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ENFOQUE EULER-LAGRANGE PARA EL MODELADO DEL CONVERTIDOR DE POTENCIA CC/CC ELEVADOR BOOST Ing. Raúl R. Roque Y. Santa Cruz – Bolivia

1. Resumen El enfoque Euler-Lagrange puede ser utilizado no solo en sistemas mecánicos, más bien se extiende también a circuitos eléctricos. En la actualidad su uso fue extendido a convertidores de potencia CCCC tales como elevador (boost), reductor (buck), etc., el enfoque que se presenta en este artículo utiliza el criterio del modelo promedio para el convertidor elevador(boost), sobre una estrategia PWM. Se definen los parámetros, la función y las ecuaciones Euler-Lagrange (EL) para este sistema, partiendo de que los parámetros EL obtenidos para cada caso de la posición del switch, son posteriormente promediados de acuerdo a la política de regulación PWM, utilizando la función de razón de trabajo (duty ratio) como parámetro de modulación disponible para el control. También se obtiene una interpretación del circuito ideal obtenido del modelo promedio, donde se reemplaza el dispositivo de conmutación por un transformador ideal sin pérdida (lossless).

2. Introducción En este reporte se hace uso del enfoque Euler-Lagrange para el establecer un modelo dinámico del comportamiento promedio de un convertidor de potencia DC/DC elevador. Este consiste en establecer los parámetros EL de los circuitos asociados con cada una de la topologías correspondientes a casa una de la posibles posiciones del switch. Esta consideración lleva a una forma de realización , en la cual algunos parámetros EL se mantienen invariantes al cambio de posición del switch, mientras que otros se modifican por adición de determinadas cantidades- El conjunto no-invariante de parámetros EL puede ser promediado en el tiempo por la modulación al agregar cantidades de acurdo con la función de razón de trabajo, lo que se logra de una manera tal que en los valores de saturación extremos de la función de razón de trabajo 0, 1, se recupera los parámetros promedios EL propuestos, entonces los mismos corresponden a cada posición del switch. Las consideraciones de los parámetros promedios EL, conducen inmediatamente, a través del uso de las ecuaciones clásicas EL a ecuaciones diferenciales continuas, las que describen el comportamiento promedio del convertidor de potencia. Estas ecuaciones son interpretadas en términos de una

realización ideal del circuito equivalente. El modelo promedio PWM propuesto coincide completamente con el conocido modelo promedio de estado descrito en [1]. 3 Modelado del convertidor elevador(Boost) mediante Euler-Lagrange Considere el circuito del convertidor elevador(boost) regulado por un switch mostrado en la figura 1, sabemos que el modelo en variables de estado que describe este circuito es dada por:

1 E x1  (1  u ) x 2  L L : 1 1 x2  (1  u ) x 1  x2 C RC

(1)

donde x 1 y x 2 representan la corriente en el inductor y el voltaje en el capacitor respectivamente; el voltaje de entrada es E y la variable u es una función de posición del switch que actúa como entrada de control, entonces toma valores discretos {0,1}.

L

iL E

C

vC

R

Fig. 1 Circuito del convertidor de potencia elevador boost

La política de regulación basada en modulación de ancho de pulso o PWM, para la función de posición del switch es especificada como:

1 tk  t  tk  m(tk )T u   0 tk  m(tk )T  t  tk  T 

tk 1  tk  T ; k  0,1, 2,... :

(2)

Donde tk representa un instante muestreado, el parámetro T es el periodo de muestreo el cual se mantiene y todo este instante es conocido como ciclo de trabajo; por otro lado los valores muestreados del vector de estados x (t ) del convertidor son denotados como x (tk ) y m es la función de razón de trabajo(duty ratio), la cual actúa como una política real de realimentación. El valor de la función de razón de trabajo m(tk ) determina en cada instante durante el periodo T, el ancho del pulso en el cual

el switch se mantiene en la posición “1” en este periodo, llegando a ser evidente que m es una función limitada en un intervalo [0,1] . Con el fin de usar una notación estándar, se referirá a la corriente (de entrada) en el inductor x 1 en términos de la derivada de la carga que circula por q L , como qL , siendo similar caso para el voltaje en el capacitor, el cual se escribe como qC /C , donde qC es la carga eléctrica almacenada en el capacitor

C. L

qL E

C

qC

R

Fig. 2 Circuito del convertidor de potencia elevador boost para u=1 Considere el caso u  1 , el circuito resultante se muestra en la figura 2, para este caso tenemos dos circuitos desacoplados y para obtener la formulación de la dinámica de Lagrange correspondiente, se hace de la siguiente manera. Defina T1 (qL ) , V1 (qC ) como la energía cinética y potencial respectivamente, la función de disipación de Raleigh es D1(qC ) , y cada una de ellas se definen como sigue:

T 1 (qL ) 

1 L(qL )2 2

V1 (qC ) 

1 (qC )2 2C

D1 (qC ) 

1 R(qC )2 2

(3)

FqL  E , FqC  0 donde FqL y

FqC son las fuerzas generalizadas externas (o de forzamiento) asociadas con las

coordenadas q L y qC respectivamente.

L

qL E

C

qC

R

Fig. 3 Circuito del convertidor de potencia elevador boost para u=0 Ahora se toma el caso de u  0 , y el circuito resultante se muestra en la figura 3, entonces se tiene

T0 (qL ) , V0 (qC ) como la energía cinética y potencial respectivamente, la función de disipación de Raleigh es D0 (qL , qC ) , definidas como

T0 (qL ) 

1 L(qL )2 2

V0 (qC ) 

1 (qC )2 2C

D0 (qL , qC ) 

(4)

1 R(qL  qC )2 2

FqL  E , FqC  0 Los parámetros EL obtenidos en (3) y (4) muestran como resultado que tanto la energía cinética como la potencial son invariantes ante el cambio de estado del switch u , es decir que sin iguales para ambos casos y se observa solamente cambios en la función de disipación de Raleigh. De acuerdo a la política de conmutación PWM definida en (2), para cada intervalo de tiempo muestreado u  0 , la función de disipación T1 (qL ) es válida en el porcentaje

m(tk ) y T0 (qL ) para el porcentaje restante (1- m(tk ) );

entonces se propone el siguiente conjunto de parámetros EL para obtener el comportamiento promedio del circuito convertidor elevador:

T m (qL ) 

1 L(qL )2 2

Vm (qC ) 

1 (qC )2 2C

Dm (qC ) 

1 R((1  m)qL  qC )2 2

(5)

FqL  E , FqC  0 Por lo tanto se define la función de EL asociada a los parámetros EL dados en (5) como:

Lm  T m (qL )  Vm (qC ) 

1 1 L(qL )2  (qC )2 2 2C

(6)

utilizando las ecuaciones de EL a la función (6),

d dt

 Lm  Lm Dm     FqL  qL  qL   q L  

(7.1)

d dt

 Lm  Lm Dm     FqC  qC  qC qC  

(7.2)

se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales que corresponden a los parámetros promedios EL dados en (5)

LqL  (1  m)R (1  m)qL  qC   E

(8.1)

qC  R (1  m)qL  qC  C

(8.2)

qC E  LC L

(9.1)

Reescribiendo (8) de la siguiente manera

qL  (1  m) qC  

1 qC  (1  m)qL RC

(9.2)

ahora toca realizar una asignación de estados, entonces se elige z 1  qL , z 2  qC y tenemos

1 E z!  (1  m) z 2  L L z2  (1  m)

1 1 z1  z2 C RC

(10.1)

(10.2)

donde z 1 y z 2 son la corriente promedio en ele inductor y el voltaje en el capacitor respectivamente sobre una modulación PWM para el convertidor elevador boost. Hay que notar que la dinámica promedio obtenida coincide con el modelo promedio de estado desarrollado en [1], la cual considera una frecuencia de conmutación infinita que es similar al modelo

promedio de Filippov en base a [2]. Dado lo expuesto podemos concluir que para obtener el modelo promedio (10) de (1), simplemente se debe reemplazar la función de posición del switch u , por la función de razón de trabajo m y las variables de estado originales x 1 y x 2 por sus valores promedios

z1 y z 2 . L

z2

z1 (1  m)z 2

(1  m)z 1

E

C

vC

R

Fig. 4 Circuito equivalente PWM de convertidor elevador boost Observando de una óptica diferente, vemos que el modelo promedio dado en (10) tiene una interpretación circuital teórica, considerando que la cantidad (1  m)z 2

de la primera ecuación

representa una fuente controlada de voltaje y el (1  m)z 1 en la segunda, representa una fuente controlada de corriente, por lo tanto se obtiene un modelo teórico del convertidor que se muestra en figura 4, la cual describe exactamente el modelo promedio PWM del convertidor. También se observa que es posible reemplazar el dispositivo de conmutación por un cuadripolo, la figura 4, muestra que este es aislado y está constituido por las fuentes contraladas de voltaje y corriente (que son ideales), entonces realizar un balance de potencia, en la cual la potencia de entrada promedio al cuadripolo está dada por:

Pin  z1  (1  m)z2 ; y la potencia de salida es:

Pout  (1  m)z1  z 2 entonces el cuadripolo es no-disipativo (lossless), es decir que no tiene pérdidas en la transformación de potencia y se tiene que:

Pin  Pout Y el elemento de conmutación u , es reemplazado por un transformador ideal cuya razón de cambio es dado por 1  m .

4 Conclusiones En este reporte, se ha mostrado que el modelo promedio del convertidor de potencia elevador boost, es de hecho un sistema Euler-Lagrange. En lo que respecta a la naturaleza física y analítica, el enfoque presentado es muy atractivo y consistente con las tendencias recientes en teoría de control automático de estos sistemas. La formulación EL, de sistema físicos han sido por mucho tiempo restringidos a sistemas continuos, en este caso se proporciona los pasos preliminares para la comprensión y abordaje de dicha formulación dinámica para sistema físicos discontinuos. Este enfoque se justifica ya que el mismo permite abordar la técnica de control basada en pasividad para el diseño del lazo de control realimentado. Aunque en [6] se desarrolla con mucha precisión este tópico, en la actualidad en [4] se utiliza la técnica de control basada en potencia aplicada para el control de estos convertidores. 5 Bibliografia [1] Middlebrook R., Cuk s:. A general approach to modelling switching converter power stages. IEEE Power Electronics Specialists Conferences(PESC), 1976 pag 18-34 [2] Sira-Ramires H.. A geometric approach to Pulse Width Modulation control in Nonlinear Dynamical Systems. IEEE Transactions on Automatic and Control, VOl AC34 Nro 2, 1989, pag 184189. [3] Ortega R., Loria A., Kelly R. y Praly . On Passivity-based On Global Stabilization of EulerLagrange Systems. Proc, of the 33d IEEE Conference Decision and Control, Vol1, pp 381-386 Lake Buena Vista Florida, Dec 14-16, 1994. [4] Sherpen J., Jeltsema D. y Klaassens B.. Lagrangian modeling of switching electrical networks. Systems and control letters, Elsevier. September 2002. [5] Sira-Ramirez H., Delgado M.. A Lagrange approach to modelling DC-to-DC converters, Consejo de desarrollo Científico, Humanistico y Tecnologico de la Univerdidad de los Andes, Venezuela. [6] Ortega R., Loria A., Nicklansson P., Sira-Ramirez H.. Passivity Based Control of Euler-Lagrange Systems: Mechanical, Electrical and Electromechanical Applications, Springer, London, 1998.

Biografía Raul Roque nació en La Paz el año 1977, concluyo la carrera de Electrónica en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Mayor de San Andres el año 2002. Desde 2003 desarrolla su trabajo en el área de Instrumentación, Sistemas de control y medición en el sector de hidrocarburos. Su línea de investigación está centrada a Control No lineal, Control por Modos deslizantes, Control de Procesos multivariables y Electronica de Potencia. [email protected] [email protected]