Equivalencias en Lógica de Predicados CUANTIFICADORES Λx Px ¬Vx ¬Px Todos son filósofos. No hay ninguno que posea la
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Equivalencias en Lógica de Predicados CUANTIFICADORES Λx Px
¬Vx ¬Px
Todos son filósofos.
No hay ninguno que posea la propiedad de no ser filósofo
Λx ¬Px
¬Vx Px No hay ninguno que posea la propiedad de ser filósofo.
Ninguno es filósofo.
¬ Λx ¬Px
Vx Px
No todos carecen de la propiedad de ser filósofos
Alguien es filósofo.
¬Λx Px
Vx ¬Px
No todos tienen la propiedad de ser filósofo
Alguien no es filósofo
Λx Px
Vx Px
Λx ¬Px
Vx ¬Px
¬Vx ¬Px
¬ Λx ¬Px
¬Vx Px
¬Λx Px
Leyes aristotélicas de oposición Las relaciones de oposición se expresan en el llamado cuadro de oposición, cuyos vértices simbolizan las cuatro proposiciones, y cuyas diagonales y lados representan esas relaciones: UNIVERSAL AFIRMATIVA (OPA): Λx (Px → Qx) ↔ ¬Vx (Px ˄ ¬Qx) UNIVERSAL NEGATIVA (OPE): Λx (Px → ¬Qx) ↔ ¬Vx (Px ˄ Qx) PARTICULAR AFIRMATIVA (OPI): Vx (Px ˄ Qx) ↔ ¬Λx (Px → ¬Qx) PARTICULAR NEGATIVA (OPO): Vx (Px ˄ ¬Qx) ↔ ¬Λx (Px → Qx) Cada una de las relaciones da pie a determinadas inferencias: 1) Contradicción es la oposición entre una proposición y su negación: entre A-O y viceversa, y entre E-I y viceversa. Dos proposiciones contradictorias no pueden verdaderas simultáneamente ni falsas simultáneamente. Si una proposición es verdadera, su contradictoria es falsa, y viceversa. 2) Contrariedad se da entre las universales A y E. Dos proposiciones contrarias no pueden ser ambas verdaderas, pero sí ambas falsas. La verdad de una universal implica la falsedad de la contraria, pero no a la inversa. Ejemplo: Todo negro es americano. Ningún negro es americano. 3) Subcontrariedad se da entre las particulares I y O. Dos subcontrarias pueden ser ambas verdaderas, pero no ambas falsas. L a falsedad de la una implica la verdad de la otra, pero no a la inversa. Ejemplo: Algunos hombres son justos y algunos hombres no son justos, son ambas verdaderas, pero no podrán ser ambas falsas. 4) Subalternación se da entre universales y particulares de la misma cualidad (es decir, univ. Afirm.-part. Afirm.) Cada universal implica su correspondiente particular, pero no a la inversa. Ejemplo: Todos los cuervos son negros implica algún cuervo es negro, pero no al revés.
Universal afirmativa (OpA): Λx (Px → Qx): Todos los cantantes son famosos ¬Vx (Px ˄ ¬Qx): No hay ningún cantante que no sea famoso
Universal negativa (OpE): Λx (Px → ¬Qx): Ningún cantante es famoso ¬Vx (Px ˄ Qx): No hay ningún cantante que sea famoso
Particular afirmativa (OpI): Vx (Px ˄ Qx): Algún cantante es famoso ¬Λx (Px → ¬Qx): No hay cantante que no sea famoso
Particular negativa (OpO): Vx (Px ˄ ¬Qx): Algún cantante no es famoso ¬Λx (Px → Qx): No todos los cantantes son famosos