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• Jean Pierre Jimenez

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Elipsoide de inercia. Ejes Principales de Inercia. Supóngase que el momento de inercia del cuerpo que se consideró en la sección anterior se ha determinado con respecto a un gran número de ejes OL que pasan por el punto fijo O y que un punto Q se ha graficado sobre cada eje OL a una distancia 𝑂𝑄 = 1/√𝐼𝑂𝐿 desde O. El lugar geométrico de los puntos Q obtenido de esa manera forma una superficie. La ecuación de esa superficie se obtiene al sustituir 1/(𝑂𝑄)2 en vez de 𝐼𝑂𝐿 y multiplicar después a ambos lados de la ecuación por (𝑂𝑄)2. Al observar que: (𝑂𝑄)𝜆𝑥 = 𝑥

(𝑂𝑄)𝜆𝑦 = 𝑦

(𝑂𝑄)𝜆𝑧 = 𝑧

donde x, y y z denotan las coordenadas rectangulares de Q, se escribe 𝐼𝑥 𝑥 2 + 𝐼𝑦 𝑦 2 + 𝐼𝑧 𝑧 2 − 2𝐼𝑥𝑦 𝑥 − 2𝐼𝑦𝑧 𝑦𝑧 − 2𝐼𝑧𝑥 𝑧𝑥 = 1 La ecuación que se obtiene es la ecuación de una superficie cuadrática. Puesto que el momento de inercia IOL es diferente de cero para cada eje OL, ningún punto Q puede estar a una distancia infinita de O. De tal modo, la superficie cuadrática que se obtiene es una elipsoide. Esta elipsoide, que define el momento de inercia del cuerpo con respecto a cualquier eje que pasa por O, se conoce como la elipsoide de inercia del cuerpo en O. Hay que observar que si se rotan los ejes, cambian los coeficientes de la ecuación que define la elipsoide, ya que son iguales a los momentos y productos de inercia del cuerpo con respecto a los ejes de coordenadas rotados. Sin embargo, la elipsoide misma permanece sin cambio, pues su forma

sólo depende de la distribución de masa en el cuerpo dado. Supóngase que se eligen como ejes de coordenadas los ejes principales x´, y´ y z´ de la elipsoide de inercia. Se sabe que la ecuación de la elipsoide con respecto a estos ejes de coordenadas es de la forma 𝐼𝑥´ 𝑥´2 + 𝐼𝑦´ 𝑦´2 + 𝐼𝑧´ 𝑧´2 = 1

Si los ejes principales de inercia x´, y´ y z´ se usan como ejes de coordenadas, la expresión que se obtiene en la ecuación anterior mencionada para el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje arbitrario que pasa por O se reduce a 𝐼𝑂𝐿 = 𝐼𝑥´ 𝜆2𝑥´ + 𝐼𝑦´ 𝜆2𝑦´ + 𝐼𝑧´ 𝜆2𝑧´ Determinación de los ejes principales y de los momentos principales de inercia de un cuerpo de forma arbitraria El método de análisis que se describe en esta sección debe utilizarse cuando el cuerpo bajo consideración no tenga ninguna propiedad de simetría evidente. Considérese la elipsoide de inercia del cuerpo en un punto dado O; sea r el radio vector de un punto P sobre la superficie de la elipsoide y sea n el vector unitario a lo largo de la normal a esa superficie en P. Se observa que los únicos puntos donde r y n son colineales son los puntos 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑦 𝑃3 , donde los ejes principales intersecan la porción visible de la superficie de la elipsoide y los puntos correspondientes sobre el otro lado de la elipsoide.

Si se recuerda del cálculo que la dirección de la normal a una superficie de ecuación f (x, y, z) = 0 en el punto P (x, y, z) se define mediante el gradiente f de la función f para obtener los puntos donde los ejes principales intersecan la superficie de la elipsoide de inercia, se debe, por lo tanto, escribir que r y 𝛻𝑓 son colineales, 𝛻𝑓 = (2𝐾)𝑟 Donde K es una constante, r = xi + yj + zk, y 𝛻𝑓 =

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Al sustituir r y 𝝯f en la primera ecuación e igualar los coeficientes de los vectores unitarios, se escribe 𝐼𝑥 𝑥 − 𝐼𝑥𝑦 𝑦 − 𝐼𝑧𝑥 𝑧 = 𝐾𝑥 −𝐼𝑦𝑥 𝑥 − 𝐼𝑦 𝑦 − 𝐼𝑦𝑧 𝑧 = 𝐾𝑦 −𝐼𝑧𝑥 𝑥 − 𝐼𝑦𝑧 𝑦 − 𝐼𝑧 𝑧 = 𝐾𝑧 Para obtener los cosenos directores del eje principal correspondiente a la raíz 𝐾1 , se sustituye 𝐾1 por 𝐾 en las ecuaciones determinadas. Puesto que estas ecuaciones ahora son linealmente dependientes, sólo dos de ellas pueden utilizarse de determinar 𝜆𝑥 , 𝜆𝑦 , 𝑦 𝜆𝑧 .Sin embargo, es posible obtener una ecuación adicional al recordar que los cosenos directores deben satisfacer la relación 𝜆2𝑥 + 𝜆2𝑦 + 𝜆2𝑧 = 1 Al repetir este procedimiento con 𝐾2 y 𝐾3 , se obtienen los cosenos directores de los otros dos ejes principales. Ahora se mostrará que las raíces 𝐾1 , 𝐾2 , 𝑦 𝐾3 son los momentos principales de inercia del cuerpo dado. Se sustituye la raíz 𝐾1 para 𝐾 en las ecuaciones anteriores, y para 𝜆𝑥 , 𝜆𝑦 , 𝑦 𝜆𝑧 los valores correspondientes (𝜆𝑥 )1 , (𝜆𝑦 )1 , 𝑦 (𝜆𝑧 )1 de los cosenos directores; se satisfarán tres ecuaciones. Se multiplica ahora por (𝜆𝑥 )1 , (𝜆𝑦 )1 , 𝑦 (𝜆𝑧 )1 , respectivamente, cada término en la primera, segunda y tercera ecuaciones y se suman las ecuaciones obtenidas mediante este procedimiento.

Se escribe 𝐼𝑥2 (𝜆𝑥 )12 + 𝐼𝑦2 (𝜆𝑦 )12 + 𝐼𝑧2 (𝜆𝑧 )12 − 2𝐼𝑥𝑦 (𝜆𝑥 )1 (𝜆𝑦 )1 − 2𝐼𝑦𝑧 (𝜆𝑦 )1 (𝜆𝑧 )1 − 2𝐼𝑧𝑥 (𝜆𝑧 )1 (𝜆𝑥 )1 = 𝐾1 [(𝜆𝑥 )12 + (𝜆𝑦 )12 + (𝜆𝑧 )12 ]

Considerando la ecuación anteriormente determinada, se puede observar que el miembro del lado izquierdo de esta ecuación representa el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje principal correspondiente a 𝐾1 ; éste es consecuentemente el momento principal de inercia correspondiente a esa raíz. Por otro lado, de acuerdo con la ecuación vista en la anterior sección, se advierte que el miembro del lado derecho se reduce a 𝐾1 . De tal manera la propia 𝐾 es el momento principal de inercia. Se puede demostrar de la misma manera que 𝐾2 𝑦 𝐾3 son los otros dos momentos principales de inercia del cuerpo.