• Author / Uploaded
• Carlos Peguero

• Categories
• Olas
• Fahrenheit
• Temperatura
• Frecuencia
• Celsius

Citation preview

Enunciado

En un prensa hidráulica la superficie del pistón pequeño es 8 cm2, y la del

mayor, 4 dm2. ¿Qué presión se ejerce en el émbolo grande, si sobre el pequeño se sitúa una masa de 10 kg?

Solución Datos S1 = 8 cm2 = 8·10-4 m2 S2 = 4 dm2 = 0.04 m2 m1 = 10 Kg Resolución Al poner una masa de 10kg sobre el émbolo pequeño de una prensa hidráulica, estaremos ejerciendo sobre él una fuerza (F1) equivalente a su peso:

F1=P=m⋅g =10⋅9.8=98 N Si aplicamos la ecuación de la prensa hidráulica podremos conocer la fuerza que se crea en el émbolo grande (F2):

F1S1=F2S2⇒F2=F1⋅S2S1⇒F2=98⋅0.048⋅10−4⇒F2=490N Una vez que conocemos la fuerza que se aplica sobre el émbolo grande podemos calcular la presión:

P=FS ⇒P=4900.04⇒P=12250 Pa

Enunciado Un chico de 45 kg de masa se encuentra de pie sobre la nieve. Calcula la presión sobre esta si: a) Se apoya sobre una botas, cuyas superficies suman 400 cm2. b) Se apoya sobre unos esquís de 150 × 22 cm cada uno. ¿Sabrías decir en qué situación se hundirá menos en la nieve?. Razona la respuesta.

Solución Cuestión a) Datos S = 400 cm2 = 0.04 m2 m = 45 kg g = 9.8 m/s2 Resolución Aplicando la definición de presión:

P=FS⇒P=PesoS⇒P=m⋅gS⇒P=45⋅9.80.04⇒P=11025 Pa Cuestión b) Datos S (1 esquí)= 150 cm x 22 cm = 1.5 m x 0.22 m = 0.33 m2 S (2 esquís) = 2 x S(1 esquí) = 2 x 0.33 = 0.66 m2 m = 45 kg g = 9.8 m/s2 Resolución Aplicando nuevamente la definición de presión:

P=FS⇒P=PesoS⇒P=m⋅gS⇒P=45⋅9.80.66⇒P=668.18 Pa Dado que con las botas el chico ejerce mucha más presión sobre la nieve, se hundirá más que si lo hace con los esquís.

Enunciado En un prensa hidráulica la superficie del pistón pequeño es 8 cm2, y la del mayor, 4 dm2. ¿Qué presión se ejerce en el émbolo grande, si sobre el pequeño se sitúa una masa de 10 kg?

Solución Datos S1 = 8 cm2 = 8·10-4 m2 S2 = 4 dm2 = 0.04 m2 m1 = 10 Kg Resolución Al poner una masa de 10kg sobre el émbolo pequeño de una prensa hidráulica, estaremos ejerciendo sobre él una fuerza (F1) equivalente a su peso:

F1=P=m⋅g =10⋅9.8=98 N Si aplicamos la ecuación de la prensa hidráulica podremos conocer la fuerza que se crea en el émbolo grande (F2):

F1S1=F2S2⇒F2=F1⋅S2S1⇒F2=98⋅0.048⋅10−4⇒F2=490N Una vez que conocemos la fuerza que se aplica sobre el émbolo grande podemos calcular la presión:

P=FS ⇒P=4900.04⇒P=12250 Pa

Hasta ahora hemos supuesto que las ondas se propagaban sin encontrar ningún obstáculo en su camino, en medios sin límites. Es lo que llamábamos ondas viajeras. Sin embargo, hay casos en los que la propagación se produce en medios cerrados, produciéndose reflexiones en los extremos del mismo que se superponen unas a otras. Estas superposiciones, que no son más que un caso particular de interferencias de ondas, pueden dar lugar a ondas estacionarias y tienen un perfil y unas características muy particulares que vamos a estudiar en este apartado a través de: 

El concepto de onda estacionaria



Su fórmula



Los nodos y los vientres de la onda, y la implicación que tiene su existencia para la propagación energética



El ejemplo de ondas estacionarias en una cuerda fija por ambos extremos

¿Empezamos?

Concepto de onda estacionaria Para entender las ondas estacionarias, nos centraremos en el caso de la suma de una onda armónicatransversal con su reflejada. Esto implica que ambas contarán con igual amplitud, frecuencia y longitud de onda, pero sentido contrario. Llamamos onda estacionaria a un caso particular de interferencia que se produce cuando se superponen dos ondas de la misma dirección, amplitud y frecuencia, pero sentido contrario. En una onda estacionaria los distintos puntos que la conforman oscilan en torno a su posición de equilibrio a medida que transcurre el tiempo pero el patrón de la onda no se mueve, de ahí su nombre.

Experimenta y Aprende -10 -5 10 5 -3 -2 -1 3

2 1 y = y1 + y2 y2 y1 Onda estacionaria Las ondas verde y azul son una el reflejo de la otra, es decir, presentan igual amplitud, frecuencia y longitud de onda pero sentido contrario fruto del reflejo de una de ellas sobre la frontera del medio de propagación. La onda roja es la superposición de las dos anteriores y resulta ser una onda estacionaria. Observa que, mientras las ondas verde y azul presentan un patrón en movimiento (una se desplaza hacia la derecha y la otra hacia la izquierda), la roja presenta un patrón estacionario ( no hay desplazamiento del patrón ni hacia la derecha ni hacia la izquierda ).

Puedes mover la posición del punto rojo para monitorizar lo que ocurre en cada punto de la onda estacionaria.

Medios abiertos y cerrados No todos los medios de propagación son capaces de producir, de manera natural, ondas estacionarias. Decimos que un medio es abierto cuando la propagación no encuentra ningún obstáculo que refleje las ondas hacia el foco emisor. En ellos, la energía avanza en un único sentido. Ya habíamos dicho, cuando estudiábamos los tipos de ondas, que las ondas viajeras se daban en medios abiertos. ¿Eres capaz de adivinar qué medios producirán ondas estacionarias? Efectivamente, se trata de los medios cerrados. Observa la siguiente imagen que te aclarará estos conceptos.

Medios abiertos y cerrados Si se produce un sonido en el interior de una habitación, tendremos que el techo, las paredes y el suelo reflejan parte de las ondas emitidas y las devuelven hacia el foco. El aire de la habitación, por tanto, es un medio cerrado para la onda sonora, y se podrían producir ondas estacionarias. Observa, sin embargo, que si recubrimos las paredes, techo y suelo con material absorbente, no se producirían las reflexiones y en ese caso el aire de la habitación si se consideraría medio abierto, haciendo imposible la aparición de ondas estacionarias.

Existen otros muchos medios capaces de producir ondas estacionarias, como, por ejemplo, una cuerda fija por ambos extremos o los tubos de cualquier instrumento de viento.

Ecuación de la onda estacionaria Como dijimos, nos centraremos en el caso de que las ondas incidente y reflejada cuentan con igual amplitud, frecuencia y longitud de onda, pero sentido contrario. La amplitud de cada punto de la onda estacionaria es función de la posición del mismo. Su frecuenciaes la misma que tienen las ondas que interfieren. La ecuación de la onda

estacionaria queda:

y=2⋅A⋅sin(k⋅x)⋅cos(ω⋅t)=AT⋅cos(ω⋅t) Donde: 

y: Elongación del punto considerado de la onda, es decir, la separación respecto a su posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)



x: Coordenada x de la posición del punto considerado. Su unidad de medida en el S.I. es el metro (m)



t: Tiempo. Su unidad de medida en el S.I. es el segundo



A: Amplitud de las onda original (elongación máxima). Su unidad de medida en el S.I. es el metro



AT: Amplitud resultante. Es la amplitud del punto considerado, es decir, la elongación máxima con la que es capaz de vibrar. Depende de x según AT=2⋅A⋅sin(k⋅x) . Su unidad de medida en el S.I. es el metro (m)



k: Número de onda. Coincide con el de la onda original y recuerda que se relaciona con la longitud de onda según la expresión k=2⋅πλ. Su unidad de medida en el S.I. es el radián por metro (rad/m) o metro a la menos uno (m-1)



ω: Frecuencia angular. Coincide con la de la onda original y recuerda que se relaciona con la frecuencia ω=2⋅π⋅f según la expresión . Su unidad de medida en el S.I. es el radián por segundo (rad/s)

Comprobación Sean las ondas:

y1=A⋅sin(k⋅x−ω⋅t)y2=A⋅sin(k⋅x+ω⋅t)}y=y1+y2=A⋅(sin(k⋅x−ω⋅t)+sin(k⋅x+ω⋅t))

Ahora, aplicando que sin(A)+sin(B)=2⋅cos(A−B2)⋅sin(A+B2) , y recordando que cos(−A)=cos(A) , nos queda:

y=y1+y2=A⋅(sin(k⋅x−ω⋅t)+sin(k⋅x+ω⋅t))=2⋅A⋅sin((k⋅x−ω⋅t)+(k⋅x+ω⋅t)2)⋅cos((k⋅x−ω⋅t)−(k⋅ x+ω⋅t)2)==2⋅A⋅sin(k⋅x)⋅cos(ω⋅t)=2⋅A⋅sin(2⋅πλ⋅x) AT⋅cos(ω⋅t) Que es justamente lo que queríamos comprobar. Formas alternativas La expresión anterior es sólo una de las múltiples que podemos utilizar para describir una onda estacionaria. Podríamos, por ejemplo, tener las ondas originales en forma de coseno, en lugar de seno o podría existir inversión de fase en la reflexión ( una inversión en el sentido de vibración que se traduce en un cambio de fase de π radianes en la onda reflejada). El resultado al que llegaríamos tendría una forma distinta, aunque el significado físico sea similar. Existen muchas formas distintas de expresar una onda estacionaria, pero todas se caracterizan porque:



Hay un factor que depende exclusivamente de la posición x, ya sea en seno o en coseno, y que marca la amplitud de cada punto de la onda, es decir, su elongación máxima



Hay un factor que depende exclusivamente del tiempo t, ya sea en seno o en coseno, y que marca la vibración de cada punto en torno a la posición de equilibrio entre su elongación máxima y su elongación mínima

Apuntaremos aquí también el resultado que se obtiene cuando, en lugar de partir de las ondas señaladas, partimos de dos ondas con formas:y1=A⋅sin(ω⋅t−k⋅x)

; y2=A⋅sin(ω⋅t+k⋅x) . La

ecuación de la onda estacionaria quedará, mediante un desarrollo similar:

y=2⋅A⋅cos(k⋅x)⋅sin(ω⋅t) En este caso, la onda estacionaria resultante presenta un máximo en x=0 dado que el coseno vale 1. En el anterior, la onda presentaba un mínimo. En general, la onda presentará un máximo o un mínimo en el medio en el que se refleja según las condiciones de contorno que imponga el mismo. El medio en el que se refleja la onda impone ciertas restricciones llamadas condiciones de contorno o condiciones de frontera, que debe cumplir la onda estacionaria y que determinan la ubicación específica de sus máximos y sus mínimos. A partir de estas condiciones de contorno y de la onda original es posible determinar si la onda reflejada está en inversión de fase o no.

Experimenta y Aprende

Ondas estacionarias

La representación gráfica de las ondas incidente y reflejada nos permite entender claramente el aspecto de una onda estacionaria, su evolución con el paso del tiempo y la posición de sus vientres y nodos. Pulsa sobre el botón play para comenzar a experimentar.

La conclusión que debes extraer de todo esto es que, a la hora de resolver un ejercicio concreto, debes aprender y aplicar el desarrollo realizado antes que intentar utilizar unas fórmulas que podría llevarte a error.

Ejemplo En una cuerda se propaga de derecha a izquierda una onda de ecuación y=3⋅cos(5⋅π⋅t+π3x) m . Al llegar al extremo, la onda se refleja. Calcula la ecuación de la onda estacionaria que se generará si: 

No se produce inversión de fase en la reflexión



Hay una inversión en el sentido de vibración

Nodos y vientres Como hemos apuntado, la elongación y de la ecuación de la onda estacionaria depende, entre otras, de la variable x, la posición, y esta se encuentra en el interior de un seno (o de un coseno). Esto implica que: 

Habrá puntos cuya elongación sea mínima (0). Llamaremos a estos puntos nodos. En ellos se cumplirá que:

sin(k⋅x)=sin(2⋅πλ⋅x)=0⇒2⋅πλ⋅x=n⋅π⇒x=n⋅λ2 

Habrá puntos de elongación máxima (2·A). Los llamaremos vientres o antinodos. En ellos se cumplirá que:

sin(k⋅x)=sin(2⋅πλ⋅x)=±1⇒2⋅πλ⋅x=(2⋅n+1)⋅π2⇒x=(2⋅n+1)⋅λ4 Siendo n= 0, 1, 2, 3..., en cualquiera de los casos anteriores.

Nodos y Vientres La onda de la figura representa una onda estacionaria en dos instantes de tiempo concretos. Los puntos marcados en azul oscuro son los nodos de la misma. Los puntos cuya amplitud es 2·A y -2·A , marcados en rojo, son los vientres. Cada punto de la cuerda vibra según un m.a.s. cuya amplitud depende de su posición según: AT=2⋅Asin(2⋅πλ⋅x) . Hemos marcado el sentido de algunos de los puntos de la cuerda mediante las flechas negras.

Formas alternativas Una vez más, si en lugar de considerar la ecuación de onda estacionaria cuya amplitud depende del seno, consideramos la del coseno y=2⋅A⋅cos(k⋅x)⋅sin(ω⋅t), obtenemos: 

Posición de los nodos: x=(2⋅n+1)⋅λ4



Posición de los vientres: x=n⋅λ2

Recuerda, no obstante, que la mejor manera de proceder para determinar la posición de nodos y vientres es hacer el desarrollo completo como has visto anteriormente y no emplear directamente fórmulas que podrían inducirte a errores.

Distancias entre nodos y vientres Podemos calcular la distancia entre dos nodos restando las posiciones de dos consecutivos:

x2−x1=2⋅λ2−1⋅λ2=λ2

A su vez, podemos calcular la distancia entre dos vientres restando las posiciones de dos consecutivos:

x2−x1=(2⋅2+1)⋅λ4−(2⋅1+1)⋅λ4=λ2 Observa que, los resultados finales son los mismos que si hubiésemos considerado la onda original con una amplitud resultante en función del coseno. La distancia entre dos nodos consecutivos de una onda estacionaria o entre dos

vientres consecutivos de la misma es de media longitud de onda ( λ/2 ), lo que implica que la distancia entre un nodo y su vientre más cercano es de un cuarto de longitud de onda ( λ/4 ).

Consideraciones energéticas Observa que la existencia de nodos implica que en una onda estacionaria, a diferencia de lo que ocurría en las viajeras, no se propaga energía a lo largo de la misma, pues esta no puede atravesar los nodos, en reposo permanente. De hecho, en sentido estricto, una onda estacionaria no es un movimiento ondulatorio (recordemos, aquel caracterizado por la propagación de energía sin propagación de materia) y la única razón por la que la consideramos una onda es que es la superposición de dos ondas viajando en sentido contrario. En una onda estacionaria la energía queda confinada entre los nodos. A los vientres le corresponden máximos de energía mientras que esta se anula en los nodos. La energía total será la suma de las energías de las ondas que dan lugar a ella.

Cuerda fija por ambos extremos Un caso especialmente interesante de ondas estacionarias se da cuando excitamos a una determinada frecuencia una cuerdas fija por ambos extremos. No todas las frecuencias de excitación van a producir ondas estacionarias. Veámoslo.

Empezamos considerando una cuerda de longitud L. Al estar fijos ambos extremos, los puntos x=0 y x=L han de ser nodos de la onda estacionaria (tener elongación 0 en todo momento). Dicho de otro modo, las condiciones de contorno serán:

y(0,t)=0 ; y(L,t)=0

Instrumentos de cuerda Los instrumentos de cuerda como la guitarra, el piano, o el violín son ejemplos de lo que ocurren cuando se generan ondas estacionarias en cuerdas fijas por los dos extremos.

Sabemos que los nodos se encuentran separados media longitud de onda y, por tanto, en la onda estacionaria que se genere debe haber un número entero de semilongitudes de onda que se ajuste a la longitud L de la cuerda según: n⋅λ2=L

(n=1, 2, 3...) Si renombramos λ como λ ,y la n

despejamos de la expresión anterior, podemos escribir: Las ondas estacionarias que se generan en una cuerda fija por ambos extremos no pueden tener cualquier valor de longitud de onda sino sólo aquellos que satisfagan que:

λn=2⋅Ln Donde: 

n: Es un número natural mayor o igual que uno



λn: Es la longitud de la onda estacionaria asociada a n. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro



L: Es la longitud de la cuerda, fija por ambos extremos

Por tanto, las longitudes de onda quedan "cuantizadas", es decir, sólo son posibles aquellas que cumplan la relación que marca la expresión anterior:λ1=2⋅L , λ1=L

, λ3=2⋅L3 , etc.

Por otro lado, esta "restricción" se extiende igualmente a las frecuencias posibles. Efectivamente, la frecuencia de una onda y su longitud de onda se relacionan a través de la expresión de la velocidad de fase v y, dado que esta sólo depende del medio, podemos escribir v=λ⋅f⇒fn=vλn=n⋅(v2⋅L) Las ondas estacionarias que se generan en una cuerda fija por ambos extremos no pueden tener cualquier frecuencia sino sólo aquellos que satisfagan que:

fn=n⋅(v2⋅L) A estas frecuencias se las conoce como frecuencias naturales o armónicos y a la primera de las frecuencias naturales la llamamos frecuencia fundamental de la cuerda.

Armónicos en cuerda fija por ambos extremos Cuando provocamos una oscilación en una cuerda fija por ambos extremos pueden aparecer ondas estacionarias si la excitamos con la frecuencia adecuada. En la figura se representan distintos valores de frecuencia que dan lugar a los primeros 4 armónicos. En todos ellos se cumple que λn = 2·L/n. Observa que al armónico n corresponde una onda estacionaria con n vientres y n+1 nodos.

Enunciado En una cuerda se propaga de derecha a izquierda una onda de ecuación y=3⋅cos(5⋅π⋅t+π3x) m . Al llegar al extremo, la onda se refleja. Calcula la ecuación de la onda estacionaria que se generará si: 

No se produce inversión de fase en la reflexión



Hay una inversión en el sentido de vibración

Solución Datos 

Ecuación de la onda que se propaga: y=3⋅cos(5⋅π⋅t+π3x)

m

Consideraciones previas 

La onda estacionaria resulta de la superposición de la onda cuya ecuación nos dan, a la que llamaremos y1, y su reflejada, a la que llamaremos y2



Debemos considerar dos casos. En el primero la onda reflejada no tiene inversión de fase. En el segundo sí (invertir el sentido de vibración quiere decir que la fase se invierte). Cuando la fase se invierte debemos sumar π radianes a la fase de la onda



Una inversión de la fase en la reflexión se produciría por ejemplo en una cuerda cuyo extremo estuviese fijo. Por el contrario, la fase se mantendría si el extremo estuviese libre, como en la onda de la figura

Resolución Caso de que no haya inversión de fase:

y1=3⋅cos(5⋅π⋅t+π3x)y2=3⋅cos(5⋅π⋅t−π3x)}yT=y1+y2=3⋅(cos(5⋅π⋅t+π3x)+cos(5⋅π⋅t−π3x)) Ahora bien, para llegar a una expresión más simplificada tenemos dos opciones: 

Convertir los cosenos en senos mediante la igualdad cos(A)=sin(A+π/2) y aplicar la misma expresión que en el apartado teórico, es decir, sin(A)+sin(B)=2⋅sin(A+B2)⋅cos(A−B2)



Aplicar la relación equivalente a la anterior pero para los cosenos, es decir,cos(A)+cos(B)=2⋅cos(A+B2)⋅cos(A−B2)

Procederemos según la segunda opción:

yT=3⋅2⋅cos((5⋅π⋅t+π3x)−(5⋅π⋅t−π3x)2)⋅cos((5⋅π⋅t+π3x)+(5⋅π⋅t−π3x)2)=6⋅cos(π3x)⋅cos(5⋅π⋅t) m Por otro lado, si consideramos que se produce inversión de fase, tendríamos:

y1=3⋅cos(5⋅π⋅t+π3x)y2=3⋅cos(5⋅π⋅t−π3x+π)}yT=y1+y2=3⋅(cos(5⋅π⋅t+π3x)+cos(5⋅π⋅t−π3x+π ))

Y procediendo de forma similar, tenemos:

yT=3⋅2⋅cos((5⋅π⋅t+π3x)−(5⋅π⋅t−π3x+π)2)⋅cos((5⋅π⋅t+π3x)+(5⋅π⋅t−π3x+π)2)=6⋅cos(π3x−π2)⋅c os(5⋅π⋅t+π2) m

Tubos abiertos

Tubos cerrados Actividades

Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primeros instrumentos musicales. Emitían sonido soplando por un extremo. El aire contenido en el tubo entraba en vibración emitiendo un sonido. Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las flautas, las trompetas y los clarinetes, todos ellos desarrollados de forma que el intérprete produzca muchas notas dentro de una amplia gama de frecuencias acústicas. El órgano es un instrumento formado por muchos tubos en los que cada tubo da una sola nota. El órgano de la sala de conciertos de La Sydney Opera House terminado en 1979 tiene 10500 tubos controlados por la acción mecánica de 5 teclados y un pedalero. El tubo de órgano es excitado por el aire que entra por el extremo inferior. El aire se transforma en un chorro en la hendidura entre el alma (una placa transversal al tubo) y el labio inferior. El chorro de aire interacciona con la columna de aire contenida en el tubo. Las ondas que se propagan a lo largo de la corriente turbulenta mantienen una oscilación uniforme en la columna de aire haciendo que el tubo suene.

Ya hemos visto en este capítulo como son las ondas estacionarias en una cuerda. Ahora veremos las ondas estacionarias que se producen en los tubos abiertos o cerrados por un extremo.

Tubos abiertos

Si un tubo es abierto, el aire vibra con su máxima amplitud en los extremos. En la figura, se representan los tres primeros modos de vibración Como la distancia entre dos nodos o entre dos vientres es media longitud de onda. Si la longitud del tubo es L, tenemos que L= /2, L= , L=3 /2, ... en general L=n /2, n=1, 2, 3... es un número entero Considerando que  =vs/f (velocidad del sonido dividido la frecuencia) Las frecuencias de los distintos modos de vibración responden a la fórmula

Tubos cerrados

Si el tubo es cerrado se origina un vientre en el extremo por donde penetra el aire y un nodo en el extremo cerrado. Como la distancia entre un vientre y un nodo consecutivo es  /4. La longitud L del tubo es en las figuras representadas es L= /4, L=3 /4, L=5 /4... En general L=(2n+1)  /4; con n=0, 1, 2, 3, ... Las frecuencias de los distintos modos de vibración responden a la fórmula

Leyes de Bernoulli

Las fórmulas obtenidas explican las denominadas leyes de Bernoulli: La frecuencia del sonido en un tubo es: 1. Directamente proporcional a la velocidad del sonido vs en el gas que contiene el tubo 2. Inversamente proporcional a la longitud del tubo L

3. En un tubo abierto, se puede producir el sonido que corresponde a la frecuencia fundamental (n=1) y sus armónicos (n=2, 3, 4, ..) 4. En un tubo cerrado, se puede producir el sonido que corresponde a la frecuencia fundamental y los armónicos impares (2n+1=3, 5, 7, ...). 5. En dos tubos idénticos y con el mismo gas, uno abierto y otro cerrado, el abierto produce un sonido cuya frecuencia (fundamental) es el doble que la del cerrado.

Actividades Tubo abierto por ambos extremos: Se activa la casilla titulada Abierto por ambos extremos. Comprobar que si la longitud del tubo L=1 m, y la velocidad del sonido vs =340 m/s la frecuencia del modo fundamental es f0=170 Hz. Se pulsa el botón titulado Siguiente, comprobar que las frecuencias de los armónicos son múltiplos de la frecuencia fundamental: 340 Hz, 510 Hz, etc. Tubo abierto por un extremo Se activa la casilla titulada Abierto por un extremos. Comprobar que si la longitud del tubo L=1 m, y la velocidad del sonido vs =340 m/s la frecuencia del modo fundamental es f0=85 Hz (la mitad que en el tubo abierto) Se pulsa el botón titulado Siguiente, comprobar que las frecuencias de los armónicos son múltiplos impares de la frecuencia fundamental: 255 Hz, 425 Hz, etc. Cinemática de las Ondas Mecánicas Estacionarias Ondas estacionarias en Tubos Sonoros

Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primeros instrumentos musicales. Emitían sonido soplando por un extremo. El aire contenido en el tubo entraba en vibración emitiendo un sonido. Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las flautas, las trompetas y los clarinetes, todos ellos desarrollados de forma que el intérprete produzca muchas notas dentro de una amplia gama de frecuencias acústicas (frecuencias entre 16 hz y 20.000 hz). El órgano es un instrumento formado por muchos tubos en los que cada tubo da una sola nota. El órgano de la sala de conciertos de La Sydney Opera House terminado en 1979 tiene 10500 tubos controlados por la acción mecánica de 5 teclados y un pedalero.

El tubo de órgano es excitado por el aire que entra por el extremo inferior. El aire se transforma en un chorro en la hendidura entre el alma (una placa transversal al tubo) y el labio inferior. El chorro de aire interactúa con la columna de aire contenida en el tubo. Las ondas que se propagan a lo largo de la corriente turbulenta mantienen una oscilación uniforme en la columna de aire haciendo que el tubo suene. Cuando los tubos están en resonancia con la fuente de vibración, se generan ondas estacionarias en él. La fuente de vibracion se encuentran en una extremidad del tubo: la boca de una flauta o el escarpado de un saxofon accionado por una corriente de aire. Generalmente ésta fuente emite un sonido complejo en el cual se encuentra la frecuencia conveniente para producir el sistema de ondas estacionarias en un tubo dado. El tubo vibrante reacciona entonces sobre la fuente y las vibraciones que no corresponden a la resonancia son amortiguadas rápidamente. Tubo Abierto Si un tubo es abierto el aire vibra con su máxima amplitud en los extremos (VIENTRES de deformación). En la siguiente simulación se ilustran los primeros 5 modos en un tubo abierto. En ella se observa claramente que la onda de presión y la de deformación están desfasadas en un cuarto de longitud de onda: donde hay un VIENTRE de deformación hay un NODO de presión y viceversa. También se puede observar que el elemento de la columna gaseosa cuyo centro de masa está en un NODO es el que más se deforma (densidad de energía potencial máxima), mientras que el elemento cuyo centro de masa está en un VIENTRE no sufre deformación (densidad de energía

potencial nula, es decir,

, en todo instante).

Al observar la simulación se deduce también que:



En el armónico 1 (modo 1) en la longitud L del tubo cabe media longitud de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión):



En el armónico 2 (modo 2) en la longitud del tubo cabe una longitud de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión):



En el armónico 3 (modo 3) en la longitud del tubo caben 3/2 de longitudes de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión):



En el armónico 4 (modo 4) en la longitud del tubo caben 2 longitudes de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión):



En general si se sigue aumentando de modo, se conluye que en la longitud del tubo cabe un número natural de semilonitudes de onda, es decir,

como

, siendo

la longitud de onda en el modo n , y

la frecuencia del mismo, se obtiene que,

aquí n es un número natural (1,2,3,4,...) y L es la longitud del tubo (longitud de la columna de gas) y V la velocidad de propagaciòn de las ondas longitudinales en la columna (velocidad del sonido). En caso de ser aire a temperatura de unos 20º C y a la presión de 1 atm será aproximadamente de 340.0 m/s ( a este valor se le denomina Mach). Para los tubos abiertos se debe considerar que los vientres de deformación de la onda estacionaria tienden a formarse fuera del tubo (irradiación de onda) y no exactamente en los extremos del tubo, por lo que la longitud de la columna de aire vibrante es algo mayor que la del tubo. Este hecho es tenido en cuenta en la construcción del instrumento aplicando un factor de corrección para determinar la longitud exacta del tubo en función del primer armónico que se pretende obtener. La medida en que se prolonga la columna de aire al irradiarse en los extremos está en relación con las dimensiones del tubo. Cuanto más largo y delgado es este, mayor irradiación se presenta. Ejemplo: Un tubo abierto tiene una longitud igual a 1.00m. Encontrar las frecuencias de sus tres primeros armónicos. Solución:

Para calcular las frecuencias propias empleamos la expresión

. Por tanto , la frecuencia fundamental es,

de la misma forma se puede calcular las frecuencias del segundo y tercer armónico reemplazando n por 2 y 3 respectivamente, obteniéndose los valores de 340 hz y 510 hz. Tubo Cerrado Si un tubo es cerrado el aire vibra con su máxima amplitud en el extremo donde está la fuente de vibración (VIENTRE de deformación) y en el extremo opuesto no vibrará (NODO de deformación). En la siguiente simulación se ilustran los primeros 10 modos en un tubo cerrado. En ella se observa nuevamente como la onda de presión y la de deformación están desfasadas en un cuarto de longitud de onda: donde hay un VIENTRE de deformación hay un NODO de presión y viceversa. Como en la simulación anterior, también se puede observar que el elemento de la columna gaseosa cuyo centro de masa está en un NODO es el que más se deforma (densidad de energía potencial máxima), mientras que el elemento cuyo centro de masa está en un VIENTRE no sufre deformación (densidad de

energía potencial nula, es decir,

, en todo instante)

Al observar la simulación se deduce también que:



En el armónico 1 (modo 1) en la longitud L del tubo cabe un cuarto de la longitud de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión):



En el armónico 2 (modo 2) en la longitud del tubo caben 3/4 de la longitud de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión):



En el armónico 3 (modo 3) en la longitud del tubo caben 5/4 de la de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión):



En el armónico 4 (modo 4) en la longitud del tubo caben 7/4 de longitudes de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión):



En general si se sigue aumentando de modo, se conluye que en la longitud del tubo cabe un número natural impar de cuartos de longitudes onda, es decir,

como

, siendo

la longitud de onda en el modo n , y

la frecuencia del mismo, se obtiene que,

aquí n es un número natural (1,2,3,4,...) y L es la longitud del tubo (longitud de la columna de gas) y V la velocidad de propagaciòn de las ondas longitudinales en la columna (velocidad del sonido). En la figura 1 se ilustra un tubo cerrado el cual puede modificar la longitud de la columna de aire mediante el desplazamiento de un piston en el extremo cerrado.

Figura 1 Ejemplo: Un tubo cerrado tiene una longitud igual a 1.00m. Encontrar las frecuencias de sus tres primeros armónicos. Solución:

Para calcular las frecuencias propias empleamos la expresión fundamental es,

. Por tanto , la frecuencia

de la misma forma se pueden calcular las frecuencias del segundo y tercer armónico reemplazando n por 2 y 3 respectivamente, obteniéndose valores de 255 hz y 425 hz.

Calor y Temperatura (III): Temperatura y termómetros Vamos con nuestra tercera entrega. Tras dedicar las dos primeras al calor y su transmisión, ya es hora de hablar un poco de la temperatura. Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es la temperatura, ya que somos (o al menos nos creemos) capaces de distinguir cosas calientes y frías, gracias a nuestro sentido del tacto. En realidad, como en tantas otras ocasiones, nuestros sentidos son mucho menos fiables de lo que nos gusta pensar, y a menudo nos engañan. Ya pusimos el ejemplo de andar descalzos en casa sobre una alfombra o sobre las baldosas del baño. Ambas están a la misma temperatura (la de la casa), pero nuestros pies gritan: ¡las baldosas están más frías! Está claro que si nuestros sentidos nos engañan, necesitamos un método más objetivo para

medir la temperatura. Y para ello, antes necesitamos identificar comportamientos que puedan relacionarse de forma numérica con las variaciones de temperatura. Los físicos y químicos han identificado no menos de 15 fórmulas o ecuaciones que pueden utilizarse para determinar la temperatura de equilibrio de un sistema,[1] y existen muchas más que permiten hacerlo de forma indirecta. Basándonos en estas fórmulas, puede construirse un aparato que nos permita medir la temperatura: un termómetro. Por ejemplo, los que quieran desempolvar los conocimientos de química del instituto, sin duda recordarán la ecuación de los gases ideales (no ideales de la muerte, sino ideales, a secas): PV=nRT (Por Venezuela Ni Rómulo Trabaja, para los que tengan mala memoria). Con esta ecuación puede construirse uno de los termómetros más exactos que se conocen: el termómetro de gas a volumen constante. Si la cantidad de gas es constante, el volumen es constante y, por supuesto, R es constante (por algo se llama la constante universal de los gases ideales), las variaciones de temperatura tendrán una relación directa con las variaciones de presión. Estas últimas, a su vez pueden relacionarse con las variaciones de altura de una columna de mercurio en un manómetro, con lo cual podemos relacionar la temperatura de un sistema con una lectura directa de altura en el manómetro. Históricamente, el primer termómetro del que se tiene noticia, construido por Galileo en 1592, también basaba su funcionamiento en la relación entre temperatura y volumen de un gas.

Termómetro de gas (Fuente: imagen modificada de Kuroisam, dominio público)

Esta claro que no vamos por ahí con ampollas de gases y manómetros cuando queremos tomarnos la temperatura para saber si tenemos fiebre. Los termómetros clínicos clásicos basan su medida en otra propiedad: la dilatación o contracción del volumen de un líquido con los cambios de temperatura. Si el líquido está encerrado en un tubo muy estrecho, dicha variación de volumen se manifestará como una variación de la longitud del tubo ocupada por el líquido. Normalmente, este tipo de termómetros tienen un bulbo o reservorio que contiene la mayor parte del líquido, conectado con un tubo muy estrecho, por donde dicho líquido sube o baja según su volumen se expanda o se contraiga. En 1714, el físico germano-polaco Daniel Fahrenheitdescribió el primer termómetro graduado de mercurio, cuyo uso se ha mantenido durante casi tres siglos, y que todos conocemos. En la actualidad, y debido a la toxicidad del mercurio y su capacidad contaminante, su empleo para la fabricación de termómetros y otros instrumentos se ha prohibido en muchos lugares. En España lo está desde el año 2007. Aún antes de su prohibición, existían en el mercado alternativas al termómetro de mercurio, como el termómetro digital, basado en la variación de la conductividad con la temperatura de la soldadura de dos metales distintos (lo que se conoce como un termopar), el termómetro de oído, basado en la emisión de infrarrojos de los objetos calientes (¡recordad la transmisión de calor por radiación!) o incluso el divertido termómetro de cristal líquido, que se coloca sobre la frente, coloreándose la parte que corresponde a la temperatura en ese momento. Ninguno de éstos ha tenido mucho éxito, por lo que ahora se comercializan termómetros clínicos similares a los de mercurio, pero que contienen Galinstan®, una mezcla de galio, indio y estaño (Gallium,indium,stannum, ¿lo pillan?), con pequeñas cantidades de otros elementos, como zinc, antimonio o bismuto, que hacen que la mezcla sea líquida por encima de −20 ºC.

Distintos tipos de termómetros clínicos: arriba, de mercurio, en el centro, de galinstan, abajo, digital (Fuente: elaboración propia)

Tan importante como disponer del aparato resulta su graduación, para poder cuantificar numéricamente el valor de la temperatura. En este aspecto, uno se pregunta en qué estaría pensando Fahrenheit cuando estableció su escala de temperatura. Una de las cosas, desde luego, era evitar el empleo de temperaturas negativas. Para ello situó el cero de la escala (O ºF) en la mezcla más fría que pudo preparar: una mezcla de hielo, agua y cloruro amónico. Esta mezcla tiene una temperatura de unos −18 ºC. Obviamente, pecó de optimista, al creer que no se descubriría una temperatura menor. De hecho, en muchos lugares, la temperatura ambiente en la estación fría del año es bastante más baja, por no hablar de las zonas polares. También utilizó como referencia la temperatura corporal normal de un ser humano (un valor nada preciso, por otra parte), que situó en 96 ºF, lo que supone 12 divisiones mayores y 8 menores (12 x 8 = 96) de la escala. Con esta definición, el punto de congelación del agua resultaba ser de 32 ºF y el de ebullición 212 ºF, lo que supone una diferencia de 180 grados, que es justo la mitad de los grados sexagesimales que tiene una circunferencia… Todo esto suena a pesadilla, pero es la escala que sigue utilizándose comúnmente en EE.UU. La alternativa a la escala Fahrenheit fue la escala de Celsius, o centígrada, definida en 1742. En ella, el punto de congelación del agua se toma como 0 y el punto de ebullición como 100, dividiéndose la escala en 100 grados. Mucho más sencillo, ¿verdad? Esta es la escala que se utiliza en el Sistema Internacional de Unidades y en la mayoría de los países actualmente. Tanto la escala Fahrenheit como la Celsius se basan en la elección arbitraria de dos valores, uno de ellos definido siempre como el 0 de la escala. Hubo que esperar más de un siglo, hasta 1848, para que William Thomson, más tarde conocido como Lord Kelvin, definiera una escala absoluta de temperatura. Absoluta, porque el O no era elegido a capricho, sino que era el auténtico cero: O K, la temperatura más baja que puede alcanzarse, ¿OK?. Esta temperatura equivale a −273,15 ºC. Vamos, vamos, diréis, ¿seguro que a Kelvin no le pasó como a Fahrenheit y pecó de optimista al definir la temperatura más baja posible? Pues no, y para ello debemos definir de una vez cuál es el significado físico de la temperatura y qué relación tiene con el calor.

William Thomson (Lord Kelvin) (Fuente: dominio público) Si en nuestra primera entrega definíamos el calor como una medida de la agitación de las partículas que constituyen la materia, y lo relacionábamos con su energía de movimiento (cinética), ahora debemos relacionar la temperatura con la agitación promedio de dichas partículas. Por ejemplo, en el caso de un gas, la temperatura está directamente relacionada con la velocidad promedio de las moléculas o átomos que lo componen. Así pues, el calor es una propiedad extensiva (es decir, depende de la cantidad de materia considerada), mientras que la temperatura lo es intensiva. Un ejemplo: en una cazuela con 2 litros de agua y en una taza de té con 0,1 litro de agua, las moléculas de agua se agitan a la misma velocidad promedio (es decir, están a la misma temperatura), pero obviamente, hace falta mucha más energía para calentar la cazuela que para calentar la taza: el calor total contenido en el agua de la cazuela es mucho mayor, porque hay 20 veces más moléculas agitándose. Por poner una analogía económica, el calor sería el equivalente del Producto Interior Bruto (PIB) de un país, mientras que la temperatura lo sería de la Renta per Cápita (RpC). Así, por ejemplo, Luxemburgo tiene una RpC de unos 107.000 $ anuales, muy superior a la de EE.UU. (unos 55.000 $). La “temperatura económica” de Luxemburgo es mayor que la de EE.UU. Sin embargo, su “calor económico” total apenas es el 0,3% del de EE.UU., ya que el PIB de este último es más de 300 veces superior. Pero volvamos a Lord Kelvin y su cero absoluto. Si la temperatura es una medida del promedio de la energía de movimiento de las partículas, está claro que sí puede haber un límite inferior absoluto: cuando las partículas se encuentren inmóviles en su totalidad. Su energía de movimiento en ese estado será nula, y no puede ser inferior. La temperatura de un sistema en ese estado será justamente O K. Pero, ¿pueden los átomos o moléculas estar perfectamente inmóviles? Eso parecía en tiempos de Kelvin, hasta que llegaron Heisenberg y la teoría cuántica, y lo liaron todo. Pero esa es otra historia y debe ser contada en otra ocasión…