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• Jonathan Salas

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EQUILIBRIO, COMPATIBILIDAD Y ENTRE FUERZAS Y DESPLAZAMIENTO

Se definió el objetivo técnico del análisis estructural como el proceso de encontrar todas las fuerzas y desplazamiento de un ensamblaje de elementos estructurales debidos a alguna perturbación dada sin importar que método se utiliza para lograr este objetivo, el análisis completo de una estructura necesitara la utilización de los principios de

1. Equilibrio 2. Compatibilidad 3. Relaciones entre fuerza entre fuerzas y desplazamiento

La solución total de cualquier sistema estructural se desarrolla atreves de una sucesión de sustituciones entre estas relación hasta , hasta que resuelta en sistema de N Ecuaciones con N incógnitas. Según como se manipulan estas relaciones, surgen diferentes estrategias el objetivos final es desarrollar un sistema resoluble de ecuaciones que contengan como incógnitas ya sea alas fuerza o a los desplazamiento Clasifiquen en dos grupos generales. Como se comentó en el capítulo 2 aquellos sistemas que solo requieren el uso del uso de las ecuaciones de equilibrio para determinar todas las fuerzas en una estructurase denomina estructuras estáticas determinadas los principios de compatibilidad de las relaciones entre fuerzas y desplazamiento se utilizas solo los desplazamiento de pues de haber encontrado, mediante el equilibrio, las fuerzas. Muchas estructuras `practicas caen en esta clase; estos sistemas se consideran con más detalle en los capítulos 4 y 6. La segunda clase de estructura requiere de la utilización de los tres principios para encontrar las fuerzas de las estructuras. Las estructuras de este tipo se denominan indeterminadas. Las distinciones entre estructuras entre estructuras determinadas e indeterminadas se abortaron inicialmente en el capitulo2.

Para ilustrar la utilización de los tres conceptos antes mencionados, a lo largo de estos capitulo se considera el modelo de la figura 3-1ª. Aunque el método es bidimensional, los siguientes argumentos pueden extenderse con facilidad a estructuras tridimensionales. Las líneas de rozamiento aquí desarrolladas son lo suficientemente generales para aplicarse a cualquier sistema estructural que sea lilial, elástico y que experimente solo pequeños desplazamiento. Como se mencionó en el capítulo 1, estas restricciones son necesarias para que el principio de superposición

Sea válido. La teoría delos desplazamientos pequeños también simplificara la geometría del problema. El modelo de la figura 3-1 representa un sistema deformable que cosiste en dos resortes conectados a una masa. La carga se aplica en el punto B y es concurrente Con la fuerza que ejercen los resortes sobre la masa. Se supone que la fuerza P se aplicara con lentitud, de modo que no participen fuerzas dinámicas. Se supone también que los resortes inicialmente no están estirados, y el bloque está restringido a moverse sin fricción en la dirección de la guía

3.1.1

Equilibrio

Para el análisis bidimensional, las tres ecuaciones básicas de equilibrio son:

𝚺Fx=0 𝚺Fy=0 𝚺M0=0

Para el modelo de los resortes, todas las fuerzas son concurrentes en el punto B y por ellos ΣMB se satisface de manera automática esto deja a ΣFx=0 y a ΣFY=0 como las ecuaciones primaria despreciando el peso del bloque, en la figura 3-1b se muestra el diagrama de cuerpo libre de la masa. Con referencia a este diagrama, es posible escribir las ecuaciones de equilibrio como:

– F1 – F2COS𝜽+P=0 – F2 SEN𝜽+R=0

Se ha supuesto que los resortes serán de tensión y que entonces jalaran el cuerpo como se muestra. Estas fuerza se llaman fuerzas se llama fuerzas se llaman fuerzas internas o de miembro. Las fuerzas p y R se conoce como fuerza externa o de la estructuras. También pueden llamarse fuerzas de las fuerzas de la junta, ya que están aplicadas directamente a las conexiones o juntas de la estructura. Aunque ambas son ecuaciones de equilibrio se clasificaran de manera diferente.

La primera ecuación, 𝚺Fx relaciona las fuerzas en la dirección de un posible movimiento de la estructura. En la medida que el sistema se deforma, el punto B se moverá solo en la dirección x. El posible movimiento es el grado de libertad. Un desplazamiento en la dirección de un grado de libertad se denomina desplazamiento libre .Se dice que la primera ecuación está escrita en la dirección de un grado de libertad. La segunda ecuación relaciona fuerzas en una dirección para la cual el movimiento no es por completo libre. Puede decirse que los movimientos en esta dirección están prescritos o impuestos, y que la ecuación de equilibrio está escrita en la dirección de un desplazamiento impuesto. Se verá que esta distinción es de suma importancia en el planeamiento de un procedimiento analítico general, ya que estas ecuaciones se manipulan de una forma diferente a lo largo del proceso de resolución. COMPATIBILIDAD: La compatibilidad en esencia una afirmación cerca de cómo debe ajustarse asimismo la estructura; se trata, por consiguiente, de una relación entre las deformaciones del sistema

Si el bloque del modelo se mueve una distancia 𝚫X en la dirección x, hay una elongación correspondiente de los resortes fijados al bloque (e1 y e2). La figura 3-2 muestra la posición deformada del sistema cuando el punto B se desplaza. El triángulo abc proporciona una forma de expresar la elongación del resorte en términos de 𝚫x como: e1x= 𝚫X e2= 𝚫X cos𝜽

Aquí se ha adoptado la notación eij para representar la elongación del miembro “i debida a un movimiento en la dirección “j”.

Aunque el sistema está en realidad restringido de movimiento en la dirección y en B, se puede desarrollar la relación entre la elongación de los resortes y una hipotética 𝚫y el diagrama de desplazamiento aparece ahora como se muestra en la figura. Ahora ,las elongaciones están dadas por : e1y= 𝟎 e2y= 𝚫Xsen𝜽

En ambos diagramas de desplazamientos se ha supuesto que la teoría de los desplazamientos pequeños es válida. En el diagrama de la figura, 𝚫y es una movimiento perpendicular al miembro 1.

Podría calcularse la distancia CB” a partir del triángulo CBB, que es: CB”=√𝑪𝑩𝟐 + 𝚫𝐲 𝟐 Con la suposición de los desplazamientos pequeños (𝚫𝐲