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• Miguel Angel Ramos Lopez

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1 INTRODUCCIÓN Desde que me asignaron la cátedra de Análisis Numérico en la Universidad Popular del Cesar Seccional Aguachica, nació la idea de escribir un módulo al respecto. La gran duda que me asaltaba era si yo tendría los suficientes conocimientos, información y experiencia para hacerlo. Es evidente que no todo en la vida se da porque se quiera, aunque el “querer es poder” reza un dicho popular. Bajo estas premisas y paralelo a mi función de docente catedrático de Análisis Numérico, me he dado a la tarea de consultar, investigar, profundizar y reunir el material suficiente de cada una de las técnicas numéricas que aborda esta interesante rama de las Matemáticas. Es así como, en la actualidad poseo una serie de información como los magistrales apuntes de mi excelente profesor de Métodos Numérico, el ingeniero Carlos Cesar Castillo Luna, las notas bajadas de Internet del especialista de la Universidad Nacional y docente de la Universidad Surcolombiana, el ingeniero Yamil Armando Cequera Rojas, el módulo de Métodos Numérico de la UNAD del profesor Carlos Iván Bucheli Chaves, entre otros, los cuales hacen viable el proyecto de escribir un libro de Análisis Numérico. Los objetivos que me he propuesto al escribir este libro, es esbozar histórica y teóricamente cada una de las poderosas técnicas no analíticas estudiadas por el Análisis Numérico, así como desarrollar paso a paso, algunos problemas por cada técnica abordada y proponer otros al final de cada capítulo. Será un libro amigable, flexible, fácil de entender y fundamental para cualquier estudiante, profesor e investigador de las Matemáticas. A cada instante escucho voces diciéndome: ¡Atrevido! ¡Atrevido! Tienes idea de lo que piensas hacer. Mira que tú no eres especialista en esta materia. Y al unísono escucha otras voces que me dicen: ¡Adelante! ¡Adelante! ¡Adelante! No le prestes atención. Tú loable entrega y compromiso en lo que haces es suficiente para alcanzar tal empresa. Espero no defraudarlos. En el Capítulo 1, se estudiaran las nociones básicas de errores en cálculo numérico y algorítmico, su naturaleza e importancia en las diferentes áreas del saber. En el Capítulo 2, se presentan algunas reglas que acotan el número de raíces enteras, fraccionarias, positivas y negativas de un polinomio como la regla de los signos de Descartes y las diferentes técnicas (abiertas y cerradas) para la solución de ecuaciones no lineales con una variable y ecuaciones trascendentales. Técnicas tales como: Bisección, Regla Falsa, Newton-Raphson, Iteración de Punto Fijo, Secante, Newton-Raphson Modificado y Muller. En el Capítulo 3, se hará una introducción a la teoría de matrices y se desarrollaran los métodos para la solución de sistemas de ecuaciones lineales, tales como: eliminación Gaussiana y sustitución hacia atrás, Gauss-Jordan, Gauss-Seidel y el método de Jacobi. En el Capítulo 4, se exponen los diferentes métodos para el ajuste de curvas tales como Regresión por Mínimos Cuadrados (regresión lineal, polinomial y exponencial), Interpolación de Newton y Lagrange, algoritmo de Neville y los trazados cúbicos. En el Capítulo 5, se desarrollan las diferentes técnicas de integración numérica como la regla del Trapecio, regla de Simpson, regla del Punto Medio e integración de Romberg. En el Capítulo 6, se presentan los métodos de Diferenciación Numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias como Euler, Heun, Runge-Kutta de diferentes órdenes y el método de las Diferencias Finitas o Diferencias Divididas.

CAPITULO 1. LOS MÉTODOS ANÁLISIS NUMÉRICO Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

2

1.1 NATURALEZA E IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMÉRICOS A diario, muchos científicos e ingenieros hacen uso de técnicas no analíticas para dar solución a diferentes tipos de problemas de naturaleza no discreta. Un sinnúmero de problemas físicos, químicos, biológicos, sociales, entre otros, son modelados a través de fórmulas matemáticas que requieren de un tratamiento numérico para una o varias soluciones aproximadas. Algunos de estos problemas son1: 1.

Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas

y=2 sen ( x ) , y=e− x desde x =0 hasta x=π En el cual es necesario determinar los puntos de intersección de las gráficas necesario resolver la ecuación 2.

−x

2 sen ( x )=e

y=2 sen ( x ) , y=e− x , para lo cual es

, y no se dispone de un método algebraico para hacerlo.

Encontrar las raíces de la ecuación polinómica:

x 5+11 x 4 −21 x3 −10 x 2−21 x−5=0

En el cual se trata de hallar los ceros de un polinomio de quinto grado, y como se sabe, sólo se conocen métodos algebraicos para encontrar raíces de ecuaciones polinómicas de grado igual o menor que cuatro. 3. a)

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: El sistema lineal A x=b con

A=

[ ] [] 2−10 0 0 −1 2−1 0 0 0−1 2−1 0 0 0−1 21 0 0 0−12

y

b=

3 −2 2 −2 1

Este sistema de ecuaciones de 5 por 5 se puede resolver por métodos como el de Gauss o Gauss-Jordán, los cuales son convenientes programarlos en computador para una rápida y efectiva solución. b) El sistema no lineal

{

3

x + x y =9 3 x 2− y 3 =4

}

Este es un sistema no lineal al cual no se le conocen métodos algebraicos generales para resolverlos. 4.

Dada la siguiente tabla de datos correspondiente a una cierta función

xi f ( xi )

-2

-1

0

1

2

3

-5

1

1

1

7

25

Encontrar el polinomio de menor grado que pase a través de los puntos dados. Cuál será una estimación para los valores

f ( x) correspondiente a x=−1.5, x=1.5 .

Este problema se puede resolver analíticamente (por interpolación), sin embargo para determinar los coeficientes de dicho polinomio existen técnicas que permiten encontrarlos rápidamente y que pueden implementarse en el computador. 5.

Hallar el valor de cada una de las siguientes integrales:

1 Cerquera Rojas. Yamil Armando, “Teoría de errores”. Páginas 10 y 11.

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3 1

1

π 2

√

3

senx sen 2 x x ∫ x dx , ∫ e dx ,∫ 1− 4 dx ,∫ ln 1⁡( x ) dx 0 0 0 2 2

Este problema corresponde a integrales definidas cuyo integrando tiene antiderivadas que no es una función elemental. 6.

{

Resolver el problema de valor inicial

d 2 θ dθ + +16 sen ( θ )=0 2 d t dt π θ ( 0 )= ,θ ' ( 0 ) =0 4

}

Esta es una ecuación diferencial ordinaria que hace parte del movimiento de un péndulo, es no lineal (por la presencia del seno) y no se dispone de un método analítico para resolverla. 7.

Hallar el volumen específico V de la ecuación

( P+ Va )( V −b) =RT 2

Esta es la ecuación de Van der Walls, siendo P la presión, T la temperatura, R la constante de los gases con un valor

R=518

J , a y b son conocidas como las constantes de Van der Walls. El cálculo del volumen específico V Kg. ° K

no se puede realizar por los métodos analíticos conocidos. 8.

Resolver el problema

T =4

√

π 2

L dx ∫ g 0 √1−k 2 sen 2 x

Es la ecuación para el período (T) de un péndulo, donde y

θ0

1 k =sen ( θ0 ) y g es la aceleración de la gravedad. Dado L 2

es necesario aplicar métodos de integración numérica para calcular el período T del péndulo, al igual que las

integrales del problema 5. En resumen, el Análisis Numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente, soluciones estas obtenidas a través de simples operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación y división, entre otras. Estas técnicas numéricas pueden ser aplicadas en la solución de problemas matemáticos en: polinomios, ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales, ajuste de curvas e interpolación. 1.2 LA TEORÍA DE ERRORES Para el común denominador de la gente, la palabra error significa equivocación. A diario se escuchan voces diciendo: ¡Ah..! ¡Me equivoque porque cometí un error! A diferencia, en ciencias e ingeniería, el error está asociado a los conceptos de exactitud e imprecisión, es decir, en la incertidumbre en la determinación del resultado de una medición. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor medido o calculado con respecto al valor verdadero, mientras que la precisión se refiere a que tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros.

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4 Lo que se trata en todo proceso de medición es conocer las cotas o intervalo dentro de las cuales se encuentra el valor exacto o preciso de una medida, esto es ´x −∆ x ≤ x ≤ ´x +∆ x . A modo de gráfica, tenemos2:

Figura 1. Intervalo asociado a una medición. En el cálculo del error absoluto se pueden hacer uso de las siguientes fórmulas:

Ea =( 0.5∗102−n )∗100 , siendo n elnúmero de cifras significativas . calculado menos valor anterior |Último valorÚltimo |∗100 valor calculado

Ea =

1.3 COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL Y TIPOS DE ERRORES. 1.3.1 Complejidad computacional Al resolver problemas con el auxilio de una computadora, se plantean dos preguntas obligadas: a)

¿En qué tiempo se calcularán estos resultados?

b) ¿Cuál es la exactitud de los resultados? En lo que respecta a la primera pregunta (después de todo, se paga por el tiempo de computadora), es necesario determinar el número de pasos que se requieren para completar un cálculo. La complejidad computacional de un problema es una medida del número de operaciones aritméticas necesarias para resolverlo y del tiempo necesario para efectuar todas las operaciones requeridas. En una computadora se efectúan operaciones aritméticas básicas: OPERACIONES

TIEMPO PROMEDIO EN MICROSEGUNDOS

Suma o resta

1 microsegundo 2

Multiplicación o división

2 microsegundo −6

1 microsegundo=1 millonésima de segundo=10 s=0,000001 s Así pues, de estimar el tiempo necesario para resolver un problema mediante una computadora, debe contarse, en primer término, el número de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones incluidas en la solución del problema.

2 Intervalo asociado al resultado de una medición. Al valor representativo del centro del intervalo magnitud en cuestión. El semiancho del intervalo

(∆ x )

( ´x )

se le llama el mejor valor de la

se denomina la incertidumbre o error absoluto de la medición. Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

5 Contar el número de operaciones requeridas en la solución de un problema es, casi sin excepción, muy difícil. En realidad, cada división requiere el triple de tiempo que una multiplicación; el tiempo promedio de ambas es de 2 microsegundos. 1.3.2 Tipos de errores. Antes de abordar los diferentes tipos de errores, es importante dejar claro lo que se entiende por instrumento de medida, exactitud, precisión, incertidumbre y error.



Instrumento de medida: Es un dispositivo empleado para determinar el valor o la magnitud de una variable.



Exactitud: La cercanía con la cual la lectura de un instrumento de medida se aproxima al valor verdadero de la variable medida.



Precisión: Es una medida de la repetibilidad de las mediciones. Dado un valor fijo de una variable, la precisión es la medida del grado con el cual, mediciones sucesivas difieren una de otra.



Incertidumbre: Es el grado de exactitud, seguridad o confianza con que fue hecha la medición.



Error: Es la desviación del valor verdadero al valor medido.

En lo que respecta a la pregunta: ¿Cuál es la exactitud de los resultados? Esta tiene que ver con el número de dígitos binarios utilizados por la computadora en su aritmética de punto flotante. Dado que estas no almacenan números como

2 3 , 5 , √ 3 , π , e . En vez de eso, toda computadora emplea lo que se denomina aritmética de punto flotante. En ese 3 2 sistema, cualquier número se representa en la forma

x=± 0. d1 d 2 … d k∗10n

(1)

d 1 ,d 2 , … , d k son enteros positivos de un solo digito y n es un entero. A todo número escrito de esa manera se le llama número de punto flotante. En la ecuación (1) el número ± 0.d 1 d 2 … d k se llama mantisa, y el número n se llama donde

exponente. Al número k se le llama numeros de dígitos significativos de la expresión. Es decir, que la precisión, también llamada número de dígitos significativos, de un número flotante viene determinada por el número de dígitos m de su mantisa. Por ejemplo, una mantisa de 24 dígitos binarios corresponde a unos 7 dígitos decimales de precisión y una de 52 a unos 16. 1.3.3 Cifras significativas de una cantidad. Cada una de las cifras que componen una cantidad es una cifra significativa a menos que, como ocurre con el cero, únicamente se utilice para determinar el lugar de la coma decimal. Las cifras significativas de una medida es el número de dígitos seguros más el dígito dudoso. Un buen método para calcular el número de cifras significativas de una cantidad es expresarla en notación científica o en forma de punto flotante, el número de cifras significativas lo dan los dígitos que multiplican la potencia de 10. La posición de la coma no influye en el resultado 3. Cada computadora tiene una capacidad distinta en cuanto al intervalo de números expresables en forma indicada por la ecuación (1). Los dígitos se representan comúnmente en forma binaria, en vez de hacerlo en forma decimal. Una de las computadoras más populares, por ejemplo, utiliza 28 dígitos binarios. Como

28 2 =268 435 456, los 28 dígitos binarios se

pueden emplear para representar cualquier numero de ocho dígitos por tanto, k = 8. EJEMPLO 1. 3 Varelo. Michael, FISICA 1. Editorial NORMA, Bogotá-Colombia 1976. Página12.

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6 Forma de punto flotante y cifras significativas de cuatro números. Los siguientes números están expresados en forma de punto flotante: a) b) c) d)

1 =0,25∗100 → 2cifras significativas . 4 4 2378=0,2378∗10 → 4 cifras significativas . −3 −0,000816=−0,816∗10 → 3 cifras significativas . 2 83,27=0,8327∗10 → 4 cifras significativas .

1.3.4 Errores por truncamiento y errores por redondeo Si el número de dígitos significativos fuese ilimitado, no habría problema alguno. Sin embargo, casi cada vez que se introduce un número en la computadora, los errores empiezan a acumularse. Igualmente En la solución de problemas utilizando métodos numéricos, se pueden cometer diferentes tipos de errores, que pueden estar relacionados con el modelo físico-matemático empleado, la recolección de datos, la aproximación matemática del modelo hasta las operaciones realizadas al resolver problemas en un computador4. A nivel de la aproximación matemática del modelo, los errores pueden ser: errores por redondeo o errores por truncamiento. a) Truncamiento. Los errores por truncamiento se producen al reducir a un número finito de operaciones un proceso matemático que es infinito. Todos los dígitos significativos después del k-ésimo simplemente se “cortan”. Por ejemplo, si se utiliza truncamiento,

2 =0,666666 . . . se almacena (si k = 8) como 3

2 =0,66666666∗10 0 . La serie de Taylor es el 3

medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento. b) Redondeo. Los errores por redondeo son aquéllos originados por las limitaciones que toda herramienta de cálculo posee al no poder representar las cantidades con todas sus cifras. Redondear una cantidad es eliminar todas sus cifras a la derecha de la que ocupa un determinado lugar, si ésta es decimal, o bien reemplazarlas por ceros si es entera y añadiendo o no una unidad a la última conservada según que la parte despreciada valga, respectivamente, cinco unidades o más del primer orden despreciado o menos que esa cantidad. Este redondeo se llama simétrico. Es decir, si

d k+ 1 ≥ 5, entonces se suma 1 a d k

y el número resultante se trunca. En caso contrario, el número simplemente se trunca. Por ejemplo, con redondeo ( y k = 8),

2 2 =0,66666667∗10 0 . Con redondeo (y k=4), se almacena como 3 3

4 7

se almacena como

4 =0,5714∗100 . 7

EJEMPLO 2. Ilustracion del truncamiento y el redondeo. A continuación se dan ejemplos de cómo almacenan algunos números, tanto con truncamiento como con redondeo, utilizando ocho dígitos significativos: NUMERO

8 3 π −1 57

NUMERO TRUNCADO 0,26666666 * 101 0,31415926 * 101 - 0,17543859 * 101

NUMERO REDONDEADO 0,26666667 * 101 0,31415927 * 101 - 0,17543860 * 101

Los errores individuales debidos al truncamiento o al redondeo no son, aparentemente, muy importantes. Sin embargo, si en un proceso intervienen miles de pasos computacionales los errores acumulados pueden ser devastadores, como sucedió con el 4 Cerquera Rojas. Yamil Armando, “Teoría de errores”. Página 12.

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7 fallo del mísil Patriot, la explosión del cohete Ariane 5, el hundimiento de la plataforma petrolífera Sleipner A, las vibraciones del puente del Milenio en Londres. Así, al examinar cualquier proceso numérico, es necesario saber no sólo cómo obtener, en principio, la respuesta correcta, sino también como evaluar la forma en la que se acumularán los errores. 1.3.5 Error absoluto y error relativo A fin de manejar con claridad las cosas, se definen dos tipos de error. a) Error absoluto. El error absoluto de una cantidad aproximada (real)

ε a , se define como la diferencia entre el valor exacto

x y el valor aproximado x ; es decir: ε a=|x−x|

b) Error relativo. El error relativo cantidad aproximada

x

εr

x en relación con

de

, es el cociente entre el valor absoluto y la

x si se conociera; es decir:

o la exacta

| x−xx|

εr = c)

x

| x−xx|

εr =

ó

Porcentaje de error. Es el error relativo multiplicado por cien

EJEMPLO 3. Ilustración del error absoluto, relativo y porcentaje de error. Sean

x=3 y x=3.2 . Entonces el valor absoluto es: ε a=|3−3,2|→ ε a=0,2

El valor relativo redondeado a 4 cifras es:

→ ε =¿ |3−3,2 3 |

0,0667

→ ε =¿ |3−3,2 3 |

0,0666

εr =

r

El valor relativo truncado a 4 cifras es:

εr =

r

El porcentaje de error es 0,0667 * 100 = 6,67 ó 0,0666 * 100 = 6,66. 1.3.6 Convergencia y estabilidad Gran parte del Análisis Numérico se ocupa de responder a las preguntas sobre convergencia y estabilidad. Si la respuesta de un problema es

x

x n que se aproximen sucesivamente, entonces el método x conforme aumenta el valor de n . Además, si se puede mostrar que los

y el método que se esté empleando da valores

converge si, en teoría,

x n se aproxima a

errores por redondeo no se acumularán de tal forma que la respuesta sea demasiado inexacta, entonces se dice que el método es estable. Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

8 EJEMPLO 4. Ilustración del error de ajuste en un proceso5. Es fácil dar un ejemplo de un proceso en el que el error de ajuste puede ser muy grande. Supóngase que sea calcular

y=

; para

x=

2 3

x=0,66666666 y

Si la computadora trunca, entonces

y=

1 (x−0,66666665)

1 1 → y= → y =100.000.000 . 0,00000001 (0,66666666−0,66666665)

Si la computadora redondea, entonces

y=

x=0,66666667

y

1 1 → y= → y =50.000.000 . 0,00000002 ( 0,66666667−0,66666665)

En este caso, la diferencia es enorme (50.000.000). La respuesta correcta es

y=

1

( 23 −0,66666665 )

→ y=

(

1 1 1 → y= → y= 5 2 6.6666 .665 200.000 .000 199.999 .995 − − 300.000.000 3 100.000.000 300.000 .000 300.000 .000

)

(

)

y=60.000 .000 . 1.3 PROBLEMAS DE LA VIDA REAL DEBIDOS A LA PROPAGACIÓN DE ERRORES NUMÉRICOS 6 1.3.1 El fallo de un misil Patriot.

Figura 2. Misiles Patriot Americanos en Dharan 5 GROSSMAN, Stanley I. ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial McGRAW-HILL. México 1993. Página 496. 6 Cerquera Rojas. Yamil Armando, “Teoría de errores”. Páginas 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

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9 El 25 de febrero de 1991, durante la guerra del Golfo, una batería de misiles Patriot americanos en Dharan (Arabia Saudí) no logró interceptar un misil Scud iraquí. Murieron 28 soldados americanos. La causa: los errores numéricos por utilizar truncado en lugar de redondeo en el sistema que calcula el momento exacto en que debe ser lanzado el misil. Los ordenadores del Patriot que han de seguir la trayectoria del misil Scud, la predicen punto a punto en función de su velocidad conocida y del momento en que fue detectado por última vez en el radar. La velocidad es un número real. El tiempo es una magnitud real pero el sistema la calcula mediante un reloj interno que contaba decimas de segundo, por lo que representaban el tiempo como una variable entera. Cuanto más tiempo lleva el sistema funcionando más grande es el entero que representa el tiempo. Los ordenadores del Patriot almacenan los números reales representados en punto flotantes con una mantisa de 24 bits. Para convertir el tiempo entero en un número real se multiplica este por se trunca el resultado (en lugar de redondearlo). El número

1 10

1 ,y 10

se almacenaba truncado a 24 bits. El pequeño error

debido al truncado, se hace grande cuando se multiplica por un número (entero) grande, y puede conducir a un error significativo. La batería de los Patriot llevaba en funcionamiento más de 100 horas, por lo que el tiempo entero era un número muy grande y el número real resultante tenía un error cercano a 0,34 segundos. Vea el cálculo en detalle. El numero

1 1 1 1 1 1 1 es 4 + 5 + 8 + 9 + 12 + 13 +… , 10 2 2 2 2 2 2

(explicar ¿por qué?) es decir, (

0.0001100110011001100110011001100 … , que almacenado en un registro de 24 bits conduce al número ( ¿ ¿2 0.00011001100110011001100 ¿ ¿2

que

introduce

un

error

de

(

0.0000000000000000000000011001100 … , igual en decimal a 0.000000095. ¿ ¿2 En 100 horas este pequeño error se multiplica y se amplifica hasta alcanzar 0.000000095 *100*60*10*=0.34. Como un misil Scud viaja a unos 1676 m/s, es decir, unos 6033 km/hora, en 0.34 segundos recorre más de medio kilómetro. Esta distancia fue suficiente para que el misil Patriot no pudiera alcanzar al misil Scud y destruirlo. 1.3.2 La explosión del cohete Ariane 5

Figura 3. Cohete Ariane 5 El programa Ariane, es un programa emprendido por Europa en 1973 para dotarse de un lanzador que le permitiera un acceso independiente al espacio. El desarrollo del lanzador Ariane se efectúa bajo la dirección de la Agencia Espacial Europea (ESA, por sus siglas en inglés); el Centro Nacional de Estudios Espaciales (CNES) francés fue el contratista principal hasta mayo de 2003, fecha en la que pasó a actuar como tal el consorcio europeo EADS (European Aeronautic Defence and Espace Company). La explotación comercial es gestionada por la sociedad Arianespace, creada en 1980. En Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

10 total, unas 40 compañías europeas están comprometidas en el desarrollo y construcción del lanzador Ariane. Todos los lanzamientos se efectúan desde el centro espacial de Kourou, en la Guayana francesa, que cuenta con varias rampas de lanzamiento, y en el que trabajan de forma permanente varios cientos de personas. El 4 de junio de 1996 , el cohete Ariane 5 Flight 501, de la agencia europea del espacio (ESA) exploto 40 segundos después de su despegue a una altura de 3.7 km. Tras desviarse de la trayectoria prevista. Era su primer viaje tras una década de investigación que costó más de 7000 millones de euros. La causa del error fue un fallo en el sistema de guiado de la trayectoria provocando 37 segundos después del despegue. Este error se produjo en el software que controlaba el sistema de referencia inercial (SRI). En concreto, se produjo una excepción software debido al intento de convertir un número en punto flotante de 64 bits, relacionado con la velocidad horizontal del cohete respecto de la plataforma de lanzamiento, en un entero con signo de 16 bits. El número más grande que se puede representar de esta forma es 32767. El intento de convertir un número mayor causo la excepción que provoco que el software de seguimiento de la trayectoria dejara de funcionar y en última instancia del accidente.

1.3.3 El hundimiento de la plataforma petrolífera Sleipner A

Figura 4. Plataforma petrolífera Sleipner A El 23 de agosto de agosto de 1991, la plataforma petrolífera Sleipner A propiedad de la empresa noruega Statoli situada en el mar del norte a 82 metros de profundidad de hundió. La causa del error fue un fallo en el modelado numérico de la plataforma utilizando elementos finitos. En concreto se produjo una fuga de agua en una de las paredes de un de los 24 tanques de aire de 12 metros de diámetro que permitían la flotación de plataforma de 57000 toneladas de peso que además soportaba a mas de 200 personas y equipamiento de extracción con un peso adicional de unas 40000 toneladas. Las bombas de extracción de agua no fueron capaces de evacuar toda el agua. El fallo tuvo un coste económico total de 700 millones de euros. Para modelar los tanques de la plataforma se utilizo el programa NASTRAN de elementos finitos y una aproximación mediante un modelo elástico lineal. Esta aproximación no era correcta y subestimo en un 47% los esfuerzos que debían soportar las paredes de los tanques. En particular, ciertas paredes fueron diseñadas con un grosor insuficiente. Un análisis con elementos finitos correcto, pero posterior al accidente, demostró que el diseño de la plataforma provocaría fugas en algunos de los tanques cuando esta estuviese sobre 62 metros de profundidad. La fuga real se produjo cuando esta estaba sobre 65 metros de agua, lo que ratifica la supuesta causa del fallo. 1.3.4 Las vibraciones del puente de Milenio en Londres. Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

11

Figura 5. Milenium Bridge Tras la construcción del Tower Bridge el 1894 no se había vuelto a levantar un puente peatonal sobre el Támenesis hasta la construcción del Millenium Bridge en el año 2000. Es obra del arquitecto Norman Foster y el escultor Anthony Caro, y hecho sobre acero y aluminio. El puente de milenio, un puente de suspensión lateral de 320 metros de largo que une el distrito financiero de Londres con la zona de Bankside, al sur del rio, abrió el 10 de junio del 2000, y miles de peatones se concentraron sobre él. Al principio, el puente estaba inmóvil, luego empezó a oscilar solo ligeramente. Después, casi de un momento para otro, el tambaleo se intensifico y de repente las personas se encontraron caminando como vacilantes patinadores de hielo: plantando sus pies muy separados uno de otro, ladeándose a cada paso, izquierdo, derecho, izquierdo, derecho, en un sincronismo casi perfecto. La sincronía fue del todo involuntaria, pero esas pisadas fueron las responsables del balanceo. El 12 de junio de 2000 se cerró el paso de personas por el famoso puente del milenio (Millenium Bridge) en Londres, solo dos días después de la inauguración.la causa de la clausura: el puente vibraba lateralmente mucho más de lo esperado debido al caminar de la gente, fenómeno actualmente denominado excitación lateral síncrona. Al vibrar el puente, resultaba más cómodo a las personas caminar de forma sincronizada con esta vibración, lo que lo acentuaba mediante una resonancia. Durante el verano del año 2000 se contrató a la empresa de consultoría Arup para estudiar el problema. Se realizaron varios experimentos con grupos de personas con objetos de medir experimentalmente la magnitud del efecto bajo varias condiciones. Se observó que el efecto no era gradual, si no que la sincronización se producía de forma repentina y que existía un número crítico de personas caminando por el puente para inducir el fenómeno. Arup desarrollo modelos por ordenador del efecto con objeto de proponer una serie de mejoras en el diseño del puente que permitían resolver el problema. Primeramente se propusieron dos soluciones: incrementar la rigidez del puente para que la frecuencia natural de vibración lateral no coincida con la de los pasos al caminar de una persona, y añadir sistemas de amortiguación para disipar la energía de las vibraciones. La primera solución se consideró poco práctica y requería cambios importantes en el diseño del puente. Por ello se optó por estudiar en detalle la segunda opción. Se consideraron dos tipos de amortiguadores, los dinámicos y los pasivos. Los primeros son dispositivos que vibran de forma tal que contrarrestan las vibraciones propias del puente. Sin embargo, la complejidad de estos sistemas, su coste y la imposibilidad de instalarlos a corto plazo descarto esta solución. Los segundos fueron los que se implantaron en la solución final. Se consideraron amortiguadores pasivos de dos tipos: viscosos de masa ajustada (tuned mass). Los primeros se colocan debajo de la cubierta del puente, alrededor de los pilares, y disipan energía mediante el movimiento de un pistón q atraviesa un fluido. Los segundos también están situados debajo del puente para disipar vibraciones Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

12 verticales y están ajustados para disipar una frecuencia específica mediante una combinación de pesos y muelles. Ambos tipos de amortiguadores fueron adoptados en la solución final.

ROBLEMAS PROPUESTOS CAPITULO 1 En los problemas del 1 al 13 convierta el número dado en un número de punto flotante con ocho lugares decimales de precisión. Efectúe truncamiento (T) o redondeo (R), según se indique.

1 (T ) 3

1.

7.

85 ( R) 11

11.

237.059.628 (R)

2.

7 8

8.

3. -0,000035

5 −18 (T ) 6

9.

5.

5 −18 (R) 6

12. 8374,2 ¿ 10−24

En los problemas del 14 al 21 se dan el número porcentaje. 14.

7 ( R) 9

4.

1

x=5 ; x=0,49∗10

16.

x=3720 ; x=0,3704∗104

18.

x=

1 ; x=0,12∗10−2 800

x

15. 17.

19.

x

6.

33 (T ) 7

10. 237.059.628 (T)

13.

y una aproximación

7 (T) 9

−23,7∗10

15

. Calcule los errores absoluto, relativo y

3

x=500 ; x=0,4999∗10

1 x= ; 8

x=0,12∗100

5 x=−5 ; x=−0,583∗101 6 Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

13 20.

0

21.

x=0,70465 ; x=0,70466∗10

x=70465 ;

5

x=0,70466∗10

En los problemas del 22 al 35 encontrar el número de cifras significativas. Utilice para ello el formato de punto flotante o la notación científica. 22. 56,235

23. 345634

24. 5800,005

25. 0,567

26. 0,00045

27. 58000

28.

– 2365,0000

29. – 0,000456

30. 4670,0000

31. 26,090

32. 23456

33. – 45,67

34. 45.008

35. – 5,6004

Con los temas del Capítulo 1, elabore un artículo tipo científico. Para ello utilice los formatos de la Revista de Matemáticas INTEGRACIÓN de la Universidad Industrial de Santander (matematicas.uis.edu.co/integracion/), o de la Revista Colombiana de Matematicas (http://www.scm.org.co/aplicaciones/revista/revistas.php?modulo=Revista).

CAPITULO 2. METODOS PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES POR ITERACIÓN Este capítulo está dedicado a la solución de ecuaciones algebraicas y trascendentales para las cuales no existe un método analítico en especial, sino que se usan métodos de aproximación, en particular un método iterativo, es decir, un método en el que se empieza con un valor inicial

x 0 (si el método iterativo es abierto) o dos valores

x i y x s (si el método

iterativo es cerrado). Los métodos iterativos son fáciles de programar porque las operaciones de cálculo son las mismas en cada paso –de un paso a otro sólo cambian los datos- y, lo que es más importante, si en un caso concreto se tiene que el método converge, entonces en general es estable7. Antes de comenzar con los métodos iterativos, haremos un estudio de algunas reglas, teoremas y principios de los polinomios algebraicos, las cuales permiten evaluar un polinomio para un valor

x=x 0 ; así como calcular el número

de raíces múltiples (orden de multiplicidad), y el número de raíces enteras, fraccionarias, positivas y negativas de una ecuación algebraica. 2.1 ESTUDIO DE POLINOMIOS ALGEBRAICOS. 2.1.1 Funciones Algebraicas

7 KREYSZIG, Erwin. MATEMATICA AVANZADA PARA INGENIERÍA. Tomo II. Editorial LIMUSA S.A. México 2001. Página 408.

Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

14

−b ± √ b2−4 ac (Ecuación1), se usa para resolver ecuaciones del tipo 2 a x + bx+ c , 2 a2 Ejemplo: f ( x )=a x 2 +bx +c (Ecuación 2). A los valores calculados en la ecuacion 1 se les llama raíces de la ecuacion 2. Son valores de x que hacen a la ecuación igual a cero. Se puede definir a la raíz de una ecuación como el valor de x que hacen a f ( x ) =0 . La fórmula cuadrática

x=

Las funciones algebraicas como los polinomios se represenan generalmente como: 2

3

f n ( x )=a0 +a1 x+ a2 x +a3 x + … an x

n

Ejemplos de estas clases de funciones, tenemos:

f 2 ( x )=1−2.37 x +7.5 x 2 ( Función de orden2 o cuadrática ) . 2 3 4 f 4 ( x ) =8+7.4537 x+ 6.5 x −4 x +10 x ( Función de cuarto ordeno cuartica ) .

2.1.2 Teorema Fundamental del Algebra Este teorema expresa que: “todo polinomio de grado n tiene n raíces”. Es decir, el polinomio tiene 2 raíces, el polinomio

2

3

8+7.4537 x +6.5 x −4 x +10 x

4

2

1−2.37 x +7.5 x

tiene 4 raíces. Las raíces pueden ser reales o

complejas. Una forma en que podríamos interpretar este teorema es, ya que se puede factorizar un polinomio, dadas las raíces y hay n raíces para todo polinomio de este grado, entonces si:

f ( x )=an x n +a n−1 x n−1+ an−2 x n−2 +a n−3 x n−3 +…+a 3 x 3 +a2 x 2+ a1 x 1 +a0 Se puede decir que:

f ( x )=( x −r 1 )( x−r 2 ) …( x−r n) donde

r 1 ,r 2 , … , r n son las raíces de f ( x ) .

2.1.3 Regla de Horner o división sintética Sea

P ( x ) un polinomio que se desea evaluar en x=x 0 . Así, sí: n−¿ x n−1 +…+ a1 x 1 +a 0 P ( x )=a n x n +a ¿

Evaluarlo en

x=x 0 , consiste en calcular el valor numérico P( x 0) , es decir, n

0

P ( x0 ) =a n x 0 +an −1 x +…+ a1 x +a 0 n−1 0

Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

15 Lo que indica que evaluar el polinomio en

x=x 0 es equivalente a calcular el resto de la división por ( x=x 0 ).

Una forma eficiente para reducir y facilitar los calculos es el siguiente esquema:

Esquema de la regla de Ruffini-Horner8

2.1.4 Raíces múltiples en ecuaciones algebraicas

x 0 de un polinomio P ( x ) , se tirne en cuenta el siguiente teorema: “La condición necesaria y suficiente para que un número x 0 sea una raíz múltiple de orden k de un polinomio P ( x ) es que anule a dicho polinomio y a sus k −1 primeras derivadas, pero no a la siguiente”. E Para encontrar el orden de multiplicidad de una raíz

1.

Encontrar el orden de multiplicidad de las raíces que se indican en los siguientes polinomios: 5

4

3

2

a ¿ p ( x ) =x −18 x + 110 x −200 x −375 x +1250 ; x 0=5 4

3

2

b ¿ p ( x ) =8 x −99 x +420 x + 656 x+192 ; x 0=−4 Solución: a) calculemos el valor del polinomio y sus derivadas hasta obtener un resultado no nulo.

p ( x ) =x5 −18 x 4 + 110 x3 −200 A x 2−375 x +1250 ; x0 =5 pI ( x )=5 x 4−72 x 3+ 330 x 2−¿ 400x-375 pI ( 5 ) =5(5)4−72( 5)3 +330(5)2−¿ 400(5)-375 pI ( x )=0 pII ( x )=20 x 3−216 x 2 +660 x−400 pII ( 5 )=20(5)3−216 ( 5 )2 +660 ( 5 ) −400=¿ p II ( 5 ) =0 pIII ( x )=60 x 2−432 x +660 III 2 III p ( 5 )=60(5) −432(5)+ 660=¿ p ( 5 )=0

pIV ( x )=120 x−432=¿ p IV ( 5 )=120 ( 5 ) −432 8 http://www.educared.org/global/premiointernacional/finalistas/710/formulas/Fruffini.html

Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

16

pIV ( 5 )=168 ≠ 0 x 0=5

Como

anula a

p ( x ) y a sus tres primeras derivadas y no anula a la cuarta derivada se deduce que es una raíz

como orden de multiplicidad cuatro, Luego.

p ( x ) =( x−5 )4 ( x +2)

b.) Igualmente, tenemos que: 4

3

2

p ( x ) =8 x +99 x + 420 x +656 x +192; x 0=−4

pI ( x )=32 x3 +297 x 2 +840 x+ 656 I 3 2 I p (−4 )=32(−4 ) +297 (−4) +840 (−4 ) +656=¿ p (−4 )=0

pII ( x )=96 x 2 +594 x +840 II 2 II p (−4 )=96(−4) +594 (−4 ) +840=¿ p (−4 )=0

pIII ( x )=192 x +594 pIII (−4 )=192 (−4 ) +594=¿ p III (−4 )=−174 ≠ 0 p ( x ) =( x+ 4 )3 ( 8 x +3)

Luego:

2.1.5 Raíces enteras de ecuaciones algebraicas Para encontrar las raíces enteras de ecuaciones algebraicas, es suficiente los siguientes criterios: 1. 2.

Toda raíz entera de una ecuación algebraica con coeficientes enteros es un divisor del término independiente. Toda raíz entera de una ecuación P ( x ) =0 , siendo los coeficientes de P ( x ) enteros, verifica simultáneamente las dos relaciones siguientes:

P (1 ) multiplo de ( x 0−1 ) y P (−1 ) multiplo de ( x 0+1) 2.1.5

Raíces fraccionarias de ecuaciones algebraicas

Para encontrar las raíces fraccionarias de la ecuación: n−1

1

n−¿ x +…+ a1 x +a 0=0 n P ( x ) ≡ an x +a ¿ Basta efectuar la transformación:

x=

y an

Obteniendose

n−¿ y n−1+ …+b1 y 1+ b0=0 P ( y ) ≡ y n +b ¿ Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

17

Ahora, se calculan las raíces enteras

y 1 , y 2 , … , y n . Y deshaciendo el cambio, se obtienen: x 1=

Que obviamente son las raíces fracionarias de 

y1 y y , x 2 = 2 , … , xn = n an an an

P ( x ) =0 .

Hallar las raíces enteras y fraccionarias de las siguientes ecuaciones:

a) 2 x 3 +7 x 2−12 x−45=0 b) 3 x5 −8 x 4−40 x 3 +102 x2 +117 x −270=0 Solución: a)

3 2 2 x +7 x −12 x−45=0 ; Los divisores de 45 son { ±1 ; ± 3 ; ±5 ; ± 9 ; ±15 ; ± 45 } p (1 )=2(1)3+7 (1)2 −12 ( 1 )−45=¿ p ( 1 ) =−48 3 2 p (−1 )=2(−1) +7(−1) −12 (−1 )−45=¿ p (−1 )=−28

Para Para Para Para Para Para Para Para Para Para

x 0=−3=¿−48=−4 y−28=−2 ( posible raiz ) x 0=3=¿−48=2 y−28=4 ( posible raiz ) x 0=−5=¿−48=−6 y−28=−4 ( posible raiz ) x 0=5=¿−48=4 y−28 ≠ 6 ( no es raiz ) x 0=−9=¿−48≠−10 ( no es raiz ) x 0=9=¿−48=8 y−28 ≠ 10 ( no es raiz ) x 0=−15=¿−48=−16 y−28=−14 ( posible raiz ) x 0=15=¿−48 ≠14 ( no es raiz ) x 0=−45=¿−48 ≠−46 ( no es raiz ) x 0=45=¿−48 ≠ 44 (no es raiz)

Ahora remplazamos las posibles raíces en p(x) 3

2

p (−3 ) =2 (−3 ) +7 (−3 ) −12 (−3 )−45=¿ p (−3 )=0

Aplicamos Horner:

x 0=−3 es raiz

Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

18 3

2

p (3 )=2 ( 3 ) +7 ( 3 ) −12 ( 3 )−45=¿ p ( 3 ) =36 ≠ 0 No

hay

necesidad

de

aplicar

Horner;

x 0=3( no es raiz)

3

2

p (−5 ) =2 (−5 ) +7 (−5 ) −12 (−5 )−45=¿ p(−5)=−60 ≠0 Luego;

x 0=−5(no es raiz)

p (−15 ) =2 (−15 )3 +7 (−15 )2−12 (−15 )−45=¿ p(−15)=−5040≠ 0 Luego;

x 0=−15(no es raiz)

Como es posible que esta raíz sea múltiplo, tenemos que:

p ( x ) =2 x 3 +7 x 2−12 x−45 pI ( x )=6 x 2 +14 x−12 pI (−3 )=6 (−3)2 +14 (−3 ) −12=¿ pI (−3) = 0 II II II P ( x )=12 x+ 14=¿ p (−3 )=12 (−3 )+ 14=¿ p (−3 )=−22≠ 0

Luego;

p ( x ) =( x+3 )2 ( 2 x−5 )

Luego la raíz fraccionaria es:

2 x −5=0=¿ 2 x =5=¿ x=

5 2

b) 3 x5 −8 x 4−40 x 3 +102 x2 +117 x −270=0 los divisores de 270 son

{ ±1 ; ± 2; ± 3 ; ±5 ; ± 6 ; ± 9 ; ±10 … }

1 ¿ ¿ p (1 )=3(1)5−8 ( 1 )4 −40 ¿ p (1 )=−96

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19

1 −¿ ¿ p (−1 )=3(−1)5−8 (−1 )4 −40 ¿ p (−1 )=−256

si x 0=−2=¿−96=−3 y−256=−1( posible raiz)

p ( x ) =( x+2 ) ( 3 x 4−14 x3 −12 x 2 +126 x−135 ) x 0=−2(es raiz) 2 ¿ ¿ 5 p ( 2 )=3(2) −8 ( 2 )4 −40 ¿ p ( 2 )=20 ≠ 0 ( no es raiz )

−3 ¿ ¿ p (−3 ) =3(−3)5−8 (−3 )4 −40 ¿ p (−3 ) =0 ; luego x 0=−3(es raiz)

p ( x ) =(x +2)( x+3)(3 x 3−23 x 2+ 57 x −45) 3 ¿ ¿ 5 4 p (3 )=3(3) −8 ( 3 ) −40 ¿

p (3 )=0 ; luego x 0 =3(es raiz) Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

20

p ( x ) =(x +2)( x+3)(3 x 2−14 x +15) Aplicamos la formula cuadrática al último factor:

3 x2 −14 x+15=0 14 −¿ ¿ x = ¿ 2−4(3)(15) ¿ 14 ± √¿ ¿ x 1=

14 +4 18 =¿ x 1= =¿ x 1=3 6 6

x 2=

14−4 10 5 =¿ x 2= =¿ x 2= 6 6 3

Luego otra raíz es

x 0=3 y x 0 =

5 3

Entonces: 2

x+ 3¿ (x−3) (3 x−5) p ( x ) =(x +2)¿

2.1.6 Regla de los signos de Descartes La regla de Descartes establece que: “El número de raíces positivas (+) de un polinomio de signo de término a término de

f (x)

f ( x ) es igual al número de cambios

Por ejemplo, los polinomios:

a ¿ f ( x )=1−2.37 x+7.5 x 2 tiene dos cambios de signo: uno del primer término al segundo término (de + a -) y el otro del segundo término al tercer término (de – a +). Por lo tanto, el polinomio tiene dos raíces positivas.

b ¿ f ( x )=−4 x5 −2 x 4 −8 x 3+ 2 x 2−x +3 tiene tres cambios de signo: uno del tercer término al cuarto (de – a +), otro del cuarto término al quinto término (de + a -), otro del quinto término al sexto término (de – a +). Por lo tanto, el polinomio tiene tres raíces positivas. 2.1.7 Funciones trascendentes. Ing. José Javier Coronel Casadiego Docente Catedrático UPC Aguachica

21 Las funciones “trascendentes” son aquellas que contienen términos trigonometricos, exponenciales o logaritmicos. Ejemplo:

f ( x )=ln x 3 +6 , f ( x )=e2 x cos ( x ) +log ( 4 x ) −8 x 4 , f ( x ) =−5−2−3.4 x +7 tan ⁡(4 x−4.56) Muchos son los campos de la Ciencia y la Ingeniería donde se aplican las funciones trascendentes para la solución de problemas. Algunos ejemplos de estos son:

a0 ∞ nπx nπx f ( x )= + ∑ (an cos +b n sen );− p< x < p . 2 n=1 p p −kt  La solución de la ley de enfriamiento de Newton 10 : T ( t )=T a +(T 0−T a ) e kt  La tasa de crecimiento poblacional11: P ( t )=P0 e −kt  La desintegración radiactiva12: N ( t ) =N 0 e Las Series de Fourier9:



2.1.8 El Teorema de Bolzano o de Valor Intermedio.

f ( x) continua en cada punto del intervalo tienen signos opuestos: f (a) * f (b)