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• Fredy Sandoval

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EJERCICIOS 7 1) Se ha obtenido la siguiente tabla de distribuci´on de probabilidad para el n´ umero de llamadas telef´onicas llegadas a una central en un milisegundo: x 0 1 2 3 4

P {X = x} 0.37 0.37 0.18 0.06 0.02

Calcular: a) El valor esperado, la varianza y la desviaci´on t´ıpica de X. b) Obtener y dibujar la funci´on de distribuci´on.

2) Se desea comprar una acci´on y mantenerla durante un a˜ no en espera de que exista ganancia de capital. Se quiere elegir entre dos empresas A y B; para ambas el precio de venta de cada acci´on es de 10.000 pesetas, obteni´endose unos dividendos de 500 pesetas. A continuaci´on se presentan las distribuciones de probabilidad para el precio en el pr´oximo a˜ no estimado para cada tipo de acci´on, siendo SA y SB los precios de las acciones de las empresas A y B, repectivamente. Empresa A 2.500 5.000 7.500 10.000 12.500 15.000 17.500 20.000 22.500 25.000

P {SA = s} 0.05 0.07 0.10 0.05 0.10 0.15 0.12 0.10 0.12 0.14 1

Empresa B 9.500 10.000 10.500 11.000

P {SB = s} 0.10 0.25 0.50 0.15 1

a) Calcular los precios esperados por acci´on de las empresas A y B. b) ¿Es preferible elegir aquella acci´on con el valor esperado m´as alto? Disc´ utelo.

3) Se ha hallado la distribuci´on de probabilidad de que un n´ umero determinado de m´aquinas de una f´abrica pudieran fallar en un d´ıa. Las probablididades para cero, una y dos m´aquinas fallidas son, respectivamente, 0.3, 0.6 y 0.1. umero de fallos semanales. a) Calcula la media y la desviaci´on t´ıpica del n´ 1

b) Se estima que el coste de cada fallo para la compa˜ n´ıa es de 150.000 pesetas en producci´on perdida. Calcula el coste esperado por producci´on perdida para la empresa en un mes. c) Si el coste de reparaci´on R resulta ser (en miles de pesetas): R = 30 + 20X 2 , donde X es el n´ umero de fallos, calcula el coste esperado de reparaci´on diaria.

4) Un equipo de rescate es responsable de un tramo de 5 kil´ometros de r´ıo. La experiencia indica que la distancia a lo largo de este trecho, medida en kil´ometros desde su punto m´as al norte y el lugar donde ocurre una emergencia es una variable uniformemente distribuida entre 0 y 5 kil´ometros. As´ı, si X denota la distancia de una emergencia desde el punto m´as al norte de este tramo de r´ıo al lugar donde se ha producido la emergencia, su funci´on de densidad es: (

fX (x) =

0.2, para 0 < x < 5 0, en el resto

a) Dibuja la funci´on de densidad. b) Calcula y dibuja la funci´on de distribuci´on. c) Calcula la probabilidad de que ocurra una emergencia en el primer kil´ometro del punto m´as al norte de este tramo de r´ıo. d) Calcula la probabilidad de que ocurra una emergencia entre 2 y 4 kil´ometros del punto m´as al norte de este tramo. e) El equipo de rescate tiene su centro de operaciones a mitad del tramo del r´ıo. Calcula la probabilidad de que ocurra una emergencia a m´as de 2 kil´ometros del centro de operaciones.

5) Una l´ınea a´erea ha determinado que los pesos de sus pasajeros tienen una distribuci´on con media 60 kg y desviaci´on t´ıpica 15 kg. El peso del equipaje tiene una distribuci´on con media 20 kg y desviaci´on t´ıpica 2 kg. Asume que el peso del pasajero es independiente del correspondiente a su equipaje. a) Calcula la media y la desviaci´on t´ıpica del total del peso de un pasajero m´as su equipaje. b) Un vuelo tiene 50 pasajeros. Calcula la media y la desviaci´on t´ıpica de su peso total m´as el peso de su equipaje, estableciendo los supuestos que necesites hacer.

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6) Las edades X de los directivos de una gran compa˜ n´ıa tienen una funci´on de densidad uniforme entre 30 y 65 a˜ nos: (

f (X) =

1 , 35

0,

30 < X < 65 en el resto

a) Dibujar la densidad de X. b) Dibujar la distribuci´on de X. c) Si la edad de retiro es de 65 a˜ nos, ¿qu´e proporci´on de directivos se ha de retirar en los diez pr´oximos a˜ nos? d) Hallar P {35 < X < 40}. e) Obtener E[X].

7) La variable aleatoria X tiene una funci´on de densidad:   

x, 0