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• Timothy Moreno

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EJERICIOS DE Números ENTEROS

Pregunta 1: ¿Cuál es el valor de -3 - (7 - 11) · -2? A) -11 B) -2 C) 5 D) 24 E) 42 SOLUCIONARIO COMENTARIO: Para resolver esta pregunta el alumno debe ser capaz de realizar operatoria aritmética en los números enteros y respetar el orden en dicha operatoria. De esta forma, el valor de -3 - (7 - 11) · -2, cabe destacar en este ejercicio la prioridad de los paréntesis en primer lugar, luego la multiplicación por sobre la resta, esto es =3 - (-4) · -2 = -3 - 8 = -11, valor que se encuentra en la opción A). Entre los errores más frecuentes están los distractores C) y E). En el distractor C) se comete el error -3 - (7 - 11) · -2 = -3 - (-4) · -2 =-3 - 8 = 5. En el distractor E) no se respeta la prioridad de las operaciones y sólo se efectúa la operatoria de izquierda a derecha, resultando -3 - (7 - 11) · -2 = -10 - 11 · -2 = -21 · -2 = 42.

Pregunta 2: La diferencia entre -3 (5 - 9) y -3 (-7 - 5), en ese orden es: A) 12 B) 24 C) 48 D) -24 E) -180 SOLUCIONARIO COMENTARIO: Para resolver esta pregunta el alumno debe ser capaz de interpretar la información entregada en el enunciado para posteriormente realizar en el conjunto de los números enteros operatorias aritméticas. De esta forma, la traducción del enunciado es -3 (5 - 9) - -3 (-7 - 5) y al desarrollar la operatoria se tiene que -3 (-4) - -3 (-12) = 12 + -36 = -24, valor que se encuentra en la opción D). Entre los errores más frecuentes se encuentran los distractores B) y C). En B) se comete el error de efectuar la diferencia en el siguiente orden -3 (-7 - 5) - -3 (5 - 9), resultando 24. En C) se comete el siguiente error de signos: -3 (5 - 9) - -3 (-7 - 5) = -3 (-4) - -3 (-12) = 12 + 36 = 48.

Pregunta 3: Belén tiene 7 amigos, a los cuales les desea regalar dulces, de manera que cada amigo reciba un número distinto de dulces. ¿Cuál es el número mínimo de dulces que regalará? A) 7 B) 21 C) 28 D) 35 E) 49 SOLUCIONARIO COMENTARIO: Esta pregunta pertenece al contenido de resolución de desafíos y problemas numéricos. Para dar solución al problema el alumno debe ser capaz de comprender el enunciado para determinar el menor número de dulces que se regalarán. Por condición del problema hay 7 amigos y cada uno debe recibir un número distinto de dulces, entonces el primer amigo podría recibir 1 dulce, el segundo 2 dulces, el tercero 3 y así sucesivamente hasta el séptimo amigo, luego la solución del problema está dada por: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28, valor que se encuentra en la opción C). Dos probables errores están en los distractores A) y E). En A) como en el problema se hace alusión a un mínimo de dulces se plantea como solución 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7, sin considerar que cada amigo debía recibir un número distinto de dulces. En E) se plantea el máximo que son 7 dulces a cada amigo, no considerando que cada amigo debe recibir un número distinto de dulces y la condición mínima.

Pregunta 4: Un equipo se compone de cinco integrantes, cada integrante debe recibir una puntuación dada por un número natural y ésta debe ser diferente de los demás compañeros. Si la mayor puntuación posible a un competidor son 10 puntos. ¿Cuál es la mayor puntuación posible del equipo? A) 50 B) 40 C) 30 D) 15 E) 5 SOLUCIONARIO COMENTARIO: Esta pregunta pertenece al contenido de resolución de desafíos y problemas numéricos. Para dar solución al problema el alumno debe ser capaz de comprender el enunciado para determinar la mayor puntuación posible del equipo. Como el equipo está compuesto por 5 integrantes, el mejor competidor puede recibir 10 puntos, el siguiente 9 puntos, el siguiente 8 puntos y así sucesivamente hasta el quinto integrante que a lo más puede recibir 6 puntos. Luego la solución al problema está dada por 10 + 9 + 8 + 7 + 6 = 40, de esta forma la opción correcta es B). Posibles errores se encuentran en los distractores A) y D). En A) se comete el error de asignar a cada integrante 10 puntos, no recordando la condición de diferentes puntajes entre los integrantes, así la solución sería 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50. En D) por el contrario se resuelve el problema con la menor puntuación posible, esto es: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Pregunta 5: ¿Cuántos factores o divisores positivos tiene 30?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 SOLUCIONARIO COMENTARIO: Esta pregunta apunta a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad, en este caso el alumno debe determinar los divisores de un número. Recordemos que a es un factor o divisor de b si se cumple que b = a · c, siendo c un número entero. Los divisores positivos de 30 son {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, luego tiene 8 divisores o factores positivos. Los distractores más frecuentes son A), B) y D). En A) no se considera como divisor ni el 1 ni el 30, contando solo como divisores al conjunto {2, 3, 5, 6, 10, 15}. En B) no se contabiliza al número 30, quedando el conjunto {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15}. En D) se contabilizan todos sus divisores pero se agrega erradamente al 0, el cual no es divisor de ningún número.

Pregunta 6: Con respecto a los factores positivos de 15, se puede afirmar que

A) son tres y la suma de ellos es 9. B) son tres y la suma de ellos es 25. C) son dos y la suma de ellos es 8. D) son cinco y la suma de ellos es 24. E) son cuatro y la suma de ellos es 24. SOLUCIONARIO COMENTARIO: Esta pregunta apunta a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad, en este caso el alumno debe determinar los divisores de un número. Recordemos que a es un factor o divisor de b si se cumple que b = a · c, siendo c un número entero. Los divisores o factores de 15 son el conjunto {1, 3, 5, 15}, son cuatro y su suma es 24. Los errores más frecuentes están en los distractores A) y D). En A) no se considera al 15 como factor. En D) considera todos sus divisores pero le agrega erradamente el 0, resultando así cinco divisores.

Pregunta 7: Siendo k un número natural el valor de

es

A) 0 B) 2 C) -2 D) 1 E) -1

SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido asociado a esta pregunta es el de potencia con exponente entero, en este caso el alumno debe analizar lo que sucede con una potencia de base negativa y exponente un número natural.

Al analizar la expresión

se debe tener en cuenta que el exponente 2k

es siempre un número par y el exponente 2k - 1 es siempre un número impar, luego

es igual a 1 (potencia de base negativa y exponente par es siempre

positiva), por su parte

es igual a -1 (potencia de base negativa y exponente

impar es siempre negativa), resultando por suma 1 + -1 = 0, valor que se encuentra en la opción A). Un error frecuente se encuentra en el distractor E), en este distractor se mantiene la base y se suman los exponentes resultando

.

Pregunta 8: El valor de

, con k entero positivo es

A) -1 B) -3 C) 1 D) 3 E) dependiente del valor de k

SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido asociado a esta pregunta es el de potencia con exponente entero, en este caso el alumno debe analizar lo que sucede con una potencia de base negativa y exponente un número natural. Al analizar la expresión

, se deben analizar primeramente los

exponentes k y 2k + 3. El exponente k puede ser par o impar, en el caso que k es par

, en el caso que k sea impar

, entonces se infiere que depende

del valor de k. En el exponente 2k + 3 siempre impar, luego el valor de la expresión

. Por lo tanto

Puede ser -1 si k es par o puede ser -3 si k

es impar. Finalmente el valor de la expresión es dependiente del valor que asume k lo cual se encuentra en la opción E). Los distractores frecuentes vienen de particularizar si k es par o impar, si sólo se analiza el caso de k par se obtiene la opción A). Si sólo se analiza el caso de k impar se obtiene la opción B).

Pregunta 9: Si p es un número divisible por 4 y q es un número divisible por 5. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) p es menor que q. II) p + q es divisible por 9. III) p · q es divisible por 20. A) solo I. B) solo II. C) solo III. D) solo II y III. E) I, II y III. SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido involucrado en esta pregunta está relacionado con las propiedades asociadas a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad Como p es divisible por 4, entonces p pertenece al conjunto de los múltiplo de 4, es decir {…-8, -4, 0, 4, 8…} de la igual forma como q es un número divisible por 5, q pertenece al conjunto de los múltiplos de 5 esto es {… -10, -5, 0, 5, 10…}. La afirmación I) es falsa porque no necesariamente p es menor que q, bastaría con tomar a p igual 4 y q igual a 0. En la afirmación II) p + q = 4k + 5r siendo k y r números enteros, no necesariamente es divisible por 4 bastaría con considerar p = 4 y q = 10, con ello p + q = 14 y no es divisible por 9. En la afirmación III) p · q = 4k · 5r = 20kr y kr es un número entero, lo anterior expresa que p · q es siempre divisible por 20. Luego la opción correcta es C). Un error frecuente es considerar que p + q es divisible por 9, el error está en considerar p = 4r y q = 5r, luego p + q = 9r, expresión que es divisible por 9.

Pregunta 10: Un número entero N es divisible por 2 y es divisible por 8. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) N es divisible por 4. II) N es divisible por 16. III) N = 8

A) solo I. B) solo II. C) solo I y II. D) solo II y III. E) I, II y III. SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido involucrado en esta pregunta está relacionado con las propiedades asociadas a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad Como N es divisible por 2 y 8 a la vez, entonces N es divisible por 8, esto es N = 8·k, siendo k un número entero. La afirmación I) es verdadera, pues si es divisible por 8 también lo es por 4. La afirmación II) es falsa, pues N no necesariamente es divisible por 16 basta con tomar N = 8·3 = 24, el cual no es divisible por 16. La afirmación III) N = 8 es falsa, pues N es múltiplo de 8 y no necesariamente el número 8. Los errores frecuentes vienen de considerar que las afirmaciones II) y III) son verdaderas, en II) se piensa erróneamente que como N es divisible por 2 y por 8, entonces también lo será por el producto 2 · 8. En III) sólo se particulariza un caso posible de N, el cual es N = 8.

Pregunta 11: La máquina de la fig. 1, representa una procesadora de números que opera de la siguiente forma, al sucesor del número que ingresa por A, le agrega el cuadrado del número que ingresa por B. ¿Qué número se obtiene si por A ingresa el -4 y por B el -2?

A) 7 B) 1 C) -1 D) -7 E) -9 SOLUCIONARIO COMENTARIO: Esta pregunta apunta a la resolución de un problema numérico sencillo, donde el alumno debe comprender los datos que se entregan en el enunciado para así, a través de una valorización adecuada obtener la solución al problema. Como por A ingresa el -4 si sucesor es -4 + 1= -3, por B ingresa el -2 y su cuadrado es

, luego la suma entre estos números es -3 + 4 = 1, valor que se

encuentra en la opción B). Entre los distractores más frecuentes están C) y D). En C) se considera erróneamente el sucesor de -4 como -5, entonces la solución sería un error en el signo de la potencia de -2, esto es

. En D) se comete .

Pregunta 12: Cinco amigos disponen de una tarjeta en las cuales aparece una expresión algebraica, detallada a continuación:

Si la variable x toma el valor -4, ¿cuál de los amigos obtiene la mayor puntuación?

A) Francisco B) Elena C) Miguel D) Kathia E) Eduardo SOLUCIONARIO COMENTARIO: Esta pregunta apunta a la resolución de un problema numérico sencillo, donde el alumno debe comprender los datos que se entregan en el enunciado para así, a través de un reemplazo en las tarjetas debe realizar la operatoria que se indica y luego determinar la mayor puntuación entre ellas. Es así como si se reemplaza x por -4 en cada una de las tarjetas se obtiene: Francisco: 2(-4) - 3 = -8 - 3 = -11 Elena: 4 - (-4 ·-4) = 4 - (16) = -12 Miguel: 4· (-4) = -16 Kathia: 3 · (-4) + 2 = -12 + 2 = -10 Eduardo: 5 · (-4) - 2 = -20 - 2 = - 22 Luego al comparar el orden entre estos números, se obtiene que la mayor puntuación es -10 y la obtiene Kathia. El distractor más frecuente es E), en él se considera el valor absoluto de -22 y se piensa erróneamente que este es el mayor valor.

Pregunta 13: Si p es un número par y q es un número impar ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) p + 4q es un número divisible por 4. II) pq - 3 es un número impar. III) 2p + q - 1 es impar. A) solo I. B) solo II. C) solo III. D) solo I y II. E) solo II y III. SOLUCIONARIO COMENTARIO: Esta pregunta apunta a la generalización de números pares e impares en el conjunto de los números enteros. Un número p se dice par si se puede escribir de la forma p = 2r, siendo r un número entero, a su vez q se dice impar si se puede escribir de la forma q = 2k - 1, siendo k un número entero. En la afirmación I) p + 4q = 2r + 4(2k - 1) = 2r + 8k - 4 = 2(r + 4k - 2), lo anterior expresa que p + 4q es siempre divisible por 2, pero no siempre lo es por 4. En la afirmación II) pq - 3 = 2r · (2k - 1) - 3, pero r · (2k - 1) es un número entero entonces pq - 3 es siempre un número impar. En la afirmación III) 2p + q - 1, como q es impar, entonces q - 1 es par, luego 2p + (q - 1) es la suma de dos enteros pares, por lo tanto también es par. Entonces la opción correcta se encuentra en B). Posibles errores en la afirmación I) considera que como 4q es divisible por 4, la expresión p + 4q también lo es, en la afirmación III) factoriza erróneamente la expresión como 2p + q - 1 = 2 (p + q) - 1 y de ello deduce que es impar.

Pregunta 14: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) Un número es divisible por 5 cuando su último dígito es 0 ó 5. B) Si el producto de dos números enteros es par, entonces al menos uno de los números debe ser par. C) La suma de todo número divisible por 4 con todo número divisible por 8, es divisible por 4. D) El producto de todo número divisible por 2 con todo número divisible con 6, es divisible con 3. E) La suma de todo número divisible por 2 con todo número divisible por 3, es divisible con 5. SOLUCIONARIO COMENTARIO: Para encontrar la solución a la pregunta el alumno debe recordar las propiedades asociadas a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad, para luego analizar lo que se afirma en cada opción y determinar su veracidad. Es así como, en A) se debe recordar que un número es divisible por 5 cuando su último dígito es 0 ó 5, luego A) es verdadera. En B) Recordar que un número par siempre tiene la forma 2 · k, por lo tanto en este producto (entre los números 2 y k) siempre a lo menos hay un par (k podría ser par o impar). En C) si 4k es un número divisible por 4 y 8r es un número divisible por 8 entonces 4k+ 8r = 4 (k + 2r) es necesariamente un número divisible por 4 (tiene como factor el número 4). En D) sea 2k un número divisible por 2 y 6q un número divisible por 6, entonces su producto será 2k · 6q = 12kq = 3 (4kq) lo que muestra que la expresión anterior es divisible por 3. En E) sea 2k un número divisible por 2 y 3q un número divisible por 3, entonces su suma es 2k + 3q la cual no necesariamente es divisible por 5, por ejemplo si k = 2 y q = 1 la expresión toma el valor 2(2) + 3(1) = 7, y no es divisible con 5.

Pregunta 15: La suma de cuatro pares consecutivos es siempre I) divisible por 4. II) divisible por 5. III) divisible por 12.

A) solo I. B) solo II. C) solo I y II. D) solo I y III. E) I, II y III. SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido involucrado en esta pregunta son los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad y su generalización a través de la notación y del uso de las letras en el lenguaje algebraico. Es así como, del enunciado se debe describir las expresiones que representen a cuatro números pares consecutivos, si se designa por 2k el primer número, se tiene que el segundo es 2k + 2, el tercer número es 2k + 4 y el cuarto número es 2k + 6, luego la suma está dada por 2k + 2k + 2 + 2k + 4 + 2k + 6, usando reducción de términos semejantes se llega a 8k + 12, por último factorizando por 4 se obtiene 4 (2k+3). La afirmación I) es verdadera, pues 4 (2k+3) es siempre divisible por 4. La afirmación II) no siempre es divisible por 5 bastaría con considerar k = 0, con lo que la expresión toma el valor 4(2(0) + 3) = 12, y no es divisible por 5. La afirmación III) no siempre es divisible por 12, bastaría con tomar k = 1, con lo que la expresión toma el valor 4(2(1) + 3) = 20, y no es divisible por 12. Los errores vienen de considerar en la afirmación II) k=1, y no tomando otro valor de referencia. En la afirmación III) k = 0.

Pregunta 16: ¿Cuál es la suma de tres impares consecutivos si el mayor de ellos es k? A) 3k - 3 B) 3k + 3 C) 3k - 6 D) 3k + 6 E) 6k + 9 SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido involucrado en esta pregunta son los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad y su generalización a través de la notación y del uso de las letras en el lenguaje algebraico. Como el mayor de tres impares consecutivos es k, su antecesor será k - 2, y el antecesor de este k - 2 - 2 = k - 4, luego la suma entre estos tres impares consecutivos en términos de k será k + k - 2 + k - 4 = 3k - 6, expresión que se encuentra en la opción C). Un distractor frecuente se encuentra en E), en donde se consideran los impares consecutivos 2k + 1, 2k + 3, 2k + 5 cuya suma es 6k + 9, no asumiendo que por condición del problema el mayor de estos tres impares debía ser k.

Pregunta 17: En el siguiente cuadro mágico (la suma de los número ubicados en filas, columnas y diagonales mayores es siempre la misma) sólo aparecen los números 5, 6, 7 y 8 y sabiendo que ninguno de ellos se repite en ninguna fila, columna o diagonal mayor, entonces w + z - (x + y) =

A) 26 B) 4 C) 2 D) 0 E) -2 SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido de la pregunta es la resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de variables por dígitos y/o números. Requiere de parte del alumno la capacidad de comprender las instrucciones dadas en el enunciado que le permiten completar la tabla.

Se pide determinar w + z - (x + y), como la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal principal es constante, esta suma equivale a 6 + 7 + 5 + 8 = 26. Mirando la segunda fila que contiene como primer número al 8 y último número el 6, entonces x podría ser 5 ó 7 e y 7 ó 5, pero como ningún número se debe repetir ni en fila ni en columna entonces x debe ser 5 e y debe ser 7. Mirando la segunda columna 7 + 5 + z + 8 debe sumar 26, luego z = 6. Mirando la tercera columna 5 + 7 + w + 6 = 26, luego w = 8, por lo tanto w + z - (x + y) = 8 + 6 - (5 + 7) = 14 - (12) = 2, valor que se encuentra en la opción C). Los distractores están dados en función permutar los valores reales de x, y, w y z.

Pregunta 18: En la figura 2, la suma de dos casilleros consecutivos en una misma fila es igual al casilleros superior en la fila ubicada arriba, teniendo en cuenta lo anterior, ¿cuál es el valor de A + B?

A) 6 B) 29 C) 39 D) 45 E) 50 SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido de la pregunta es la resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de variables por dígitos y/o números. Requiere de parte del

alumno la capacidad de comprender las instrucciones dadas en el enunciado que le permiten completar la figura.

Como la suma de dos casilleros consecutivos en una misma fila es igual al casillero superior ubicado en la fila superior, se tiene que A + 5 = 11, entonces A = 6, 3 + 6 = 9, 7 + 3 = 10, 10 + 9 = 19, 9 + 11 = 20 y finalmente 19 + 20 = 39 = B. Por lo tanto A + B = 6 + 39 = 45, valor que se encuentra en la opción D).

Pregunta 19: José debe comprar 4 lápices a $450 cada uno y 7 cuadernos a $900 cada uno. Si paga con un billete de $10.000. ¿Cuánto dinero le deberá devolver el vendedor? A) $8.100 B) $6.300 C) $1.900 D) $1.800 E) Otro valor

SOLUCIONARIO COMENTARIO: Esta pregunta combinada corresponde a un problema numérico simple, que requiere de saber operar en forma rutinaria con números naturales. José gasta en lápices 4 · 450 = $1800, en cuadernos gasta 7 · 900 = $6300, por lo tanto en total gasta $1800 + $6300 = $8100. Luego como pagó con un billete de $10000, le deben entregar de vuelto 10000 - 8100 = $1900, valor que se encuentra en la opción C). El error más frecuente está en el distractor A), el cual solo considera el gasto total efectuado por José y no la devolución de dinero que debe entregar el vendedor.

Pregunta 20: Un camión que transportaba 200 sacos de harina de 50 kg cada saco, se caen 4 sacos los cuales pierde. Si el dueño de la harina compró en $4500 cada saco y vende los que quedan a $120 el Kg. Entonces se puede afirmar correctamente que

A) ganó exactamente $276.000. B) ganó más de $300.000. C) ganó más de $176.000 y menos de $256.000. D) ganó exactamente $300.000. E) no ganó ni perdió dinero.

SOLUCIONARIO

COMENTARIO: Esta pregunta combinada corresponde a un problema numérico simple, en el cual el alumno debe ser capaz de traducir el problema a una operatoria rutinaria con números naturales. El dueño compró 200 sacos y cada uno a $4500, luego invirtió 200 · 4500 = $900000 Como pierde 4 sacos de harina se queda con 200 - 4 = 196 sacos y cada uno de estos sacos contiene 50 kg de harina, vendiendo el kilógramo de harina a $120, entonces vendió: 196 · 50 · 120 = $1176000, finalmente lo ganado por el dueño corresponde a la diferencia entre lo vendido y lo comprado, esto es 1176000- $900000 = $276000, valor que se encuentra en la opción A). El distractor más frecuente se encuentra en la opción D), valor que se obtiene al no considerar la pérdida de los 4 sacos de harina

Pregunta 21: Cecilia olvidó el número de la casa de su amigo Leonel, pero recuerda que tiene 4 dígitos. Los dos últimos son pares consecutivos, de los primeros dos dígitos uno es el triple del otro y la diferencia entre el mayor y el menor dígito es 7. ¿Cuál(es) de los siguientes números podría(n) ser el número de Leonel? I) 9324 II) 1368 III) 4246 A) solo I. B) solo I y II. C) solo I y III. D) I, II y III. E) ninguno de ellos.

SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido de la pregunta es la resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de variables por dígitos y/o números. Requiere de parte del alumno la capacidad de comprender las instrucciones dadas en el enunciado que le permiten resolver el problema. En la afirmación I) el número 9324 cumple con todas las condiciones del enunciado, esto es, tiene cuatro dígitos, los dos últimos dígitos son pares consecutivos (2 y 4), de los primeros dos dígitos uno es el triple del otro (9 es el triple de 3) y la diferencia entre el mayor y menor dígito es 9 - 2 = 7. En la afirmación II) el número 1368 cumple con todas las condiciones del enunciado, esto es, tiene cuatro dígitos, los dos últimos dígitos son pares consecutivos (6 y 8), de los primeros dos dígitos uno es el triple del otro (3 es el triple de 1) y la diferencia entre el mayor y menor dígito es 8 - 1 = 7. En la afirmación III) el número tiene cuatro dígitos, los dos últimos dígitos son pares consecutivos (4 y 6), pero falla la tercera condición 4 es el doble de 2 y no el triple, además la diferencia entre el mayor y menor dígito es 6 - 2 = 5 y no es 7. El error más frecuente se encuentra en considerar como verdadera la afirmación III), sin un mayor análisis de las dos últimas condiciones que debe verificar el número. Pregunta 22: Marco ganó $350 en su primer día como comerciante, $650 el segundo, $950 el tercer día, $1.250 el cuarto y así sucesivamente. Si su aumento en las ganancias se mantiene constante, entonces al vigésimo (20) día deberá ganar:

A) $6.000 B) $6.050 C) $6.350 D) $7.000 E) Otro valor.

SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido de la pregunta es la resolución de desafíos y problemas no rutinarios, en este caso de descubrir un patrón numérico en una secuencia sencilla. Requiere de parte del alumno la capacidad de comprender las instrucciones dadas en el enunciado que le permiten resolver el problema. Las ganancias de Marco están dadas por la sucesión {$350, $650, $950, $1250, ….} Se observa que la diferencia es siempre constante es igual a $300, luego su término general es de la forma

, entonces al vigésimo día deberá ganar 300 ·

20 + 50 = 6000 + 50 = 6050, valor que se encuentra en la opción B). Los distractores más frecuentes se encuentran en las opciones A) y C), en la opción A) piensa que como la diferencia es constante e igual a 300, al vigésimo día ganará 20 · 300 = 6000, en la opción C) se comete el mismo error que en A), pero además se le suma la ganancia inicial de $350, resultando el distractor C).

Pregunta 23: Se define de A) 3 B) 9 C) 21 D) 23 E) -9

y es igual a

, siendo a y b números enteros, el valor

SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido involucrado en esta pregunta, tiene relación con la generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Además el alumno debe ser capaz de operar en forma rutinaria en el ámbito de los números enteros, teniendo muy claro la prioridad de las operaciones. Para determinar el valor de

primero se resuelve

, que por

definición corresponde a la diferencia entre el cuadrado del primer elemento con el segundo, esto es

, luego se debe operar

que por la

definición dada en el enunciado corresponde a la diferencia entre el segundo número y el primero (mirado de izquierda a derecha), esto es igual a

valor

que se encuentra en la opción B). Los distractores más usuales son D) y E), en D) se opera de izquierda a derecha efectuando

, al desarrollar

y finalmente

desarrollando correctamente signo efectuando

. En el distractor E) se calcula , pero al efectuar

se comete un error de

.

Pregunta 24:

Se define

, para todo x entero. Entonces el valor de

es

A) -19 B) -18 C) -17 D) -3 E) -2 SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido involucrado en esta pregunta, tiene relación con la generalización de la

operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Además el alumno debe ser capaz de operar en forma rutinaria en el ámbito de los números enteros, teniendo muy claro la prioridad de las operaciones.

Como

entonces , en donde se ha respetado la

prioridad de la multiplicación y la división por sobre la resta y entre multiplicación y división lo que primero aparezca de izquierda a derecha. El error más frecuente se encuentra en el distractor D), en donde se efectúa lo siguiente: , el error viene de priorizar la multiplicación por sobre la división , siendo que aparece primero la división por sobre la multiplicación (de izquierda a derecha).

Pregunta 25:

Se define

A) 14 B) 2 C) 7 D) -7 E) -23

, para todo a, b, c y d enteros, entonces el valor de

SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido involucrado en esta pregunta, tiene relación con la generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Además el alumno debe ser capaz de operar en forma rutinaria en el ámbito de los números enteros, teniendo muy claro la prioridad de las operaciones.

Como

,

entonces

, valor que está dado en la

opción D). En el distractor B) se interpreta erróneamente la operación como ab - cd = 5 · -2 - 4 · -3 = -10 - -12 = 2. En el distractor E) se comete un error en la diferencia final, esto

es

.

Pregunta 26: Se define

y

, para todo a, b, c y d enteros con a ≠ 0. ¿Cuál

es el valor de x para que se cumpla que A) -9 B) 9 C) 11 D) -11 E) no existe tal valor de x

?

SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido involucrado en esta pregunta, tiene relación con la generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Además el alumno debe ser capaz de operar en forma rutinaria en el ámbito de los números enteros, teniendo muy claro la prioridad de las operaciones. Para determinar el valor de x primero debemos efectuar la operación , luego efectuar la operación

, finalmente

al igualar las expresiones se obtiene que 9 = -2 + x, de donde x = 11.Valor que se encuentra en la opción C) En el distractor B), sólo se calcula calcula bien

, pero al calcular

, en el distractor D) se se obtiene -2 - x, lo que al igualar las

expresiones se tiene que 9 = -2 - x, con lo que x = -11.

Pregunta 27: Si 2k es un entero que se encuentra entre 21 y 27, entonces se puede determinar el valor de k si se sabe que (1) 2k es par. (2) k es un número impar. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido involucrado en esta pregunta está relacionado con las propiedades asociadas a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad. Como el entero 2k se encuentra entre 21 y 27, 2k puede tomar los valores enteros 22, 23, 24, 25 y 26. Con la información planteada en (1) si 2k es par, 2k podría ser 22, 24 ó 26, luego k podría ser 11,12 ó 13 por lo tanto la información planteada en (1) es insuficiente para determinar el valor de k. Con la información planteada en (2) si k es un número impar, k podría ser 11 ó 13 (2k = 22 ó 2k = 26), así la afirmación (2) es insuficiente. Usando (1) y (2) 2k es par y k es impar, se obtiene el mismo resultado que usando la afirmación (2), luego se requiere información adicional para determinar el valor de k. Pregunta 28: Si x es un número natural, entonces se puede determinar que x es múltiplo de 6 si: (1) 2x es múltiplo de 6. (2) x es par. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido involucrado en esta pregunta está relacionado con las propiedades asociadas a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad. Usando la información (1), si 2x es múltiplo de 6 esto quiere decir que 2x = 6q, entonces x = 3q con q un número entero, es decir x es múltiplo de 3, como luego es insuficiente, para determinar que x es múltiplo de 6. Con la información (2) si x es par no implica necesariamente que x sea múltiplo de 6. Usando (1) y (2) simultáneamente de (1) x es múltiplo de 3, de (2) x es múltiplo de (2), por lo tanto es múltiplo de 2 y 3 a la vez, es decir es múltiplo de 6. Así la opción correcta es C).

Pregunta 29:

Si

, siendo k un número natural. Se puede determinar que N es un

número natural si (1) k es un divisor de 18. (2) k es múltiplo de 5.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido involucrado en esta pregunta está relacionado con las propiedades asociadas a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad.

Como

, entonces si k es un divisor de 18, N es siempre

un número natural, por lo tanto la opción (1) es suficiente por sí sola. Usando la afirmación (2) si k es múltiplo de 5, no implica que N sea necesariamente natural, bastaría con considerar

y el valor de N no sería un número

natural. Finalmente la clave correcta está dada en la opción A).

Pregunta 30:

Si m y n son números enteros distintos, entonces la expresión entero si (1) m - n es un divisor de mn (2) m - n es un factor de m. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

es un número

SOLUCIONARIO COMENTARIO: El contenido involucrado en esta pregunta está relacionado con las propiedades asociadas a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad.

Usando la afirmación (1) si m - n es un divisor de mn, entonces la expresión

es

un número entero, pues m - n cabe un número entero de veces en mn. Así la afirmación (1) es suficiente por sí sola. Usando la afirmación (2) si m - n es un factor de m, entonces m - n cabe un número entero de veces en m y por lo tanto la expresión

es un número entero, por lo

tanto la afirmación (2) también es suficiente por sí sola, la clave correcta se encuentra en la opción D).