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Victoriano López Rodríguez

ELECTROMAGNETISMO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

UNIDADES DIDÁCTICAS (07223UD02A01) ELECTROMAGNETISMO

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del «Copyrihgt», bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ellas mediante alquiler o préstamo públicos.

© UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA - Madrid, 2002

Librería UNED: C./ Bravo Murillo, 38-28015 Madrid Teléfs.: 91 398 75 60/73 73 E-mail: [email protected] © Victoriano López Rodriguez

ISBN: 84-362-4680-2 Depósito legal: M. 32.905-2002 Primera edición: julio de 2002 Impreso en España - Printed in Spain Impreso en Femández Ciudad, S. L. Catalina Suárez, 19. 28007 Madrid

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PREFACIO Una de las ramas de la Física es la teoría del campo electromagnético, cuyo contenido es básico en los estudios de CC Físicas por la relación que hay entre ella y otras ramas como la materia condensada, ~ecánica cuántica etc. Además dicha teoría también forma parte de los conocimientos requeridos para otras ramas de la ciencia e ingeniería. Por las razones indicadas se han escrito bastantes libros sobre Electromagnetismo de gran calidad. Dada esta situación puede pensarse que un libro más no aporta novedades destacables y por tanto no merece la pena escribirlo. La razón que ha motivado este libro no es otra que la de proporcionar a los alumnos de la asignatura Electricidad y Magnetismo de segundo de CC Físicas (en los nuevos planes se llama Electromagnetismo I y II) de la UNED un material que responda íntegramemnte al programa de la asignatura, y que además le oriente hacia la bibliografía con la que pueda completar o ampliar unos conocimientos básicos sobre el campo electromagnético. Como el programa de esta asignatura es muy similar en otras Universidades, puede también servir a otros alumnos. Se ha seguido un desarrollo similar a la mayoría de los textos publicados; es decir, se inicia con la electrostática; sigue con el estudio de la corriente eléctrica y magnetostática; a continuación se introducen la inducción electromagnética, las ecuaciones de Maxwell, las ondas electromagnéticas y la radiación de un campo electromagnético; y se termina con la aplicación de campos lentamente variables a circuitos eléctricos. Se proponen ejercicios resueltos dentro de cada capítulo y problemas al final de los distintos capítulos. El trabajo de escribir un libro no se puede hacer sin la ayuda de otras personas, en este caso he contado con la inestimable ayuda de mis compañeros Ma del Mar Montoya Lirola y Manuel Pancorbo Castro. Gracias a su revisión del manuscrito y las múltiples sugerencias que han hecho el libro ha ganado en claridad y precisión. Espero que el libro responda a las necesidades de los alumnos de la UNED, al mismo tiempo que pueda ser útil a todos los que tengan interés en estudiar el campo electromagnético. Las Rozas de Madrid Marzo de 2002 Victoriano López Rodríguez

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ÍNDICE GENERAL

15 CÁLCULO VECTORIAL Escalares y vectores. Operaciones con vectores. Campos escalares y vectoriales. Sistemas de coordenadas. Transformación de coordenadas. Vector de posición. Derivada de un vector. Integrales curvilíneas. Integral de superficie. Integral de volumen. Gradiente. Divergencia. Rotacional. Teorema de Stokes. Relaciones vectoriales. Teorema de Helmholtz. Función delta de Dirac. UNIDAD DIDÁCTICA I 95 CAMPO ELÉCTRICO I 97 Carga eléctrica. Ley de Coulomb. Campo eléctrico. Agrupaciones de carga: Principio de superposición. CAMPO ELÉCTRICO 11 119 Circulación del campo eléctrico: Rotacional. Potencial electrostático. Gradiente de un potencial. Potencial debido a un conjunto de cargas. Conductores. Teorema de Gauss: Aplicaciones. ~'> DIPOLOS Y MULTIPOLOS 159 Dipolo eléctrico: Campo y potencial. Potencial debido a una distribución de carga: Momentos multipolares. DIELÉCTRICOS 187 Polarización eléctrica. Campo y potencial debido a un material polarizado. Vector desplazamiento. Susceptibilidad y permitividad eléctrica. Clases de dieléctricos. Ruptura en dieléctricos. Condiciones en los límites. UNIDAD DIDÁCTICA 11 233 SISTEMAS DE CONDUCTORES 235 Características de un conductor. Sistemas de conductores. Coeficientes de potencial. Coeficientes de capacidad e influencia. Condensadores. Asociación de condensadores. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA 261 Energía electrostática de un sistema de cargas puntuales. Energía electrostática de una distribución continua de cargas. Energía electrostática de un sistema de conductores cargados. Energía electrostática en función de los vectores de campo. Fuerza electrostática. Presión electrostática. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS I 293 Ecuaciones de Laplace y Poisson. Teorema de unicidad. Solución de problemas electrostáticos por el método de imágenes.

12 323 PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS 11 Método de separación de variables. Coordenadas cartesianas. Coordenadas cilíndricas. Coordenadas esféricas. Métodos numéricos. Solución de la ecuación de Poisson. 359 UNIDAD DIDÁCTICA 111 361 CORRIENTE ELÉCTRICA Corriente y densidad de corriente eléctrica. Ecuación de continuidad: primera ley de Kirchhoff. Ley de Ohm: resistencia de un conductor. Ley de Joule. Condiciones en los límites. Resistencia y capacidad. Tiempo de relajación. Fuerza electromotriz. Segunda ley de Kirchhoff. Asociación de resistencias. Análisis de redes. Teoremas de redes. CAMPO MAGNÉTICO 1 421 Experimento de Oersted. Ley de Biot y Savart. Campo debido a una carga en movimiento. Ley de Ampere. Fuerza de Lorentz. Fuerza sobre una corriente. 455 CAMPO MAGNÉTICO 11 Teorema del flujo de B: Forma integral y diferencial. Teorema de la circulación: Forma integral y diferencial. Potencial vector magnético. Condiciones en los límites. UNIDAD DIDÁCTICA IV 499 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 501 Ley de Faraday. Medios estacionarios. Medios en movimiento. Coeficientes de inducción mutua y autoinducción: Fórmula de Neumann. CAMPO MAGNÉTICO EN MATERIALES 545 Potencial debido a una distribución de corriente. Campo magnético debido a un dipolo. Imanación: Corrientes de imanación. Campo magnético debido a un material imanado. Potencial escalar magnético. Ecuaciones de campo en materiales: Intensidad de campo magnético. Susceptibilidad y permeabilidad. Curva de imanación. Condiciones en los límites. Circuito magnético. 617 ENERGÍA MAGNÉTICA Energía magnética. Energía magnética en función de los vectores de campo magnético. Energía magnética en medios no lineales. Relación entre energía y coeficiente de autoinducción. Fuerza y par de fuerzas. Presión magnética.

13 UNIDAD DIDÁCTICA V 639 CAMPO ELECTROMAGNÉTICO 641 Corriente de desplazamiento. Ecuaciones de Maxwell-Lorentz. Condiciones en los límites. Potenciales electrodinámicos. Energía electromagnética: Teorema de Poynting. Momento electromagnético. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 679 Ecuación de ondas. Ondas planas en dieléctricos. Ondas en dirección arbitraria: relación entre los campos eléctrico y magnético. Potencia transmitida por una onda electromagnética (OE). Propagación en dieléctricos con pérdidas. Propagación en conductores: Energía y vector de Poynting. Onda polarizada. Espectro electromagnético. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA 725 Ecuación de ondas con fuentes: Potenciales retardados. Radiación de un dipolo eléctrico: Diagrama y resistencia de radiación. Antena lineal. Radiación de un grupo de cargas aceleradas. UNIDAD DIDÁCTICA VI 769 CAM·P OS Y CIRCUITOS 771 Fundamentos de la teoría de circuitos. Potenciales cuasi-estáticos. Componentes de un circuito. Circuitos inductivos. Condensador como elemento de un circuito. Circuitos con resistencia, autoinducción y capacidad. CIRCUITOS ELÉCTRICOS 1 799 Circuitos eléctricos lineales: Régimen transitorio. Circuito R - L serie. Circuito R - e serie. Circuito R - L - e serie. Transitorios debidos a cambios bruscos en la resistencia, autoinducción o capacidad. CIRCUITOS ELÉCTRICOS 11 833 Circuitos eléctricos lineales: Régimen permanente. Circuito R - L serie. Circuito R - e serie. Circuito R - L - e serie. Impedancia compleja. Asociación de impedancia. Potencia. Resonancia. ANÁLISIS DE REDES 867 Conceptos y definiciones. Métodos de análisis de redes en corriente alterna (c. a.) . Red con acoplo magnético entre elementos. Teoremas de redes: Teorema de Thévenin y de máxima transferencia de potencia. APÉNDICES 891 A) RELACIONES MATEMÁTICAS 1 891 B) RELACIONES MATEMÁTICAS 11 899 C) TABLAS 909 BIBLIOGRAFÍA 913

Capítulo 1

CALCULO VECTORIAL

ESQUEMA-RESUMEN Objetivos Generales Resumen de las propiedades y operaciones con vectores más utilizadas en electromagnetismo. Este capítulo es de carácter instrumental y solo sirve como resumen de los elementos de cálculo vectorial utilizados a lo largo del libro. No pretende por tanto un desarrollo riguroso de todo el conjunto de propiedades, teoremas, etc. que se enuncian. Además de servir como recordatorio de materias estudiadas en Análisis Matemático y Algebra, tiene por objeto establecer la nomenclatura utilizada posteriormente. Requisitos previos Se necesita haber estudiado cálculo y álgebra con los niveles correspondientes a un Bachillerato de Ciencias. Siendo necesario conocer los siguientes conceptos: Números reales y complejos, polinomios, ecuaciones, combinatoria, estadística, probabilidad, sucesiones, progresiones, trigonometría, funciones, límites, derivadas, representación de funciones, integrales indefinidas y definidas, función exponencial y logarítmica, vectores y sistemas de vectores, base de un espacio vectorial, coordenadas de un vector, ecuaciones de rectas y planos, propiedades de la circunferencia y esfera, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Además se supone que se han estudiado las asignaturas de Álgebra y Cálculo de primer curso de Ciencias Físicas y se cursa el Análisis Matemático de segundo.

15

16

CAPÍTULO l. CALCULO VECTORIAL

La Física estudia los fenómenos y expresa su descripción mediante relaciones matemáticas entre magnitudes físicas. La magnitudes que intervienen tienen distintas características, unas se pueden representar mediante escalares y otras son magnitudes orientadas que se representan por vectores. En este capítulo vamos a estudiar los elementos de cálculo vectorial necesarios para poder expresar y comprender mejor las leyes físicas, ya que en electromagnetismo manejamos magnitudes escalares como la carga y corriente eléctrica y vectoriales como el campo eléctrico o el magnético y sus leyes son relaciones entre dichas magnitudes.

1.1

ESCALARES Y VECTORES

Hay magnitudes como la carga eléctrica, el potencial, la presión o la temperatura, que se determinan mediante un número real y por ello se conocen como magnitudes escalares. Otras magnitudes como la velocidad de una partícula, el campo eléctrico o la fuerza entre dos cargas eléctricas, son magnitudes orientadas llamadas vectores, representados generalmente con letra negrita o mediante una flecha sobre su símbolo o letra. Un vector se define mediante su módulo, dirección, sentido y origen o punto de aplicación. La representación geométrica de un vector es un segmento que tiene origen y extremo, en el extremo se dibuja una punta de flecha. El módulo corresponde a la longitud del segmento, la dirección a la recta que soporta el segmento, el sentido viene indicado por la orientación de la flecha y el punto de aplicación por la situación del origen del segmento.

;/¡ a

1 1 ! b

e

Figura 1.1 Vectores equipolentes son todos los vectores que tienen el mismo

17

1.2. OPERACIONES CON VECTORES

módulo dirección y sentido pero distinto punto de aplicación, por ejemplo, todos los vectores de un plano que tienen como origen distintos puntos del plano. La figura 1.1a muestra tres vectores equipolentes. El conjunto de vectores equipolentes que tienen el mismo módulo dirección y sentido definen un vector libre, que puede estar representado por cualesquiera de ellos. En Física se manejan además otros dos tipos de vectores, los vectores deslizantes que lo forman el conjunto de vectores que tienen el mismo módulo dirección y sentido con sus puntos de aplicación sobre la misma recta. La figura 1.1b muestra un ejemplo. Los vectores fijos se caracterizan por que tienen, además del mismo módulo dirección y sentido, el mismo origen o punto de aplicación. Un ejemplo de vector fijo se indica en la figura 1.1c.

1.2 1.2.1

OPERACIONES CON VECTORES Suma de vectores: Combinación lineal

Suma de vectores La suma de dos vectores A y B, A+ B es el vector que se obtiene colocando sucesivamente A y B, es decir uniendo el origen del segundo con el final del primero, y conectando con otra flecha el origen del primero con el final del segundo como muestra la figura 1.2a. Este método de suma se conoce como regla del polígono.

(1.1)

C=A+B

En la figura 1.2b se muestra otro método conocido como la regla del paralelogramo, y en este caso la resultante es la diagonal del paralelogramo que se forma con los dos vectores unidos por su origen, completándose con rectas paralelas a los vectores originales.

~ B

b

a

Figura 1.2

18

CAPÍTULO l . CALCULO VECTORIAL Propiedades de la suma

Aunque no las vamos a demostrar, enunciaremos las propiedades de esta operación. La suma tiene la propiedad conmutativa,

A+B=B+A La asociativa

A+(B+C)=(A+B)+C Diferencia de vectores La diferencia de dos vectores es sumar el opuesto del segundo al primero,

D =A- B =A+ (-l)B =A+ (-B)

(1.2)

Producto por un número real Definimos el producto de un vector A por un número real A como el vector paralelo al original cuyo módulo es el producto del módulo de A, IAI = A , por el número A. Cuando A =1= O

B=AA

(1.3)

IBI = A IAI = A A Si A= O

OA=O Al vector O, por definición, es paralelo a todos los vectores y a cualquier plano.

Vector unitario Definimos como vector unitario aquel cuyo módulo es la unidad, u e unitario si iul = l. Dado cualquier vector A , podemos obtener un vector

1.2. OPERACIONES CON VECTORES

19

unitario en la dirección y sentido de A mediante la división de dicho vector por su módulo,

(1.4) Cualquier vector es igual a su vector unitario por el módulo,

A=AUA

(1.5)

Combinación lineal Se define un vector R como combinación lineal de una serie de vectores A11 A2, A3 ..... An, cuando lo expresamos de la forma siguiente,

(1.6) Siendo los Ai números reales.

Dependencia lineal Un conjunto de vectores Ai son linealmente dependientes, si existe una relación lineal de la forma,

Con la condición de que no todos los coeficientes Ai sean nulos. Son linealmente independientes cuando se verifica la relación anterior pero con la condición de que todos los coeficientes Ai sean nulos,

Vamos a enunciar sin demostración otra serie de teoremas que pueden resultar útiles posteriormente. 1} La condición necesaria y suficiente para que dos vectores A1 y A2 sean paralelos es que sean linealmente dependientes. 2} Dados dos vectores A1 y A2 no paralelos, toda combinación lineal de dichos vectores es coplanar con ellos. A la inversa, todo vector R coplanar con A1 y A2 se puede expresar como combinación lineal los dos vectores.

20

CAPÍTULO l. CALCULO VECTORIAL

3) Dados tres vectores A¡, A2 y A3, que no sean paralelos al mismo plano, cualquier vector R del espacio euclídeo de tres dimensiones puede ser expresado como combinación lineal de los tres vectores,

(1.8)

1.2.2

Producto escalar

Además de las indicadas, en los cálculos utilizados en Física se introducen dos operaciones, los productos escalar y vectorial. Se define el producto escalar de dos vectores A y B como un escalar cuyo valor es igual al producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman. Su expresión matemática es,

A·B=ABcosa

(1.9)

En la figura 1.3 se muestran los vectores y el ángulo que forman. Otra forma de expresar el producto escalar es la siguiente: El producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Es decir, A por B cos a que es la proyección de B sobre A.

p

A

Figura 1.3

Q

eje

Figura 1.4

Propiedades del producto escalar

El producto escalar es conmutativo, ya que tanto cosa como A y B no dependen del orden en que intervienen,

A·B=B·A

(1.10)

El producto escalar es distributivo con respecto a la suma de vectores,

1.2. OPERACIONES CON VECTORES

A · (B + C) = A · B

21

+A ·C

(1.11)

Proyección de un vector sobre un eje

Un eje es una recta orientada, en otras palabras, un eje es una recta sobre la que se ha fijado un sentido u orientación, que se representa con una flecha. Posteriormente veremos que un ejemplo lo constituyen los ejes de coordenadas. La proyección de un vector A sobre un eje, cuya dirección queda definida por el vector unitario n, es igual al producto escalar del vector A por el unitario n, PQ

= A · n = A cos a

(1.12)

En la figura 1.4 se muestra un vector A y la proyección PQ. El signo de la proyección depende del ángulo que forma los vectores A y n . Teniendo en cuenta la suma de vectores y la definición anterior, se verifica que la proyección de la suma de dos vectores es igual a la suma de las proyecciones de cada vector. Perpendicularidad entre dos vectores

Dada la definición de producto escalar, se deduce que cuando dos vectores son perpendiculares su producto escalar es nulo, ya que el ángulo será de 90° y su coseno es cero. Si Al._B,

A·B=O

1.2.3

(1.13)

Producto vectorial

Se define el producto vectorial de dos vectores A y B como un vector C, cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman A y B , su dirección es la correspondiente a la recta perpendicular al plano definido por A y B, y su sentido sigue la regla del tornillo destrorsum, tornillo que avanza cuando se gira de A a B. En la figura 1.5 se muestran

CAPÍTULO l. CALCULO VECTORIAL

22

los tres vectores, el ángulo y el paralelogramo que puede generarse con los dos vectores iniciales. En forma matemática,

e

= A x B = n A B sen a

(1.14)

En la figura se muestra que el módulo del producto vectorial es igual al área del paralelogramo OMNQ , o al doble del área del triángulo OMQ.

e

Q

Figura 1.5

Propiedades del producto vectorial El producto vectorial no es conmutativo, ya que el sentido de avance correspondiente al giro A--tB es opuesto al que corresponde al giro B-tA. A

X

B = -B

X

A

(1.15)

El producto vectorial es distributivo con respecto a la suma de vectores. A x (B

+ e)

= A x B

+A

x

e

(1.16)

M omento de un vector con relación a un punto Si tenemos un vector A, cuyo origen es el punto P, se define el momento m del vector A con respecto a un punto O como el producto vectorial -----t del vector OP por el vector A, -----t

m=OP x A

(1.17)

Todo vector que resulte del deslizamiento de A sobre la recta que lo soporta tiene el mismo momento con respecto al punto O.

1.3. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

23

El momento con relación al punto O, de la suma de un conjunto de vectores cuyo origen es el punto P, es igual a la suma de los momentos de los vectores, considerados individualmente, con respecto a O.

1.2.4

Productos reiterados

Enunciaremos sin demostración algunos tipos de productos en el que intervienen tres vectores. Producto mixto de tres vectores

El producto mixto de tres vectores no coplanares es un escalar cuyo valor es el volumen del paralelepípedo construido con los tres vectores, y su signo es positivo si el triedro que forman los vectores A, B y e es directo, y negativo si es inverso. En forma matemática,

e . (A x B) =-e . (B x A)

(1.18)

La condición para que tres vectores sean coplanares es que su producto mixto sea nulo. Producto vectorial doble

El producto vectorial doble de los vectores A, B y e es un vector combinación lineal de B y e, cuyo valor se expresa mediante la siguiente relación,

A

1.3

X

(B

X

e)= (A· e)B- (A·B)e

(1.19)

CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

En Física se utilizan magnitudes escalares y vectoriales que generalmente conforman lo que se conoce como campos escalares y campos vectoriales. Por esta razón interesa definir los conceptos relacionados con los citados campos.

CAPÍTULO l. CALCULO VECTORIAL

24

Campo escalar Si por ejemplo consideramos una región del espacio donde se mide la temperatura en cada punto y la anotamos, el resultado que obtenemos es asignar a cada punto del espacio una temperatura. El conjunto de los puntos del volumen considerado forma el dominio de definición y a la correspondencia entre puntos y el escalar, en este caso la temperatura, es la función escalar que relaciona puntos con temperatura. Se define el campo escalar como una función escalar que atribuye a cada punto del espacio considerado una magnitud escalar. En un campo escalar de temperatura al conjunto de puntos que tienen la misma temperatura se conoce como isoterma. Dicho conjunto puede ser un volumen, una superficie o una línea. En un espacio donde a cada punto le corresponde un valor del potencial eléctrico, decimos que existe una función potencial que describe el campo escalar relativo al potencial. Las superficies equipotenciales corresponden en este campo al conjunto de puntos de una superficie que tienen el mismo potencial.

Campo vectorial De forma análoga al caso anterior podemos definir el campo vectorial. Si en un volumen dado, dominio de definición, a cada punto le corresponde una magnitud vectorial, se define el campo vectorial como la función que atribuye a cada punto del volumen un vector que representa a la magnitud considerada en ese punto. Un campo usual es el campo electrostático, en él a cada punto le corresponde un vector que representa la intensidad de campo eléctrico en dicho punto. Los vectores que utilizamos en estos campos son vectores fijos, es decir, ligado su origen al punto considerado. Se definen las líneas de campo o líneas de flujo como curvas para las que el vector campo es tangente en cada punto.

1.4

SISTEMAS DE COORDENADAS

Hasta ahora hemos definido los campos escalares y vectoriales, así como las operaciones con vectores de forma independiente del sistema de coordenadas. Es conveniente introducir un sistema de coordenadas para poder

1.4. SISTEMAS DE COORDENADAS

25

representar con más facilidad escalares y vectores, y que además nos permite expresar claramente los conceptos físicos que manejamos y resolver mejor los problemas. Un sistema de coordenadas en el espacio es un sistema de tres ejes no coplanares, con un solo punto común llamado origen, que permite atribuir a cada punto del espacio una terna de números llamados coordenadas del punto. Además un sistema de coordenadas nos sirve para representar magnitudes y vectores en cada punto del espacio, es decir, nos permite representar campos escalares y vectoriales. Los ejes de coordenadas pueden formar entre sí cualquier ángulo pero los sistemas usuales se caracterizan porque dichos ejes son perpendiculares dos a dos. A este tipo de sistemas se les llama ortogonales. Sabemos que podemos representar un vector cualquiera en el espacio euclídeo mediante una combinación lineal de tres vectores no paralelos ni coplanares, es decir, mediante tres vectores linealmente independientes. Este conjunto de vectores linealmente independientes forma por tanto la base de un espacio vectorial que permite representar cualquier otro vector del espacio mediante una combinación lineal de los vectores de la base. La combinación lineal que describe un vector en el espacio se conoce como representación del vector en el sistema de coordenadas definido por la base del espacio vectorial. La base de un espacio vectorial se forma con tres vectores unitarios, que en el caso de sistemas ortogonales son perpendiculares entre sí. Un sistema de coordenadas queda definido mediante el origen de coordenadas y los tres vectores unitarios que componen la base y que determinan las direcciones de los ejes de coordenadas. Los sistemas utilizados con más frecuencia son tres: El sistema cartesiano o rectangular, el cilíndrico y el esférico. La elección del sistema de coordenadas depende de la simetría del problema que vayamos a tratar, ya que una elección adecuada simplifica los cálculos y la representación matemática de las magnitudes. Existen dos tipos de sistemas de coordenadas en función de la secuencia en que se ordenan los vectores unitarios. En la figura 1.6 se muestran los dos tipos de sistemas cartesianos que se pueden definir. El sistema de la izquierda, de secuencia X Y Z, conocido como directo, destrorsum o destrógiro, y el de la derecha que recibe el nombre de inverso, sinestrorsun o levógiro, cuya secuencia es Y' X' Z'. En el sistema directo sus vectores unitarios responden a la siguiente relación vectorial, U z = U x x uy.

26

CAPÍTULO l. CALCULO VECTORIAL

En este libro siempre se utilizará el sistema directo o destrorsum. Resumiendo, dado un sistema de coordenadas definido por el origen O y la terna de vectores unitarios (u¡, u 2 , u 3 ), que se representa de la forma O (u¡, u 2 , u 3 ), cualquier vector A se puede representar en el espacio por la siguiente combinación lineal,

z Ü·j---- -+

y

X'

X

Figura 1.6 (1.20) A los números ai o Ai se los conoce con el nombre de componentes del vector en el sistema considerado.

1.5

COORDENADAS CARTESIANAS

El sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares es el más utilizado por su simplicidad, ya que como veremos después, los vectores unitarios que forman su base son constantes es decir su derivada espacial es nula. Para otros sistemas de coordenadas los vectores unitarios no son todos constantes, ya que sus direcciones varían con el punto considerado. En la figura l .7 se muestra un sistema cartesiano con sus tres vectores unitarios U x, uy , U z en la dirección de sus respectivos ejes, así como la representación de un punto P por sus coordenadas x, y, z y un vector A con sus componentes Ax, Ay, Az. Las coordenadas x, y, z son las variables independientes. Cualquier magnitud escalar o vectorial que sea función de cada punto es una variable dependiente del punto. Generalmente las magnitudes escalares o

1.5. COORDENADAS CARTESIANAS

27

vectoriales son funciones que varían según el punto del espacio considerado. Como cada punto del espacio queda determinado por sus coordenadas, una función escalar o vectorial puede expresarse mediante una relación matemática entre magnitud y coordenadas. Por ejemplo, un campo escalar como la temperatura o el potencial electrostático puede ser representado por las funciones T (x, y, z) o V(x, y, z).

z

A,

uy

y

z X

y

X

Figura 1.7 Para una magnitud vectorial la forma de la función es más compleja, dado que tienen módulo dirección y sentido, pero cada vector se puede representar por sus componentes y éstas a su vez son función de cada punto. Atendiendo a estas consideraciones podemos representar un campo vectorial A en coordenadas cartesianas de la forma siguiente, A (x, y , z)

= Ax(x,

y, z) Ux + Ay(x, y, z) Uy

+ Az(x , y , z) Uz

(1.21)

Donde las componentes Ax,y,z(x, y, z) son funciones escalares del punto considerado. Dado que los vectores unitarios en este sistema son constantes, no dependen del punto considerado, la dependencia del vector A con respecto a un punto queda definida a través de las componentes del vector. A veces se utiliza una representación abreviada de la forma siguiente,

A (x , y, z)

=

(Ax(x, y , z), Ay(x, y , z) A z(x, y, z))

(1.22)

Las componentes son las proyecciones del vector A sobre los ejes de coordenadas, es decir,

28

CAPÍTULO l. CALCULO VECTORIAL

Ax (X, Y, Z) = A · Ux = A

COS

O:x

Ay (X' y' z) = A . Uy = A cos O: y

Az(x, y, z) =A· Uz =A cos

(1.23)

O:z

Aquí cos ax, cos ay y cos O:z se denominan cosenos directores del vector A en el sistema cartesiano. Dichos cosenos directores verifican la siguiente relación,

COS

1.5.1

2

O:x

+ COS2 O:y + COS2 O:z = 1

(1.24)

Operaciones vectoriales

Vamos a expresar ahora las distintas operaciones con vectores cuando están representados por sus componentes en un sistema de coqrdenadas cartesianas. Suma de vectores

Sean dos vectores A y B cuya representación en coordenadas rectangulares es,

La suma se realiza sacando factor común los vectores unitarios, por tanto,

A+ B

= (Ax + Bx) Ux +(Ay+ By) Uy + (Az + Bz) Uz

(1.25)

1.5. COORDENADAS CARTESIANAS

29

Multiplicación por un escalar El resultado de multiplicar un vector A por un escalar ). es otro vector cuyas componentes se obtienen multiplicando las componentes de A por >., (1.26)

Producto escalar de dos vectores Si, como en el apartado anterior, tenemos dos vectores A y B representados por sus componentes, y consideramos las propiedades conmutativa y distributiva del producto escalar, además de la ortogonalidad entre los vectores unitarios, que tiene como consecuencia que, Ux · Uy

=0

Ux · Uz

=0

Uy · U z

=0

Ux · Ux

=1

Uy · Uy

=1

Uz · Uz

=1

El producto escalar será,

A ·B

= Ax

Bx

+ Ay

By

+A z

Bz

(1.27)

Norma y módulo de un vector Se llama norma de un vector a su cuadrado, y es el valor que resulta de multiplicar escalarmente el vector por sí mismo, A 2 =A·A

(1.28)

Vemos que la norma es el cuadrado del módulo. Si el vector está representado por sus componentes (Ax, Ay, A z ) , (1.29)

El módulo A será la raíz cuadrada de la norma, es decir,

CAPÍTULO l. CALCULO VECTORIAL

30

A=

V+ A X2

A 2y + A 2Z

(1.30)

Angulo entre dos vectores Dados dos vectores A y B , representados por sus componentes respectivas, a partir de la definición de producto escalar se puede expresar el ángulo entre los dos vectores mediante la siguiente relación,

A ·B

Ax Bx + Ay By + Az Bz y. IA2x + A2y + A2z y. !B2x + B2y +

(1.31)

cosa= ----=-,~~~~~==~~===========

AB

B2z

Producto vectorial Como en el apartado anterior, si representamos los vectores A y B por sus componentes, y tenemos en cuenta que el producto vectorial no es conmutativo (ux x Uy = -uy X ux) , pero si distributivo y que Ux x Ux = Uy X Uy = Uz x Uz = O, la expresión del producto vectorial en función de sus componentes será,

Sacando factor común los vectores unitarios y realizando las operaciones necesarias,

La expresión anterior se puede poner en forma de determinante, de manera que, A x B=I

Ay Az By Bz

1

Ux +

1

~: Ux

A x B=

Ax Bx Uy

luy+

1

Ax Ay Bx By

1

Uz

Uz

Ax Ay Az Bx By Bz

(1.32)

Momento de un vector con respecto a un punto Si tenemos un vector A definido por sus componentes como en el apartado anterior, y su punto de aplicación es P , de coordenadas (x, y, z), es decir,

31

1.5. COORDENADAS CARTESIANAS

que P viene determinado por su vector de posición r, cuyas componentes son (x, y , z) , el momento del vector A con respecto al origen de coordenadas es,

m

-----+

= OP

x A

=

r x A

=

(1.33)

Producto mixto de tres vectores Teniendo en cuenta la expresión anterior para el producto vectorial y la que obtuvimos para el producto escalar,

(A x B) . e =

1

Ay A z 1 Cx By B z

+

1

Ax Az Bz Bx ICy+

Ax Ay Az (A x B) . e= Bx By Bz Cx Cy Cz

1

A z Ax B z Bx lcz

(1.34)

El signo de este determinante depende de la disposición de las filas, ya que si se permutan dos filas cambia el signo del determinante. Esta propiedad de los determinantes se traduce al producto mixto en que el signo cambia en función de las posiciones relativas de los vectores en dicho producto. Si dos filas son proporcionales el determinante es nulo y en consecuencia el producto mixto. Esto quiere decir que dos vectores están sobre la misma recta y por tanto los tres son coplanares. Longitud y volumen elemental Terminaremos indicando la forma que adopta una longitud y un volumen elemental como el indicado en la figura 1.8 en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas. Un vector de longitud elemental se representa en coordenadas cartesianas mediante sus componentes rectangulares de la forma siguiente, dl = dxux

La norma de este vector es,

+ dyuy + dzux

(1.35)

CAPÍTULO l. CALCULO VECTORIAL

32

(1.36) El módulo o longitud elemental vendrá dado por, (1.37)

z

~[ill dy

dx

0 ~-------------------

y

X

Figura 1.8 El arco elemental dl se obtiene, en coordenadas rectangulares, mediante el incremento de cada una de las coordenadas en las distancias elementales respectivas, dx, dy, dz . El volumen elemental dV , que corresponde a un paralelepípedo cuyos lados son las distancias elementales consideradas anteriormente, se expresa de la forma siguiente,

dV

1.6

= dx dy dz

(1.38)

COORDENADAS CILÍNDRICAS

En la figura 1.9 se muestra un punto representado en un sistema de coordenadas cilíndricas, superpuesto con unos ejes rectangulares para comparar y poder deducir unas coordenadas en función de otras. En este sistema las variables independientes, coordenadas de cada punto, son p , cp y z. Algunas veces se usa r en lugar de p para evitar la confusión con la p que se utiliza en electricidad para la densidad de carga y la resistividad. Se utiliza r considerando que aquí es una distancia radial en un

1.6. COORDENADAS CILÍNDRICAS

33

plano perpendicular al eje Z. Las superficies para las que una coordenada es constante no son ahora en todos los casos planos sino que se trata de las siguientes superficies. Las superficies para las que la coordenada p es constante son cilindros cuyo eje es el eje Z ; las superficies para las que z es constante son planos perpendiculares al eje Z ; y las correspondientes a

. = A0 cos (1ry 1la) Q=

¡

a

-a

1ry' A0 cos ( - ) dy 1 a

=

[a

1ry' ] a A0 -sen(-) a

1f

=O

-a

M omento dipolar r' =y' uy. Se sustituye en la ecuación (4.20) p(r') dv' por A0 cos (1ry11a) dy' p =

{

Jv

r'p(r')dv' =

fa uyy' A cos(1ry'la)dy'

l-a

0

CAPÍTULO 4. DIPOLOS Y MULTIPOLOS

180

p =

Uy

a ¡a

1ry' ] a A0 { [ y'- sen( - ) 7r a -a

1

a 1ry } - sen(-)dy' a

-a 7r

M omento cuadripolar

Las coordenadas de los puntos donde se sitúa la carga se caracterizan por que las componentes son x = O y z = O, por tanto,

Qxy

= Qyx = Qxz = Qzx = Qyz = Qzy = O

es decir, solo quedan los componentes de la diagonal. La distancia r' 2 = y'2 . Aplicando la ecuación 4.21 y sustituyendo p(r') por -\(y') y dv' por dy'

¡

a

Qxx =

1

(3 ·O- y' 2 )A0

COS (

-a

Qxx

a 1ry1 ] = -Ao { [ y12 -sen(-) a

7r

a ¡a

a 1ry1 dy ' } 2y' -sen(-)

-

-a

-a 1

1ry ] a a ( [ -y1 -a cos(-) Qxx = -A0 { O- 2-1r 1r 1r a

Qxx

a

7r

a+ ¡a -

a cos(-) 1ry' dy ') }

-a

-a

1r

1 ]a } = -A 0 { -4(:;;:) a +(:;;:) [ sen(--¡;:) -a

a

¡

a

Qzz

1ry ) dy' a

=

2

a

1ry

2

1

(3 ·O - y'2 )Ao COS ( 1ry ) dy' = Qxx -a a

a

4.2. MOMENTOS MULTIPOLARES

Qyy =

¡a

(3 · y'2

-

y' 2 )A0

1ry' COS ( - )

a

-a

Qyy

=

181

dy' =

¡a

2 y' 2 A0

-a

1ry' COS ( - )

a

dy'

a3

-2Qxx

= -8Ao2 7r

Una vez conocidos los momentos dipolares calculamos el potencial en el punto (0, O, 4a) aplicando la ecuación (4.20) adaptada a nuestra distribución de carga. Dado que Q = O y p = O, sólo queda la parte correspondiente al término cuadripolar. Los elementos que contienen la coordenada x e y son nulos, dado que son nulas dichas coordenadas, por tanto,

1

1

j k

V(r) ~ VQ(r) = - - " " - Q · k 1 47rc 2 ~~ r5 o

V(r)

~

j

k

1 1 2 - - 5 z Qzz 87ré 0 r

CAPÍTULO 4. DIPOLOS Y MULTIPOLOS

182

4.3

PROBLEMAS

p 4.1 En los vértices de un cuadrado de lado 2L se sitúan cuatro cargas como indica la figura P4.1.

q¡ = q ; q2 = - q ; q3 = q y q4 = - q Calcular los términos y momentos dipolar y cuadripolar de la distribución de cargas puntuales.

z¡

yl

j

• q

-q• 2

P

1

q]

1

R

o X

¿ • q3

p2

y

30"

q•

3

4

Figura P4.1

• -q

X

•

q2

Figura P4.2

p 4.2 Dada la distribución de carga indicada en la figura P4.2 , donde q1 = q, q2 = q3 = -q/2. 1} Calcular el potencial en los puntos P 1 y P2 mediante la ecuación (2.6).

P¡ = (0, Yo, O) ; P2 = (0, O, Zo) ; Zo = Yo = 2R

2} Calcular los términos monopolar, dipolar y cuadripolar del potencial. Comparar los resultados obtenidos en 1) con la suma de los tres términos de 2}.

p 4.3 Consideramos una molécula en forma de hexágono regular como la indicada en la figura P4.3a. 1) Calcular el momento dipolar de la molécula. 2) Sin modificar las distancias L entre los átomos, comprimimos lamolécula en la dirección del eje X de forma que el ángulo a cambie de 120° a 12oo- e.

4.3. PROBLEMAS

183

Calcular la variación del momento dipolar en función de fJ. y

y

-q a

ª·

·ª

-q q

ª·

o

A) =A· Vif> + if>(V ·A) a nuestro caso con,

if>

=

1

Ir- r'l

y

= P(r')

A

1 '1 P(r')) = P(r')·\1' ( 1 1 '1) V'·( 1r-r r-r

+ 1r-r 1 '1 V'·P(r')

Despejando el primer término del segundo miembro tenemos, 1

P(r )·\1

1 (

1

lr-r 'l

)

1 (

1

( '))

=V· lr-r 'l P r

1

1

1

- lr-r 'l V ·P(r)

Llevando esta relación a la integral que sirve para calcular el potencial se obtiene la siguiente ecuación,

V(r) = _1 47rc 0

f Jv,

{v'. (IrP(r'), ) - V'·P(:')} r Ir- r 1

dv'

1

Si aplicamos al primer término de la ecuación anterior el teorema de la divergencia queda,

194

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

V(r)

=

_1_ ( { P(r') ·,n ds' 47rE 0

}

Jr -

S'

r

1

+ { -V'·P~r') dv') Jv, Ir - r

(5.4)

1

S' es la superficie que limita el volumen V'; n es el vector normal a S' y con sentido hacia el exterior de V'; ds' es la superficie elemental sobre S'. Los términos P(r') · n y -V'·P(r') que aparecen en la ecuación (5.4) son dos funciones escalares que permiten calcular el potencial como si fueran unas densidades de carga, y tienen un significado especial por lo que sirven para introducir las densidades de carga de polarización. Densidad de carga de polarización superficial ap(r') = Psp = P(r') · n es la densidad superficial de carga que se obtiene en la superficie de separación a través del producto escalar de la polarización en dicha superficie por el vector normal a ella. Densidad volumétrica de carga de polarización

Pp(r')

= - V'·P(r')

es la densidad volumétrica de carga de polarización obtenida mediante la divergencia de la polarización dentro del volumen ocupado por el material. Atendiendo a estas definiciones, podemos expresar el potencial de forma siguiente,

V(r)

1 -

( {

47rE 0

}

=-

S'

ap(r'~ Ir - r

ds' 1

+ { Pp(r'~ Jv, Jr - r

dv')

(5.5)

1

La ecuación (5.5) nos recuerda el potencial debido a densidades de carga libre, ya que es la misma, salvo que se intercambia a P con a y Pp con p.

5.2.2

Campo eléctrico debido a un dieléctrico

De la ecuación anterior se puede deducir el campo electrostático creado por un material polarizado, sin más que calcular el gradiente. Como las densidades de carga no dependen de la coordenada r y \7 (

1

) __ (r- r')

Ir- r'l -

ir- r'l3

195

5.2. CAMPO Y POTENCIAL el campo eléctrico será,

E=-VV(r)

=-

1-

( { O"p(r- r') ds'

47rco JS' ir- r'i 3

+ {

Pp(r- r') dv')

Jv, ir- r'i 3

(5.6)

que es similar al obtenido para cargas libres. Significado físico de las densidades de carga

El potencial se ha obtenido a través de una transformación matemática que no pone de manifiesto el significado físico de la cargas de polarización introducidas. Por esta razón vamos detenernos a explicar el origen físico de dichas cargas. En la figura 5.2a se muestra un dieléctrico uniformemente polarizado. Los dipolos que contribuyen a la polarización P están alineados de forma que en el interior se compensa la carga positiva de un dipolo con la negativa del siguiente, de tal manera que solo quedan sin compensar las negativas de la superficie límite izquierda y la positivas correspondientes a la superficie de la derecha. Esto explica la definición de la densidad de carga de polarización superficial O"P = n · P. El vector n tiene sentido contrario a P en la superficie de la izquierda y por tanto su producto es negativo e igual a -O"p· En la superficie de la derecha n y P tienen el mismo sentido y en consecuencia la densidad es positiva e igual a O" p. La carga neta, incluidas las dos superficies, es nula como corresponde a un dieléctrico sin más carga que la de sus átomos.

: -:-+ - -+ --+ - -++ - ~

: : -'-++ - -++ - -++ - -++ - ~ . ~+ --+ - --..+P__,.+ ---++ : - ,-++ - -+ - --..+ - -++ ....;. -:-++ - -+ - -++ - -+ - ~ n: -'-++ - -++ - -++ - -+ ---..+ . n : --+ ~ -+ --+ --+ - ~ : : -~+ - -++ --+ - -++ - ~ : : - '-++ - -++ --+ - -++ : -'-++ - -++ - -++ - --..+ - ~ 1:

---++

-- +:

·····

·-· ···

b

a

Figura 5.2 Cuando tenemos un material cuya polarización no es uniforme podemos explicar el proceso con el modelo indicado en la figura 5.2b. En el modelo se supone que la polarización crece de izquierda a derecha, y se representa

196

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

gráficamente dibujando más dipolos en un plano que en el precedente. En la zona central se ha dibujado la sección de una caja que incluye la parte final de un conjunto de dipolos y la inicial del siguiente. Como la polarización no es uniforme el flujo de la polarización que entra en la cara de la izquierda es menor que el flujo saliendo por la cara derecha; por tanto la divergencia es positiva y como consecuencia la densidad de carga de polarización Pp es distinta de cero, en este ejemplo negativa. En la figura se pone de manifiesto porque hay más cargas negativas que positivas en el volumen considerado. Vemos por tanto que la existencia de Pp es consecuencia de la falta de uniformidad en la polarización. Cuando Pes uniforme V· P =- Pp =O. Un sistema físico que puede aproximarse al modelo anterior sería un gas de moléculas polares con la superficie derecha más fría que la izquierda, lo que provocaría un doble efecto, por un lado la densidad del gas, hay más dipolos en la zona más fría. El otro efecto es que a una zona más caliente lleva asociado mayor agitación térmica y por tanto mayor dificultad para que los dipolos se orienten; es decir, menor polarización en la dirección del campo aplicado, que tiene la dirección y sentido de P. Hasta ahora no hemos demostrado la neutralidad de carga. Para ello no hace falta más que desarrollar los componentes que intervienen.

Qp = { Ppdv'

Jv,

+ {

CJpds' = - { V · Pdv'

Js,

Jv,

+ {

Js,

P · nds'

(5.7)

Aplicando el teorema de la divergencia enunciado en el apartado 1.17, ecuación (1.113), a la integral de volumen,

{ V · P dv' = { P · n ds'

Jv,

Js,

Llevando esta relación a la ecuación anterior,

Qp = -

rp .

Js,

n ds'

+

rp .

Js,

n ds' =

o

Es decir, se mantiene el dieléctrico con carga neta nula, como cabía esperar, pues lo único que hacemos en todo el proceso matemático es transformar la ecuación (5.3) de forma que se pueda expresar el potencial en función de las densidades de carga de polarización. En el modelo indicado en la figura 5.2b la neutralidad se manifiesta de la forma siguiente: En el interior existe una densidad de carga Pp negativa, y en la cara izquierda existe una densidad de carga superficial negativa menor que

5.2. CAMPO Y POTENCIAL

197

la densidad positiva de la cara opuesta, por tanto la Pp negativa compensa el desequilibrio entre las densidades de carga superficiales. Campo en el interior del dieléctrico En el apartado anterior hemos calculado el campo en el exterior del material, lo que en principio nos evita tener que manejar Ir- r 1 en puntos del interior. El proceso seguido consiste en sustituir una distribución de dipolos por otra de cargas ligadas, con una distribución CJp en la superficie y otra Pp en el interior. Una vez demostrado que es posible tal transformación para obtener el potencial fuera del material, se puede calcular dicho potencial, y por tanto el campo electrostático, en el interior con la misma ecuación, ya que esta situación es similar al cálculo de un potencial en el interior de un volumen con densidad de carga libre p y una densidad CJ sobre la superficie. Para demostrar de una forma sencilla que la integral no diverge cuando Ir- r 1 ---+ O, vamos a rodear el punto de coordenada r de una esfera de radio Ir- r 1 1. El potencial debido a la carga exterior a la esfera es finito pues Ir- r 1 > O; la contribución de lacarga dentro de la esfera será, 1

1

1

V(rl) =

lim _1_ { pdvl lr- r' l->0 47réo Jv Ir- r 1 1 2 En coordenadas esféricas dv 1 = 47r Ir- r 1 1 d(lr- r 1 1), y en consecuencia, 1

V(r) =

• 1 11r-r'l p47r Ir- rll2 d(lr- rll) hm - lr-r' l->0 47réo o Ir- r 1 1

V(r 1 ) =

1 11r-r'l lim p Ir- r 1 1d(lr- r 1 1) =O lr-r'l->0 Eo o

Hemos supuesto que la densidad de carga es finita en el punto de coordenadas r = (x , y, z) en el interior. En el interior, por tanto, se calcula el campo eléctrico con la misma ecuación (5.6) que se usa para el exterior. El campo que obtenemos así es un valor medio y no el campo que actúa sobre una molécula o átomo del material. En este último caso debemos calcular el campo en el punto donde está la molécula, una vez suprimida. Al campo así obtenido se le conoce como campo local y su relación con el campo en el interior depende del tipo de moléculas, es decir, dipolos, y sus características ligadas a su simetría, isotropía del material, que la polarización sea o no inducida etc.

198

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

En el apartado de condiciones en los límites veremos los tipos de cavidades que se pueden realizar en un dieléctrico, así como la relación entre el campo dentro y fuera de la cavidad. Ejemplo 5.1

En la figura 5!3 se muestra un dieléctrico sin cargas libres, cuya polarización es de la forma P = k(y + b)uy y P = O para y > b. El espesor de la placa es b y su superficie S. Calcular las densidades de carga de polarización y comprobar que la suma de todas en cero.

z

b

y

Figura 5.3 Solución

La densidades de carga superficiales se obtienen mediante la ecuación, ap

En la cara izquierda n

= -uy,

O"pi =

=p. n

y

= O, por tanto,

-uy · k(O

+ b)uy = - kb

En la cara de la derecha n = Uy, y= b, por tanto, a pd

= Uy

· k(b + b)uy

= 2k b

La densidad Pp se calcula a partir de la ecuación,

5.2. CAMPO Y POTENCIAL

P =-V. p

199

= _ (8Px + 8Py + 8Pz)

ax

p

ay

az

Sustituyendo el valor de P, Pp

=

-V·k(y+b)uy

=-(o+ ~k(y+b) +0) Pp =-k

La carga superficial será, Qs=S(2kb-kb)=Skb

[C]

La carga distribuida en el interior se obtiene multiplicando la densidad por el volumen,

Qv = S d Pp = -S k b Es decir la suma de las dos distribuciones de carga es nula como cabía esperar de un dieléctrico sin Gargas libres. Ejemplo 5.2

Un dieléctrico en forma de esfera, cuyo radio es R, tiene una polarización uniforme P = P Uz como muestra la figura 5.4a. Calcular las densidades de carga de polarización y el campo creado en el centro de la esfera. Solución

La polarización es uniforme, por tanto V· P =O, ya que la derivada de Pes nula. La simetría de la distribución es cilíndrica, ya que la polarización es uniforme y en la dirección del eje Z. El vector normal sobre la superficie de la esfera es, ll

= Ur = Uz COSe +

Up

sen e

La densidad superficial de carga será, O"p

=p. n = Puz. (uz cose+ Upsene) O"p

=

p cose

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

200

Esta expresión muestra que las cargas son positivas en la parte superior (z > O) y negativas en la inferior ( z < O). El campo eléctrico se calcula mediante la ecuación (5.6) , que en este caso se reduce a la siguiente, E= _1_ ( O'p(r- r') ds' 47Téo } S'

Ir- r'l 3

Los vectores de posición son,

o ;

r

r-r

1

r'

= R (U z cose +

- R (U z cose + ds'

Up

Up

sen e) ;

sen e)

r - r'l

1

=R

= R 2 sen e de dcp

Sustituyendo los distintos valores en la integral tenemos que, E= _1_ 4?Téo

r -R (uz cose+ Upsene)(Pcose) senededcp 3

Js,

R3

y

b

a

Figura 5.4

La integración de la componente up es nula, dado que la simetría cilíndrica de la distribución determina que para cada ds' con Up existe otra simétrica

5.2. CAMPO Y POTENCIAL

201

con - up y al integrar, sumar, se anula dicha componente. Simplificando la integral se reduce a, 1 { -uzP cos 2 ()sen() d() dcp E = 47rEa ls' Los límites de integración son: de O a

E

1r

para(), y de O a 27r para cp,

r

2 1 { 7r dcp -uzP cos2 ()sen() d() 47rEa lo lo 2 - U z 7r p [-~ COS 3 (}] 7r = -Uz _!_ 47rE 0 3 3E 0 0

En definitiva el campo eléctrico en el centro de la esfera es,

p

(5.8)

E=-3Ea

Campo en cualquier punto del interior

Vamos a demostrar que el campo en cualquier punto del interior de la esfera polarizada es el mismo que el obtenido anteriormente. Para ello vamos a suponer que la esfera polarizada se forma por la superposición de dos esferas desplazadas relativamente una distancia d en la dirección del eje Z, una con densidad de carga p y la otra con densidad de carga -p, ver figura 5.4b. Utilizamos el campo obtenido en el ejemplo 3.6 para el interior de la distribución. p

E= --rur 3Ea

La esfera con densidad negativa (- p) tiene su centro en el origen de coordenadas y el vector de posición en el punto donde calculamos el campo es r, por tanto el campo en dicho punto será, E¡

= _ ___!!_ r Ur = _ ___!!_ r 3E 0

3E 0

La esfera con p positiva tiene su centro desplazado la distancia d en la dirección del eje Z, y el vector de posición desde su centro es r', por lo que el campo será,

E2 =

-p- r' 3Ea

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

202

El campo total será la suma de los anteriores,

E = E1 Vemos en la figura que r queda,

=

+ E2 = d

_!!___ (r' - r) 3Eo

+ r' . Sustituyendo en la ecuación anterior

E=-_!!_d 3Eo

La polarización es la densidad de carga por el desplazamiento, P = p d. Como queríamos demostrar el campo es uniforme dentro de la esfera polarizada e igual a p E=--

?

3Eo

5.3

VECTOR DESPLAZAMIENTO

Ahora estamos en condiciones de demostrar el teorema de Gauss cuando las cargas están dentro de un dieléctrico. Para fijar las ideas vamos a suponer dos conductores con cargas Q¡ y Q2 dentro de un dieléctrico. Aplicamos el teorema de Gauss a una superficie S que limita el volumen de dieléctrico V, en cuyo interior se encuentran las cargas. En este caso el campo eléctrico lo crean los dos tipos de cargas, las ligadas a átomos Qp y libres, no ligadas, Q = Q¡+ Q2.

1 E-ds =!._(Q + Qp) Js Ea ·

(5.9)

La cargas ligadas en función de la polarización son,

Qp = {

hr+~

P·ds +

{ (-V · P) dv

Jv

-

En la superficie S no existe discontinuidad del medio, por tanto ésta no se considera en la integral de superficie. Aplicando el teorema de la divergencia, ecuación (1.113), al segundo término de la ecuación anterior tenemos,

{(-V . P)dv = - {

Jv

Jsr+S2

P ·ds- { P ·ds

Js

203

5.3. VECTOR DESPLAZAMIENTO

Aquí la superficie que limita el volumen V la forman S mas S1 y S 2 . Llevando este resultado a la ecuación que proporciona las cargas de polarización obtenemos,

Qp =

-fs

(5.10)

P·ds

z

y X

Figura 5.5 Si llevamos este resultado a la expresión para el teorema de Gauss dado por la ecuación (5.9) obtenemos,

fs

E-ds

= élo ( Q

-fs

P·ds)

Multiplicamos por c0 y transponemos la integral del segundo miembro,

fs (c E + 0

P)·ds

=Q

(5.11)

Vemos que la integral de superficie del vector c 0 E + P, compuesto por el campo eléctrico y polarización, depende únicamente de la carga libre Q encerrada por la superficie S. La entidad de esta suma de vectores es de tal importancia que se defin'e un nuevo vector, conocido como vector D o vector desplazamiento eléctrico mediante la siguiente ecuación,

D = c0 E+P

(5.12)

Sustituyendo la nueva definición en la ecuación (5.11) obtenemos el teorema de Gauss para cargas dentro de un dieléctrico,

204

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

i

(5.13)

D·ds =Q

Que en forma verbal podemos enunciar de la siguiente manera: El flujo total del vector desplazamiento a través de una superficie cerrada es igual a la carga libre que encierra. No es necesario por tanto conocer la polarización para obtener el flujo del vector D. Las dimensiones del vector D son las mismas que las de P, es decir, [C/m 2 ]. Si en lugar de unos conductores cargados tenemos una distribución de carga p dentro del volumen considerado, la ecuación (5.13) se transforma en la siguiente,

i

D·ds

= ¡pdv

(5.14)

Aplicando el teorema de la divergencia al primer miembro de la ecuación anterior queda,

¡V ·D ¡ dv

=

p dv

Como el volumen de integración es el mismo, se pueden igualar los integrandos,

V·D =p

(5.15)

La ecuación anterior se denomina forma diferencial del teorema de Gauss y constituye una de las ecuaciones fundamentales del campo electromagnético conocidas como ecuaciones de Maxwell. Dicha ecuación expresa una relación puntual entre la divergencia del vector D y la densidad de carga libre, no ligada, en el punto considerado, es decir, muestra que una fuente de las líneas del vector D son las cargas libres. La carga denominada libre, cuando consideramos dieléctricos, es una carga que se aplica externamente en determinados puntos o zonas y, en dieléctricos ideales, no se mueve. Cuando se trata de un conductor, la carga libre bien corresponde a los electrones libres pertenecientes a los átomos que forman el conductor o bien se aporta externamente, con la particularidad de que tanto las propias como las externas se mueven fácilmente dentro del conductor.

5.3. VECTOR DESPLAZAMIENTO

205

La ecuación (5.15) muestra que las cargas libres son una fuente del vector D, pero no es la única. Para verlo, determinamos el rotacional y la divergencia del vector D,

V

X

D =

é0

V

X

E

+V

X

P

Como V x E =O en todo campo electrostático,

V x D=V x P

(5.16)

Atendiendo al enunciado del teorema de Helmholtz, apartado 1.21, las fuentes de un campo son su divergencia y rotacional, por tanto la otra fuente de D es V x P, que será nula en medios homogéneos, P constante, pero no en los heterogéneos como muestra el ejemplo 5.3. Las ecuaciones (5.14) y (5.15) anteriores muestran que el flujo sólo depende de las cargas libres, lo que nos permite calcular el vector desplazamiento sin tener en cuenta el dieléctrico en los casos en que la simetría del problema lo permita. Es decir, podemos aplicar el teorema de Gauss para obtener el vector D cuando se verifiquen las mismas condiciones de simetría que hacían posible la aplicación en el caso del vector E. El flujo del campo eléctrico, y por tanto su divergencia, en el caso de que exista una densidad de carga libre además de la densidad de carga de polarización, se expresa mediante el teorema de Gauss en la forma siguiente,

{ E-ds

Js

= _!_ { (p + Pp) dv Eo

Jv

(5.17)

y aplicando el teorema de la divergencia obtenemos,

1

V· E= -(p+ p) Eo

p

(5.18)

Es la forma diferencial del teorema de Gauss para E, en la que se pone de manifiesto que las fuentes del campo eléctrico son los dos tipos de cargas, libres y de polarización. La ecuación (5.12) que define el vector D nos permite en cada caso calcular uno de los vectores en función de los otros dos. Dependiendo de los datos que tengamos será más fácil obtener primero uno de los vectores, y a través de dicha relación calcular los otros.

206

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

Para terminar haremos unas consideraciones sobre la definición del vector desplazamiento, o vector D. Dicho vector tiene dos componentes: P que en cada punto representa la densidad de momentos dipolares, y E 0 E, producto de la permitividad en el vacío por la intensidad de campo en cada punto, debido tanto a las cargas libres como de polarización. El término é 0 E depende de la polarización en su conjunto pero no de la polarización en el punto donde se considera el campo. Ambas magnitudes se miden en Cjm 2 pero su significado físico es distinto. El vector D es un híbrido compuesto por dos vectores de naturaleza distinta, pero se introduce por que es útil para analizar los campos eléctricos en presencia de dieléctricos. Por tanto el vector desplazamiento no tiene unas propiedades físicas específicas, sólo es la suma de P más é 0 E y su flujo a través de una superficie cerrada depende de la carga libre neta en el interior.

Ejemplo 5.3 Tenemos un dieléctrico sin cargas libres, cuya polarización es de la forma P = k(z + a)uy y P =O para z > a Calcular la divergencia y el rotacional de los vectores D y E dentro del dieléctrico.

Solución Puesto que no existen cargas libre la divergencia de D es nula,

V·D=O La divergencia del campo electrostático E , utilizando la ecuación (5.12) , será, 1

1

éo

éo

V· E= -V· (D -J>) =--V· P Sustituyendo P, V· E=

_2_ éo

(~o+ ax ~k(z ay +a)+ ~o)= {)z

o

El rotacional de todo campo electrostático es nulo, dado que E se calcula a partir de un gradiente como muestra la ecuación (5.6), y la identidad vectorial (1.141) pone de manifiesto que el rotacional de un gradiente es idéticamente nulo. VxE=O

5.4. SUSCEPTIBILIDAD Y PERMITIVIDAD

207

VxD=~VxE+VxP=VxP

por tanto,

v

xD =

Ux

Uy

Uz

8/ox

ojo y

{)j{)z

k(z +a)

o

o

desarrollando el determinante, {)

V

X

D = -ux zk(z+a) 0

= -kux

Vemos que los remolinos del vector D tienen su origen en la no uniformidad del vector polarización, ya que su componente en la dirección del eje Y varía con la coordenada z. Un sistema físico que se aproxime al modelo puede ser un gas de moléculas polares dentro de una caja rectangular, con la base inferior más caliente que la cubierta. Entre las caras laterales se aplica una batería. En la parte superior existirán más dipolos y en mayor proporción orientados en la dirección del campo, y en la zona inferior menos dipolos y más desordenados, por tanto la componente en la dirección del campo es menor.

5 .4

SUSCEPTIBILIDAD Y PERMITIVIDAD

Hasta ahora hemos descrito el po.t encial y campo debido a un dieléctrico polarizado, pero no hemos analizado el origen de la polarización y su relación con el campo. El campo que actúa sobre un átomo o molécula depende de cargas externas; es decir, campos producidos por cargas externas al dieléctrico y de los generados por los propios dipolos del dieléctrico. Estamos por tanto ante una situación compleja, la polarización de un átomo o molécula depende del campo que actúa sobre ella, pero al mismo tiempo el conjunto de átomos o moléculas polarizadas modifican el campo que actúa. Para salir del atasco recurrimos a los experimentos, y estos nos muestran que existe una relación de proporcionalidad entre el campo en el dieléctrico y la polarización. Esta es una ecuación constitutiva de la forma P = P(E) dependiente del tipo de material.

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

208

En la mayoría de los materiales P y E están ligados de manera que si desaparece el campo se anula la polarización, salvo en los electretes y ferroeléctricos que tienen una polarización espontánea en ausencia de campo (véase la sección 5.5). ' Desde un punto de vista macroscópico los materiales dieléctricos se caracterizan por la forma que adopta la ecuación constitutiva, la magnitud que relaciona al vector polarización P con el campo eléctrico E en un punto determinado se denomina susceptibilidad eléctrica, y la citada relación constitutiva es de la forma siguiente, P

= EoX(E) E

(5.19)

La susceptibilidad x(E) es una magnitud que depende del material considerado. Puede ser o no función del campo, un tensor o una constante y puede depender o no del punto. En la mayoría de los materiales la susceptibilidad no depende del campo, se trata de medio conocidos como lineales, y en ellos x es una constante o un tensor que puede o no ser función del punto considerado. Si tenemos en cuenta la definición del vector D, ecuación (5.12), y llevamos a ella la ecuación (5.19), queda la relación:

D = c 0 (1 + x(E)) E= c(E) E (5.20) La magnitud c(E) se conoce como permitividad eléctrica, y lo mismo que la susceptibilidad, depende del material considerado. c(E) = c0 (1

+ x(E))

(5.21)

Los valores de la susceptibilidad o la permitividad caracterizan el material y la ecuación (5.20) es la ecuación constitutiva que relaciona los vectores DyE. La medidas de la permitividad se suelen realizar comparando la capacidad de un condensador en vacío con la del mismo condensador en el que se introduce el dieléctrico, por esta razón se define una magnitud, que recibe el nombre de constante dieléctrica como la relación entre la permitividad del medio y la del vacío, "" = c(E) = 1 Eo

+ x(E)

(5.22)

5.5. CLASES DE DIELÉCTRICOS

209

En medios lineales, E:

1'\,=-=l+x

(5.23)

E: o

5.5

CLASES DE DIELÉCTRICOS

Los dieléctricos pueden clasificarse atendiendo al comportamiento de la polarización en función del campo eléctrico. Si además de campos electrostáticos consideramos también campos variables con el tiempo, entonces la susceptibilidad y la constante dieléctrica dependen de la frecuencia del campo utilizado para medirla, pues la polarización está ligada al desplazamiento de electrones e iones y estos desplazamientos siguen con mayor o menor retraso las variaciones del campo. Esta característica se da en todos los materiales por lo que en la clasificación que veremos a continuación debemos, además, tener presente esta circunstancia.

Dieléctricos con polarización permanente Son los que presentan polarización de forma espontánea sin que se aplique un campo exterior. Ejemplos de este tipo son los electretes y ferroeléctricos. Un electrete es en cierto modo como un imán permanente, se ("imana" ) polariza en el proceso de fabricación y permanece ("imanado" ) polarizado durante mucho tiempo, dependiendo del tipo de material y la forma que adopte. En algunos polímeros cuando les sometemos a un campo eléctrico fuerte y a temperatura elevada se orientan los dipolos en el sentido del campo. Manteniendo el campo aplicado durante el proceso de enfriamiento se logra que los dipolos queden con su orientación "congelada" en la dirección del campo. Esta polarización puede permanecer, prácticamente inalterada, durante mucho tiempo; en algunos materiales decenas de años. Este tipo de material, una vez construido, permanece polarizado sin aplicarle un campo eléctrico. Otros materiales que manifiestan polarización espontánea son los llamados ferroeléctricos. Aquí la polarización tiene origen en la estructura del material y desaparece para una temperatura, conocida como temperatura de transición o de Curie. Además en estos materiales aplicando un campo eléctrico se puede invertir la polarización y se produce el fenómeno de histéresis con sus ciclos característicos de medios no lineales.

210

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

Dieléctricos lineales y no lineales Dieléctricos no lineales son materiales cuya susceptibilidad y permitividad dependen del campo aplicado. Los ferroeléctricos son materiales que tienen esta propiedad. Cuando X y E no dependen de E , los materiales son lineales. Dieléctricos isótropos y anisótropos Cuando x y E no dependen de la dirección y sentido del vector E en el punto considerado los materiales reciben el nombre de isótropos, de lo contrario se les llama anisótropos. Los medios anisótropos se caracterizan por que la permitividad es un tensor, cuya matriz, si elegimos el sistema coordenado de referencia de manera que coincida con los ejes principales del cristal que constituye el dieléctrico, se reduce a la forma diagonal siguiente,

[e]=

[ E¡

~

o o o o é3

é2

y la ecuación constitutiva será,

[~n [~ =

o é2

o

l

JJ [~ l

(5.24)

(5.25)

Los cristales cuya ecuación constitutiva se expresa de la forma indicada, se les conoce con el nombre de biaxiales. Cuando son iguales dos de los términos de la diagonal se dice qÜ:e es monoaxial. En el caso de sean los tres iguales se trata de medios isótropos. Dieléctricos homogéneos En el caso de que los valores de x y E no dependan del punto considerado el material es homogéneo, en caso contrario será no homogéneo. En general vamos a suponer que los materiales son homogéneos lineales e isótropos (h .l.i.). Cuando no ocurra así se indicará de forma explícita.

5.6

RUPTURA EN DIELÉCTRICOS

La polarización que hemos estudiado se debe al desplazamiento relativo de los electrones que rodean al núcleo con respecto a dicho núcleo, o a la orien-

5. 7. CONDICIONES EN LOS LÍMITES

211

tación de dipolos moleculares. Cuando el campo aplicado es alto, dependiendo del material y las condiciones ambientales, se pueden liberar electrones e iones que son acelerados por el campo produciendo una corriente. Los electrones e iones acelerados provocan la ionización de otros átomos. El proceso puede multiplicarse llegando a la destrucción del dieléctrico. El fenómeno descrito brevemente se conoce como ruptura en dieléctricos. Los fenómenos de ruptura obedecen a mecanismos muy variados pero los principales son de dos tipos. Ruptura intrínseca, su origen está en la presencia de electrones libres en el dieléctrico. Al aumentar el potencial aplicado se llega a un valor, conocido como potencial de ruptura, en el que los electrones alcanzan tal energía que arrancan más electrones de los átomos ñmltiplicándose el efecto hasta destruir el dieléctrico. El otro mecanismo se conoce como ruptura térmica; este proceso se debe a que la corriente eléctrica, que lleva asociado un calentamiento por efecto joule, produce en determinadas zonas tal cantidad de energía, que el dieléctrico, mal conductor del calor, no puede disipar; y en consecuencia se eleva la temperatura, aumenta la velocidad de electrones e iones y se provoca la ruptura. La máxima intensidad de campo que soporta un dieléctrico sin que se produzca la ruptura se conoce con el nombre de rigidez dieléctrica. La rigidez dieléctrica del aire en condiciones normales de presión, temperatura y humedad es aproximadamente 3 x 106 V /m = 3kV /mm. Por ejemplo para que salte la chispa de una bujía de automóvil, cuyos electrodos estén separados 1 mm, es necesario aplicar 3000 V.

5. 7

CONDICIONES EN LOS LÍMITES

Al estudiar distintas situaciones del campo eléctrico nos encontramos que siempre hay un espacio ocupado por un tipo de material y otro por el vacío u otro tipo de material. Los campos en distintos medios pueden ser diferentes, dependiendo de las condiciones del sistema. Interesa por tanto conocer la relación que existe entre el campo en los distintos medios, y para ello debemos saber lo que ocurre en la superficie que los limita. En realidad no existen transiciones abruptas de un material a otro, pero en los casos en que ésta es muy rápida consideramos que la transición se verifica en la superficie de separación de los dos medios. Para calcular el comportamiento de las componentes de los distintos vec-

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

212

tores de campo y el potencial utilizamos dos elementos que caracterizan los campos, su divergencia y rotacional. En el apartado siguiente estudiaremos la transición entre dieléctricos y entre conductor y dieléctrico. Se pueden deducir las condiciones de transición cuando interviene el vacío considerándolo como si fuera un dieléctrico de permitividad € 0 .

Potencial escalar El potencial eléctrico entre dos puntos, cualquiera que sea el camino, por . definición cumple que, v2 -

V¡ = -

¡

2

E-di

Si elegimos un camino perpendicular a la superficie límite de longitud flh, y suponemos que los dos puntos están a la misma distancia de la superficie límite,

Cuando flh

~

O, puesto que el campo eléctrico es finito , (5.26)

Es decir, el potencial electrostático es continuo en la superficie de separación.

5. 7.1

Dieléctricos

Componentes normales del vector D

/

Obtenemos la relación entre las componentes normales del vector Den la superficie de separación de los medios (1) y (2) diseñando una caja cilíndrica elemental situada en la superficie de separación de dos medios dieléctricos, véase la figura 5.6a, y aplicando el teorema de Gauss para D expresado por la ecuación (5.14), en la que cambiamos p por CJ sobre la superficie de separación. El flujo del vector D~e descompone en tres partes: la primera es el flujo a través del círculo de superficie ds¡ = ds n¡, cuyo vector unitario normal es n 1 = -n, dicho flujo es -D 1 · nds. La segunda es el flujo a través del círculo de superficie ds2 = ds n2 y vector unitario normal n2 = n, dicho flujo es D2 · n ds .

213

5. 7. CONDICIONES EN LOS LÍMITES

La tercera es el flujo a través de la superficie lateral del cilindro, éste, dado que D es finito en la superficie de separación, se anula cuando la altura del cilindro tiende a cero; es decir, cuando los dos círculos se aproximan a la superficie de separación. La carga en el interior de la caja cilíndrica, en el límite, se reduce a la que existe sobre la superficie elemental ds, por tanto, si sobre ds la densidad superficial de carga es CJ, la carga total encerrada por la caja es CJ ds. En el límite el teorema de Gauss se expresa de la forma siguiente, D2 · n ds - D¡ · n ds =

CJ

ds

Eliminado ds obtenemos la relación entre los valores del vector Den los dos medios, (5.27)

b

a

Figura 5.6

La ecuación anterior se puede expresar en función de las componentes normales de los vectores, quedando de la forma siguiente, Dn2- Dnl =

(J

(5.28)

Esta ecuación muestra que las componentes normales del vector desplazamiento son discontinuas sobre la superficie de separación entre dos medios cuando existe una densidad superficial de carga CJ sobre ella.

214

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS En el caso de que (}=O, la relación anterior queda de la forma: Dn2- Dnl

=O

(5.29)

La ecuación (5.29) muestra la continuidad de las componentes normales del vector desplazamiento cuando sobre la superficie de separación no hay cargas. Componentes tangenciales del vector E

Para deducir el comportamiento de las componentes tangenciales del vector campo eléctrico E en la superficie de separación de dos medios utilizamos la condición de que E es un campo conservativo, es decir, que §0 E · dl = O. Aplicando esta condición sobre el contorno ABCD indicado en la figura 5.6b, cuando los tramos AD y BC tienden a cero, se deduce la ecuación para las componentes tangenciales del campo E. Sobre el tramo AB = tll la integral de línea es E2 · tll. En el tramo CD = tll, dado que el recorrido es en sentido contrario al anterior, la integral de líneas es - E1 · tll. A lo largo de los tramos AD y BC, si E es finito en la superficie de separación, como AD y BC tienden a cero al aproximar los lados AB y DC a la superficie de separación, la integral de línea sobre dichos tramos será nula. En definitiva la aplicación de la integral de línea a lo largo del camino cerrado ABCD queda de la forma,

(E2 - E1) · tll

=O

(5.30)

De la relación anterior se deduce que,

Et2- En= O

(5.31)

Ecuación que expresa la continuidad de las componentes tangenciales del campo eléctrico en la superficie de separación entre dos medios, que es independiente de que exista carga libre sobre dicha superficie. Componentes tangenciales de D

Para saber lo que ocurre con las componentes tangenciales del vector D y su relación con las mismas componentes de P, utilizamos el rotacional,

VxD=VxP ya que V x E= O. La ecuación anterior por analogía con el comportamiento demostrado para E, se verifica que,

5.7. CONDICIONES EN LOS LÍMITES

215

Dt2 - Dn = Pt2 - Pn

(5.32)

Utilizando la relación entre D y E , D = E E , podemos encontrar las ecuaciones que ligan, tanto las componentes normales como las tangenciales de los dos vectores D y E en la superficie que limita dos medios. Estas relaciones permiten calcular los vectores E y D en el interior de un dieléctrico si conocemos dichos campos en el exterior y viceversa. Dado que en el vacío podemos medir el campo eléctrico con más facilidad , por ejemplo mediante la fuerza que ejerce sobre una carga o midiendo la diferencia de potencial entre dos puntos, utilizamos las relaciones obtenidas para calcular el campo en el interior de un dieléctrico.

5.7.2

Conductores

Los conductores se caracterizan por que en condiciones estáticas el campo en su interior es nulo y la carga se sitúa sobre la superficie. Partiendo de estas condiciones podemos obtener las condiciones en los límites en el caso de que el medio (1) indicado en los apartados anteriores es un buen conductor.

Componentes normales de D Si utilizamos la ecuación (5.29), como ahora Dn 1 =O queda, (5.33)

Dn2 =a

Es decir, sobre la superficie de un conductor cargado la componente normal del vector D depende de la densidad superficial de carga a sobre dicha superficie. Como en el medio (2) D = E E , si E es constante, la componente normal del vector campo eléctrico será,

a

(5.34)

En2 = E

De la ecuación (5.31) se deduce el comportamiento de las componentes tangenciales. Como el campo es nulo en el interior, En = O, por tanto Et2 =O, es decir, las componentes tangenciales del campo serán,

En= Et2 =O Si el medio es homogéneo e isótropo,

E

(5.35)

es una constante y se verifica que,

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

216

Dn = Dt2 =O

(5.36)

Estas condiciones en los límites ponen de manifiesto que en las proximidades de un conductor cargado los vectores D y E son normales a su superficie, cosa que se había puesto de manifiesto para E al estudiar las líneas equipotenciales y de campo. En el caso de más general, con D¡ = P¡ = O, utilizando la ecuación (5.32) tenemos, (5 .37) La condiciones en los límites nos permiten saber como se comportan los vectores de campo en las zonas de transición entre dos medios materiales.

Ejemplo 5.4 La figura 5. 7 muestra tres tipos de cavidades en un dieléctrico, así como las direcciones de los vectores E y P. Calcular los vectores D y E en el interior de las cavidades.

p

A

h

--E

B

~ R pero R' e::: R). Obtener el potencial en el centro de la esfera, r =O.

5.8. PROBLEMAS

227

p 5.10 Un cable coaxial, cuyos radios interior y exterior son respectivamente a y b (b = 2a), tiene un dieléctrico en el espacio entre conductores cuya permitividad es,

Se conecta una pila de f.e.m. Va entre los conductores como indica la figura P5.10. 1) Calcular los vectores D , E y P en el dieléctrico. 2) Obtener las densidades de carga de polarización.

z

y

Figura P5.10

Figura P5.11

p 5.11 Disponemos de un cable coaxial indefinido, cuyos radios respectivos se muestran en la figura P5.11. En el espacio entre conductores hay un dieléctrico cuya permitividad depende del radio e= c(p), con c(b) =Ea· Se aplica un pila de f.e.m. Va como muestra la citada figura. 1) Calcular la forma matemática de e = c(p) , de manera que el campo eléctrico no varíe con el radio en la zona entre conductores. 2) Determinar los vectores D , E y P en el dieléctrico. p 5.12 Sea un sistema coaxial formado por dos cilindros conductores indefinidos, el interno de radio a y el externo de radio b. El espacio entre el conductor interno y el externo está ocupado por un material de permitividad e = Eae'P / 1r. Los conductores se encuentran conectados a una batería de manera que la d.d.p. entre ellos es Va. Calcular los vectores E y D en el espacio entre conductores y la distribución de carga sobre el conductor de radio a.

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

228

Figura P5.12 p 5.13 Sobre un plano coincidente con el XZ tenemos una densidad superficial de carga a. Pegado a dicha distribución tenemos una placa dieléctrica, también indefinida en las direcciones X y Z, de espesor d y permitividad e, (véase la figura P5.13). 1) Calcular los vectores D y E, dentro y fuera del dieléctrico. 2) Determinar las densidades de carga de polarización. Z 1E-------=d -~,.

z a Ü·r -----------:::-;-

y

y

X

Figura P5.13

Figura P5.14

229

5.8. PROBLEMAS

p 5.14 Sobre una esfera conductora de radio a existe una carga Q. Alrededor de dicha esfera se sitúa una capa dieléctrica, de radio interior a y exterior b, cuya permitividad es E= kjr 2 . 1) Calcular los vectores de campo D y E para r < b. 2} Obtener las densidades de carga de polarización cuando r =a y r = b. p 5.15 Una placa de dieléctrico, de espesor d y superficie S, tiene una polarización uniforme P. Disponemos la placa entre dos láminas conductoras unidas entre sí por un conductor como indica la figura P5.15. 1) Calcular los vectores D y E en los medios entre placas. 2) Calcular las densidades de carga en láminas y placa.

p -----+

Eo

Po

d d'

1--

S

Figura P5.15

Figura P5.16

p 5.16 Tenemos dos placas conductoras paralelas, separadas por una distancia d, cuya superficie es S. Manteniendo cerrado el interruptor S (véase la figura P5.16) introducimos un material con polarización espontánea P 0 • Calcular los vectores de campo D y E. Se desconecta el interruptor S y a continuación se calienta el material de forma que se anula la polarización espontánea P 0 , es decir, P 0 = O. ¿Cual es el valor de los vectores de campo ahora? p 5.17 En la figura P5.17 se muestra un dieléctrico entre dos placas conductoras unidas entre sí por un conductor externo. El dieléctrico tiene una

230

CAPÍTULO 5. DIELÉCTRICOS

zona de espesor d¡ con una polarización P , y otra zona de espesor d2 cuya polarización es -P .

1) Calcular los vectores de campo E y D en las distintas zonas.

2) Calcular las densidades de carga reales sobre las placas conductoras.

-- p

p

Figura P5.17

p

p

Figura P5.18

p 5.18 En la figura P5.18 se muestra un dieléctrico entre dos placas conductoras unidas entre sí por una batería externa V0 • El dieléctrico tiene una zona de espesor d 1 con una polarización P, y otra zona de espesor d 2 cuya polarización es -P.

1) Calcular los vectores de campo E y D en las distintas zonas.

2) Calcular las densidades de carga reales sobre las placas conductoras p 5.19 Tenemos una barra dieléctrica de permitividad transversal se muestra en la figura P5.19.

€

3€ 0 , cuya sección

Aplicando las condiciones en los límites calcular el ángulo de incidencia del campo en el punto P del medio (1) para que el campo eléctrico en el medio (3) sea paralelo al eje Y. a¡

231

5.8. PROBLEMAS

z

y

X

CD Figura P5.19

0

Parte 11

UNIDAD DIDÁCTICA II

233

Capítulo 6

SISTEMAS DE CONDUCTORES

ESQUEMA - RESUMEN Objetivos Generales Estudio del campo y potencial electrostático cuando existe un conductor o un sistema de conductores. Específicos • Características de los conductores. • Campo y potencial cuando existen conductores cargados: Cargas inducidas. Apantallamiento. • Capacidad de un conductor aislado. • Sistemas de conductores. Coeficientes de potencial: Propiedades. • Coeficientes de capacidad e inducción: Propiedades. • Condensador: Capacidad de un condensador. • Asociación de condensadores en serie y paralelo: Capacidad equivalente.

Requisitos previos Manejar los conceptos desarrollados en los capítulos anteriores y saber aplicar los instrumentos de cálculo indicados en el capítulo primero.

235

CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE CONDUCTORES

236

6.1 6.1.1

CONDUCTORES Características

Aunque ya nos hemos referido a ellas en capítulos anteriores, vamos a mostrar ahora las características más importantes de los conductores. De una forma genérica podemos definir un conductor como un cuerpo sobre el que las cargas eléctricas se pueden mover libremente bajo la influencia de un campo eléctrico. · Los casos más comunes son los metales como el cobre, plata, oro, aluminio, etc. En condiciones estáticas el campo eléctrico dentro de un conductor es nulo, de lo contrario se estarían moviendo las cargas. Si el campo es nulo, la integral de línea a lo largo de cualquier camino será nula, por lo que el conductor es un volumen que está a un potencial y la superficie que lo limita es por tanto una superficie equipotencial. En resumen, en el interior de un conductor E = O y V =constante. Como consecuencia de ser equipotencial la superficie del conductor, y que las líneas de campo son perpendiculares a las equipotenciales, se deduce que el campo eléctrico es normal a dicha superficie en los puntos exteriores muy próximos a ella. Cuando ponemos a un conductor en presencia de un campo eléctrico se produce, en un tiempo muy corto, dependiente de su conductividad, una redistribución de las cargas libres del conductor, de forma que al terminar el proceso el campo es nulo en su interior. Estas cargas se sitúan sobre la superficie del conductor y se conocen como cargas inducidas. Las cargas inducidas producen un campo en el interior del conductor que contrarresta el campo externo, de manera que el campo electrostático en el interior es cero. Si depositamos una carga Q sobre un conductor, esta carga se distribuye por la superficie del conductor, siendo nula la carga neta en el interior. Esto se demostró en el apartado 3. 7 aplicando el teorema de Gauss sobre una superficie interior muy próxima a la del conductor.

Campo en la superficie de un conductor cargado Como hemos visto en el párrafo anterior la carga en un conductor se distribuye por la superficie. Si consideramos que la densidad de carga superficial es a , podemos deducir el campo en la parte exterior de la superficie aplicando las condiciones en los límites expresadas por la ecuación (5.34) deducida en el capítulo anterior,

6.1. CONDUCTORES

237

(]'

(6.1)

E=- n E

Donde n es el vector unitario normal a la superficie en el punto considerado. La permitividad E depende del medio que rodea al conductor, si está en el vacío será igual a Ea·

Apantallamiento Cuando un conductor K tiene un hueco en su interior, por ejemplo una esfera metálica hueca, la carga sobre dicho conductor se distribuye sobre la superficie exterior, siempre que en el hueco no exista carga. Como consecuencia el campo en el interior del conductor y en el hueco es nulo, por tanto su potencial es constante. Si en el hueco situamos un conductor descargado M, como indica la figura 6.1a, dicho conductor se mantiene al potencial del conductor que le rodea, es decir, se mantiene al potencial Va sin que el campo creado por el conductor N con carga Q pueda afectarlo. Este fenómeno se conoce como efecto de apantallamiento, que es de gran utilidad ya que si unimos el conductor exterior a t ierra, las variaciones externas de campo no afectan al conductor M situado en el interior.

N o

+.

Q

K

@ +

K

+ + +

+

V,~

+ +

b

a

Figura 6.1

Consideremos ahora el caso de dos conductores K y K' como indica la figura 6.lb. K' es una capa esférica conductora. En este caso el conductor interior K tiene una carga Q y el exterior K' no tiene carga neta. El conductor con carga Q induce sobre la superficie interior del conductor K'

238

CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE CONDUCTORES

una carga total -Q distribuida de manera que en el interior de la capa conductora K' no existe campo en condiciones estáticas. Sobre cualquier superficie en el interior de la capa E = O, y el teorema de Gauss muestra que,

1 E· ds =

fs

2_ (Q + Qind) =O Ea

Es decir, Qind = -Q. Hemos supuesto que el conductor K' no tiene carga neta, por tanto debe haber una carga Q distribuida en dicho conductor, ya que la aplicación del teorema de Gauss en una superficie exterior a los dos conductores indica que,

1 E·ds= 2_Q

fs

Ea

Cabe preguntarse dónde y cómo se distribuye esta carga en la capa K'. Por una parte sabemos que en condiciones estáticas no puede existir carga en el interior de la capa conductora, por tanto debe distribuirse por la superficie exterior de dicha capa. Por otra, dado que las cargas inducidas Qind = -Q se distribuyen de manera que anulan el campo en el interior de la capa, es decir, sobre la superficie interna de la capa. La distribución de la carga Q sobre la superficie externa de la capa esférica no depende de la distribución de la carga inducida en la superficie interna y por tanto no depende de la forma y posición del conductor interno K con carga Q. Sólo depende de la forma de la superficie externa de la capa K'. En el ejemplo propuesto, como la superficie exterior de la capa es una esfera, la carga se distribuye sobre dicha superficie esférica de manera uniforme. Para demostrarlo tenemos en cuenta que la capa K' es equipotencial y como consecuencia el campo será normal en cada punto a la superficie exterior; es decir, el campo tiene dirección radial en todos los puntos de la superficie esférica,

E=

(}

-Ur

(6.2)

Ea

Si el campo es radial, la carga que lo genera debe tener simetría esférica, por tanto la carga se distribuye de manera uniforme por la superficie externa de la capa esférica K'.

239

6.2. SISTEMAS DE CONDUCTORES Capacidad de un conductor

Cuando a un conductor aislado se le aplica una carga, ésta se distribuye de manera que la superficie del conductor sea equipotencial. Si duplicamos la carga, la aplicación del principio de superposición nos permite deducir que se duplicará el potencial del conductor; pero la manera de distribuirse la carga por el conductor es la misma, ya que la forma del conductor no cambia, y en consecuencia tampoco las equipotenciales que lo rodean ni las líneas de campo. La distribución de la carga sobre la superficie de un conductor aislado es independiente de la cantidad de carga y su potencial es proporcional a la carga total sobre dicho conductor. Se llama capacitancia o capacidad a la relación entre la carga que almacena Q y el potencial V que adquiere el conductor.

(6.3) La capacidad C es un factor geométrico que depende de la forma del conductor, pero no de la carga o potencial que se aplica. A un conductor aislado, por su capacidad de almacenar carga cuando se le aplica un potencial determinado, se le denomina capacitor. Como aplicación calcularemos la capacidad de una esfera aislada de radio R. Cuando sobre una esfera existe una carga Q, su potencial es,

V= _l_Q 47rt:o

R

La capacidad será,

Q

C =- = V

47rE 0 R

De acuerdo con la definición, la unidad de capacidad en el SI será el culombio partido por voltio [C/ V], que recibe el nombre de faradio (F). Esta unidad es muy grande por lo que se utilizan submúltiplos como el microfaradio (lp,F = 10- 6 F) y el picofaradio (lpF = 10- 12 F).

6.2

SISTEMAS DE CONDUCTORES

En el apartado anterior hemos visto como el potencial de un conductor está relacionado linealmente con la carga que soporta a través de la capacidad

240

CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE CONDUCTORES

del conductor, un factor geométrico que depende de las dimensiones y forma de dicho conductor. Si en lugar de uno existen varios conductores, el potencial, tanto en los propios conductores como en los puntos entre ellos dependerá de las cargas que soportan todos los conductores. Para fijar las ideas vamos a suponer que tenemos tres conductores como muestra la figura 6.2, cuyas cargas respectivas son Q1, Q2 y Q3. La carga se distribuirá por las superficie, de manera que las densidades de carga superficial son, O"l(rD, 0"2(r;) y 0"3(r~), que, en general, no son uniformes y dependen del punto de la superficie considerado.

z X

y X

Figura 6.2

El potencial en un punto P, utilizando la ecuación (3.15), será,

V(r) = _1_

t{

O"i(rD ~si

47rE .

~=1

}8 '

lr-r~l•

(6.4)

El potencial depende de una suma de términos, y cada uno es la contribución de la carga en el correspondiente conductor. La relación entre potencial y cargas es compleja, depende de la geometría de cada conductor y su posición con respecto a los demás; pero la relación entre cargas y potencial es lineal y los coeficientes dependen de la geometría del conjunto. El cálculo de dichos coeficientes es tanto más difícil cuanto mas complicada sea la simetría del sistema.

6.2. SISTEMAS DE CONDUCTORES

241

El punto Pes genérico, de modo que la ecuación (6.4) también sirve para expresar el potencial en los propios conductores, con la particularidad que sobre todo conductor es constante.

6.2.1

Coeficientes de potencial

Dada la relación lineal entre cargas y potenciales, podemos expresar el potencial en cada uno de los conductores en forma de sistema de ecuaciones que relacionan cargas y potenciales mediante unos coeficientes Pij, conocidos con el nombre de coeficientes de potencial. La citada relación en el ejemplo que hemos tomado es de la forma,

+ P12 Q2 + P13 Q3 P21 Q1 + P22 Q2 + P23 Q3

Pn Q1

(6.5)

Los coeficientes de potencial Pij son factores que dependen únicamente de la geometría del sistema y determinan la relación lineal que existe entre las cargas y potenciales en los distintos conductores que lo forman. En un caso más general con N conductores el sistema de ecuaciones sería, N

Vi=

L

con i = 1, 2, ... N

PijQj

(6.6)

j=l

En número de ecuaciones será N, y el de coeficientes N 2 .

Propiedades de los coeficientes de potencial Las propiedades de dichos coeficientes son las siguientes: Pij

> O

(6.7)

La razón es que toda carga positiva en un conductor origina un potencial positivo en cualquier conductor próximo o alejado de él. Es decir, todos los coeficientes Pij son positivos cualesquiera que sean i y j. Los coeficientes son simétricos, Pij

= Pji

(6.8)

Para demostrar esta simetría vamos .a recurrir a un argumento energético. Suponemos que inicialmente ninguno de los conductores del ejemplo

CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE CONDUCTORES

242

propuesto está cargado. Iniciamos el proceso cargando el conductor (1). En el cálculo de la energía necesaria para que adquiera una carga final Q1, suponemos que en un estado intermedio tiene una carga q a la que corresponde un potencial,

Los demás conductores no tienen carga, por tanto no contribuyen al potencial. El trabajo necesario para incrementar la carga en dq será,

dW = V1 dq = Pn q dq El trabajo necesario para que adquiera la carga final es,

{Ql

W

=lo

1 pnqdq = 2pnQI

A continuación procedemos a cargar el conductor (2) con Q2. El potencial del conductor (2) se debe ahora a la carga Q1 en (1) y a la carga q en (2), es decir,

V2 = P21 Ql + P22q El trabajo elemental para incrementar la carga en dq será,

Para acumular la carga Q2 se requerirá la siguiente energía,

W

1

r~

=lo

(P21Ql

+ P22q) dq =

P21Q1Q2

1

+ 2P22Q~

La energía total requerida para cargar los dos conductores es,

+W

Wt = W

1

= P21Q1Q2

+ 21 (pnQl2 + P22Q22)

Si el proceso lo hubiéramos realizado comenzando por el conductor (2) y terminando con el ( 1) , la forma de calcular la energía es la misma, únicamente cambian los subíndices del término cruzado, es decir, 1

Wt = P12Q1Q2

1 2 2 + 2(pnQ1 + P22Q2)

La energía final del sistema es la misma, ya que los conductores, en ambos casos tienen la misma carga final, por tanto,

6.2. SISTEMAS DE CONDUCTORES

243

Wt=Wf igualando las dos energías obtenidas,

En consecuencia, P21 = P12

Esta demostración es de carácter general, por tanto queda demostrada la simetría de los coeficientes de potencial. El sistema de ecuaciones muestra que los coeficientes de potencial se pueden determinar mediante medidas experimentales. Si por ejemplo, manteniendo los demás conductores descargados, aplicamos una carga Q2 al conductor (2) y medimos el potencial V1 que se crea en el conductor (1), se verificará que,

VI Q2

P21 =P12 = -

Se puede operar de forma análoga para determinar los otros coeficientes.

6.2.2

Coeficientes de capacidad e influencia

El sistema de ecuaciones (6.5) o el (6.6) se pueden resolver despejando las cargas en función de los potenciales. El nuevo sistema será,

(6.9)

Los coeficientes Cii reciben el nombre de coeficientes de capacidad y dependen únicamente de los coeficientes de potencial, es decir, de los factores geométricos del sistema. A los coeficientes Cij (i # j) se les denomina coeficientes de inducción o influencia. La forma generalizada del sistema de ecuaciones anterior es, N

Qi = ¿CijVJ j=l

con i

= 1, 2, ... N

(6.10)

CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE CONDUCTORES

244

Estos coeficientes también se pueden determinar experimentalmente si se puede medir la carga de un conductor cuando se le aplica un potencial a dicho conductor, y al mismo tiempo mantenemos los demás unidos a tierra, potencial cero,

Propiedades

Las propiedades de estos coeficientes la enumeramos a continuación. En primer lugar, y dado que los hemos obtenido a partir de los coeficientes de potencial mediante una inversión de matrices lineales, son también simétricos, Cij

= Cji

(6.11)

Los coeficientes de capacidad son positivos, ya que cuando se aplica un potencial positivo la carga que adquiere el conductor es positiva, Cii

>o

(6.12)

Los coeficientes de influencia son negativos, dado que si se aplica un potencial a un conductor, su propia carga es positiva pero la inducida en los demás es de signo contrario, negativa, Cij

b) , a una distanciad entre sus centros, de manera que d » a. Calcular de forma aproximada los coeficientes de potencial. Solución

La condición d » a permite realizar un cálculo aproximado de los coeficientes de potencial. Suponemos que el potencial en una esfera debido a la carga en la otra es igual al potencial creado por la esfera cargada a una distancia d de su centro. El coeficiente Pii es la relación entre la carga y potencial en el misma esfera cuando la otra está descargada, ~

V¡ Pn = Q¡

;

Q

P22 =

2

El potencial que se origina en una esfera cagada es,

v2

= _1_Q2 47rc0 b

El potencial en la esfera (2) debido a la carga sobre la esfera (1), de forma aproximada es,

v2 = _1_Ql 47rc 0

Los coeficientes de potencial Pn

Pii

d

son,

1

1 47rco a

1

1 47rc0 b

= ---

El coeficiente de potencial P21

P22 = - - -

= PI2,

v2 Q¡

1

1

P21 =P12 = - = - - -

6.3

47rc 0 d

CONDENSADORES

Hay un caso particular de sistema de conductores, llamado condensador caracterizado por que uno de los conductores encierra al otro de forma que ambos tienen cargas iguales pero de signo opuesto.

246

CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE CONDUCTORES

Un ejemplo de este tipo lo constituye un sistema formado por una capa esférica conductora unida a tierra y en su interior una esfera conductora de menor radio con una carga Q. En la capa esférica unida a tierra, véase la figura 6.3a , se induce una carga -Q, y en consecuencia se cumplen las características que definen un condensador. Las cargas externas al sistema no afectan a la diferencia de potencial entre ambos conductores ni a la carga del conductor interior, que siempre tiene el mismo valor absoluto que la distribuida por la cara interna del conductor externo. Puede ampliarse esta definición a dos conductores que no se apantallen, figura 6.3b, pero cuyas cargas deben siempre ser del mismo módulo y signo opuesto, y la diferencia de potencial entre los conductores proporcional a la carga. Si aplicamos a uno de los sistemas de conductores definidos las ideas sobre coeficientes de potencial tendremos el sistema de ecuaciones siguiente, V1 = Pn ( -Q)

+ P12Q =

Q (pn - P12)

V2 = P21 Q + P22( -Q) = Q (P21- P22)

La diferencia de potencial entre los dos conductores, teniendo en cuenta qu~ P12 = P21 es, V1- V2

= Q (pn + P22 - ..¿>12)

La relación anterior nos indica que carga y diferencia de potencial están relacionadas a través de unos factores puramente geométricos, que no dependen de la carga ni de la diferencia de potencial. Existe por tanto una proporcionalidad entre ambos que se denomina capacidad, y se define como la relación entre el valor absoluto de la carga común y la diferencia de potencial entre los conductores. (6.14) La capacidad del sistema es independiente de la carga Q y diferencia de potencial vl - V2 , es una constante que depende de la geometría del sistema de conductores y del dieléctrico que exista entre ellos. Llevando a la ecuación (6.14) la relación anterior tenemos,

e

1 C=----Pn + P22 - .2P12

(6.15)

6.3. CONDENSADORES

247

La capacidad de un condensador se obtiene a través de los coeficientes de potencial.

- Q'

Q E

b

a

Figura 6.3 Además del sistema indicado anteriormente, para calcular la capacidad de un condensador existen dos procedimientos: Uno se basa en el conocimiento del potencial en cada uno de los conductores y el otro en la carga Q. Dado que todavía no hemos estudiado la resolución de la ecuación de Laplace que nos permite calcular el potencial en el espacio entre conductores, sólo podemos utilizar ahora el segundo método. El procedimiento es el siguiente: 1) Suponemos que sobre los conductores existen las cargas Q y -Q. 2) Utilizando el sistema de coordenadas adecuado a la geometría de los conductores, calculamos, mediante el teorema de Gauss el campo E entre los conductores. 3) Obtenemos la diferencia de potencial V mediante la relación:

v = v1 - v2 = -

1 1

E . di

4) Calculamos la capacidad mediante la ecuación (6.14). Este procedimiento es el usual para determinar la capacidad de un condensador. Ejemplo 6.2 Dado un condensador plano, formado por dos láminas conductoras planoparalelas de superficie S , separadas por una distancia d. Entre láminas existe

CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE CONDUCTORES

248

una placa de dieléctrico de espesor d, superficie S y permitividad E como muestra la figura 6.4b. Sobre las láminas existen respectivamente las cargas -Q y Q . Calcular la capacidad del condensador plano. Despreciamos el efecto de borde.

Solución Siguiendo el proceso indicado anteriormente, calculamos el campo en función de la carga en las placas conductoras. El sistema de coordenadas apropiado a esta geometría es el cartesiano. En el cálculo que vamos a realizar se supone que las dimensiones de la superficie S son muy grandes en comparación con la separación entre placas d, de forma que se desprecia el efecto de borde. Esta aproximación impone que el campo en los bordes pasa de un valor entre placas a cero en el exterior, lo que contradice la condición f E- dl = O característica de campo conservativo. En realidad la transición en los bordes se hace como indica la figura 6.4a, es decir, las líneas se curvan dando lugar a un campo no nulo en zonas exteriores próximas al borde.

z

----

-Q

D

Q a

-a

E

o

2

1

y

X a

b

Figura 6.4

Al despreciar el efecto de borde suponemos que no hay dispersión de las líneas de campo en los bordes, es decir, las láminas se comportan como si fueran distribuciones de carga uniformes e indefinidas; y por tanto el campo es uniforme entre las láminas conductoras conocidas como placas del condensador. Su valor, como hemos demostrado en el apartado 6.1, depende de la densidad superficial de carga.

6.3. CONDENSADORES

249

En nuestro caso,

Dn = D =

!

J2

D = cE

Q Se

E=f!_=!l_ e Se Dado que el campo es uniforme, v = v1 - v2 = -

y

> R1 y R1 > R2). Inicialmente la esfera de radio R1 tiene una carga Q y la otra está descargada. Mediante un hilo conductor muy largo se unen las dos esferas. Calcular el potencial de las esferas y la carga final sobre cada esfera. p 6.4 Un sistema está formado por tres esferas metálicas de radio R, situadas sobre los vértices de un triángulo equilátero de lado d, siendo d > > R, véase la figura P6.4.

CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE CONDUCTORES

256

Inicialmente las esferas 1 y 3 tienen una carga Q y la esfera 2 está descargada. Durante un instante se une la esfera 2 a tierra (V2 = O) y luego se deja aislada. A continuación se hace lo mismo con la esfera 3. Calcular la carga final sobre la esfera 3.

o 3

d

Figura P6.4

Figura P6.5

p 6.5 Dado el sistema de conductoresformado por tres capas esféricas conductoras concéntricas, cuyos radios respectivos son R1, R2 y R3 , y su espesor despreciable frente a los radios, véase la figura P6.5 , calcular:

1) Los coeficientes de potencial. 2) Los coeficientes de capacidad e inducción o influencia.

p 6.6 Entre dos cilindros conductores coaxiales, de radios a y b (b = 2a) , se introducen dos capas de dieléctrico que llenan el espacio entre conductores, véase la figura P6.6. El límite de separación entre los dieléctricos es la superficie cilíndrica de radio R coaxial con los otros dos. Las permitividades respectivas de los dieléctricos son: El = 4c0 y E2. Entre los conductores se aplica una d.d.p. V0 •

1) Calcular el valor de E2 para que el campo sobre la superficie del cilindro de radio a sea cuatro veces superior al campo en dieléctrico sobre la superficie de radio b. 2) Calcular la capacidad por unidad de longitud del sistema con los valores de El dado y E2 calculado anteriormente.

6.4. PROBLEMAS

Figura P6.6

257

Figura P6.7

p 6.7 El sistema indicado en la figura P6. 7 está formado por dos condensadores conectados en serie. La superficie de las placas de ambos condensadores es S y la distancia inicial entre ellas d0 ; la permitividad es é 0 • Mediante un generador ideal suministramos una d.d.p V0 al sistema. Aplicando presiones que varían sinusoidalmente, logramos que la distancia entre las placas del condensador C¡ varíen de forma que d = d0 +D senwt, manteniéndose fija la distancia entre placas del condensador C2. 1) Calcular las variaciones de potencial entre las placas de C2. p 6.8 Dos condensadores C 1 y C2 tienen la mismas superficie, e inicialmente el mismo espesor d, su dieléctrico es el aire. Los condensadores se conectan en paralelo. Inicialmente se cargan los dos a una d.d.p. V0 , desconectando después la batería. Si mediante un procedimiento mecánico separamos las placas de C¡ a una distancia 2d, manteniendo C 1 y C2 unidos, ¿cómo varía la d.d.p. entre placas? p 6.9 La sección transversal de un cable coaxial se muestra en el figura P6.9 (1). El radio interior es a, el exterior by el dieléctrico entre los dos cilindros tiene permitividad é = 6é0 y conductividad r = O. Debido al calor el conductor externo se dilata y despega del dieléctrico, de manera que el nuevo radio b' = b(1 +O, 1), como se muestra en la figura P6.9 (2).

258

CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE CONDUCTORES

1} Si se mantiene aplicada la batería V0 , calcular los vectores E y D antes y después de la dilatación. 2} Calcular la relación entre las capacidades por unidad de longitud antes y después de la dilatación del conductor externo.

(2)

(1)

Figura P6.9

p 6.10 Disponemos tres condensadores C1 , C2 y e3 conectados a una batería como muestra la figura P6.10 e1 = e2 = 2¡.tF , e3 = 4¡.tF. Calcular las cargas respectivas en cada condensador y la diferencia de potencial entre sus placas.

l Te,

1Ic, _[el l ll2V Tc2 c'J T c'J 1

l

I

12 V

Figura P6.10

Figura P6.11

p 6.11 Montamos tres condensadores iguales e1, e2 y e3, unidos a una batería de 12 V como muestra la figura P6.11. e 1 = 100 pF, E ~ E0 • Calcular la carga en cada condensador. Si en el condensador e3 introducimos un dieléctrico de permitividad E = 4E 0 , obtener la variación de las cargas sobre los condensadores con respecto al caso anterior. p 6.12 En el circuito que muestra la figura P6.12, inicialmente el interruptor S está cerrado. Los tres condensadores tienen la misma capacidad y su dieléctrico es el aire, E ~ E 0 el = 100 pF.

6.4. PROBLEMAS

259

Después abrimos el interruptor S y a continuación se introduce un dielectrico de permitividad E = 3Ea en el condensador C3. Calcular la carga en los condensadores antes y después de introducir el dieléctrico.

Figura P6.12

Figura P6.13

p 6.13 Cerrando el interruptor S de la figura P6 .13 se cargan los condensadores

C¡ y

c2 (Cl = c2 YE =Ea)·

Con S cerrado se introduce un dieléctrico de permitividad E = 3Ea en el condensador C 1 . Calcular la variación que experimenta la diferencia de potencial entre A y B al introducir el dieléctrico. p 6.14 En el circuito indicado en la figura P6.14, C1 = C2 = C3 = C4 = 1 J.LF y no existe medio material entre las placas de los condensadores. Se cierra el interruptor S y se introduce en un dieléctrico de permitividad E = 4Ea . Manteniendo cerrado S, calcular la diferencia de potencial (d. d . p.) entre AB y las cargas en los cuatro condensadores. Va= 10 voltios.

c3

Figura P6.14

p 6.15 En el circuito indicado en la figura P6.14, C1 = C2 = C3 = C4 = 1 J.LF y no existe medio material entre las placas de los condensadores. Se

260

CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE CONDUCTORES

cierra el interruptor S y después de cargados los condensadores se abre S. A continuación se introduce en un dieléctrico de permitividad € = 4 Eo· Calcular la diferencia de potencial (d. d . p.) entre AB y las cargas en los cuatro condensadores. Va = 10 voltios.

c3

Capítulo 7

ENERGIA ELECTROSTATICA

ESQUEMA - RESUMEN Objetivos Generales Estudio de la energía electrostática debida a un sistema de cargas o conductores cargados. Específicos • Definición de energía electrostática. • Energía electrostática debida a una distribución discreta de cargas. • Energía debida a una distribución continua de cargas. • Energía debida a un sistema de conductores. • Energía en función de los coeficientes de potencial. • Energía electrostática de un condensador. • Energía electrostática en función de los vectores de campo. • Fuerza electrostática en sistemas aislados y no aislados. • Presión electrostática.

Requisitos previos Manejar los conceptos desarrollados en los capítulos anteriores y saber aplicar los instrumentos de cálculo indicados en el capítulo primero.

261

CAPÍTULO 7. ENERGIA ELECTROSTATICA

262

7.1

ENERGÍA ELECTROSTÁTICA

En el capítulo tres, cuando estudiábamos el potencial, se introdujo el concepto de energía potencial referido a una carga puntual. Ahora vamos a estudiar la energía electrostática debida a la interacción de un conjunto de cargas. Dado que nos referimos a condiciones estáticas, la energía se debe a posiciones relativas de las cargas, por tanto es una energía potencial. La energía potencial debida a la interacción de cargas estáticas, recibe el nombre de energía electrostática. Esta energía es el trabajo necesario para situar las cargas en sus posiciones respectivas. Dicho trabajo se hace mediante fuerzas que en cada punto son del mismo módulo y dirección pero sentido contrario al que tiene el campo electrostático. La energía electrostática de un sistema de cargas puntuales considera las posiciones relativas de las cargas, sin tener en cuenta la energía de creación de las propias cargas. Si tenemos una carga q en el seno de un campo eléctrico E, el trabajo del campo para trasladar la carga desde un punto a otro es:

1 2

W =q

E· dl = - q

1 2

VV · dl = -q (V2 - V1 )

El trabajo que realizan las fuerzas externas contra el campo, sin que varíe la energía cinética de la carga, es de signo contrario al obtenido anteriormente, ya que la fuerza es de signo opuesto en cada punto del recorrido. Este trabajo es la variación de energía electrostática del sistema debido al traslado de la carga desde un punto a otro.

(7.1) Si consideramos el punto 1 situado en el infinito y el origen de potenciales en dicho punto, V¡ = O, la energía electrostática de una carga en un punto de potencial V2 será la obtenida en el capítulo tres, es decir, (7.2)

En el sistema internacional SI la unidad de energía electrostática es el julio [J] igual a culombio por voltio. Esta unidad es muy grande por lo que en la física atómica y del estado sólido se suele utilizar la unidad conocida

263

7.2. SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES

como electrón voltio [eV], que es el trabajo requerido para mover un electrón de un punto a otro entre los que existe la diferencia de potencial de un voltio. 1 [e V] = 1, 60

7.2

X

10- 19 [C]

X

1 [V] = 1, 6 x 10- 19 [J]

(7.3)

SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES

La energía potencial electrostática de un sistema de cargas es el trabajo necesario para situar las cargas en sus respectivos puntos. Es decir, es el trabajo necesario para trasladar las cargas situadas en puntos muy alejados unos de otros (distancias infinitas) a sus respectivos puntos. Situar la primera carga no requiere trabajo, ya que no existe campo debido a otras cargas. Trasladar desde el infinito al punto correspondiente las sucesivas cargas, requiere vencer la fuerza del campo creado por las cargas situadas anteriormente. Vamos a considerar el ejemplo de tres cargas dispuestas como indica la figura 7.1. Para situar la carga q1 no se realiza trabajo, ya que suponemos el sistema aislado sin ningún campo. Al trabajo que se realiza contra el campo creado por la carga q1 para trasladar la carga qz le corresponde un incremento de energía potencial, que será,

z

y

X

Figura 7.1

CAPÍTULO 7. ENERGIA ELECTROSTATICA

264

Trasladar la carga q3 supondrá un trabajo contra el campo debido a las dos cargas q1 y q2. A este trabajo corresponde el siguiente incremento de energía potencial,

1 ql 1 q2 w2 = q3 + - q3 47réo lr3 - r1l 47réo lr3 - r2l La energía electrostática del sistema de cargas es la suma de las dos energías wl y w2 obtenidas al trasladar las cargas a sus respectivos puntos, es decir,

La ecuación anterior se puede expresar de otra manera. Para ello tenemos en cuenta que lri- rjl = lrj- ril, duplicamos los mismos términos y después dividimos por dos.

+ _1_ 47réo

(

q2 ql lr2-r1l

+

q3 ql lr3-r1l

+ _1_

q3 q2)] 47rcolr3-r21

Agrupando los factores que multiplican respectivamente a q1 , q2 y q3 obtenemos,

La ecuación anterior es la suma de los potenciales en cada punto donde se sitúa una carga, debidos a las otras dos, por el valor de dicha carga dividido por dos. Es decir,

(7.4) La ecuación anterior representa la energía electrostática del sistema formado por tres cargas puntuales situadas como indica la figura 7.1.

265

7.2. SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES

Si se trata de un sistema de N cargas puntuales, la expresión de la energía en función de las cargas se generaliza mediante la utilización de sumatorios. Dicha energía se expresa de la forma siguiente, 1

N

N

1

1

q· q·

w.e--"'"'J - 2 L._¿ L._¿ 47rc Ir·- r·l 2

j=l i=l

o

J

(7.5)

2

El factor 1/2 aparece como consecuencia de repetir los términos qiqj, dado que lrj- ril = lri- rjl· La prima que figura en el segundo sumatorio significa que se excluyen los términos j = i. Esta exclusión elimina los términos,

qf

1

47réo lri- ri l

que corresponden a la energía necesaria para acumular la carga qi en un punto. Si el radio de la carga tiende a cero, el citado término tiende a infinito. En el proceso seguido para calcular la energía electrostática no hemos considerado la energía necesaria para crear las propias cargas. Hemos dado por supuesto que ya existían y además no sabemos calcular el trabajo, dado que desconocemos el proceso seguido para crearlas. La energía de creación no se puede transformar en trabajo, por tanto no interviene en los procesos que estudiamos aquí. En la expresión (7.5) el término,

"'1 N

1 qi Yj =L._¿ 47rc Ir·- r·l i= l o J 2 es el potencial en el punto donde se sitúa la carga j debido al resto de las cargas. Teniendo en cuenta la relación anterior, la ecuación (7.5) queda de la forma: 1

We =

N

2 L YJ qj

(7.6)

j=l

La ecuación (7.6) expresa también la energía electrostática del sistema de N cargas puntuales. La energía así obtenida puede ser positiva o negativa, dependiendo del signo de las cargas; y esto expresaría respectivamente que se ha realizado trabajo contra el campo o que lo ha hecho el campo.

CAPÍTULO 7. ENERGIA ELECTROSTATICA

266

Ejemplo 7.1 Disponemos cuatro cargas como indica la figura 7.2. Calcular la energía electrostática de la distribución. q

• e:

3 q

-q

•

•

•

..

d

4

2 -q

Figura 7.2 Solución No se tiene en cuenta la energía propia de las cargas. Calculamos la energía electrostática del sistema mediante la ecuación (7.5), que en este caso, teniendo en cuenta que q1 = q, q2 = - q , q3 = q y q4 = -q, se expresa de la forma siguiente:

We

7.3

=

_1_ ( - q2 81rE 0 d

+ i_ - i_ 2d

3d

2 q2 d

+ i_ + 2d

DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS

Consideramos una distribución de cargas arbitraria cuyas densidades de carga finales son p y a-. La carga puede estar o sobre la superficie de los conductores o en el seno de un dieléctrico lineal. Esta condición de linealidad es necesaria para que el trabajo realizado al pasar del estado inicial al final sea independiente de la forma en que se produce dicho cambio. Cuando se trata de una distribución continua se utiliza la carga elemental de la forma siguiente: 8q = p(r') dkdv' si se trata de distribución volumétrica o 8q = a-(r')dkds' si es superficial. Siendo k una variable que inicialmente es

7.3. DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS

267

cero y al final vale uno. En el proceso de acumulación de las cargas en distintos volúmenes o superficies, tanto pdk como CTdk representan un fracción de la densidad final de carga. El trabajo necesario para traer desde el infinito hasta un punto donde el potencial es V' (r') la carga elemental 8q = p( r')dk dv' es, dW

= V'(r') p(r')dkdv'

(7.7)

El valor final de la energía electrostática, en el caso de medios lineales e isótropos, no depende del proceso seguido para acumular las cargas. Además se verifica la relación lineal entre el potencial en un punto y la carga acumulada en los distintos puntos. En un instante dado del proceso el potencial en un punto es una fracción del potencial final en ese mismo punto, es decir,

V'(r') = kV(r') El trabajo total para acumular la distribución de carga, es decir, la energía electrostática, se obtiene integrando con respecto a la variable k y al volumen ocupado por la distribución de cargas. (Debemos tener cuidado con la notación y no confundir volumen con potencial).

fv dv' 1kV(r') p (r')dk = fv p(r')V(r') dv' 1k dk 1

1

W

=

W

= ~ { p(r')V(r') dv' 2

Jv,

(7.8)

La energía electrostática debida a una distribución de cargas como la indicada viene dada por la ecuación (7.8). En el caso de que además se acumulen cargas sobre superficies, la forma de operar con las densidades superficiales es análoga y el resultado final será el siguiente,

We

=~

r p(r') V(r') dv' + ~2 Js,r CT(r') V(r') ds'

2 Jv,

(7.9)

Tanto la ecuación (7.8) como la (7.9) son similares a la ecuación (7.6) obtenida para cargas puntuales. La diferencia es que en el proceso de acumulación se han tenido en cuenta las cargas próximas, ya que el potencial se

268

CAPÍTULO 7. ENERGIA ELECTROSTATICA

puede calcular de la misma forma en el interior y exterior de la distribución de carga, como demostramos en el apartado 5.2.1. En todo caso se ha tenido en cuenta el trabajo de transportar la carga elemental p dkdv' desde el infinito, pasando la densidad de carga en un volumen elemental de cero al valor final. La carga elemental se compone de un número de electrones o protones y no se puede considerar la energía de creación de dichas partículas elementales; desde el punto de vista macroscópico operamos con un proceso de acumulación que parte de densidad cero y todos los volúmenes elementales con carga contribuyen al potencial en cualquier punto, incluido el propio donde se acumula carga. Esto determina que la energía así calculada incluye la autoenergía de formación de un núcleo de cargas, que no se considera en el caso de cargas puntuales. La consecuencia es que la ecuación (7.9) para la energía es siempre positiva como demostraremos posteriormente.

7.3.1

Energía de un sistema de conductores cargados

Un sistema de conductores se puede considerar como un caso particular del anterior. Si tenemos en cuenta que en un conductor j toda la carga Qj se distribuye sobre la superficie y que además para cada conductor j el volumen que ocupa está al mismo potencial,

~ fs, . paralela al plano y que pasa por el punto (- d, O, 0). El problema se reduce a dos dimensiones, dado que se suponen las líneas indefinidas en la dirección del eje Z. El potencial debido a una línea cargada se calculó en el ejemplo 3.3 del capítulo 3, y es de la forma,

V= _>._ln Po 27r é 0 p El radio p0 , expresado en coordenadas cilíndricas, representa la posición del potencial de referencia, ya que en este caso no se puede tomar el punto del infinito como referencia por que V-----+ oo para p-----+ oo. El potencial debido a la línea de carga más su imagen es,

V = _>._ (ln 27f éo

Po

IP- di

- ln

Po

IP +di

V= _>._ln lp+dl = __>._ln 27r é 0 IP- di 27r é 0 La equipotenciales se producen cuando,

lp+dl IP _ di

= K = constante

)

lp-dl IP +di

(8.24)

(8.25)

Al plano conductor, potencial cero, corresponde K= 1, es decir, cuando,

IP- di = IP +di La ecuación (8.24) expresa el potencial en la zona derecha del plano conductor, x > O. En la zona izquierda el potencial es nulo, dado que el plano unido a tierra apantalla la línea situada en x = d, y no existe carga real en dicha zona. Es interesante en este caso obtener las líneas equipotenciales. En un punto genérico P (x, y, O), donde p2 = x 2 + y 2 . La línea de carga imagen estará situada en el punto ( -d, O, 0), por tanto,

314

CAPÍTULO 8. PROBLEMAS ELECTROSTATICOS 1

IP + dl 2 IP- dl 2

2 + y 2 + 2d x x 2 + y 2 - 2d x

= K2= x

+ d2 + d2

de donde,

Realizando operaciones queda, x 2(K 2 - 1) + y 2(K 2 - 1)- 2d (K 2 + 1) x = d 2(1- K 2) dividiendo por (K 2

-

1)

(8.26) La ecuación anterior corresponde a una circunferencia de la forma (x x 0 ) 2 + y 2 = R 2, cuyo centro se sitúa en el punto de coordenadas (x 0 , O, O) y su radio es R. Comparando con la ecuación (8.26), dicha circunferencia tiene su centro en el punto,

Xa

d (K 2 + 1) = (K 2 _ ) , y= O, 1

Z

=O

(8.27)

y su radio es,

R

=

2dK

(K2 -1) 1

1

(8.28)

Como el radio debe ser positivo, se expresa en forma de módulo para tener en cuenta los casos en que K < 1 Las superficies equipotenciales son cilindros perpendiculares al plano de la figura, cuyo eje pasa por el punto cuya coordenada x 0 muestra la relación (8.27) y su radio lo expresa la ecuación (8.28). Los valores de K > 1 corresponden al conjunto de cilindros que rodean la línea de carga ..\, hasta K = 1 que es valor para el plano conductor. Dichos cilindros son las equipotenciales para x > O. Utilizando las ecuaciones (8.27) y (8 .28) se puede demostrar que existe una relación entre los parámetros x 0 , R, y d de la forma,

315

8.3. MÉTODO DE IMAGENES

(8.29) Esta representación de las equipotenciales sugiere un procedimiento para obtener la capacidad del sistema formado por un cilindro situado frente a un plano conductor. Se hace coincidir el cilindro con una de las equipotenciales y se calcula K a partir de los datos que determinan la posición y el radio del cilindro conductor.

Ejemplo 8.4 Disponemos un cilindro conductor paralelo a un plano conductor indefinido . La distancia entre el eje del cilindro y el plano es a, y su radio es Ro= a/2. Calcular la capacidad del sistema.

Solución Suponemos que el cilindro tiene una densidad lineal de carga >., y el plano está unido a tierra, potencial cero. Las superficies equipotenciales se obtienen aplicando el método indicado anteriormente. Como cilindro y plano son dos equipotenciales, la diferencia de potencial vendrá dada por la ecuación (8.24) con un valor determinado de K.

V= _>._ln 27r éo

lp+dl =

IP -

di

_>._lnK 27r é 0

d

a

Figura 8.7 Para calcular K aplicamos las ecuaciones (8.27) y (8.28) a nuestro caso, es decir, cuando,

CAPÍTULO 8. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS I

316

d (K 2 + 1)

a=

Xa

= (K2- 1)

y

2dK

( K2

R = Ro =

- 1)

1

1

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones tenemos, d (K 2 + 1) 2dK

a Ro

(K2 + 1) 2K

Realizando operaciones queda, K

2

a -2K-+1 =0 Ro

Para Ro = a/2, K2

-

4K + 1 =O

Las dos soluciones son: K = 2 + J3 y K = 2 - J3. Elegimos la primera por que es mayor que la unidad y es la que corresponde al cilindro conductor propuesto. Con esta solución la diferencia de potencial entre cilindro y plano será, ,\

,\

V= --lnK = --ln(2 + J3) 27r E0 27r E0 Como la carga por unidad de longitud es A, la capacidad por unidad de longitud del sistema propuesto será,

C

=~= V

27rE0 ln(2 + V3)

El mismo procedimiento se puede utilizar para calcular la capacidad por unidad de longitud de dos cilindros de radios diferentes y cuyos respectivos ejes no coinciden.

8.3. MÉTODO DE IMAGENES

8.3.5

317

Cilindro y línea cargada

Terminamos el estudio de problemas cuya solución se obtiene mediante el método de imágenes con el sistema formado por un cilindro conductor unido a tierra frente al que se dispone, paralelamente a él, una línea con densidad de carga>.. La sección transversal del sistema se muestra en la figura 8.8. La línea de carga imagen debe situarse en el interior del cilindro y sobre la línea que une el centro O del cilindro con la posición de la línea de carga. En la figura se muestra la línea de carga a una distanciad de O, y la imagen a una distancia b. Para calcular el potencial debido a las líneas de carga real e imagen debemos conocer A' y b. Suponemos que>.'=->.. Para determinar b debemos establecer el potencial debido a dos líneas de carga, que cumple la condición de ser cero sobre el cilindro de radio a y centro en O. p

P- d

N

d

Figura 8.8 Como hemos visto en el apartado anterior, y teniendo en cuenta el sistema de coordenadas indicado en la figura 8.8, el potencial en un punto P(x, y) será,

V =

_>._ (ln 27réo

Po

IP- di

V = _>._ln 27réo

- ln

Po

IP- bl

IP - bl IP- di

)

(8.30)

Las equipotenciales se producen cuando

IP- bl lp-dl

=k= Constante

(8.31)

CAPÍTULO 8. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS I

318

Sobre la superficie del cilindro conductor dicho potencial debe ser nulo, por tanto k = 1, es decir,

IP- bl lp-dl

= 1

Esta relación se cumplirá en los puntos M y N, por tanto, en el punto M

-'-la_-_b---'-1 _ _ a _-_b _ la- di-d-a- 1 y en el N

.;-1-_a_-_b-::-:-l _ _ a _+_b _ l-a-di- a+d- 1 Igualando las dos relaciones tenemos, a-b d-a (a - b) (a

+ d)

a+b a+d = (a

+ b) (d -

a)

Realizando operaciones y despejando b obtenemos,

(8.32) La ecuación anterior muestra la posición que debe ocupar la línea de carga imagen en función del radio y la distancia donde se sitúa la línea de carga real. Como en los casos anteriores la ecuación (8.30) proporciona el potencial en puntos exteriores al cilindro. Dentro el potencial es nulo, ya que dicho cilindro está a potencial cero y apantalla su espacio interior.

319

8.4. PROBLEMAS

8.4

PROBLEMAS

p 8.1 Dos cargas q 1 y q2 se sitúan frente a un plano conductor indefinido como indica la figura P8.1. Calcular la fuerza ejercida sobre la carga q2.

z

d

d

q•

2d 3d 4d

Q q Q y

1

Figura P8.1

Figura P8.2

p 8.2 Frente a un plano conductor indefinido, unido a tierra, tenemos dos cargas puntuales Q. La distancia de las cargas al plano se indica en la figura P8.2.

1} Calcular la fuerza sobre una carga q situada en el punto intermedio (0, 3d, 0). 2) Obtener la energía necesaria para trasladar dicha carga q desde el infinito hasta el punto (0, 3d, 0). p 8.3 Tenemos dos cargas q situadas respectivamente en los puntos (0 , 1, 1) y (0, 1, -1) , frente a un plano conductor indefinido y unido a tierra como

muestra la figura P8.3. Calcular el trabajo para transportar una carga Q desde el infinito hasta el punto P(O, 1, 0).

320

CAPÍTULO 8. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS I

1

2d

1

q

y

-1

Figura P8.3

Figura P8.4

p 8.4 Disponemos dos cargas, q y -q, frente a un plano conductor indefinido como muestra la figura P8.4. Calcular los términos monopolar, dipolar y cuadripolar del potencial debido al sistema indicado. p 8.5 Disponemos de una esfera metálica de radio R con una carga Q. A una distancia del centro d = 2R situamos una carga q. 1) Calcular la fuerza sobre la carga q. 2) Determinar la diferencia entre la fuerza calculada anteriormente y la que existe entre dos cargas puntuales Q y q situadas a una distancia 2R. Comprobar su comportamiento cuando q tiende a cero. .p r R a

q'

q

Q d

Figura P8.5

p 8.6 Un sistema aislado está compuesto por una esfera metálica de radio R unida a tierra y una carga puntual q que gira con velocidad v sobre una órbita de radio d. El sistema está en al vacío.

321

8.4. PROBLEMAS

Calcular la velocidad v de la carga q para que su órbita permanezca estable. La carga q tiene una masa m y d = 2R.

z

/' q

d

y

Figura P8.6

p 8.7 Una esfera conductora de radio R, unida a tierra, está rodeada por un anillo circular de radio d = 2R como indica la figura P.8. 7. Sobre el anillo se distribuye una densidad de carga lineal y uniforme .X0 . Calcular el potencial y campo en un punto P situado sobre el eje Z a una distancia Z 0 = 2R.

z Z0

P

d

y

Figura P8.7

p 8.8 Tenemos una esfera conductora de radio R unida a tierra. Sobre una superficie esférica de radio d, concéntrica con la anterior, se distribuye una carga superficial con densidad a. Calcular el campo eléctrico para todo r > O.

322

CAPÍTULO 8. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS I

• q

y

Figura P8.8

Figura P8.9

p 8.9 Teniendo en cuenta la formación de imágenes en sistemas con planos conductores que forman ángulo, obtener las cargas imagen de la carga q indicada en la figura P8.9, (a= 60°). Calcular la fuerza sobre q.

Capítulo 9

PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS 11

ESQUEMA-RESUMEN

Objetivos Generales Aplicar el método de separación de variables a las ecuaciones de Laplace y Poisson para la solución de problemas electrostáticos en los que intervienen conductores con unas condiciones de frontera determinadas por su carga o potencial.

Específicos • Condiciones de separabilidad. • Método de separación de variables en coordenadas cartesianas. • Solución de problemas en dos dimensiones. • Método de separación de variables en coordenadas esféricas. • Solución de problemas en dos dimensiones. • Método de separación de variables en coordenadas cilíndricas. • Solución de problemas en dos dimensiones. • Métodos numéricos: Solución por el método de diferencias finitas.

323

324

CAPÍTULO 9. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS II • Solución de la ecuación de Poisson.

Requisitos previos Manejar los conceptos desarrollados en los capítulos anteriores y saber aplicar los instrumentos de cálculo indicados en el capítulo primero.

9.1. SEPARACIÓN DE VARIABLES

325

Continuamos en este capítulo con la solución de problemas d.e potencial. Aquí vamos a estudiar los métodos de separación de variables, así como los métodos numéricos, de los que trataremos únicamente el de diferencias finitas. Terminaremos el capítulo con el estudio de la solución de la ecuación de Poisson.

9.1

SEPARACIÓN DE VARIABLES

En este capítulo nos proponemos resolver problemas en los que intervienen una serie de conductores que están a un potencial determinado, y el espacio entre conductores está vacío. El método que seguimos consiste en resolver la ecuación de Laplace con las condiciones para V o 8V18n dadas sobre la superficie de los conductores. En general la solución es relativamente fácil cuando la geometría de los conductores y sus posiciones relativas permiten utilizar el método de separación de variables, es decir, se puede utilizar un sistema de coordenadas en el que se dan las condiciones de separabilidad. La separabilidad consiste en que la función potencial puede expresarse como producto de tres funciones, cada una de las cuales depende de una sola variable. Por ejemplo, en coordenadas cartesianas,

V(x, y, z) = X(x) Y(y) Z(z) En tres dimensiones existen once sistemas de coordenadas que cumplen las condiciones de separabilidad, aquí solo nos vamos a referir a los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. En dos dimensiones hay infinitos sistemas de coordenadas que cumplen las condiciones de separabilidad, ya que se puede demostrar que un sistema de coordenadas generado por una función analítica de variable compleja F(x + jy) es un sistema en el que la ecuación de Laplace es separable. Se utiliza el sistema de coordenadas más adecuado a la forma y simetría de los conductores, de manera que las condiciones en los límites para V o av18n sean constantes sobre una línea o superficie de una o varias coordenadas constantes, o de unos valores que permitan obtener la solución como producto de funciones ortogonales. Cuando los valores no cumplen las condiciones indicadas anteriormente, se debe recurrir a los métodos numéricos o experimentales. Como hemos enunciado en el capítulo anterior las condiciones en los límites determinan tres tipos de procedimientos para obtener la solución: 1)

CAPÍTULO 9. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS II

326

Se conoce el potencial sobre las superficie de los conductores, condiciones de Dirichlet. 2) Conocemos &VI&n sobre la superficie de los conductores, condiciones de Neumann. 3) Conocemos V sobre la superficie de unos conductores y &V1&n en el resto, condiciones mixtas. En los tres casos el procedimiento a seguir es prácticamente el mismo. Se obtiene una solución general y se determinan las constante imponiendo las condiciones que cumple V o &V1&n sobre las superficies de los conductores. Debemos tener en cuenta que cuando obtenemos la solución con unas condiciones para V en la superficie de los conductores, la solución es única, y por tanto los valores de &V1&n quedan determinados sobre la superficie de dichos conductores; y como consecuencia no se pueden especificar de forma independiente las dos condiciones sobre un mismo conductor.

9.2

COORDENADAS CARTESIANAS

La ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas, como vimos en el capítulo anterior es,

(9.1) En el caso de que la ecuación (9.1) admita una solución de la forma:

V(x, y, z) = X(x) Y(y) Z(z)

(9.2)

La ecuación (9.1) se puede transformar de la forma siguiente:

Y( )Z( )d2X(x) y z d x2

+

X( )Z( )d2Y(x) x

z

d y2

+

Y( )Z( )d2Z(x) =0 y z d z2

Hemos cambiado el símbolo {) por d, dado que la derivación se refiere sólo a una variable. Dividiendo la ecuación anterior por X(x) Y(y) Z(z) queda, 1

X(x)

d2X(x) dx 2

1

+-Y(x)

d2 Y(x) dy 2

1

+-Z(x)

d2Z(x) =Ü dg2

Cada término de la ecuación anterior depende únicamente de una variable, por otra parte la suma de los tres términos es cero, en consecuencia cada término debe ser una constante de modo que la suma sea nula para cualquier

9.2. COORDENADAS CARTESIANAS

327

valor de x, y, z . Atendiendo a esta consideraciones podemos descomponer la ecuación anterior en las siguientes,

d 2 X(x)

1

dx 2 1 d2 Y(x) Y(x) dy 2 1 d2 Z(x) Z(x) dz 2

X(x)

(9.3)

Las constantes de separación a, (3 y 'Y deben satisfacer la siguiente condición:

(9.4) Para que se cumpla la igualdad anterior al menos una de las constantes debe ser un número imaginario puro. El sistema de ecuaciones (9 .3) reduce la solución de la ecuación de Laplace a la solución de tres ecuaciones diferenciales ordinarias de una variable con coeficientes constantes. Las constantes a, (3 y 'Y se calculan mediante las condiciones en la frontera. Las posibles soluciones de una ecuación de la forma,

1

X(x)

2

d X ( x) = _ a 2

dx 2

son:

Tabla 9.1 a

o a

ja

X(x) A e eJax + A'ee-Jax Ae eax +A~ e-ax

X(x) Ax+A' Asenax +A' cosax Ashax +A' chax

En la tabla 9.1 se muestran los distintos tipos de soluciones de la ecuación diferencial para la variable x. Otras similares podemos hacer para las variables y, z. En dichas soluciones encontramos la posibilidad de representar un potencial constante, campo uniforme, potencial periódico, potencial decreciente con una variable, etc. Esto nos permite elegir la solución que se adapte mejor a las condiciones del problema.

CAPÍTULO 9. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS II

328

En el apéndice matemático se muestran las relaciones entre funciones exponenciales y trigonométricas, así como las que existen entre funciones exponenciales e hiperbólicas. La funciones seno y coseno son periódicas. La función seno hiperbólico (sh) varía de -oo a oo cuando la variables x cambia en el intervalo ( -oo, oo), pasando por O para x =O. El coseno hiperbólico (eh) varía de oo a oo pasando por 1 para x = O. La funciones exponenciales son crecientes o decrecientes en función del signo de la constante. De esta manera podemos elegir la representación que mejor se pueda aplicar al problema considerado. Dependiendo de los valores que tengan las constantes a, (3 y r se pueden considerar tres tipos de soluciones generales.

9.2.1

Todas las constantes nulas

Cuando a= (3 =O también r =O, ya que debe cumplirse la ecuación (9.4). La solución general será de la forma ,

V(x, y , z) = (Ax+A') (By+B')(Cz+C')

(9.5)

La constantes A, A', B, B', C y C' se determinan utilizando las condiciones en la frontera. Como demostramos en el capítulo anterior, toda combinación lineal de soluciones es también una solució~.

9.2.2

Una constante nula

Si suponemos que

r =O la relación (9.4) determina que

despejando (3 se deduce que, (3

= ±ja

y considerando las soluciones indicadas en la tabla 9.1 , la forma que corresponde a las variables x, y, z es la siguiente,

9.2. COORDENADAS CARTESIANAS

329

z (z) = (e z + e') La solución general será,

que en forma sinusoidal e hiperbólica es,

V( x, y, z)

=

(C z

+ C ' )(Asenax +A' cosax)(Bshay + B' chay) ·

(9 .7)

Toda combinación de soluciones es también solución. Podíamos haber elegido a = j f3. En este caso se intercambia la forma que corresponde a la variable x con la de y . Como siempre las constantes se calculan utilizando las condiciones en la frontera.

9.2.3

Todas las constantes distintas de cero

Ahora suponemos que a y ecuación (9 .4) ,

f3

son reales y positivos. Despejando 'Y en la

(9.8) Utilizando los distintos tipos de soluciones indicados en la tabla 9.1, adaptadas a este caso,

X(x)

=

(Ae ejax +A~ e- jax)

=

(Asenax +A' cosax)

V( x, y , z) = (Ae ejax +A~ e-jax)(Be ej,By + B~ e-j,By)( Ce ei'YI z + C~ei'YI z) (9 .9)

CAPÍTULO 9. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS II

330

Hemos elegido arbitrariamente a y (3 como positivos, pero se pueden intercambiar los valores, siempre que se cumpla la condición expresada por la ecuación (9.4). Los valores de a, (3 y ¡ así como los de las constantes de integración dependen de las condiciones en la frontera de los conductores. Dichas constantes, según sean las condiciones en los límites pueden tomar infinitos valores, y en consecuencia la solución es una serie en la que se toman los términos necesarios para que se aproxime a los valores reales dentro de un intervalo de error preestablecido. La forma definitiva que tome la solución o combinación lineal de soluciones dependerá del tipo de problema. Ortogonalidad de las funciones seno y coseno En la determinación de los coeficientes se utilizan las condiciones de ortogonalidad de las funciones seno y coseno, que se expresan de la forma siguiente:

1' 1' 1'

senmx sennxdx

cos mx cos nxdx

sen mx cos nxdx

~{

~{

~{

O si m

-:f. n (9.10)

1rj2 si m= n

O si m

-:f. n (9.11)

1rj2 si m= n

O si m, n entero y m

+n

impar (9.12)

2m (m2-n2)

· SI

m, n ent ero y m+ n par

Para comprender mejor como se utilizan las condiciones en los límites, vamos a resolver un problema concreto. Ejemplo 9.1 Consideremos un conductor en forma de U, indefinido en la dirección del eje Z, de lados a y b, y cuya sección transversal se muestra en la figura 9.1. El conductor está unido a tierra. Se dispone una placa conductora, también indefinida en la dirección del eje Z, cuya anchura es a, dispuesta

331

9.2. COORDENADAS CARTESIANAS

como muestra la figura 9.1 y sin hacer contacto eléctrico con la U. La placa se une a una batería de f. e. m. V 0 . Calcular el potencial en el interior del recinto rectangular de lados a y b.

Solución Como el sistema es indefinido en la dirección del eje Z el potencial no varía con dicha coordenada, es decir, V= V(x, y). Se trata de un problema en dos dimensiones con una disposición de los conductores que propician el uso de las coordenadas cartesianas para resolverlo. Estamos ante un caso en el que una de las constantes de separación es nula, ¡ = O, y además no hay variación del potencial con z. En esas condiciones la solución será del tipo dado por la ecuación (9.7) con C = O Por otro lado el potencial cumple la siguientes condiciones para la variable y ,

V(O , y)= O

V(a , y)= O

y V=Vo

b J=======-

V=O

z

V=O

J-'=====:::JV=O a X Figura 9.1

Esto nos lleva a que la variación del potencial con x debe ser una función que se anula en x = Oy x = a, lo que puede expresarse mediante las funciones seno y coseno. Se logra considerando f3 = ±ja, en cuyo caso la solución es de la forma, V ( x , y) = (A sen ax + A' cos ax) (B sh ay + B' eh ay)

De la condición,

V(O, y)= (Asenax +A' cosax)(Bshay + B' chay) =O se deduce que A'= O, ya que cos(aO) = 1

332

CAPÍTULO 9. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS II Con A' = O, la ecuación se reduce a la siguiente,

V(x , y)= (Asenay)(Bshay + B' chay) Otra de las condiciones es,

V (x , O) = (A sen ax) (B sh a O+ B' eh aO) = O Para que la solución sea nula en y = O B' debe ser cero, pues eh aO = 1 y shaO =O. Con la condiciones impuestas la ecuación general se simplifica y queda como sigue,

V(x , y)= (Asenax)(B shay) N os queda por aplicar la condición,

V(a,y) =O Esto determina que, sen aa = O. Lo que se cumple para, n7r

a = - y n = 1, 2, ... n a Es decir, toda solución con n = 1, 2, .. . n es válida, y por tanto lo será una combinación lineal de soluciones como la siguiente, 00

00

n 1r n 1r V(x , y)= "'"' ~BnAn sen-x sh-y = a a n= l

"'"'

n 1r a

~Mnsen-x

n=l

n 1r sh-y a

Nos queda por determinar todavía la constante Mn, y disponemos de la última condición en la frontera, que es,

V(x, b) =Va que nos proporciona la siguiente igualdad, 00

n 1r n 1r Va= "'"' ~Mnsen-x sh-b n=l a a Para determinar Mn, aplicamos la condición de ortogonalidad que cumple la función seno. Si multiplicamos los dos miembros de la igualdad anterior por sen( m 1rx j a) e integramos entre O y a, que es el intervalo correspondiente al semiperiodo de la función sinusoidal indicada antes, tendremos,

9.2. COORDENADAS CARTESIANAS

¡a o

~¡a

m1r

=~

V 0 sen--xdx a

o

n=l

333

n1r

n1r

m1r

a

a

a

Mnsh-bsen-x sen--xdx

La condición de ortogonalidad expresada por la ecuación (9.11) nos muestra que los términos del segundo miembro serán nulos para m i- n. Cuando m=n

1 a

n1r

n1r

a

a

a 2

sen - x sen - x dx

0

con lo que, n1r

1 a

V 0 sen-ydy a

0

1 a

o

a

1

a

n1r

2

a

= -Mnsh-b

n1r

a

a

n1r

V 0 sen -xdx = V 0 -

-1

+ cos n1r)

-2V0 ~ n1r sin= 1, 3, 5, ...

{

n1r

(

V 0 sen-¡;xdx =

o

O si n

= 2,

4, 6 ...

Los términos Mn pares son nulos y los impares cumplen la igualdad, a

n1r

a

2

a

n1r

-Mnsh-b= -2V0 Despejando Mn tendremos,

M

_ _ 4Vo n- n1r sh(na1rb)

(E9.1.1)

La solución del problema es, 00

V(x, y)=

n1r n1r ~Mnsen-x sh-y ~

n=l

a

(E9.1.2)

a

con los valores de Mn expresados por la ecuación (E9.1.1) Los términos de la serie son decrecientes, por tanto utilizaremos tantos términos como requiera la precisión que necesitemos.

CAPÍTULO 9. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS II

334

9.3

COORDENADAS CILÍNDRICAS

Hay problemas en los que la forma y disposición de los conductores se adapta a las coordenadas cilíndricas. En dichos sistemas la ecuación de Laplace es de la forma,

(9.13) Los problemas que en coordenadas cilíndricas admiten el método de separación de variables tienen una solución de la forma,

V(p , cp, z) = R(p) 4>(cp) Z(z) Con este tipo de solución, la ecuación (9.13) se descompone en las tres siguientes: 1

(9.14)

(9.15)

(9.16) La ecuación (9.16) es la ecuación Bessel y su solución son las funciones de Bessel que requieren conocimientos matemáticos de nivel superior. Por esta razón vamos a tratar únicamente los casos más sencillos.

9.3.1

Constantes k y n nulas

Es el caso más simple las ecuaciones anteriores se reducen a las siguientes, dZ _A . d4> = B dz ' dcp

La solución de cada una es, 1

Véase Reitz, Milford y Chirsty [22]pág. 65

(9 .17)

9.3. COORDENADAS CILÍNDRICAS

335

Z(z) =A z +A'; (cp) = B cp + B'; R(p) = Cln p

+ C'

La solución general es de la forma,

V(p , = -n2

dz

dc.p 2

'

d (p dR) p- - n 2R dp dp

cp

2

= p2 -d R2 + pdR - - n 2R = O dp

dp

Las soluciones respectivas de cada ecuación son:

Z(z) =A z +A' CI>( a No existe carga por tanto,

es la ecuación de Laplace cuya solución es de la forma,

A1

Ve=r

, +A1

2} Zona en la r ::; a Existe una distribución de carga p por tanto,

~~ r 2 dr

(r dV) __ dr 2

!!___ Ea

La solución de esta ecuación se compone de la solución particular más la correspondiente a la ecuación homogénea o de Laplace. La solución particular se obtiene ensayando una de la forma Ar 2 . Sustituyendo en la ecuación de Poisson,

se deduce que,

A= _ __!!_ 6co por tanto una solución particular de la no homogénea es,

350

CAPÍTULO 9. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS II

pr2

V=-6co A esta debemos añadir una similar a la indicada antes para la ecuación de Laplace. La solución general para esta zona será, pr2

El

6c0

r

1

Vi= --+-+E1 La condiciones en los límites son:

V

-+

O para

V i- oo para r

r -+ oo ;

=O

Además la continuidad del potencial y de la componente normal del campo en r =a produce las siguientes condiciones,

Vi(a) = Ve(a)

La primera condición, V

-+

O para r

-+

oo nos lleva a,

de donde se deduce que A~ = O La segunda condición en los límites determina que,

pO 6c 0

E1

Vi(O) = - - +- +E11 #- oo O

por tanto, E1 = O Con las condiciones aplicadas los potenciales se simplifican de forma que, pr2

1

Vi=-- +E1 6co

_ A1 V:e r Se aplican a continuación la continuidad del potencial y de la componente normal del campo en r = a. Ésto se traduce en las siguientes ecuaciones,

9.6. ECUACIÓN DE POISSON

351

pa2 --+B~

6 co

A1 a

pa

A1

3co

a2

Del sistema de ecuaciones anterior se deduce que,

Sustituyendo en los respectivos potenciales y realizado operaciones tendremos la solución para el potencial en las dos zonas,

Vi= L_(3a2 - r 2 ) 6co

CAPÍTULO 9. PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS II

352

9. 7

PROBLEMAS

p 9.1 Calcular el potencial entre dos placas conductoras indefinidas, separadas por una distanciad y unidas a una batería de f.e.m. Va. y y b l--------------, 0 ~-------+-----

X

d

av = O ax

V= O

-

o a

V= O Figura P9.1

X

Figura 9.2

p 9.2 Calcular el potencial en el recinto indicado en la figura P9.2, con las condiciones de contorno que se muestran en la figura P9.2:

V

= O para

l

V= Va para l

x=O b 0 > 1), y su permitividad e. Sobre los bordes externos de los sectores se aplica una lámina de conductividad 1'. Las dos láminas exteriores se unen como muestra la figura Pl0.6.

10.13. PROBLEMAS

411

Suponiendo "( 1 prácticamente infinita, calcular la resistencia entre los puntos A y B. b

z

iL

Vo

T

A

B

y X

L

y

d

Figura P10.5

Figura P10.6

p 10.7 Tenemos un sistema como el indicado en la figura Pl0.7. La esfera de radio a y la capa esférica de radio interior b tienen conductividad 'Y'· Entre esfera y capa existe un material cuya conductividad es 'Y = "f 0 (b/r),

('Y'>> "f). Calcular la resistencia del sistema.

y

Figura P10. 7

1

Figura P10.8

p 10.8 Se inserta un electrod~ semiesférico, de radio Ro y conductividad "(1 , en un medio conductor indefinido en las direcciones -Z, -X, X, -Y e Y, cuya conductividad es 'Y ("(1 > > 'Y) . A través de un hilo conductor rectilíneo, de radio despreciable frente a R 0 , y dispuesto como indica la figura Pl0.8, fluye una corriente J. La densidad de corriente J en el medio de conductividad 'Y es radial.

CAPÍTULO 10. CORRIENTE ELÉCTRICA

412

1) Calcular la resistencia entre el electrodo y una esfera de radio prácticamente iUt!Jnito. 2) Calcular la d.d. p. entre dos puntos de la superficie situados respectivamente a las distancias R¡ y R2. 1 = 100 A; Ro = 5 m. ; R¡ = 10 m. ; R2 = 12 m. 1 = 2, 652 · 10- 3 mho/m. p 10.9 El contacto entre un conductor cilíndrico, cuya terminación es semiesférica, y un líquido de conductividad 1", se realiza a través de una capa semiesférica de conductividad 1' y espesor d como indica la figura P10.9. Por el conductor cilíndrico circula una corriente J. Suponemos que la densidad de corriente en la capa es:

J=

K 2Ur

r

1) Calcular la resistencia que ofrece al contacto entre cilindro y líquido la capa semiesférica. 2) Si por alguna circunstancia parte de la capa de contacto se sustituye por una burbuja de aire en forma de casquete esférico de espesor d y ángulo 60°, calcular la resistencia de contacto en las nuevas circunstancias. Suponemos que la burbuja se sitúa de forma simétrica con respecto al eje Z y que la conductividad del aire es nula. a

Y"

Figura P10.9

Figura P10.10

p 10.10 Los conductores de un cable coaxial tienen respectivamente radios a y b (b > a). En el espacio entre conductores existe un medio de conductividad 1 y permitividad E = 2E 0 • En dicho medio se ha realizado un hueco cuya sección transversal se indica en la figura P10.10.

10.13. PROBLEMAS

413

1) Calcular los vectores E y D en el espacio entre conductores, dentro y fuera del hueco, cuando aplicamos una d.d. p. V0 entre ellos. Se desprecian los efectos de borde. 2) Calcular la conductancia por unidad de longitud del cable coaxial.

p 10.11 Calcular la resistencia de un conductor, de forma tronco-cónica, como la indicada en la figura P10.11. La conductividad del material es 'Y · El cálculo se realiza de forma aproximada.

z

y X

Figura P10.11

Figura P10.12

p 10.12 Un trozo de placa conductora, de conductividad ')', tiene un espesor d y su contorno esta determinado por una parábola y los segmento AB para y= O y CD en y= 4, véase la figura P10.12. Calcular la resistencia de la placa entre los planos y

= O e y = 4.

La ecuación de la parábola es z = 4(y + 1). 2

p 10.13 Un conductor tiene forma de paraboloide circular truncado como se muestra en la figura P10.13. La conductividad del material que lo compone es 'Y· Calcular la resistencia del volumen comprendido entre las secciones circulares correspondientes a los planos z = 1 y z = 4. La ecuación del paraboloide es x 2 + y 2 = 4z.

CAPÍTULO 10. CORRIENTE ELÉCTRICA

414

z=4

z=l

+

y

X

Figura P10.13

Figura P10.14

p 10.14 Un sector de arandela como el indicado en la figura P10.14 tiene las siguientes dimensiones: Radio interior a, exterior b, espesor 8 y el ángulo es 1r /6. El material del sector tiene conductividad 'Y permitividad c0 y permeabilidad ¡_¿0 • Los bordes cilíndricos del sector se recubren de una capa muy fina de un material cuya conductividad 'Y' es muy superior a 'Y ('Y' » 'Y). Se unen dichos bordes a una batería como muestra la citada figura. 1) Establecer la condiciones para el potencial sobre los distintos bordes del sector. 2) Obtener la solución para el potencial en la zona interior del sector. Ayuda: La solución general en coordenadas cilíndricas para este caso es, V(p)

= Alnp + B

3) Calcular la resistencia del sector, vista desde los bornes de la batería. p 10.15 Un sector de arandela como el indicado en la figura P10.15 tiene las siguientes dimensiones: Radio interior a, exterior b, espesor 8 y el ángulo es 1f.

El material del sector tiene conductividad"(, permitividad c0 y permeabilidad ¡_¿0 • Los bordes rectangulares del sector se recubren de una capa muy fina de un material cuya conductividad 'Y' es muy superior a 'Y ('Y' > >). Se unen dichos bordes a una batería como muestra la figura. 1) Establecer las condiciones para el potencial sobre los distintos bordes del sector.

415

10.13. PROBLEMAS

2} Obtener la solución para el potencial en la zona interior del sector. Ayuda: La solución general en coordenadas cilíndricas para este caso

es, V(p)

= Aa) y centro P, en el instante t =e/¡ . p 10.20 Disponemos de una esfera de radio R, cuyo material es homogéneo e isótropo de permitividad e y conductividad ¡. En un instante t = O, se sitúa una distribución de carga uniforme sobre la esfera de radio a indicada en la figura Pl0.20. Debido a las fuerzas electrostáticas, las cargas se dispersan hasta situarse sobre la superficie de la esfera de radio R. Si consideramos el volumen de la capa esférica comprendida entre los radios b y e, ¿cual es la densidad de carga en el interior de la citada capa durante el tiempo que tardan las cargas en dispersarse?

10.13. PROBLEMAS

417

~A

h

Figura P10.20

S

d

Figura P10.21

p 10.21 Entre las placas de un condensador plano de superficie S y espesor d, existe un medio de permitividad é = 10é0 y conductividad~¡. Mediante una batería cargamos el condensador e inmediatamente después desconectamos la batería, de forma que en el instante t = O la carga en las placas sea Q0 • Diez segundos después la carga en las placas es Q0 je. ¿Cual es la conductividad ¡ del medio? p 10.22 Disponemos de una capa esférica metálica, de radio R y conductividad ¡ . En su interior, _colgada de un hilo aislante como indica la figura Pl0.22 , hay una bola metálica de radio R/10 con una carga Q. Mediante un impulso mecánico iniciamos la oscilación de la bola metálica, sin que toque a la capa esférica. Suponemos que el sistema está aislado. ¿Se notará la oscilación de la bola en puntos exteriores a la capa esférica? Suponiendo que no existen rozamientos mecánicos debidos al aire y al punto de sujeción, ¿disminuirá la oscilación de la bola hasta pararse?. Razonar ambas respuestas.

Figura P10.22

Figura P10.23

CAPÍTULO 10. CORRIENTE ELÉCTRICA

418

p 10.23 Tenemos un dispositivo formado por dos placas conductoras planoparalelas y de conductividad 'Y muy superior a la del resto de los materiales. Dichas placas están conectadas por un conductor externo. Entre las placas existen dos materiales de distinta conductividad, "( 1 y "( 2 , y la misma permitividad é 0 , dispuestos como muestra la figura P10.23. En un instante t = O se aplica en la superficie de separación entre los conductores una densidad superficial de carga 0" 0 = w- 6 (C/m2 ). Calcular los campos y densidades de corriente en los dos materiales en el instante t = O, 25 s. é0

o, 5 "12,

"11 = (1/127r) = (1/367r)10- 9 (Fm- 1 ). "11 =

w- 9 (n m)- 1 .

d1 =

o, 5d2,

d1 =

w- 1 (m).

p 10.24 Entre dos placas conductoras cuadradas, de lado L y separadas la distancia d, se disponen dos medios materiales que ocupan cada uno la mitad del espacio entre placas. El medio (1) tiene una permitividad é 1 = 4é0 y Conductividad "/1 = 17,708 X 10- 12 Ü m-\ en el medio (2) é2 = 4é 0 y "/2 no se conoce. Inicialmente se cierra el interruptor S y se carga el condensador al potencial V0 • A continuación, en un instante que consideramos t = O se abre el interruptor S. Transcurrido 1 segundo la diferencia de potencial (d.d. p.) entre las placas se reduce a V= V0 /e (e= base de logaritmos neperianos). Suponemos despreciables los efectos de borde. (éo

= 8, 854x 10- 12 F / m).

Calcular la conductividad "( 2 . Ayuda: Aplicar la ecuación de continuidad a un volumen que englobe una de las placas conductoras.

p 10.25 Entre dos placas conductoras de radio a y conductividad "( 1 , existe una barra conductora cilíndrica de radio a, longitud L , permitividad E: ~ E: 0 y conductividad 'Y = 'Y 0 (1 + y/ L). Se aplica una diferencia de potencial V0 entre las placas. Suponemos que la conductividad "( 1 »'Y·

1) Calcular la densidad de corriente J y el campo eléctrico E en el cilindro. 2} Calcular la potencia disipada en un disco de espesor e, cuyo borde está situado a una distancia L/ 2 del origen O.

10.13. PROBLEMAS

Figura P10.24

419

Figura P10.25

p 10.26

En la figura P10.26 se muestra un cable coaxial de longitud L , radio interior a y exterior b. Un sector de corona circular de 90° está ocupado por un material cuya conductividad es"(, siendo su permitividad E0 . Los conductores coaxiales se unen a una batería V 0 . Calcular la potencia disipada en el sector de corona circular.

Figura P10.26 p 10.27

Dado el circuito que muestra la figura P10.27, calcular las corrientes que circulan por las distintas ramas. Indicar de forma razonada la(s) batería(s) que suministra(n) energía.

CAPÍTULO 10. CORRIENTE ELÉCTRICA

420

pjv

A JQ JQ

2V

B

Figura P10.28

Figura P10.27

p 10.28 Dado el circuito indicado en la figura Pl0.28, calcular la corriente que circula por la rama AB. ¿Qué batería(s) suministra(n) o recibe(n) energía? p 10.29 Dado el circuito que muestra la figura P10.29 , calcular el circuito equivalente Thévenin visto desde los bornes AB. Que valor debe tener la resistencia R para que la potencia transferida a dicha resistencia sea máxima.

4Q

2Q

A

3Q 3 + B

Figura P10.29

R

1,5V

T JvT

.

B

Figura P10.30

PROBLEMA 10.30 Dado el circuito indicado en la figura P10.30, calcular el circuito equivalente Thévenin visto desde los bornes AB. Obtener el valor de la resistencia R que debemos aplicar a los bornes AB para que la potencia transferida a dicha resistencia sea máxima.

Capítulo 11

CAMPO MAGNÉTICO 1

ESQUEMA-RESUMEN Objetivos Generales

Estudio del campo magnético (inducción magnética) creado por corrientes estacionarias y cargas en movimiento, así como la fuerza que ejerce el campo sobre corrientes y cargas en movimiento. Específicos

• Experimento de Oersted. • Enunciado de la ley de Biot y Savart. • Campo magnético debido a una corriente. • Campo magnético debido a una carga en movimiento. • Campo magnético debido a una distribución de corriente J. • Fuerzas entre circuitos por los que circula corriente: Ley de Ampere. • Fuerza magnética. • Fuerza sobre una carga en movimiento: Fuerza de Lorentz. • Fuerza entre dos cargas en movimiento. • Fuerza sobre una corriente debida al campo magnético.

421

CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICO I

422

• Par de fuerzas.

Requisitos previos Manejar los conceptos desarrollados en los capítulos anteriores y saber aplicar los instrumentos de cálculo indicados en el capítulo primero.

11.1. EXPERIMENTO DE OERSTED

11.1

423

EXPERIMENTO DE OERSTED

La magnetita (Fe3Ü4), un imán permanente que se encuentra en la naturaleza, era conocido desde la antigüedad y su capacidad de orientarse en la dirección norte-sur tuvo una aplicación destacada en la navegación. En el siglo XIII, Pierre de Maricure estudió como se orientaba una aguja magnética en una esfera hecha de magnetita, su trabajo le llevo a introducir el concepto de polo magnético. Gilbert realizó sus investigaciones sobre el magnetismo terrestre y descubrió que la tierra es un enorme imán esférico y por tanto las agujas imanadas se orientaba en la dirección de los polos de la tierra, su obra de Magnete se publicó el año 1600. Los fenómenos eléctricos provocados por la presencia de cargas eléctricas se estudiaban de forma independiente de los fenómenos observados en la interacción de materiales imanados como la magnetita. Oersted realizó un experimento en el que mostraba la relación entre corriente eléctrica y campo magnético. .··············...

Figura 11.1 En Julio de 1820 Oersted mostró que una corriente eléctrica modificaba la orientación de una aguja magnética, es decir, ejercía una fuerza sobre ella. Con este descubrimiento puso de manifiesto la conexión entre los fenómenos de origen eléctrico y magnético. La corriente crea una perturbación a su alrededor que tiene como consecuencia una fuerza sobre el material imanado (aguja magnética) similar a la ejercida por otra aguja magnética. El dispositivo experimental de Oersted se muestra esquemáticamente en la figura 11.1. Con él comprobó que si la aguja magnética se situaba encima

CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICO I

424

del hilo se orienta en sentido contrario al que se produce cuando se sitúa debajo. Esto indica que la perturbación creada por la corriente orienta la aguja magnética en forma circular en torno al eje por el que circula dicha corriente.

11.2

LEY DE BIOT Y SAVART

11.2.1

Experimento de Biot y Savart

Poco tiempo después de la comunicación de los resultados de Oersted, el 30 de Octubre de 1820, se hacían públicos los trabajos de Biot y Savart acerca de la fuerza ejercida por la corriente que circula por un hilo rectilíneo sobre un aguja magnética. La figura 11.2 representa el esquema del experimento. Los resultados obtenidos muestran lo siguiente:

z

z

1 N

N~s S

S

o

N

N

sy N

·····s - N

X

Figura 11.2

Figura 11.3

1 - La fuerza es inversamente proporcional a la distancia que separa el hilo de la aguja. 2 - La dirección de dicha fuerza es perpendicular al hilo, es decir, a la corriente. La fuerza es perpendicular al plano donde están el hilo y la recta que une el hilo con la posición de la aguja imanada. 3 - El sentido en que se orienta la aguja sigue la regla del tornillo que avanza (penetra) cuando gira hacia la derecha. La aguja magnética se orienta en el sentido de giro y la corriente en el de avance del tornillo. La causa que motiva la fuerza sobre la aguja magnética se debe al campo magnético B que la corriente del hilo crea a su alrededor. El módulo del campo magnético debido a una corriente indefinida sobre un hilo rectilíneo es,

11.2. LEY DE BIOT Y SAVART

425

(11.1)

Para expresar en forma vectorial el campo magnético debido a una corriente elemental situada en el origen de coordenadas, véase figura 11.3, debemos poner dB de manera que cumpla lo enunciado por Biot y Savart La condición de perpendicularidad se expresa mediante un producto vectorial del vector elemental dl, situado en el origen de coordenadas, y el vector de posición r. El producto vectorial de los vectores indicados, que se escribe de la siguiente forma dl x r , es un vector perpendicular a dl y a r , siendo su módulo dl r sen (), donde () es el ángulo que forman los vectores. La distancia al elemento de corriente que corresponde al denominador es r, y como hemos introducido r en el producto vectorial que figurará en el numerador y además dl sen () = r d(), dicho producto vectorial será ~~ !:....!._= r 2 d() , por tanto debemos poner r · r 2 = r' 3 en el denominador. En definitiva, tomando como referencia la figura 1.8, el campo magnético debido al elemento de corriente I dl queda de la forma siguiente,

dB=kidlxr =kidlxr r3

lrl3

(11.2)

La ecuación anterior muestra que una corriente elemental I dl crea un campo magnético que está en relación inversa al cuadrado de la distancia como en el caso del campo eléctrico, pero no hay analogía entre un caso y otro, ya que el campo B es perpendicular al vector de posición r y al elemento de corriente I dl. Además se debe tomar como un elemento de una suma, pues el campo se debe a un circuito cerrado en el que I dl es una parte muy pequeña que se debe sumar (integrar) con todos los demás que componen el circuito cerrado para obtener el campo magnético B debido al circuito completo. Además I dl tiene dimensiones de corriente por longitud, y por tanto al integrar sobre un circuito queda el factor k multiplicado por una corriente partido por una distancia. La constante k depende del sistema de unidades elegido, en el SI, (11.3)

Siendo J.L 0 una constante denominada permeabilidad magnética del vacío, que en el SI es,

CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICO I

426

/1-o

11.2.2

= 47r ·10- 7 (Wb/(A ·m)) (N/A2 )

(11.4)

Campo debido a una carga en movimiento

Si en la expresión vectorial obtenida a partir del experimento de Biot y Savart sustituimos el elemento de corriente I dl por qv, siendo v la velocidad de la carga q en el punto cuyo vector de posición es r' = O, el campo magnético en el punto definido por el vector de posición r será, B

=

p,0 qv X r 47r lrl3

(11.5)

Este campo se observa en el sistema de referencia del laboratorio, es decir, en el que q tiene una velocidad v con respecto dicho sistema de referencia. Los electrones que se mueven dentro del conductor tiene unas velocidades con respecto al sistema de referencia citado que dan lugar a la corriente J. En el caso de que la carga q tenga la velocidad v en un punto r' el campo magnético en res,

B = p,0 q v 47r

X

(r- r')

Ir- r'l3

(11.6)

La do~ ecuaciones anteriores muestran la forma del campo magnético debido a una carga en movimiento. Dichas ecuaciones nos dan un campo dependiente del tiempo, ya que en la posición determinada por r varía Ir- r'l al alejarse o acercarse la carga. Además estas relaciones son válidas únicamente para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz e, como se demuestra en la teoría de la relatividad restringida. La carga q también crea un campo eléctrico, que para velocidades pequeñas y en el sistema de referencia del laboratorio es de la forma,

E= _1_ qr

47réo lrl 3

(11.7)

Cuando las velocidades se aproximan a e, tanto el campo eléctrico como el magnético observado en el laboratorio, según muestra la relatividad 1 , son 1

Para un estudio más detallado se recomienda la lectura de los capítulo 5 y apartado 6.7 de (20] o del capítulo 22 de [22]

11 .2. LEY DE BIOT Y SAVART

427

más intensos en el plano perpendicular a la trayectoria en el instante que lo atraviesa la carga y es menor en los puntos próximos a la recta sobre la que se mueve la carga (véase la figura 11.4) . B

v=O

v"' 0,8 e

Figura 11.4

Es interesante poner de manifiesto varias cosas. La primera es que el campo eléctrico E tiene la dirección del vector r y el campo magnético es perpendicular a E , dado que en B figura el término v x r. Si tenemos en cuenta los resultados que proporciona la teoría de la relatividad, para v « e podemos expresar el campo magnético en función del campo eléctrico, ambos en el sistema de referencia del laboratorio, de la forma siguiente,

B =

1

2

47ré 0 C

qvx r

jrj 3

= ~v 2 c

x E

(11.8)

El término c2 se debe a que ¡..t 0 € 0 = 1/c2 . Esta relación aparece en la trasformación de los campos al pasar de un sistema de referencia a otro y también cuando se estudia la ecuación de ondas electromagnéticas obtenida a partir de las ecuaciones de Maxwell. Al poner un campo en función del otro se muestra que el campo magnético es más débil, en la relación v / c2 , y por tanto las fuerzas magnéticas serán más débiles que las eléctricas. Otra de las cosas que interesa mostrar, es que dependiendo del sistema de referencia donde se encuentre el observador así será el campo o campos que observa. Por ejemplo, en el caso de la carga en movimiento, si nos situamos en un sistema que se mueve con velocidad v con respecto al laboratorio, es decir, un sistema para el que la carga q esta en reposo, el campo observado sería el derivado de la ley de Coulomb,

428

CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICO I

__ 1_ qr0 E o3 41íEo

lrol

(11.9)

donde r 0 es el vector de posición de la carga q en el sistema móvil. En el sistema móvil no se observa campo magnético B 0 =O. Todo esto muestra la relación que existe entre los campos eléctrico y magnético. El campo magnético tiene su origen en el movimiento de cargas eléctricas, y dependiendo del sistema de referencia donde se sitúa el observador así serán los campos eléctrico y magnético observados. En la teoría de la relatividad restringida se establecen relaciones entre los campos eléctrico y magnético que permiten deducir los campos cuando se pasa de un sistema de referencia a otro.

11.2.3

Campo magnético debido a corrientes

En el estudio de campos generados por corrientes en conductores se verifica lo siguiente: 1) La velocidad de las partículas cargadas es muy pequeña frente a la velocidad de la luz e (v «e) . 2) Los campos, en general, son los observados en el sistema de referencia fijo o del laboratorio; en dicho sistema el conductor esta fijo y las cargas se mueven dentro de él. La figura 11.5 muestra un trozo de conductor por el que circula una corriente estacionaria. Los átomos que forma la red están cargados positivamente y se mantienen fijos; los electrones se mueven y su carga es negativa e igual en módulo y número que los átomos de la red. Dicho conductor es neutro desde el punto de vista electrostático. P.

q.-

Figura 11.5

Los campos eléctrico y magnético debidos a un conductor en el que se mueven los electrones y están fijos los átomos de la red, se obtiene aplicando el principio de superposición, es decir, sumando las contribuciones de los campos creados por cada partícula. Para v « e el campo eléctrico de las cargas en reposo y en movimiento es de la forma indicada en la ecuación

11.2. LEY DE BIOT Y SAVART

429

(11.7); como las cargas móviles y fijas son de signo contrario la suma de ambos campos da resultado nulo en el sistema. de referencia. del conductor. Como consecuencia. sólo se observa. el campo magnético, que es el que puso de manifiesto el experimento de Biot y Sa.vart.. El campo creado por una corriente elemental viene dado por la ecuación (11.2). Si consideramos la corriente elemental situada fuera. del origep., por ejemplo en el punto indicado en la figura 11.6 con el vector de posición r', la ecuación del experimento de Biot y Savart se modifica de la siguiente manera: r se sustituye por (r- r'), r por 1 r- r' ¡, ya que (r- r') es el vector que une la posición de la corriente elemental con el punto donde se observa el campo, y dl por di' para indicar que la corriente se sitúa en la posición r' mientras que el campo se calcula en la posición r. La expresión (6.2) se transforma en la siguiente,

dB =k I dl'x(r- r') Ir- r'l3

(11.10)

z a

B

y X

Figura 11.6

Obtenemos el campo magnético debido a un conductor filiforme recorrido por una corriente I mediante la integración de la ecuación anterior referida al camino que marca el conductor.

CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICO I

430

B =k

1

Je

1 dl'x(r -/')

Ir- r'l

(11.11)

La ecuación (11.11) expresa los resultados obtenidos por Biot y Savart para un circuito filiforme , y se conoce como ley de Biot y Savart. La forma de la ley de Biot y Savart en el SI es, B

=

1 47r Je 1-Lo

1 dl' x (r- r')

Ir- r'l3

(11.12)

El vector B queda definido mediante la ecuación (11.12) como el campo magnético creado por un circuito recorrido por una corriente continua. La unidad deBen el SI es el tesla [T]. También se usa el weberj m 2 [Wb/m 2 ] , que está relacionada con la densidad de flujo magnético, denominación que también suele darse al vector B. Vamos a estudiar un ejemplo en el que aplicaremos la ley de Biot y Savart para calcular el campo magnético debido a una corriente filiforme. Ejemplo 11.1

Campo magnético debido a la corriente 1 que circula por un hilo conductor indefinido. Solución

Aplicamos la ecuación (11.12) teniendo en cuenta los valores de los distintos componentes que muestra la figura 11.6, En coordenadas cilíndricas, cuyos vectores unitarios son up , u~ , Uz , di' = dl'uz, el producto vectorial di' x (r- r') es siempre perpendicular al plano definido por el hilo y el vector (r - r'), o lo que es igual, al plano definido por los vectores Uz y up, ya que di' es un vector en la dirección de Uz y (r - r') es un vector cuyas componentes están en las direcciones de Uz y up , por· tanto,

r = Rup di'

r' = ZUz ; dl' = dz Uz ; r - r' = Rup - ZUz X

(r- r')

= dz Uz X (Rup - zuz) = Rdz u~

Además de la disposición de los distintos elementos en la figura 6.6 se deduce que,

11.2. LEY DE BIOT Y SAVART

z

= Rtana

De R =

431

R cos a

= - -2 -da

-----*

dz

1r - r'l cos a

-----*

R

1r - r'l

cosa

Sustituyendo producto vectorial dl' x (r- r') en la ecuación (11.12), así como el valor de ir- r'l indicado en la línea anterior y teniendo en cuenta que la integración se hace desde -oo hasta +oo , que significa una variación de a desde -1r /2 a 1r /2, la expresión para B queda de la forma,

¡1!"1

2

_ f-Lo

B-

-u'P

47r

I R 2 cos 3 a da _ f-Lo - -u'P -1r ¡ 2 cos2 a· R 3 47r

¡1!"/

2

I cos a da -1r ¡ 2 R

_ ¡..t 0 I [ ]7r / 2 _ ¡..t0 I ( ( )) B- 41rR u 'P sena -1r; 2 - 41rR u 'P 1- -1

(11.13) La expresión anterior muestra cómo el campo magnético alrededor del hilo cumple las propiedades observadas por Biot y Savart, es decir, es inversamente proporcional a la distancia y perpendicular al plano que forman la corriente y el radio que marca la distancia. Ejemplo 11.2 Campo magnético sobre el eje Z, debido a una corriente circular I situada en el plano XY. Véase la figura 11.7. Solución Utilizaremos la ecuación (11.12) como en el caso anterior. Ahora los distintos vectores los ponemos en coordenadas cilíndricas, dada la simetría cilíndrica de la corriente, y son de la forma siguiente: dl'

= R dcp u 'P

;

r

=z

Uz

dl' x (r- r') Como

u 'P X U z

= Up

y

u 'P X Up

=-

Uz

;

r'

=R

= R dcp

Up

u'P X

(z

Uz -

R

up)

432

CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICO I

dl'x(r- r') = Rdcp (zup

+ Ruz)

z

y

Figura 11.7 El término zup correspondiente al punto A tiene un simétrico de signo contrario en el punto A' , por tanto al integrar (sumar) se anula la componente up perpendicular al eje Z. La integración se hará por tanto sólo con el término en U z. Los límites de integración en este caso se refieren a la variable cp, y son O y 21r. La integral queda de la forma,

La variable de integración es cp, y como los otros términos del integrando no dependen de cp, el campo magnético será,

(11.14) En el centro de la circunferencia z =O, por tanto,

B- 11-o J -

2R

Uz

(11.15)

11.2. LEY DE BIOT Y SAVART

11.2.4

433

Campo magnético debido a una distribución de corriente

Si en lugar de una corriente filiforme se trata de calcular el campo debido a una distribución de corriente J (r') sobre un volumen V', se aplica la ley de Biot y Savart suponiendo dividida la distribución de corriente en tubos elementales de corriente, cuya longitud es dl' y su sección ds', véase la figura 11.8. La corriente que circula por un tubo elemental será,

I

= J(r') · ds'

La componente I dl' será,

I dl'

= (J(r') · ds')dl' = J(r')(ds' · dl')

=

J(r') dv'

z

y X

Figura 11.8

Ahora la integral sobre el circuito se transforma en una integral de volumen, ya que la corriente ocupa dicho volumen. La expresión de la ley de Biot y Savart queda ahora de la forma siguiente,

B = f..Lo 47r

r J(r')

}V'

X

(r- r') dv'

Ir- r'l3

(11.16)

Si en lugar de una densidad de corriente J tenemos un distribución de corriente sobre una superficie, cuya densidad es K (dicha corriente expresa corriente por unidad de longitud [A/m]) , obtendremos el campo magnético si más que sustituir J dv' por Kds' ,

CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICO I

434

B

11.3

=

J.Lo 47r

r K(r')

Jv,

X

(r- r') ds'

Ir- r'l3

(11.17)

LEY DE A MPERE

El experimento de Oersted muestra que una corriente ejerce una fuerza sobre un imán (aguja magnética). La cuestión inmediata que se plantea es si el campo magnético de un imán ejerce una fuerza sobre una corriente y además si una corriente ejerce una fuerza sobre otra corriente. Ampere investigó la fuerza entre corrientes y Faraday realizó un experimento muy espectacular que mostraba la fuerza de un imán sobre una corriente y establecía los principios del motor eléctrico. Transcurridos pocos meses después de conocidos los experimentos de Oersted, el 25 de Septiembre del 1820, Ampere comunicaba sus resultados sobre la fuerza que ejercen entre sí dos hilos paralelos recorridos por una corriente. Dichos resultados se conocen como la ley de fuerzas de Ampere y se pueden resumir de la forma siguiente:

z I

!'

B

-----

o

F

R

y X

Figura 11.9 1) La fuerza es proporcional al producto de las corrientes e inversamente proporcional a la distancia que separa los hilos. 2) La fuerza es perpendicular a los hilos, atractiva cuando las corrientes tienen el mismo sentido y repulsiva cuando son opuestos.

11.3. LEY DE AMPERE

435

3) La fuerza que ejerce un circuito cerrado sobre otro elemento de corriente es perpendicular a dicho elemento de corriente. La ley de Ampere, en el caso de los dos hilos rectilíneos e indefinidos indicados en la figura 11.9, establece que la fuerza es perpendicular a los hilos y su módulo por unidad de longitud es,

F

T

= 2k

I I'

----¡¡-

(11.18)

En el SI de unidades k = 10- 7 (N/ A 2 ). Si suponemos las dos corrientes iguales I = I', R = l = 1 m, F

= 2 X 10- 7

X

!2

(11.19)

La expresión anterior sirve para definir la unidad de corriente. El amperio es la corriente que circula por dos hilos paralelos e indefinidos situados a una distancia de un metro cuando la fuerza por unidad de longitud (fuerza por metro) que se ejerce entre ellos es de 2 x 10- 7 [N/m]. La forma que adopta la ley de Ampere cuando se aplica al caso de dos circuitos genéricos como los indicados en la figura 11.10 es, (11.20)

y X

Figura 11.10

La ecuación (11.20) expresa la fuerza que se ejerce sobre el circuito C2 debido al campo magnético creado por la corriente h que circula por el circuito C 1 . Vemos que es una expresión complicada y que aparentemente no

CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICO I

436

cumple la tercera ley de Newton, ya que si intercambiamos los componentes dh x(dh x (r¡-r2)) f- -dl2 x(dl1 x (r2 -r¡))yportantoF21 f- -F12· La ecuación anterior se aplica a corrientes estacionarias en circuitos cerrados y puede demostrarse que en este caso se cumple la tercera ley de Newton. Aplicando la relación vectorial siguiente: A x (B ~ C) =(A· C )B- (A· B)C , dl2 x (di¡ x (r2- r1)) lr2- r1l El término,

(dl2 · (r2- r1 )) dl1

3

lr2- r1l

3

(dl2 · dl¡) (r2- r¡) lr2- r1!

3

1 \) . dl (r2 - r¡) · dh = V ( 2 3 lr2- r1! lr2- r1l es una diferencial exacta, que integrada sobre el camino cerrado C2 se anula, es decir,

1

dl 1 1 V (

1

) · dl2 = O lr2- r1l Como consecuencia el primer término del desarrollo se anula y queda la expresión para la fuerza de Ampére de la siguiente forma,

Jc1

Jc2

(11.21)

La ecuación anterior muestra que F2 1 = -F12, ya que (r2- r¡) = -(r¡ -r2)· En el caso de circuitos cerrados se cumple la tercera ley de Newton. En el caso de circuitos abiertos o cargas en movimiento no es aplicable la transformación realizada anteriormente y por tanto aparentemente no se satisface la tercera ley de Newton. Cuando se estudia el campo creado por corrientes no estacionarias o cargas en movimiento se observa que los campos electromagnéticos generados llevan asociado un momento electromagnético que aquí no se ha considerado, y que se debe tener en cuenta en el caso de corrientes no estacionarias o cargas en movimiento para analizar la interacción electromagnética de forma completa.

11.4

FUERZA DE LORENTZ

11.4.1

Fuerza magnética

En el tubo de rayos catódicos de un osciloscopio el haz de electrones que lanza el cañón pasa a través de unas placas. El campo eléctrico creado entre

11.4. FUERZA DE LORENTZ

437

las placas desvía la trayectoria de los electrones como consecuencia de la fuerza F = qE. En los televisores el haz de electrones que lanza el cañón son desviados a distintos puntos de la pantalla por la fuerza del campo magnético creado por la corriente que circula por las bobinas deflectoras. Las observaciones de Ampére muestran que la fuerza sobre un elemento de corriente es perpendicular a él. En el experimento de fuerzas entre corrientes, uno de los conductores crea un campo magnético que ejerce una fuerza sobre los electrones que se mueven en el otro conductor. Esta fuerza es proporcional a la corriente, es decir a qv, y es perpendicular al campo magnético y a la corriente en el punto donde se consideran los electrones en movimiento; es decir, perpendicular a B y a la velocidad v de los electrones. Si se veTifica que: 1) la velocidad es uniforme y mucho menoT que la velocidad de la luz (v > h).

z

p

y h

X

Figura P11.13

Figura P11.14

p 11.14 Por la superficie de un cilindro de radio R, e indefinido en la dirección del eje Z, circula una corriente cuya distribución superficial es de la forma K= K 0 sen. es la distancia entre dos máximos en la representación espacial indicada en la figura 17.1. El tiempo que tarda en recorrer esa distancia el frente de onda es el período T = .A/v¡, en el vacío T = .A/ c. El pe~iodo T está relacionada con la frecuencia f y la frecuencia angular o pulsación w = 27r f por, T

= ~ = 27r f w

(17.18)

La relación entre longitud de onda, periodo, frecuencia y pulsación es, w

v¡

k

f

21r k

>. = v¡T = T- = - = -

(m)

(17.19)

por tanto si despejamos k,

k=

27r

T

(rad/ m)

(17.20)

Con los parámetros definidos podemos caracterizar la onda electromagnética. Según la circunstancia de cada experimento podemos determinar

17.2. ONDAS PLANAS EN DIELÉCTRICOS

689

uno de los datos de la onda, por ejemplo la frecuencia y la velocidad, a partir de estos datos podemos conocer la longitud de onda A y la constante de propagación k. Si conocemos A y f podemos calcular v¡ etc.

17.2.1

Campo magnético

Una vez que se ha obtenido la solución para el campo eléctrico se puede calcular el campo magnético aplicando la ecuación V x E= -pl)Hjot. Suponemos que el campo eléctrico sólo tiene componente en la dirección del eje Z, E(y , t) = E z(Y, t)uz. Ux

o O

Uy Uz ojoy o O Ez

= -jwp, (uxHx + UyHy + UzHz)

O~z Ux = -jwp, (uxHx + UyHy + UzHz) De esta ecuación se deduce que sólo hay una componente del campo magnético,

1 oEz 1 . k Hx = - - . - - - = -.-]kEz = -Ez JWJL oy JWP, WP, sustituyendo el valor de k dado por la ecuación (17.11)

(17.21)

La magnitud Z se denomina impedancia intrínseca del medio, y se define mediante la siguiente relación, Z = Ez = wp, = Hx k

En el vacío, como p,0 = 47r x 10- 7 y Z0

= ( ~: )

1/ 2

(!!_) 1/2

E0 =

(17.22)

é

1/(47r x 9 x 109 )

= 1201r ~ 377 (O)

La impedancia intrínseca del vacío es, aproximadamente, 377

n.

690

CAPÍTULO 17. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Teniendo en cuenta la ecuación (17.14), y expesando el campo magnético en forma vectorial, . H(y , t) =

Ux

1 ZEzcos(wt - ky)

(17.23)

Vemos que el campo magnético es también perpendicular a la dirección de propagación, además es perpendicular al campo eléctrico y está en fase con él. La figura 17.2 representa los dos campos cuando la onda se propaga en la dirección positiva del eje Y.

z

y

Figura 17.2

17.3

ONDA EN DIRECCIÓN ARBITRARIA

En el apartado anterior para simplificar los cálculos hemos supuesto que la onda se propaga en la dirección del eje Y. Ahora vamos a generalizar el procedimiento para una onda plana que se propagan en una dirección arbitraria determinada por el vector unitario u. La figura 17.3 muestra la dirección de propagación y el plano de fase de la onda. Seguimos suponiendo que el medio es lineal, homogéneo, isótropo y sin pérdidas. La solución de la ecuación (17.2), en su parte espacial, se obtiene ensayando una de la forma, (17.24)

17.3. ONDA EN DIRECCIÓN ARBITRARIA

691

Aquí las constantes kx, ky y kz son respectivamente las constantes de propagación en las direcciones de los eje X , Y y Z. Llevando esta solución junto con la parte temporal (e-jwt) a la ecuación (17.2) se cumple que, (-(k;+ k;+ k;)+ W2EJ-L) Eoe±j(kxx+kyy+kzz )ejwt =O

de donde se deduce que, 2 W EJ-L

= (k;+ k;+ k; ) = k

2

(17.25)

Definimos el vector de propagación k de la forma siguiente, (17.26) Si tomamos, como indica la figura 17.3, el vector de posición r sobre un punto del plano normal a la dirección de propagación u, r

= XUx + yuy + ZUz

podemos expresar la parte espacial del exponente mediante la relación, kxx

+ kyy + kzz =

k · r = ku · r

(17.27)

Con la siguiente relación entre las componentes, kx

= ku · Ux

; ky

= ku · Uy

; kz

= ku · Uz

(17.28)

y X

Figura 17.3 El campo correspondiente a una onda plana que se propaga en la dirección positiva de u se expresa de la siguiente manera,

CAPÍTULO 17. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

692

E(r, t) =Re (Eaexpj(wt- ku · r))

(17.29)

Esta ecuación muestra que el campo eléctrico es la parte real de un campo en forma compleja donde w = 21r f, u es el vector unitario en la dirección de propagación, k es la constante de propagación o número de onda y r el vector de posición en el punto del espacio donde se observa E. La constante de propagación k, o número de onda, está relacionada con la frecuencia y características del medio a través de la ecuac-ión siguiente, k

w

= w# = -

v¡

[rad/m]

(17.30)

El vector de propagación k = ku, cuya dirección es la de propagación, también se le llama vector de onda, w

k= ku= uw#= u v¡

(17.31)

La parte real de la ecuación (17.29) es una onda que se propaga en la dirección u , y en el plano de fase constante se cumplirá que, wt - ku · r

= wt -

kd

= constante

(17.32)

donde d d=u·r=rcosqy

(17.33)

es la distancia desde el origen al plano donde el campo tiene el mismo módulo y fase, plano de onda; y qy es el ángulo que forma el vector r con la dirección de propagación. La ecuación (17.33) es la ecuación del plano representado en la figura 17.3, plano de onda.

17.3.1

Relaciones entre los campos E y H en una onda plana

En primer lugar vamos a demostrar que en un medio donde no hay cargas (p = 0), el campo E es perpendicular a la dirección de propagación, E .l u. Para esto consideramos "V · E = O teniendo en cuenta la relación vectorial V · (Ea O. El campo eléctrico es de la forma E(z , t) = E(z, t)ux. Las constantes del medio son: é = 16é0 , p, = p,0 y ¡ = O. La OE es sinusoidal y su frecuencia f = 108 Hz. En el instante t = (1/12)10- 8 s. se observa que existe un máximo de lOV/m en z = 0,25 m. 1} Expresar el campo en función de z, t y la fase O. Disponemos un dipolo rectangular de lados a y b, (b = 2a), situado como indica la figura P17.2. El campo eléctrico de la onda viene dado por,

E= E 0 cos(wt- ky)uz Calcular la f.e.m. inducida en el dipolo para los tres casos siguientes: 1} A > > a. 2} A = 2a. 3) A = 4a.

z E

b . - - - - - - - . a/2 a

H

3a

Y

X

Figura P17.2

p 17.3 En el espacio existe un campo magnético dado por la ecuación

B = B 0 sen(21ryj L) senwt · Uz Sobre el plano XY y a una distancia L del origen se sitúa una espira abierta de lado L /2, como indica la figura 17.3. Calcular la f.e.m. inducida en la espira.

17.8. PROBLEMAS

721

z B

L

O

X

Figura P17.3

p 17.4 U na onda electromagnética se propaga en el vacío y en la dirección del eje Y , de forma que la intensidad de campo magnético es:

H = H o cos 21r(!_ T - ]!_) ,\

·u

z

La frecuencia de la onda es f = 108 Hz, siendo T el periodo y ,\ la longitud de onda. Un dipolo en forma de espira cuadrada, de lado L = (3/2).-\, se dispone a una distancia del origen ,\ como muestra la figura P17.4. Calcular la f.e.m. inducida en la espira.

z H

A.

(512)).

L

y

L

Figura P17.4

p 17.5 En un medio de permeabilidad ¡._¿0 y permitividad t: = 4t: 0 se propaga una onda electromagnética (O E), cuyo campo eléctrico es de la forma: E= 10- 2 cos(108 1r t- k y+ 1r /2) U z

(V /m)

1) Calcular la constante k, longitud de onda,\ y la intensidad de campo magnético H .

722

CAPÍTULO 17. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

2) Encontrar el primer punto sobre el eje Y, distinto del origen de coordenadas, donde se anula H , para t = 10- 6 s. p 17.6 En un medio de permeabilidad J-lo y permitividad e = 9e0 se propaga una onda electromagnética (OE), cuya intensidad de campo magnético es:

H=

U z 10-

2

cos(10 81rt - ky

+ 1r /2)

1) Calcular las constantes k, A, y el campo eléctrico E. 2) Encontrar el primer punto sobre el eje Y, distinto del origen de coordenadas, donde se anula el campo eléctrico E para t = 5 · 10- 7s. p 17.7 En una onda electromagnética plana el campo eléctrico es:

E= 10 cos(27r · 108 t- 6z)ux Se propaga en un medio de permitividad e, permeabilidad 1-lo y conductividad¡= O. Calcular la longitud de onda A, la permitividad e, el campo magnético H y el vector de Poynting S. p 17.8 El campo eléctrico de una onda electromagnética polarizada linealmente en forma compleja es:

E= UxE0 expj(wt- kz)

+ Ux2E

0

expj(wt- kz + c.p)

1) Calcular la intensidad de campo magnético H. 2) Calcular el vector de Poynting S y su valor medio < S >. p 17.9 En una onda electromagnética (OE) propagándose en el vacío, la forma compleja de su campo eléctrico es,

E= uxEo exp j(wt- kz)

+ uy2E

0

exp j(wt- kz

1f

+ 2)

1) Indicar el tipo de polarización de la onda. 2) Calcular la intensidad de campo magnético H. 3) Determinar el vector de Poynting S y su valor medio (S). p 17.10 A frecuencias muy altas la corriente se limita a un región próxima a la superficie del conductor y los campos eléctrico y magnético son nulos en el interior.

17.8. PROBLEMAS

723

Ex y By son las componentes tangenciales del campo eléctrico y magnético representadas en la figura P17.10. Demostrar que en el conductor se cumple la siguiente relación:

8Ex {)z

_ 8 By

ot

Figura P17.10 p 17.11 Una onda electromagnética (OE) plana de 100 MHz se propaga en la dirección del eje Z. Mediante una sonda determinamos el máximo del campo eléctrico en un punto, considerado como referencia, y su valor es Ea = 10 V /m. Con la misma sonda medimos el valor máximo del campo en un punto sobre el eje Z distante del anterior 3 m; su valor es 0,01 V /m. La permitividad del medio es E: 0 y su permeabilidad J-lo · ¿De los datos obtenidos se puede deducir que la onda se propaga en un medio conductor? En caso afirmativo calcular la constante de atenuación y la conductividad del medio conductor. p 17.12 U na onda electromagnética polarizada linealmente en la dirección Ux, se propaga en la dirección positiva del eje Z. Su amplitud es 10 V /m., la frecuencia f = 300 MHz. Las constantes del medio son s = 4s0 , J-l = J-lo y '"'( = 100 (Om)- 1 . 1) Calcular las constantes de atenuación y fase (a y {3). 2} Determinar la impedancia intrínseca y la profundidad de penetración.

Capítulo 18

RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA

ESQUEMA-RESUMEN

Objetivos Generales Estudiar la radiación del campo electromagnético, sus características fundamentales y los dispositivos, antenas, utilizados para radiar y detectar un campo electromagnético.

Específicos • Analizar y comprender el significado de cada término de la ecuación de ondas con fuentes para los vectores de campo y su relación con las ecuaciones de Maxwell. • Ecuación de ondas para los potenciales escalar y vectorial. Solución de dicha ecuación y su aplicación para obtener los campos eléctrico y magnético. • Comprender el origen y significado de los potenciales retardados. • Características de los potenciales retardados en forma compleja. • Manejar la aplicación de los potenciales retardados en el estudio de la radiación de un dipolo elemental. • Obtención de los campos eléctrico y magnético mediante los potenciales retardados.

725

726

CAPÍTULO 18. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA • Analizar los términos de los campos en función de la distancia al dipolo. • Estudiar las características de los campos en las tres zonas de radiación. • Obtener la potencia radiada por un dipolo elemental. • Estudiar el diagrama de radiación de un dipolo elemental y características principales. • Establecer el concepto de intensidad de radiación. • Comprender qué características de la radiación están implicadas en la directividad. • Comprender el concepto de resistencia de radiación y su relación con la capacidad de un dipolo o antena para radiar energía electromagnética. • Características de una antena lineal como dispositivo para la radiación de un campo electromagnético. • Campos radiados en función la distribución de intensidad de corriente a lo largo de la antena. • Función característica y diagrama de radiación en función de la longitud de la antena. • Características de una antena lineal de media longitud de onda: Diagrama y resistencia de radiación; directividad. • Comprender cómo funciona una antena receptora. • Potenciales y campos debidos a un grupo de cargas en movimiento. • Potencia radiada por un grupo de cargas aceleradas. Aplicación al caso de una carga puntual acelerada.

Requisitos previos Haber comprendido los conceptos desarrollados en los tres capítulos anteriores, y por tanto los precedentes. Los conceptos matemáticos incluidos en el capítulo primero y todos los que se consideran previos en dicho capítulo.

18.1. ECUACIÓN DE ONDAS CON FUENTES

727

En el capítulo anterior hemos estudiado la propagación de ondas electromagnéticas sin preocuparnos del origen de dichas ondas. Ahora vamos a estudiar la ecuación de ondas con fuentes, cuya solución nos permite analizar como se generan las ondas y estudiar la radiación electromagnética. Dicha radiación consiste en que un conjunto de cargas aceleradas producen una perturbación electromagnética que se propaga hacia puntos alejados de las cargas olvidándose de su origen 1 . Comenzaremos estudiando la radiación debida a corrientes y cargas oscilantes localizadas en un volumen elemental, y aplicaremos estos resultados, con las aproximaciones adecuadas, al caso de dispositivos de mayores dimensiones conocidos con el nombre de antenas. Una antena es un dispositivo, que cuando actúa como emisor, transforma una señal (onda) guiada que procede de un generador, en una señal que se propaga por el espacio abierto. Si opera como receptor transforma una señal que procede del espacio abierto en otra guiada que se aplica a un dispositivo electrónico que funciona como detector. En el análisis de una antena introduciremos dos elementos que caracterizan el dispositivo, que son el diagrama de radiación que muestra la potencia radiada en función de la dirección de propagación y la resistencia de radiación que nos indica la potencia total radiada por la antena. En todo el capítulo vamos a suponer que las ondas se generan y propagan en el vacío, por tanto las constantes de los medios son E0 , p, 0 y '"'( = O.

18.1

ECUACIÓN DE ONDAS CON FUENTES

En el capítulo anterior introducíamos la ecuación de ondas con fuentes, aunque allí no estudiamos su solución, dicha ecuación para el campo eléctrico en el vacío es,

(18.1)

Esta es la ecuaczon de ondas no homogénea, también conocida como ecuación de Helmholtz, para el campo eléctrico. Aquí la fuente es la densidad de carga. 1

Un análisis avanzado sobre cagas aceleradas se hace en el capítulo 20 del libro de Panofsky and Phillips [17]. El problema 18.8 puede ayudar a comprender algunos aspectos de la radiación de un grupo de cargas aceleradas.

CAPÍTULO 18. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA

728

De forma análoga se obtuvo la ecuación de ondas para la intensidad de campo magnético H, cuya fuente es la densidad de corriente,

(18.2) Aunque con estas ecuaciones se pueden calcular los campos eléctrico y magnético, la forma compleja en que intervienen cargas y corrientes, a través de V' p y V x J , dificultan su uso. Por esto se calculan los campos mediante los potenciales escalar V y vector A , y dichos potenciales se obtienen resolviendo las ecuaciones introducidas en el capítulo 17, que son: Para el potencial escalar V, 2

V' V -

f-LoEo

&2V 8 t2

=

P -Ea

(18.3)

Para el potencial vector A,

(18.4) Vemos que las ecuaciones para los potenciales tienen la misma forma . La condición de Lorentz, que relaciona entre sí los potenciales es,

(18.5) Una vez que se obtienen los potenciales podemos calcular los campos mediante las relaciones que ligan los campos con los potenciales, que como ' 17 son: vimos en el capítulo

B=V x A

(18.6)

y

(18.7) La ecuación anterior se reduce a la obtenida en electrostática cuando el potencial vector no depende del tiempo, es decir, cuando &A/&t =O.

18.1. ECUACIÓN DE ONDAS CON FUENTES

18.1.1

729

Potenciales retardados

En este apartado vamos a obtener los potenciales mediante la solución de las ecuaciones (18.3) y (18.4). Los respectivos campos se calculan aplicando las ecuaciones (18.6) y (18.7) , o una de ellas y la ecuación que relaciona los campos eléctrico y magnético. Potencial escalar retardado Comenzaremos con la solución de la ecuación (18.3) para el potencial escalar. Dicha ecuación se reduce a la de Poisson que resolvimos en electrostática cuando el potencial no depende del tiempo (V i- f(t)), y por tanto 8V/ 8t = O. La solución se obtendrá de una forma análoga a como se opera en electrostática; es decir, se compone de dos partes: la solución de la ecuación homogénea que se utiliza para que se cumplan las condiciones de frontera; y una solución particular que debe satisfacer la no homogénea. La solución que se obtuvo para la ecuación de Poisson en el caso de una distribución de carga p(r') es de la forma, V(r)

=-

1-

47ré 0

{

p(r') dv'

Jv Ir- r'l

Esta solución no se puede trasladar a nuestro caso mediante la sustitución de p(r') por p(r', t), porque la ecuación (18.3) incluye una derivada segunda con respecto al tiempo que modifica el comportamiento del potencial y por tanto la solución de dicha ecuación. En primer lugar vamos a calcular la solución de la ecuación (18.3) para una carga elemental situada en el origen de coordenadas, que en el instante t es b.q(t) = p(t)dv'. El valor de la carga elemental cambia con el tiempo, así como su movimiento. Fuera del origen donde se sitúa la carga el potencial satisface la siguiente ecuación,

\72V -

f-loé:o

8 2V 8 t2 = O

Resolvemos esta ecuación para los puntos donde no existe carga y hacemos que dicha solución cumpla la ecuación homogénea en el punto donde se sitúa la carga, el origen de coordenadas en nuestro caso. Como sólo existe carga en el origen..la simetría de la solución es esférica, por tanto expresaremos la ecuación anterior en coordenadas esféricas sin que intervengan los términos en() y