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Este trabajo pretende contribuir al campo de las investigaciones didácticas que tienen como objetivo analizar la relación de la enseñanza y aprendizaje de los conceptos matemáticos en la escuela secundaria. Especialmente se ponen en consideración una serie de actividades didácticas, en cuyo diseño se adaptaron problemas históricos que aportaron elementos disciplinares en el desarrollo de la astronomía y que orientaron en el aula una transposición de la geometría de la regla y el compás a la trigonometría. Las situaciones problema puestas en juego pretendieron incentivar el desarrollo del pensamiento científico de los estudiantes al promover en cada momento de la intervención didáctica la utilización del método científico, potenciando el uso de diferentes sistemas de representación; es decir imágenes, gráficos, símbolos y material concreto. De esta manera se podían acercar al concepto matemático puesto en juego, en este caso, en los problemas que se modelan haciendo uso de la trigonometría. Palabras clave: (Didáctica, Astronomía, Geometría, Trigonometría. Conlusiones y Recomedaciones El sugerir a través de este trabajo, una estrategia, que aportará a solucionar el problema que se planteó en la propuesta, relacionado con los bajos niveles de desempeño de los estudiantes de básica y media en las pruebas externas, exigió estudiar e interpretar las nuevas perspectivas teóricas sobre el sentido y carácter de la evaluación en matemáticas y analizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los marcos curriculares (Lineamientos y Estándares). Del estudio y análisis de estos documentos surgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos: Es importante rediseñar los currículos de matemáticas de manera que los diferentes pensamientos se estructuren y desarrollen a través de todos los grupos de grados, dando un énfasis especial a los pensamientos espacial y métrico, en lo relacionado con el reconocimiento de las figuras, sus propiedades geométricas y métricas y las relaciones básicas de semejanza y congruencia, diseños donde se aprecie el avance en niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razonamiento geométrico, que impliquen interpretación y aplicación teoremas básicos. La evaluación a

privilegiar en el aula de matemáticas debe ser esencialmente formativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje ni parámetro único para orientar la evaluación y el desarrollo curricular, se requiere implementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances y dificultades de los estudiantes, privilegiar por ejemplo, las pruebas abiertas, donde se propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situaciones problema que requieran procesos de modelación en contextos de la matemática y de otras disciplinas. Un aspecto a destacar en el análisis de las nuevas miradas de la evaluación en matemáticas es el referido al objeto de evaluación. En la evaluación escolar predomina aún como objeto único de evaluación: el contenido, pero más grave aún, el contenido disperso e irrelevante con énfasis en lo instrumental y algorítmico. Es importante asumir como objeto de evaluación la competencia, como se propone en las pruebas externas, en el sentido del saber hacer y comprender, usar el conocimiento matemático de manera flexible y en contextos diversos. Los docentes de matemáticas de los niveles básicos deberían estudiar detenidamente los documentos citados en este trabajo, analizar, adecuar, construir y aplicar en sus aulas pruebas similares a las descritas, no solamente en el tema escogido en la propuesta sino en diversos temas básicos en cada uno de los grados; interpretar los resultados utilizando descripciones de los ítems similares a las presentadas en los 49 CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50 comentarios, esto les permitirá no solamente identificar aspectos a fortalecer o temas a incluir en el currículo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de sittuaciones planteadas en pruebas externas.

Por medio de este libre podemos ver las matetmaticas desde un nuevo punto de vista y en ello radica el éxito de esta novela, precisamente en haber dejado de lado el tratamiento de los conceptos matemáticos como valores absolutos para ser contados como una historia, que podnra a prueba la inteligencia, capacidad de estudio y reflexión lógica de los

componentes de ese singular conjunto. Creando en el lector las ganas de saber mas y mas y empeñandose en demostrar, que las matemáticas son "un lenguaje" aunque mucha gente no cree que tengan sentido. En cambio, ahora cuando yo escribo un numero, una formula o una ecuación, estoy contando algo acerca de una entretenida lección de matemáticas y de sus celebres matemáticos.

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-http://es.wikipedia.org/wiki/Lodovico_Ferrari http://www.edu.xunta.es/centros/iesmos/system/files/ecuaciones%20grado%203%20y%20 4.pdfhttp://euclides.us.es/da/apuntes/algebra/t7-2004-05.pdf

Con el diseño de esta propuesta didáctica, se ha evidenciado la utilidad del análisis didáctico como una herramienta que facilitó la toma de decisiones en cuanto al alcance del tema tratado (biografía de Thales de Mileto y sus aportes al desarrollo de la Geometría en la Grecia Antigua; razones y proporciones; figuras semejantes, criterios de semejanza para triángulos; enunciado, demostración y aplicaciones del Teorema de Thales), las habilidades geométricas que se pretende sean desarrolladas y puestas en práctica por los estudiantes y la planificación de estrategias didácticas que combinaron el uso de un video educativo (con fines informativos y motivacionales), el uso del Cabri Géomètre II Plus como herramienta para realizar construcciones geométricas con regla y compás y efectuar mediciones (tareas

reproducibles haciendo uso del juego geométrico) y de los juegos didácticos, valiéndose de la adaptación a estructuras conocidas como los juegos tipo memoria o tipo rally. Por lo tanto, en el proceso de formación inicial de los profesores de Matemática, es necesario que ejecute tareas vinculadas al diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas con contenido matemático, teniendo en consideración los programas de estudio para el área de Matemática, los libros de texto más empleados por los docentes, algunos referentes teóricos como el mapa de enseñanza y aprendizaje propuesto por Orellana Chacín (2002) y el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele (1959), con el propósito de desarrollar y poner en juego su conocimiento profesional matemático y didáctico.

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La Matemática como argumento deductivodemostrativo empieza con Pitágoras, estando unida con una forma particular de misticismo. La influencia de las Matemáticas en la Filosofía debida a Pitágoras ha sido desde entonces muy profunda. (p.67). Para Pitágoras la contemplación simpática apasionada era intelectual y desembocó en la ciencia de las Matemáticas. (p. 71). Pitágoras como profeta religioso y como matemático ha tenido una influencia inconmensurable, y los dos campos de su actividad no distan tanto el uno de otro como puede parecer a una mente moderna. (p.72).

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En Platón, San Agustín Tomás de Aquino, Descartes, Spinoza y Leibniz existe una fusión íntima de religión y razonamiento, de aspiración moral y admiración lógica por lo eterno, que procede de Pitágoras. (p.75). No conozco ningún otro hombre que haya tenido mayor influencia en el campo del pensamiento, porque lo que aparece como platonismo resulta después de analizarlo, esencialmente pitagorismo. (p.75).

Platón era lo suficientemente pitagórico para creer que sin Matemáticas no era posible una verdadera sabiduría. (p.144). En la Filosofía de Platón existe la misma fusión de intelectoy de misticismo que en Pitagorismo. p.162.

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Si dos rectas secantes se cortan por dos rectas paralelas entonces los segmentos que determinan las paralelas en una de las secantes son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra secante . Esto es:

Si AB y A'B' son paralelas entonces

Recíprocamente, si

entonces AB es paralelo a A'B'.

Y además:

Observaciones:

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Anteriormente se estudió el Teorema de Thales utilizando otra notación y sin añadir la última proporción del enunciado.

Esta última proporción suele aparecer en casi todos los libros de texto de educación secundaria, aunque no aparece en la misma proposición en los Los Elementos de Euclides. En este nuevo acercamiento sí la recogemos por su utilidad en el concepto de semejanza que se desarrollará más adelante.

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La demostración de la primera parte del teorema ya se explicó en otra unidad didáctica, por lo que sólo nos quedaría por demostrar que se cumple la última proporción.

Demostración: Como ya se dijo, la primera parte de este teorema ya está demostrada en una unidad didáctica anterior.

Así que partimos de que se cumple la proporción

y también el recíproco.

Sólo tenemos que probar que

.

Partiremos de la construcción geométrica que ilustra el enunciado de teorema y trazaremos la recta auxiliar, BD, que pasa por B y es paralela a la recta OA'.

Ahora, aplicamos el Teorema de Thales tomando como rectas secantes OB' y A'B' y como rectas paralelas, OA' y BD.

Así: Aplicando una propiedad de las proporciones:

Teniendo en cuenta que AA'BD es un paralelogramo y que, por tanto, sus lados opuestos son iguales:

Y así podemos escribir la siguiente proporción:

E intercambiando los dos términos centrales:

que es lo que queríamos demostrar.

Trazando una paralela a OB' que pase por A, se demuestra del mismo modo que

Demostración simple del teorema de Thales Tales de Mileto (640 a. C). Es considerado como el primer filosofo de Grecia y uno de los 7 sabios. Al parecer fue el primero en introducir la astronomía y la geometría en Grecia. Se le atribuye la demostración de varios teoremas, entre otros: Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Los ángulos opuestos que se forman al cortarse dos rectas son iguales. Los lados de los triángulos semejantes son proporcionales aunque no lo sean sus áreas. Es paradójico que el cuarto de los teoremas reseñados conocido como el teorema de Tales, fuera ya conocido por los babilonios. Lo que le aporta Tales es un tipo de razonamiento lógico, pero este no se puede considerar como una demostración propiamente dicha, debido a que aceptaba como cierta la proposición después de realizar varios procedimientos de orden experimental. Habrá que esperar hasta los Elementos De Euclides (VI 12-13) [22] para observar la demostración propiamente dicha. Tales gozó de gran fama entre sus contemporáneos como astrónomo. Según Herodoto (485-420 a. C) pudo haber sido capaz de predecir un eclipse de Sol en el año (585 a. C), parece ser que en su visión cosmológica imagino la Tierra como un cuerpo con forma de disco que flotaba en el agua (el elemento del cual se forman todas las cosas y al evaporarse forma el aire [23]). Entre sus discípulos se cuenta a Anaximandro (611 a. C) quien afirmaba que la Tierra era cilíndrica y ocupaba el centro del universo. Anaxágoras (500 a. C) discípulo de Anaxímedes enseñaba que el Sol era una masa de metal incandescente comparable en tamaño con la propia Grecia. Pitágoras De Samos (580 a. C). A pesar de haber nacido en Sam

1. Introducción. Hay varios métodos de demostración del teorema de Thales. Se ha escogido a continuación un método de demostración simple basado en la fórmula del área de un triángulo. Para ello, en primer lugar se demostrará dicha fórmula. 2. Método de medición del área de la superficie interior de una figura geométrica plana. 1. Escogemos un cuadrado de 1 metro de lado; lo llamaremos “metro cuadrado”.

2. Tratamos de superponer esta unidad en la máxima cantidad de ejemplares iguales al interior de la figura, sin que éstos se superpongan. 3. Escogemos un cuadrado de 1 decímetro de lado; lo llamamos “decímetro cuadrado” (100 decímetros cuadrados caben exactamente en un metro cuadrado); tratamos de superponer esta unidad en la máxima cantidad de ejemplares iguales al interior de la figura, sin que éstos se superpongan entre sí o a las anteriores unidades. Y sucesivamente con unidades menores hasta la precisión que deseemos. 4. Contamos las unidades de cada clase; el resultado de la medición del área viene expresado con el número de metros cuadrados seguido de “metro cuadrado”, el número de decímetros cuadrados seguido de “decímetros cuadrados”, etcétera. En lugar de emplear unidades con cuadrados, podríamos emplear unidades con triángulos equiláteros empezando con los de 1 metro de lado; los llamaríamos “metro triangular”, “decímetro triangular”, etcétera (100 decímetros triangulares caben exactamente en un metro triangular). Podríamos emplear unidades con hexágonos regulares empezando con los de 1 metro de lado; los llamaríamos “metro hexagonal”, “decímetro hexagonal”, etcétera (pero 100 decímetros hexagonales no caben en un metro hexagonal, lo cual es una desventaja). También podríamos emplear unidades con otras figuras geométricas planas, pero las unidades con cuadrados están generalizadas ya que en la práctica diaria hay más figuras (a las que deseamos medir el área) con ángulos de 90 grados sexagesimales (que tienen los cuadrados) que con ángulos de 60 grados sexagesimales (que tienen los triángulos equiláteros). Si para expresar una medición se emplean números con base decimal, tal como la mayoría de las personas está actualmente habituada, tenemos la ventaja de que en lugar de decir, por ejemplo: 3 metros cuadrados, 12 decímetros cuadrados y 57 milímetros cuadrados,

o bien: 3 metros triangulares, 12 decímetros triangulares y 57 milímetros triangulares, podemos decir simplificando: 3, 1257 metros cuadrados, o bien 3,1257 metros triangulares. 3. Axioma de unicidad de áreas. El resultado de la medición del área de la superficie interior de una figura geométrica plana es independiente de la posición y del orden de colocación de las unidades de área. Es un axioma similar al axioma de unicidad de longitudes y al axioma de unicidad de volúmenes. Es un axioma similar al postulado fundamental de la aritmética: “El número cardinal de un conjunto de cosas no depende del orden en que se cuenten.” propuesto por Julio Rey Pastor y Pedro Puig Adam en 1942. 4. Área de un triángulo. El área de un rectángulo es igual al producto de su base b por su altura a. Este cálculo es equivalente al método de medición del área antes expuesto:

Las áreas de los 2 triángulos rectángulos formados a trazos son iguales. Por tanto, el área de un paralelogramo es igual al producto de su base b por su altura a:

Las áreas de los 2 triángulos son iguales. Por tanto, el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base b por su altura a:

5. Teorema de Thales Hipótesis: BD y CE son paralelas. Tesis: AB : BC = AD : DE Demostración: Debido a la hipótesis, las alturas de los triángulos BCE y DCE sobre la misma base CE son iguales. Por tanto, tienen la misma área que, con otras bases y alturas, permite escribir: BC · a1 : 2 =DE · a2 : 2

También tienen la misma área los triángulos ABE y ACD: AB · a1 : 2 = AD · a2 : 2 Eliminando a1 y a2 de estas dos igualdades queda demostrada la tesis: AB : BC = AD : DE

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