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ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO Es necesario un análisis del tipo de error en estado estable provocado por la incapacidad del sistema de seguir determinados tipos de entradas. Cualquier sistema de control físico sufre por naturaleza este tipo de error en respuesta a ciertos tipos de entradas, es decir, un sistema puede no tener un error en estado estable para una entrada escalón pero el mismo puede exhibir un error ante una entrada rampa y la única manera de eliminar este error es no modificar la estructura del sistema. Además del tipo de función de transferencia. Clasificación Los sistemas de control se clasifican de acuerdo a su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parábola, etc. Considerando la siguiente función de transferencia de un sistema de control con realimentación unitaria: SN representa un polo de multiplicidad N en el origen. Así, un sistema se denomina proporcionalmente al grado de multiplicidad, de tipo 0 si N=0, de tipo 1 si N=1, etc. Conforme es mayor el número del tipo mejora la precisión, pero de igual forma agrava la estabilidad del sistema; siempre es necesario un equilibrio entre la precisión en estado estable y la estabilidad relativa. Considerando un sistema de lazo cerrado como el de la imagen, su función de transferencia es:

Y la función de transferencia entre la señal de error e (t) y la señal de entrada r (t) es: En donde e (t) es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida. El teorema de valor final ofrece una forma conveniente de encontrar el desempeño en estado estable de un sistema estable dado que e (s):

Constante de error de posición estática Kp Para una entrada de escalón unitario; en un sistema de tipo 0 el error es finito; para un sistema tipo 1 es infinito.

Constante de error de velocidad estática Kp Para una entrada rampa.

Respuesta de un sistema de tipo 2 con realimentación unitaria a una entrada parábola

Respuesta de un sistema con realimentación unitaria de tipo 1 para una entrada rampa

El error en estado estacionario es una medida de la exactitud de un sistema de control para seguir una entrada dada, después de desaparecer la respuesta transitoria.

ERROR EN ESTADO TRANSITORIO En general los sistemas físicos reales que forman parte del sistema de control poseen inercias que le impiden seguir la señal de entrada de manera instantánea, esto implica la existencia de un período transitorio que es necesario conocer, así como el tiempo requerido para llegar al estado estacionario. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Respuesta a una señal de entrada escalón unitario Sea la transferencia de un sistema de primer orden: Escalón unitario “transformado”:

Descomponiendo en fracciones simples: Antitransformando:

Desde ya “T” es la constante de tiempo y para un valor de 5 veces T, la respuesta es prácticamente igual a la entrada; por lo que si t→∞ el error (diferencia entre las señales de entrada y salida) tiende a cero.

Entrada rampa unitaria Sea entonces

rampa unitaria “transformada” Descomponiendo en fracciones simples:

Antitransformando:

Se puede comprobar que se llega a la ecuación derivando la segunda función o viceversa integrar la función para obtener la ecuación, los coeficientes de las ecuaciones diferenciales deben ser constantes en el tiempo.

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN La transferencia de lazo cerrado de un sistema de segundo orden se puede expresar como:

Siendo: ωn: frecuencia natural no amortiguada ζ: relación de amortiguamiento (efectivo/crítico) Si: 0< ζ1: sistema sobreamortiguado

En la figura se ve la incidencia del parámetro ζen la forma de la respuesta, según sea ζ el sistema será sub - amortiguado, amortiguado crítico o sobre-amortiguado. Se estudia la respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón unitario ya que este tipo de entrada es lo bastante drástica como para probar la bondad del sistema en régimen transitorio. Si se conoce la respuesta ante este tipo de entrada se puede calcular en forma analítica la respuesta ante cualquier tipo de entrada.

Se suelen especificar ciertos parámetros como se muestran en la siguiente figura.

Td= tiempo de retardo Tr= tiempo de crecimiento Tp=tiempo de pico, tomado sobre su primer pico de sobre impulso Mp= sobre impulso máximo, medido desde la unidad Ts= tiempo de establecimiento, para el cual la respuesta difiere del valor final en un rango de 2-5% (en valor absoluto) Para concluir comentaremos que es deseable que la respuesta sea rápida y amortiguada; para ello ζ debe estar en un rango de 0,4~0,8. Valores pequeños de ζ producen sobre impulso excesivo mientras que valores altos hacen que la respuesta sea lenta. Finalmente la siguiente figura muestra los puntos a especificar para obtener una respuesta transitoria satisfactoria.

Catedrático: M. en C. Oscar González Hernández Alumno: Gerardo Hernández Ángeles BIBLIOGRAFÍA Katsuhiko Ogata, Ingeniería de control moderna, 3ra edición. Sistemas de control, Artículo 6722, 2003.