el mismo procedimiento que se desarrolló para deducir la fórmula de la torsión, es decir, las deformaciones elásticas junco con la ley de Hooke determinan la fórmula de la distribución de esfuerzos, y mediante las condiciones de equilibrio se establece la relación entre los esfuerzos y las cargas.

La figura muestra dos secciones adyacentes ab y cd separadas a una distancia dx. Debido a flexion producida por la carga P, las secciones ab y cd giran una con respecto a la otra dando un pequeño ángulo d , como se ve en la figura, pero permanecen planas y sin distorsión de acuerdo con la hipótesis de la sección anterior. La fibra ac de la parte superior se acorta y la fibra bd se alarga. En algún punto entre ellas existe una fibra, tal como ef, cuya longitud no varía. Trazando la línea c´d´ por f, paralela a ab, se observa que la fibra ac se ha acortado una longitud cc´y está, pues comprimida, mientras que la fibra bd se ha largado la longitud d´d y está sometida a tensión. El plano que contiene todas las fibras como la ef se llama superficie neutra, ya que tales fibras no varían de longitud y, por tanto, no están sujetas a esfuerzo

alguno. En seguida veremos que la superficie neutra pasa por los centros de gravedad de las secciones transversales de la viga. Consideremos ahora la formación de una fibra cualquiera gh situada a una distancia “y” de la superficie neutra. Su alargamiento hk es el arco circunferencia de radio “y” y ángulo d y viene dado por: hk

yd

La deformación se obtiene dividiendo el alargamiento entre la longitud inicial ef de la fibra:

Llamando igual a

al radio de la curvatura de la superficie neutra, la longitud ef es

d , por lo que la deformación unitaria vale

Suponiendo que el material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke, hipótesis 2, el esfuerzo en la fibra gh viene dado por: ( )

(a)

Esta expresión indica que el esfuerzo en cualquier fibra es directamente proporcional a su distancia “y” a la superficie neutra, ya que se ha supuesto que el modulo elástico es igual a tensión que a compresión, hipótesis 3, y el radio de curvatura

de la superficie neutra es independiente de la ordenada y de la fibra.

Ahora bien, los esfuerzos no deben sobrepasar el límite de proporcionalidad, pues en caso contrario dejaría de cumplirse la ley de Hooke en la que se ha basado la determinación de la fórmula de distribución de los esfuerzos. Para completar la deducción de la fórmula de la flexion se aplican las condiciones de equilibrio. Como se ha visto anteriormente, las fuerzas exteriores

que actúan a un lado de la sección en estudio quedan equilibradas por la fuerza cortante y el momento flexionante resistentes. Para que se produzca este equilibrio, un elemento diferencial cualquiera de la sección de exploración está sometido a las fuerzas que indica la figura. La intersección de la superficie neutra con la sección se llama eje neutro, abreviadamente E.N. Para satisfacer la condición de que las fuerzas exteriores no tengan componente según el eje X, hipótesis 5, se tiene, [∑ en donde

equivale a

]

∫

de la ecuación (a). Sustituyendo

resulta, ∫

por su valor Ey/

y

Los términos E y

, constantes, se han sacado fuera del signo integral.

Como “y” dA es el momento estático del área diferencial dA respecto de E.N., la integral ∫

es el momento estático total del área, por tanto, ̅

Sin embargo, como solamente ̅ en esta expresión puede ser nulo, se deduce que la distancia a E.N., eje de referencia, del centro de gravedad de la sección recta debe ser cero, es decir, que la línea neutra pasa por el centroide del área de la sección transversal. La condición ∑

que da V = V, conduce a la fórmula del esfuerzo

cortante, cuya deducción se deja para más adelante, de momento, se hace observar solamente que la fuerza cortante resistente V, es la suma de todas las fuerzas cortantes

dA está en equilibrio. En estos casos, las cargas producen

un momento con respecto al eje X que es el equilibrado por ∫ ( ∫ (

) para cumplir la ecuación ∑

)

0. Esta condición se verifica

automáticamente para secciones simétricas respecto del eje Y, ya que cualquier elemento tiene otro simétrico y, por tanto, las integrales se anulan. Como consecuencia, para secciones simétricas con respecto al eje Y, el plano de las fuerzas exteriores debe coincidir con el plano XY, y si no ocurre así, la viga estará sometida a torsión. Consideremos ahora la condición ∑

. Las fuerzas exteriores no

producen momento con respecto al eje Y, ni tampoco las fuerzas constantes interiores. Por tanto, *∑

+

∫ (

)

Sustituyendo

por Ey/ , resulta, ∫

La integral ∫

es el producto de la inercia

que es nulo solamente si

Y y Z son ejes de simetría o ejes principales de la sección. Esto constituye la justificación de la hipótesis 5. La última condición de equilibrio ∑

requiere que el

momento

flexionante sea equilibrado por el momento resistente, es decir,

. El

momento resistente con respecto a E.N. de un elemento cualquiera es (

) y,

por tanto, ∫ ( Sustituyendo

)

por Ey/ , resulta ∫

Puesto que ∫

es el momento de inercia ( I ) del área con respecto al

eje de referencia, que en este caso es E.N., que pasa por el centro de gravedad, se obtiene finalmente, (b)

La forma más común de describir la ecuación (b) es (5-1) Puesto que la curvatura es el reciproco del radio de curvatura, la ecuación (5-1) indica que la curvatura es directamente proporcional al momento flexionante. Al identificar el signo del momento con la forma de la viga deformada: curvatura

positiva, cóncava hacia arriba, correspondiente a un momento flexionante positivo, y viceversa. Igualando la relación E/ deducida de (5-1) con el valor de la ecuación de (a) se obtiene

Que conduce directamente a la fórmula de la flexion, también llamada “fórmula de la escuadría”: (5-2) Esta expresión indica que el esfuerzo debido a la flexion en cualquier sección en directamente proporcional a la distancia del punto considerado a la línea neutra. Una forma más común de la fórmula de la flexion se obtiene sustituyendo “y” por la distancia “c” del elemento más alejado de la línea neutra. Con esto se obtiene el esfuerzo máximo: (5-2a) El coeficiente

se llama módulo de resistencia de la sección o

simplemente, módulo de sección, y se suele designar por S, por lo que la fórmula de la flexion adquiere la forma: (5-2b)

Esta fórmula es muy empleada en vigas de sección constante, y muestra como el esfuerzo máximo se produce en la sección de momento flexionante máximo. En la tabla 5-1 se dan los valores del módulo de resistencia de las formas más comunes de la sección recta.

Un análisis muy interesante, análogo al que se empleara en el estudio de las vigas de concreto armado, es el de la variación de los esfuerzos en una sección rectangular. Dado que la suma de las fuerzas horizontales en la sección debe ser nula, la fuerza total de compresión C, en la mitad superior de la sección recta, ha de ser igual a la fuerza total de tensión T en la mitad inferior. Por tanto, el momento resistente M, está constituido por el par que forman las fuerzas C y T iguales y opuestas. La magnitud de cada una de esta de estas fuerzas es igual al producto del esfuerzo medio por el área. Por consiguiente, como el esfuerzo medio en una distribución lineal es la mitad del esfuerzo máximo, se tiene: (

)(

)

(

)(

)

Las fuerzas C y T actúan en el centro de gravedad de la carga triangular a (

una distancia k de E.N., y como k

), el brazo del par resistente es

. Igualando el momento flexionante al momento resistente resulta:

(

)(

)(

)

Que coincide con la ecuación (5-2b) para una sección rectangular.

MODULO DE RUPTURA Puede emplearse la ecuación (5-2a) para determinar el esfuerzo de flexion en una viga cargada hasta su ruptura en una máquina de ensayos. Puesto que en ese caso se excede el límite de proporcionalidad, el esfuerzo determinado de esta forma no es el verdadero esfuerzo en el material cuando se produce la ruptura en la viga. Sin embargo, el esfuerzo ficticio así obtenido se llama módulo de ruptura del material y se utiliza para comparar las resistencias ultimas de vigas de distintos tamaños y materiales.

PERFILES COMERCIALES En una viga de sección rectangular o circular, las fibras situadas en la proximidad del E.N. están sometidas a un esfuerzo muy pequeño comparado con el esfuerzo en la parte superior o en la inferior. El hecho de que una gran parte de la sección este poco aprovechada las hace poco apropiadas para trabajar a flexión. La fórmula de la flexión,

, muestra que si el área de la sección

rectangular pudiera distribuirse de manera que la viga siguiera teniendo la misma altura, el momento de inercia aumentaría muchísimo, por lo que el momento flexionante que podría soportar sería mucho mayor. Físicamente, el incremento de momento resistente es debido a que hay muchas más fibras a mayor distancia del E.N., fibras que soportan un esfuerzo mayor, y con un brazo de momento también mayor respecto del E.N. Sin embargo, la sección de la figura 5-6b no es realizable; las dos partes en que han quedado dividida no pueden estar aisladas. Es necesario emplear parte del área en la sujeción, como se indica en la figura 5-6c. Se verá más adelante como el área del alma soporta prácticamente la totalidad de la fuerza cortante vertical.

La figura 5-6c representa una sección I de ala ancha (que suele llamarse H). Es uno de los perfiles más eficientes, ya que no solo tiene gran resistencia trabajando a la flexión como viga, sino también como columna. Otro tipo de perfil

laminado es el I normal, figura 5-6d, más antiguo que el de ala ancha y que al no ser tan eficiente tiende a ser sustituido por aquel. La designación de las vigas I y H (ala ancha) se da expresando su altura nominal y su masa (o peso) por unidad de longitud. Por ejemplo, un W610x140 tiene una altura (o peralte) real de 617 mm y una masa real de 140.1 kg/m. Al escoger una determinada sección para aplicarla como viga es innecesario decir que el momento que puede resistir,

, debe ser

igual o mayor que el momento flexionante máximo aplicado M. esta condición puede expresarse por la desigualdad:

que indica que la sección debe elegirse de manera que su módulo resistente sea igual o mayor que la relación del momento flexionante al esfuerzo admisible.

FLEXION LATERAL EN VIGAS En las vigas I, los patines sometidos a compresión tienden a pandearse transversalmente en sentido horizontal si la viga es demasiado larga. Cuando esta flexión lateral está impedida por el forjado del piso o porque los patines sometidos a compresión estén arriostrados mediante varillas espaciadas a intervalos apropiados, se puede emplear el esfuerzo admisible total. En caso contrario, debe reducirse el esfuerzo.

VIGAS ASIMETRICAS Como el esfuerzo por flexión varia linealmente con la distancia al eje neutro que pasa por el centro de gravedad, tales secciones son útiles para materiales que tengan igual resistencia a la tensión que a la compresión, pero para aquellos otros que sean relativamente débiles a la tensión y más resistentes a la compresión,

como en el caso del hierro fundido, es preferible emplear secciones asimétricas con respecto al E.N. Con esta forma de sección, las fibras de gran resistencia pueden colocarse a mayor distancia de la línea neutra que las fibras más débiles. La sección ideal sería aquella en la que el centro de gravedad, o sea la línea neutra, se colocara en tal posición que la relación de distancias a las fibras que van a quedar sometidas a la máxima tensión y compresión, fuera la misma que la relación de los esfuerzos admisibles para cada caso. De esta manera alcanzarían simultáneamente los valores admisibles a tensión y a compresión.

HIPOTESIS Para el esfuerzo cortante vertical y los esfuerzos cortantes, se deducen las siguientes hipótesis: 1. La secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas. 2. El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke. 3. El modulo elástico es igual a tensión que a compresión. 4. La viga es inicialmente recta y de sección cortante. 5. El plano en el que actúan las fuerzas contiene a uno de los ejes principales de la sección recta de la viga y las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de aquella. En las secciones que siguen se examinan las aplicaciones y limitaciones de estas hipótesis y se ponen de manifiesto los motivos de haberlas tenido en cuenta.