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Universidad nacional de Huancavelica E. P. Economía

MODELOS DE HORIZONTE TEMPORAL (MODELO DE DIAMOND Y RAMSEY-CASS-KOOPMANS)

1. MODELO DE DIAMOND 1.1.

Supuestos del modelo Supuestos sobre la empresa  “Se asume la existencia de muchas firmas o empresas idénticas que operan en mercados competitivos con una función de producción que exhibe rendimientos constantes a escala y satisface las condiciones de Inada (son las hipótesis sobre la forma de una función de producción que garantizan la ruta de estabilidad de un crecimiento económico en el modelo de crecimiento neoclásico) Y = F (K, L)  “En cada período hay una firma representativa que contrata capital de los individuos que nacen en el periodo t+1 y servicios laborales de los individuos que nacen en el período t, para producir bienes, recibiendo como contribución w y r respectivamente”  “Los factores K y L son alquilados por las empresas hasta que su producto marginal sea igual a su precio. Asumiendo una depreciación nula (δ = 0)”1 Supuestos sobre los hogares  En el modelo de Diamond nace una generación en cada período (Lt), y la población crece a una tasa n; cada generación vive dos periodos. En el primer periodo de su vida los individuos trabajan coincidiendo con su vida activa mientras que el segundo periodo coincide con su jubilación

 Los jóvenes que nacen en el período t ganan un ingreso por su trabajo el cual está destinado una parte para su consumo y la otra parte para el ahorro obteniendo una tasa de interés, r. Ese ahorro más los rendimientos que obtienen es destinado para el consumo del segundo período en el cual los individuos ya no trabajarán. El capital t+1 depende del horro total:

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Este supuesto es conveniente puesto que justifica la no inclusión del ocio en la función de utilidad, lo cual facilita el análisis

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En kt+1 Se combina con el trabajo que provee una nueva generación para continuar con el proceso productivo. Entonces, si el consumidor nace en el período t, su consumo en el período (t+1), que es cuando se hace viejo, estará dado por:

 Los viejos alquilan todos sus ahorros a una firma representativa, y consumen todos sus recursos antes de morir

1.2.

DESARROLLO DEL MODLEO DE DIAMOD

1.2.1. EQUILIBRIO DE MERCADO Individuos  N(t): número de individuos nacidos en t, que trabajan en t.  n: Tasa de crecimiento de la población N(t) = (1+ n)t N(0) 2

Los individuos viven dos periodos, por lo cual un individuo que nace en el periodo t consume ct en t, ct+1 en t+1. El cual su función de utilidad es de la siguiente forma

En este caso solo se trabaja en el primer periodo de vida y oferta una unidad de trabajo

1.2.2. Problema de maximización

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También se conoce como función CRRA (Constant Risk Relative Aversion function), ya que el recíproco de elasticidad de sustitución intertemporal corresponde al coeficiente de aversión al riesgo en el consumo, el cual mide la curvatura de la función de utilidad instantánea –como se explica en la siguientes líneas del texto

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1.2.3. Empresas Función de producción neta (descontada la depreciación): Y = F (K, N) En términos per cápita: y = f (k) Presenta rendimientos constantes a escala y cumple las condiciones de Inada. Actúan competitivamente, maximizando su beneficio Maximización de beneficio

1.2.4. Equilibrio competitivo 3

En equilibrio, la oferta de capital (que coincide con los activos de los consumidores) se iguala a la demanda de capital por parte de las empresas, es decir, la cantidad de capital que usan las empresas

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Acosta, Bethencourt, Marrero y Perera, 2012

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Universidad nacional de Huancavelica E. P. Economía El equilibrio competitivo es una secuencia de asignaciones y secuencias de precios, tales que los agentes consumidores y empresas maximizan sus funciones por lo tanto tiene que cumplirse que:

“Esto es una función creciente, continua y diferenciable de primer orden. El gráfico 1 nos muestra un caso típico. Aquel punto en el que la curva Γ(k) corta con la recta de cuarenta y cinco grados corresponde al nivel de capital en que k=Γ(k) y, por tanto es el nivel de capital del estado estacionario. Si el nivel de capital inicial es kss el capital del siguiente periodo también será kss. Podemos también observar que cuando el nivel de capital está por debajo del de estado estacionario, el capital crece y se acerca progresivamente al nivel del

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Universidad nacional de Huancavelica E. P. Economía estado estacionario. Sucede lo contrario cuando el nivel inicial de capital está por encima del valor del estado estacionario”4

El gráfico anterior es la forma más común de función Γ(.) y será el caso en el que concentraremos nuestro análisis. Este es el caso en el que el estado estacionario es único y globalmente estable

1.2.5. Eficiencia del mecanismo de mercado Para estudiar la eficiencia dinámica del mecanismo de mercado, consideremos la ecuación de acumulación del capital por trabajador

Donde Ct es el consumo por trabajador. El capital por trabajador permanece constante cuando

La derivada de la función anterior es:

El nivel de capital en el que la función es

Esta función alcanza su máximo se llama capital de la regla de oro y viene definido como:

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Se puede demostrar fácilmente que el resultado final se mantiene aunque la tasa de depreciación del capital sea uno

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En la gráfica siguiente se puede observar cuando el nivel de capital está por debajo de la regla del oro, el producto marginal del capital está por encima de la tasa de crecimiento de la población n y, consecuentemente, entonces el nivel de capital está por encima de la regla del oro

También se puede observar que cuando el consumo está por encima de la curva) Ckt+1 = kt + (K), el capital del siguiente periodo es inferior al del presente (hecho que se representa por una flecha horizontal de derecha a izquierda.

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Universidad nacional de Huancavelica E. P. Economía El consumo agregado por trabajador en el instante de tiempo t (el de los Lt jóvenes que nacieron en t más el de los Lt-1 que nacieron en t-1 y están jubilados en t) en equilibrio como sigue

En el apéndice se demuestra que c(k) es una función creciente en k. El nivel de consumo y capital por trabajador del estado estacionario será aquel punto en que la curva )( Ckt+1 = kt + (K), corte con la curva (kc ) . En el gráfico se muestra que el capital del estado estacionario puede ser mayor o menor que el de la regla de oro:

La generación joven necesita ahorrar para cuando sea anciano. Sin embargo, cuanto más ahorre, menor será el rendimiento de sus ahorros (reducen el tipo de interés debido a la productividad marginal decreciente), lo cual le puede llevar incluso ahorrar aún más. Esto hace que exista una externalidad debido a que la pasada generación (al ahorrar) no toma en cuenta el efecto que su acumulación de capital tendrá sobre los salarios y tipos de interés de la generación presente. 7

Universidad nacional de Huancavelica E. P. Economía 2. EL MODELO DE RAMSEY – CAS – KOOPMANS El presente modelo de ramsy cass koopmans, tambien conocido como el modelo de horizonte infinito, el presente modelo es la secuencia del modelo solow, 5 “desarrollando en un contexto de optimización de los agentes económicos”, 6 “algunas características de este modelo son: que las firmas competitivas rentan capital y contratan trabajo para producir, un número fijo de familias que viven siempre, ofrecen la fuerza laboral, consumen y ahorran, incluye todas las imperfecciones de los mercados”

2.1.

Supuestos del modelo  Existe una función neoclásica agregada de buen comportamiento  Las familias son consumidoras y productoras (tipo Robinson Crusoe).

 Las familias son de linaje y viven muchos años, esto quiere decir que los agentes de este modelo son de dinastía o familias, siendo Lt la dinastía del modelo.  Existe una función de utilidad de los individuos, que depende del consumo por trabajador UT= U(ct)  La magnitud de la función de utilidad marginal del consumo es positiva esto quiere decir es una función es cóncava. La concavidad de la utilidad refleja el deseo de la gente de tener trayectorias de consumo más o menos lisas o suaves en el tiempo. Que la función de utilidad sea lisa, significa que los consumidores prefieren consumir un poco cada día que consumir un poco mucho y otro nada. Concavidad de la utilidad

FUENTE: Cesar H. Antunez Irgoin: Crecimiento Económico

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Cesar H. Antunez Irgoin: Crecimiento Económico

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Universidad nacional de Huancavelica E. P. Economía La grafica nos quiere decir que la que la función de utilidad es cóncava

Ct = c1 + c2 Sea la función de utilidad

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En esta función teta es una constante y que representa el grado

de concavidad de la función de utilidad. Entonces cuando mayor sea teta entonces mayor será la concavidad y función de utilidad, entonces mayor será los deseos de los agentes que suavizan el consumo

Si teta = 0, no querrían suavizar su consumo en el tiempo y en este caso la ecuación de utilidad será de la siguiente forma

 La curva de utilidad marginal es decreciente.

 Existen una función de preferencias intertemporal, siendo la tasa de descuento p > 02.

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Cesar H. Antunez Irgoin: Crecimiento Económico

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2.2.

8Ecuación

de movimiento

Llevando en términos de trabajador LT la ecuación tomara la siguiente forma, el desarrollo veremos en la siguiente imagen.

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Cesar H. Antunez Irgoin: Crecimiento Económico

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2.3.

9Decisión

de la empresa

Los beneficios de la empresa en términos per cápita son de la siguiente forma

El desarrollo de la ecuacion se ve en la siguiente grafica La denotación kt es igual al ahorro de las familias que es igual a bt Así, teniendo en cuenta que ahorro es igual a inversión la ecuación que describe el comportamiento del capital per-cápita es de siguiente forma

2.4.

Problema de convergencia El problema de convergencia está referido que en una economía se va maximizar la función de utilidad social a través del tiempo entonces la ecuación será:

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Cesar H. Antunez Irgoin: Crecimiento Económico

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Considerando la población. El desarrollo del modelo se presenta en la siguiente imagen

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Universidad nacional de Huancavelica E. P. Economía Esta grafica nos dice que la sociedad maximiza su utilidad a través del tiempo. En esta sociedad cada individuo busca su propio interés, busca maximizar la función de bienestar general a través del tiempo, para ello busca determinar la trayectoria general optima del consumo por trabajador a través del tiempo.

2.5.

Condición de transversalidad La condición de transversalidad veremos en la gráfica siguiente el proceso de desarrollo

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Universidad nacional de Huancavelica E. P. Economía Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación y la tasa de descuento intertemporal dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador.

2.6.

Sistema de ecuaciones diferenciales (diagrama de fases) Existen dos ecuaciones diferenciales que nos ayudan a graficar el diagrama de fases de este modelo son:

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2.7.

Análisis cuantitativo “Ahora antes de juntar los dos diagramas de fases en un solo pasaremos a hallar el consumo de oro modificado, que es aquel consumo que maximiza el bienestar de los agentes de la sociedad en su conjunto y también se tendrá un nuevo capital por trabajador modificado con el nuevo consumo. Para esto la segunda ecuación diferencial es de la siguiente forma

En esta ecuación reemplazamos el valor de ct = 0 entonces la ecuación tomara la siguiente forma.

En este punto de tangencia de la función f(kt ) que es estrictamente”10 decreciente y como se puede apreciar en el grafico la función de es estrictamente decreciente y convexa. Al cortarse estas tangencias con la función genera un punto que se llama el capital de oro modificado,

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Cesar H: dice que las dos graficas Al cortarse estas tangencias con la función genera un punto que se llama el capital de oro modificado, cuando proyectamos este punto en el gráfico, en grafico nos muestra el consumo de oro modificado como vemos en la siguiente gráfica

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Universidad nacional de Huancavelica E. P. Economía cuando proyectamos este punto en el gráfico, en grafico nos muestra el consumo de oro modificado como vemos en la siguiente gráfica.

2.8.

Estado de crecimiento proporcionado “El crecimiento proporcionado se halla cuando las curvas ct = 0 y kt = 0 se cruzan y esto se observa en la gráfica siguiente El primer punto es donde: Ct = 0 y kt = 0 El segundo punto representa al estado proporcionado que esta con color verde El tercer punto u es en la intersección de Kt = 0 y Kt1 en este punto está representado en el gráfico con un solo de color amarillo. El capital en este punto en el largo plazo esta economía converge necesariamente a un estado de proporcionado que conlleva a cantidades positivas del consumo.”11

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Cesar H crecimiento económico, ejercios de crecimiento económico

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2.9.

Dinámica de crecimiento “La dinámica que está representada por las flechas como se observa en el grafico anterior donde en el origen existe un estado inestable, porque nunca llegamos a un estado proporcionado. El segundo estado proporcionado, kt1 es estable en todas sus flechas que existen alrededor apuntan hacia este punto. El tercer estado proporcionado con capital de oro modificado, con estabilidad este punto es llamado “punto de silla” en estado trayectoria llamamos o “trayectoria estable” que converge a un estado proporcionado. Este tercer punto también genera el punto de silla, porque existen líneas aerodinámicas que convergen y divergen alrededor del punto. La dinámica de transmisión nos dice que si aumentara el consumo, el capital en el largo plazo, la economía converge hacia un estado proporcionado al capital de oro modificado.”12

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Cesar H: menciona de que la dinámica de crecimiento que está representado en la grafica dice que si aumenta el consumo el capital a largo plazo converge hacia el estado proporcionado al capital de oro modificado

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3. DIFERENCIA FUNDAMENTAL DE LOS MODELOS Este modelo a diferencia del modelo Ramsey-Cass-Koopmans se diferencia en que la población se renueva, las personas que nacen sustituyen a las que mueren y estas dos generaciones conviven en un mismo tiempo. Este modelo de Diamond se supone que una generación se relaciona con otras generaciones a lo largo de su vida (con su inmediata anterior o posterior). Lo fundamental de este modelo es que muestra las posibles implicaciones de tipo agregado del ciclo de vida del ahorro de los individuos. En este sentido, se considera que los individuos generan un stock de capital gracias al ahorro que realizan a lo largo del período en el que trabajan para poder financiar su consumo cuando se jubilen.

4. CONCLUSIONES El modelo representa la convivencia de dos generaciones en un mismo tiempo. Como también el trabajo y el ahorro son factores importantes para este modelo, además son los que condicionan al modelo. Este modelo se basa en la optimización de los agentes económicos las firmas y familia, este modelo supone que las familias viven por siempre y ofrecen la fuerza laboral, consumen y ahorran.

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5. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS  Cesar Humberto A: (2011): “crecimiento económico” Ejercicios de Crecimiento Económico  Juan A, Carlos B, Fernando P: (2012): “Los Modelos de Generaciones Solapadas” universidad de la laguna  Vela M: (2017): “Modelo neoclásico de generaciones superpuestas de diamond” Universidad nacional pedro Ruiz Gallo.  Elsa V: ( apuntes de crecimiento económico” Columbia university y universidad pompeu fabra.  Blanca Z, Leonardo R: (2008). “Optimización dinámica y modelos de crecimiento con consumo óptimo: ramseycass-koopmans”

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