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TALLER 2. SEÑALES Y SISTEMA 1. Números complejos: a. Evaluar las partes real e imaginaria de 𝑗 𝑗 La relación de Euler dice que 𝑗 = 𝑒 𝑗𝜋/2, entonces 𝑗 𝑗 = (𝑒 𝑗𝜋/2 )𝑗 = 𝑒 −𝜋/2 . Entonces la parte real es 𝑒 −𝜋/2 y la parte imaginaria es 0. b. Evaluar las partes real e imaginaria de (1 − 𝑗√3)12 La magnitud de 𝑧 = 1 − 𝑗√3 es 2, y su ángulo de fase es −60°. Entonces la magnitud de 𝑧12 es 212 = 4096 y su fase es 12 × −60° que es múltiplo de 360° y por tanto lo mismo que 0°. Entonces, 𝑧12 = 4096. Su parte real el 4096 y su parte imaginaria es 0. 𝑌

2. Determine el sistema funcional 𝑋 para el siguiente sistema

Donde. 𝐴, 𝐵 y 𝐶 representan el sistema funcional para los subsistemas en las cajas. Sea 𝑊 la entrada al subsistema B. Entonces, 𝑊 = 𝑋 − 𝑊𝐵𝐶, es decir, 𝑊(1 + 𝐵𝐶) = 𝑋 de manera que se tiene la relación

𝑊 𝑋

1

= 1+𝐵𝐶. 𝑌

𝐴+𝐵

La salida 𝑌 = 𝐴𝑊 + 𝐵𝑊, lo que significa que: 𝑋 = 1+𝐵𝐶. 3. Transformadas Z: Determine la transformada 𝑍 (incluida la región de convergencia) para las siguientes señales: 1 𝑢

a. 𝑥1 [𝑛] = (2) 𝑢[𝑛 − 3] Con base en la definición ∞

𝑋1 (𝑧) = ∑ 𝑥1

[𝑛]𝑧 −𝑛

∞

𝑛

= ∑ (1/2) 𝑧

𝑛

𝑛=−3

−𝑛

𝑛=−3

Sea 𝑙 = 𝑛 − 3, entonces: ∞

𝑙+3

𝑧 −1 𝑋1 (𝑧) = ∑ ( ) 2 𝑙=0

La ROC será |𝑧| > 1/2.

=

𝑛

𝑧 −1 = ∑ ( ) 2

(𝑧 −1 /2)3 1 = 2 −1 1 − (𝑧 /2) 8𝑧 (𝑧 − 1/2)

1 𝑢

b. 𝑥2 [𝑛] = (1 + 𝑛) (3) 𝑢[𝑛] Con base en la definición 𝑋2 (𝑧) = ∑ 𝑥2 [𝑛]𝑧 −𝑛 𝑛

Derivando ambos lados con respecto a 𝑧 se tiene: 𝑑𝑋2 (𝑧) = ∑ 𝑥2 [𝑛](−𝑛)𝑧 −𝑛−1 = −𝑧 −1 ∑ 𝑛𝑥2 [𝑛]𝑧 −𝑛 𝑑𝑧 𝑛

𝑛

Lo que significa que la transformada 𝑍 de 𝑛𝑥2 [𝑛] es equivalente a −𝑧 transformada 𝑍 de

1 𝑛 ( ) 𝑢[𝑛] 3

será

Además, la transformada 𝑍 de

𝑧 , 𝑧−1/3

𝑑𝑋2 (𝑧) , 𝑑𝑧

entonces, la

1 3

con ROC: |𝑧| > .

1 𝑛 𝑛 (3) 𝑢[𝑛]

𝑑 𝑧 será −𝑧 𝑑𝑧 ( 1) 𝑧−

=

3

1 𝑧 3 1 (𝑧− )2 3

1

, con ROC: |𝑧| > 3.

Entonces, 𝑧

𝑋2 (𝑧) = 𝑧−1/3 +

1 𝑧 3 1 (𝑧− )2 3

=

𝑧2 1 (𝑧− )2 3

1

, con ROC: |𝑧| > 3.

c. 𝑥4 [𝑛]

Con base en la definición ∞

𝑋4 (𝑧) = ∑ 𝑥[𝑛] 𝑧 −𝑛 = 𝑥4 [−1]𝑧 + 𝑥4 [1]𝑧 −1 + 𝑥4 [2]𝑧 −2 = −𝑧 + 𝑧 −1 + 𝑧 −2 ; 𝑛=−∞

Con RCO: 0 < |𝑧| < ∞. 4. Transformadas Z inversa. Determine todas las señales posibles con transformadas 𝑍 de las siguientes formas, para 𝑛 < −1, 𝑛 = −1, 𝑛 = 0, 𝑛 = 1, 𝑛 > 1. 1

a. 𝑋1 (𝑧) = 𝑧−1, para 𝑛 < −1, 𝑛 = −1, 𝑛 = 0, 𝑛 = 1, 𝑛 > 1 La transformada tiene un polo en 𝑧 = 1, como la señal impulso unitario:

∞

𝑢[𝑛] ↔ ∑ 𝑧 −𝑛 = 𝑛=0

1 𝑧 = 1 − 𝑧 −1 𝑧 − 1

Multiplicando esta transformada por 𝑧 −1 corresponde a un retardo unitario en el tiempo: ∞

𝑢[𝑛 − 1] ↔ 𝑧

−1

∑𝑧

−𝑛

𝑛=0

𝑧 −1 1 = = 1 − 𝑧 −1 𝑧 − 1

Entonces, una transformada inversa a la derecha: 𝑥1𝑅 [𝑛] = 𝑢[𝑛 − 1]; |𝑧| > 1 Y la transformada inversa a la izquierda: 𝑥1𝐿 [𝑛] = −𝑢[−𝑛]; |𝑧| < 1.

1

b. 𝑋2 (𝑧) = 𝑧(𝑧−1)2, para 𝑛 < −1, 𝑛 = −1, 𝑛 = 0, 𝑛 = 1, 𝑛 > 1 En este caso, la transformada es equivalente a: 𝑋2 (𝑧) = 𝑧 −2 ×

𝑧 (𝑧 − 1)2

El término 𝑧 −2 representa un retardo de dos unidades. El segundo término corresponde a una rampa unitaria empezando en 𝑛 = 0. Como la rampa tiene un polo en 1, hay dos regiones de convergencia. La región a la derecha corresponde a una rampa unitaria empezando en 𝑛 = 2 (debido a las dos unidades de retardo). La región a la izquierda corresponde a una rampa con pendiente -1 hacia atrás, empezando en 𝑛 = 2.

𝑥2𝐿 [𝑛]

𝑥2𝑅 [𝑛]

c. 𝑋4 (𝑧) = (

2 1−𝑧 2 ) , 𝑧

para 𝑛 = −2, 𝑛 = −1, 𝑛 = 0, 𝑛 = 1, 𝑛 = 2

En este caso se tiene:

𝑋4 (𝑧) =

1 − 2𝑧 2 + 𝑧 4 = 𝑧 −2 − 2 + 𝑧 2 𝑧2

Que converge para todo 𝑧, es decir que la ROC: 0 < 𝑍 < ∞. 𝑥4 [𝑛] = 𝛿[𝑛 − 2] − 2𝛿[𝑛] + 𝛿[𝑛 + 2]

5. Polos. Los siguientes diagramas representan sistemas con polos (indicados por x) pero sin ceros. La escala de cada diagrama está indicada por el círculo, que tiene un radio de unidad.

a. ¿Cuál (si lo hay) de 𝑋1 (𝑧) a 𝑋4 (𝑧) podría representar un sistema con la siguiente respuesta de muestra unitaria?

La señal propuesta es: 𝑥[𝑛] = 𝑎|𝑛| , Entonces, la transformada 𝑍 está dada por:

0 < 𝑎 < 1.

∞

−1

𝑋(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛 𝑧 −𝑛 + ∑ 𝑎−𝑛 𝑧 −𝑛 = 𝑛=0

𝑛=−∞

1 (𝑎 − 𝑎)𝑧 1 (𝑧 − 𝑎)(𝑧 − ) 𝑎

; 𝑎 < |𝑧|
𝑎. Solo 𝑋1 (𝑧) y 𝑋3 (𝑧) representan este tipo de sistemas.

6. Suma compleja. Cada diagrama a continuación muestra el círculo unitario en el plano 𝑛 complejo, con el origen etiquetado con un punto. Cada diagrama ilustra la suma ∑100 𝑛=0 𝛼 . Determine el diagrama para el cual 𝛼 = 0,8 + 0,2𝑗

Los primeros dos términos de la serie de 𝑆 son 1 y 0.8 + 0.2𝑗. Todas las curvan empiezan con una línea horizontal a la derecha que termina en la intersección con el circulo unitario. Entonces, todas las curvas representan correctamente el primer término. El segundo término debe tener una longitud que es más corta que 1 y un ángulo de tan−1 (0.25). Entonces podemos descartar las curvas C, D y E porque tienen un segundo término con parte imaginaria negativa. Que tan rápido convergen los términos de la serie? La magnitud de 𝛼 es √0.82 + 0.22 ≈ 0.8. La magnitud del último término de la serie entonces es aproximadamente 0.8100 < 10−9 , que no es visible en el gráfico. Por lo que la curva debe parecer que converge a un límite, que elimina las curvas A y H. Además, indica que la suma de 100 términos es muy similar a la suma infinita: ∞

𝑆 ≈ 𝑆∞ = ∑ 𝛼 𝑛 = 𝑛=0

1 1 1 = = = 1 − 𝛼 1 − (0.8 + 0.2𝑗) 0.2 − 0.2𝑗

1 𝑗𝜋

0.2√2𝑒 − 4

Entonces, el valor final de B y G están mal. Por lo tanto, la respuesta es F.

=

5 √2

𝑗𝜋

𝑒4

7. Transformada de Laplace: Determine las transformadas de Laplace (incluidas las regiones de convergencia) de cada una de las siguientes señales: a. 𝑥1 (𝑡) = 𝑒 −2(𝑡−3) 𝑢(𝑡 − 3)

b. 𝑥2 (𝑡) = (1 − (1 − 𝑡)𝑒 −3𝑡 )𝑢(𝑡) Trate esta como la suma de 3 señales: 𝑥2 (𝑡) = 𝑥2𝑎 (𝑡) + 𝑥2𝑏 (𝑡) + 𝑥2𝑐 (𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑒 −3𝑡 𝑢(𝑡) + 𝑡𝑒 −3𝑡 𝑢(𝑡).

Como la transformada de Laplace de una suma es la suma de las transformadas y la intersección de las regiones de convergencia, entonces:

Y la ROC: 𝑅𝑒(𝑠) > 0. c. 𝑥3 (𝑡) = |𝑡|𝑒 −|𝑡| Se puede decir: 𝑥3 (𝑡) = 𝑡𝑒 −𝑡 𝑢(𝑡) − 𝑡𝑒 𝑡 𝑢(−𝑡). La suma de las transformadas es

El primer término tiene ROC: 𝑅𝑒(𝑠) > −1, el segundo término tiene ROC: 𝑅𝑒(𝑠) < 1, por tanto la ROC de 𝑋3 (𝑠): − 1 < 𝑅𝑒(𝑠) < 1. 8. Transformada inversa de Laplace: Determine todas las señales posibles con las transformadas de Laplace de las siguientes formas. Para cada señal, indique una solución cerrada, así como la región de tiempo 𝑡 para la cual la solución cerrada es válida. 𝑠+2

a. 𝑋1 (𝑠) = (𝑠+1)2 para 𝑡 < 0 y 𝑡 > 0 Al expandir en fracciones parciales:

Como los dos polos están en 𝑠 = −1, hay dos posibles ROC: 𝑠 > −1 y 𝑠 < −1. Para la región a la izquierda:

Para la región a la derecha:

𝑠+1

b. 𝑋3 (𝑠) = 𝑠2 +2𝑠+2 para 𝑡 < 0 y 𝑡 > 0 Los factores del denominador de 𝑋3 (𝑠) son complejos. A pesar de eso, las fracciones parciales aún funcionan:

Ambos polos tienen la misma parte real. Por tanto, hay dos posible regiones de convergencia: 𝑠 > −1 y 𝑠 < −1. Para 𝑠 < −1, ambos términos son a izquierda:

Para 𝑠 > −1, ambos términos son a derecha:

1−𝑒 −𝑠 2 ) 𝑠

c. 𝑋4 (𝑠) = (

para 𝑡 < 0 , 0 < 𝑡 < 1, 1 < 𝑡 < 2 y 𝑡 > 2

Que se expande a:

La transformada de Laplace para

1 𝑠𝑛

corresponde a derivadas de funciones estándar:

Además, los términos exponenciales representan retardo. Si 𝑥(𝑡) ↔ 𝑋(𝑠) entonces 𝑥(𝑡 − 𝜏) ↔ 𝑒 −𝑠𝜏 𝑋(𝑠). Entonces, 𝑥4 (𝑡) es una rampa con pendinte 1, empezando en 𝑡 = 0 más una rampa con pendiente -2, empezando en 𝑡 = 1, más una rampa con pendiente 1, empezando en 𝑡 = 2, así:

Como 𝑋4 (𝑠) converge para cualquier valor de 𝑠, hay una única región de convergencia y por tanto el gráfico muestra la única transformada inversa de 𝑋4 (𝑠). 9. Valores iniciales y finales (de “Circuitos, señales y sistemas” por Siebert) a. Use los teoremas del valor inicial y final (donde corresponda) para encontrar 𝑥(0) y 𝑥(∞) para las señales con las siguientes transformadas de Laplace (Asuma que a región de convergencia incluye 𝑅𝑒(𝑠) > 0): 1) 2)

1−𝑒 −𝑠𝑇 𝑠 1 −𝑠𝑇 𝑒 𝑠

3) 4) 5) 6)

1 𝑠(𝑠+1)2 1 𝑠2 (𝑠+1) 1 𝑠2 +1 (𝑠+1)2 −1 [(𝑠+1)2 +1]2

b. Encuentre las transformadas de Laplace inversas para cada una de las partes anteriores y demuestre que las formas de onda de tiempo y los valores iniciales y finales concuerdan. La siguiente tabla muestra los valores 𝑥(0) y 𝑥(∞) y la Transformada inversa de Laplace de las funciones:

El teorema del valor final no aplican en los casos marcados con 𝑋1 y 𝑋 2 , porque 𝑥(𝑡) no se aproxima a un límite cuando 𝑡 → ∞. En el caso de 𝑋1 la función crece con 𝑡, debido al polo en 0. Para 𝑋 2 la función oscila porque 𝑠𝑋(𝑠) tiene polos en el eje 𝑗𝜔. 10. Respuesta impulso: Esboce el diagrama de bloques para un sistema en TC con respuesta impulso ℎ(𝑡) = (1 − 𝑡𝑒 −𝑡 )𝑒 −2𝑡 𝑢(𝑡). El diagrama de bloques debe contener únicamente sumadores, ganancias e integradores. La transformada de Laplace es:

1

Al substituir 𝑠 → 𝒜 y al convertirlo en diagrama de bloque, se tiene:

11. Método de impedancia a. Determine la tensión de salida del siguiente circuito, utilizando combinaciones de resistencias en serie o en paralelo y / o divisores de tensión o corriente.

El paralelo entre las resistencias del 12Ω y 6Ω = 4Ω. Luego, el divisor de voltaje entre la resistencia 1 2

equivalente y la de 4Ω es 𝑣0 = 𝑣𝑖 . b. Generalice el resultado de la parte a. para valores de resistencia arbitrarios y 𝑣 determine una expresión para la relación resultante 𝑣0 𝑖

La resistencia equivalente del paralelo de 𝑅2 y 𝑅3 es

𝑅2 𝑅3 . 𝑅2 +𝑅3

Al combinarla con 𝑅1 ,, el divisor de

voltaje hace que: 𝑅2 𝑅3 𝑣0 𝑅2 𝑅3 𝑅2 + 𝑅3 = = 𝑅 𝑅3 𝑣𝑖 𝑅1 𝑅2 + 𝑅1 𝑅3 + 𝑅2 𝑅3 𝑅1 + 𝑅 2+ 𝑅 2

c. Considere el siguiente circuito.

3

Determine una ecuación diferencial que relacione 𝑣𝑖 con 𝑣𝐶 de la siguiente manera. Primero, determine las relaciones entre las corrientes de los elementos (𝑖𝑅 , 𝑖𝐿 e 𝑖𝐶 ) y los voltajes de los elementos (𝑣𝑅 , 𝑣𝐿 y 𝑣𝐶 ) usando la ley de voltajes y corrientes de Kirchhoff. Segundo, relacione la tensión de cada elemento con la corriente del elemento correspondiente usando la relación correspondiente para el elemento: es decir, 𝑣𝑅 = 𝑅𝑖𝑅 , 𝑖𝐶 = 𝐶

𝑑𝑢𝐶 , 𝑑𝑡

𝑣𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 . 𝑑𝑡

Finalmente, resuelve tus ecuaciones para

encontrar una sola ecuación con términos que involucren 𝑣𝑖 , 𝑣0 y las derivadas de 𝑣𝑖 y 𝑣0 .

Elimine por sustitución 𝑣𝐿 → 𝑣𝑖 − 𝑣𝐶 , 𝑣𝐶 → 𝑣𝑅 ,

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

→

𝑣𝐿 𝑑𝑖𝑅 , 𝐿 𝑑𝑡

→

1 𝑑𝑣𝑅 𝑅 𝑑𝑡

y

𝑑𝑖𝐶 𝑑𝑡

→𝐶

𝑑 2 𝑣𝐶 , 𝑑𝑡 2

para obtener:

Que se puede simplificar en

d. Determine la función del sistema 𝐻(𝑠) =

𝑣0 (𝑠) 𝑣1 (𝑠)

basada en la transformación de Laplace

de su respuesta a la parte anterior.

1

e. Substituya 𝑅1 → 𝑠𝐿, 𝑅2 → 𝑅 y 𝑅3 → 𝑠𝐶 dentro de su resultado de la parte b. Compare esta nueva expresión con su resultado de la parte d.

Que es la misma expresión que en d.

Referencias: Se utilizan materiales modificados del Curso “Signals and Systems” por Prof. Dennis Freeman, de MIT OCW que está licenciado con CC BY-NC-SA 4.0.