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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA Ejercicios Sobre Probabilidad y Distribuciones de Probabilidad Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´atico, MSc [email protected] Escuela de Estad´ıstica Universidad del Valle

Periodo II de 2018

Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA Ejercicios Sobre Probabilida

Ejercicio C1

Suponga que el error en la temperatura de reacci´on, en ◦ C, en un experimento de laboratorio controlado, es una variable aleatoria con2 tinua X que tiene la funci´ on de densidad de probabilidad f (x) = x3 para x ∈ (−1, 2) y cero en otro caso. Verifique que f (x) es una funci´ on de densidad. Calcule P (x < 0) Calcule P (0 < x < 23 ) Calcule la esperanza de X Calcule F (x) para la funci´ on de densidad f (x) Utilice F (X) para hallar evaluar P (0 < X < 1).

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA Ejercicios Sobre Probabilida

Ejercicio C2

Sea X la variable aleatoria que da el n´ umero de caras menos el n´ umero de sellos en tres lanzamientos de una moneda. Liste los elementos del espacio maestral. Halle una distribuci´ on de probabilidad para X.

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA Ejercicios Sobre Probabilida

Ejercicio C3

Dada una urna que contiene 10 bolas rojas, 5 bolas negras y 3 bolas azules, se extrae de ella 4 bolas. Obtener la probabilidad de que se obtenga 1 bola roja, 2 negras y una azul

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA Ejercicios Sobre Probabilida

Ejercicio C4 Suponga que una tienda de abarrotes compra 5 envases de leche descremada al precio de mayoreo de 1,20 por envase y la vende a 1,65 por envase. Despu´es de la fecha de caducidad, la leche que no se vende se retira de los anaqueles y el tendero recibe un cr´edito del distribuidor igual a tres cuartas partes del precio de mayoreo. Si la distribuci´on de probabilidad de la variable aleatoria es X y el n´ umero de envases que se venden de este lote es

Calcule la utilidad esperada.

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA Ejercicios Sobre Probabilida

Ejercicio C5

Se sabe que la probabilidad de que un estudiante de preparatoria no pase la prueba de escoliosis (curvatura de la espina dorsal) es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes que se revisan en b´ usqueda de escoliosis, calcule la probabilidad de que: menos de 5 no pasen la prueba; 8, 9 o 10 no pasen la prueba.

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA Ejercicios Sobre Probabilida

Ejercicio C6

Una variable aleatoria X tiene una media µ = 10 y una varianza σ 2 = 4. Utilice el teorema de Chebyshev para calcular: P (|X + 10| ≥ 3) P (|X + 10| < 3) P (5 < X < 15)

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA Ejercicios Sobre Probabilida

Ejercicio C7

Las imperfecciones en los tableros de circuitos y los microcircuitos de computadora se prestan para un an´alisis estad´ıstico. Un tipo particular de tablero contiene 200 diodos y la probabilidad de que falle alguno es de 0.03. ¿Cu´al es el n´ umero promedio de fallas en los diodos? ¿Cu´al es la varianza? El tablero funciona si no tiene diodos defectuosos. ¿Cu´al es la probabilidad de que un tablero funcione?

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA Ejercicios Sobre Probabilida

Ejercicio C8 Un estudio a nivel nacional que examin´ o las actitudes hacia los antidepresivos revel´o que aproximadamente 70 % de los encuestados cree que los antidepresivos en realidad no curan nada, s´ olo disfrazan el problema real. De acuerdo con este estudio: ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos 3 de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar tengan esta opini´on? ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos 4 de las siguientes 20 personas seleccionadas al azar tengan esta opini´on? Halle una formula para calcular la probabilidad para el numero de personas que tienen dicha opini´ on dentro de las siguientes 50 personas seleccionadas ¿Cual es el numero esperado de personas dentro de las siguientes 40 examinadas que tengan dicha opini´ on? Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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Ejercicio C9 En los negocios es importante planear y llevar a cabo investigaci´on para anticipar lo que ocurrir´a al final del a˜ no. La investigaci´on sugiere que el espectro de utilidades (p´erdidas) de cierta empresa, con sus respectivas probabilidades, es el siguiente:

¿Cual es la utilidad esperada? Calcule la desviaci´ on est´andar de las utilidades Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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Ejercicio C10

Se entregan dos altavoces id´enticos a 12 personas y se les pide que los escuchen para determinar si hay alguna diferencia entre ellos. Suponga que sus respuestas son simplemente conjeturas. Calcule la probabilidad de que tres personas afirmen haber detectado una diferencia entre los dos altavoces. Halle una distribuci´ on de probabilidad para el n´ umero de personas afirmen haber detectado una diferencia entre los dos altavoces.

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Ejercicio C11

Suponga que, en promedio, una persona en 1000 comete un error num´erico al preparar su declaraci´ on de impuestos. Si se seleccionan 10,000 formas al azar y se examinan, calcule la probabilidad de que: 6, 7 u 8 de las formas contengan un error.

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Ejercicio C12

Un destacado m´edico afirma que el 70 % de las personas con c´ancer de pulm´on son fumadores empedernidos. Si su aseveraci´on es correcta, Calcule la probabilidad de que de 10 de estos pacientes, que ingresaron recientemente a un hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos. Calcule la probabilidad de que de 20 de estos pacientes, que ingresaron recientemente a un hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos.

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Ejercicio C13

Una empresa industrial desarroll´ o una m´aquina de limpiar alfombras con buen rendimiento de combustible porque limpia m´as superficie de alfombra en menos tiempo. Se tiene inter´es por una variable aleatoria Y , la cantidad en galones por minuto que ofrece. Se sabe que la funci´on de densidad est´a dada por:

Determine la funci´ on de densidad de Y Hallar E(Y ) y V ar(Y )

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Ejercicio C14

En cierto crucero ocurren, en promedio, 3 accidentes de tr´ansito al mes. ¿Cu´al es la probabilidad de que en cualquier determinado mes en este crucero ocurran exactamente 5 accidentes? ocurran menos de 3 accidentes? ocurran al menos 2 accidentes? Halle una formula para la funci´ on de masa para el numero de accidentes en 18 d´ıas.

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Ejercicio C15

Suponga que los motores de un avi´ on operan de forma independiente y que tienen una probabilidad de falla de 0.4. Se supone que un avi´on tiene un vuelo seguro si funcionan al menos la mitad de sus motores. Si un avi´on tiene 4 motores y otro tiene 2, ¿cu´al de los dos tiene la probabilidad m´as alta de un vuelo exitoso? Halle una formula de probabilidad.

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Ejercicio C16

Para evitar la detecci´on en la aduana, un viajero coloca 6 comprimidos con narc´oticos en una botella que contiene 9 p´ıldoras de vitamina que aparentemente son similares. Si el oficial de la aduana selecciona 3 de las tabletas al azar para su an´alisis ¿cu´al es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesi´on ilegal de narc´ oticos?

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Ejercicio C17

¿Cu´al es la probabilidad de que una camarera se reh´ use a servir bebidas alcoh´olicas a s´olo 2 menores si verifica al azar 5 identificaciones de 9 estudiantes, de los cuales 4 son menores de edad?

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Ejercicio C18

Una empresa de manufactura utiliza un esquema de aceptaci´on para los art´ıculos de una l´ınea de producci´ on antes de que se embarquen. El plan tiene dos etapas. Se preparan cajas de 25 art´ıculos para su embarque y se prueba una muestra de 3 en busca de defectuosos. Si se encuentra alguno defectuoso, se regresa toda la caja para verifi car el 100 % de ellos. Si no se encuentran art´ıculos defectuosos, la caja se embarca. ¿Cu´al es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 defectuosos? ¿Cu´al es la probabilidad de que se regrese para su revisi´on una caja que contenga s´ olo un art´ıculo defectuoso?

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Ejercicio C19

Un club de estudiantes extranjeros tiene como miembros a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona al azar un comit´e de 4, calcule la probabilidad de que: Todas las nacionalidades est´en representadas Todas las nacionalidades est´en representadas, excepto la italiana.

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Ejercicio C20

Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sea una distribuci´on de probabilidad para una variable aleatoria discreta X: f (x) = c(x2 + 4), para para x = 0, 1, 2, 3,
3
f (x) = c x2 3−x , para x = 0, 1, 2.

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Ejercicio Cp21

En cierta f´abrica los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier d´ıa dado es de 0.005, y que los accidentes son independientes entre s´ı. ¿Cu´al es la probabilidad de que en un d´ıa de cualquier periodo determinado de 400 d´ıas ocurra un accidente? ¿Cu´al es la probabilidad de que ocurra un accidente a lo sumo en tres d´ıas de tal periodo?

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Ejercicio C22

En cierto distrito de la ciudad se establece que la causa de 75 % de todos los robos es la necesidad de dinero para comprar drogas. Calcule la probabilidad de que entre los siguientes cinco casos de robo que se reporten en este distrito: Exactamente 2 sean resultado de la necesidad de dinero para comprar drogas. a lo sumo 3 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.

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Ejercicio C23

La cantidad de caf´e diaria, en litros, que sirve una m´aquina que se localiza en el vest´ıbulo de un aeropuerto es una variable aleatoria X que tiene una distribuci´ on continua uniforme con A = 7 y B = 10. Calcule la probabilidad de que en un d´ıa determinado la cantidad de caf´e que sirve esta m´aquina sea: a lo sumo 8.8 litros. m´as de 7.4 litros, pero menos de 9.5 litros, al menos 8.5 litros.

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Ejercicio C24

Un escritor de libros comete, en promedio, dos errores de procesamiento de texto por p´agina en el primer borrador de su libro. ¿Cu´al es la probabilidad de que en la siguiente p´agina cometa 4 o m´as errores? ning´ un error?

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Ejercicio C25

Cierta ´area del este de Estados Unidos resulta afectada, en promedio, por 6 huracanes al a˜ no. Calcule la probabilidad de que para cierto a˜ no esta ´area resulte afectada por menos de 4 huracanes en un a˜ no cualquier cantidad entre 5 y 8 huracanes al a˜ no mas de 5 huracanes al a˜ no menos de 3 huracanes en un trimestre 15 huracanes en un 5 a˜ nos

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Ejercicio C26

Calcule la distribuci´on de probabilidad para el n´ umero de discos compactos de jazz cuando, de una colecci´ on que consta de 5 de jazz, 2 de m´ usica cl´asica y 3 de rock, se seleccionan 4 CD al azar. Exprese sus resultados utilizando una f´ ormula. Calcule la probabilidad de obtener 2 de jazz Calcule la probabilidad de obtener ninguno de jazz.

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA Ejercicios Sobre Probabilida

Ejercicio C27 Un fabricante de autom´ oviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo espec´ıfi co. En raras ocasiones la falla puede causar una cat´astrofe al manejarlo a alta velocidad. La distribuci´on del n´ umero de autom´ oviles por a˜ no que experimentar´a la cat´astrofe es una variable aleatoria de Poisson con λ = 5. ¿Cu´al es la probabilidad de que, a lo sumo, 3 autom´oviles por a˜ no de ese modelo espec´ıfi co sufran una cat´astrofe? ¿Cu´al es la probabilidad de que m´as de un autom´ovil por a˜ no experimente una cat´astrofe? Halle una formula de la funci´ on de masa para el numero de autimoviles que experimentan una catastofe en 10 a˜ nos Halle una formula mensual de la funci´ on de masa para el numero de autimoviles que experimentan una catastofe Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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Ejercicio C28

Se sabe que 3 % de las personas a las que se les revisa el equipaje en un aeropuerto lleva objetos cuestionables. ¿Cu´al es la probabilidad de que una serie de 15 personas cruce sin problemas antes de que se atrape a una con un objeto cuestionable? ¿Cu´al es el n´ umero esperado de personas que pasar´an antes de que se detenga a una?

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Ejercicio C29

Dada una distribuci´on normal est´andar, calcule el ´area bajo la curva que est´a a la izquierda de z = −1,39. a la derecha de z = 1,96. entre z = −2,16 y z = −0,65. a la izquierda de z = 1,43. a la derecha de z = −0,89. entre z = −0,48 y z = 1,74.

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Ejercicio C30

Las barras de pan de centeno que cierta panader´ıa distribuye a las tiendas locales tienen una longitud promedio de 30 cent´ımetros y una desviaci´ on est´andar de 2 cent´ımetros. Si se supone que las longitudes est´an distribuidas normalmente, ¿qu´e porcentaje de las barras son m´as largas que 31.7 cent´ımetros? de entre 29.3 y 33.5 cent´ımetros de longitud? m´as cortas que 25.5 cent´ımetros?

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Ejercicio C31

Un investigador informa que unos ratones a los que primero se les restringen dr´asticamente sus dietas y despu´es se les enriquecen con vitaminas y prote´ınas vivir´an un promedio de 40 meses. Si suponemos que la vida de tales ratones se distribuye normalmente, con una desviaci´ on est´andar de 6.3 meses, calcule la probabilidad de que un rat´on determinado viva m´as de 32 meses; menos de 28 meses; entre 37 y 49 meses.

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Ejercicio C32

El coefi ciente intelectual (CI) de 600 aspirantes a cierta universidad se distribuye aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviaci´on est´andar de 12. Si la universidad requiere un CI de al menos 95. ¿cu´antos de estos estudiantes ser´an rechazados con base en ´este sin importar sus otras califi caciones? Tome en cuenta que el CI de los aspirantes se redondea al entero m´as cercano.

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Ejercicio C33

En una f´abrica la probabilidad de que se produzcan n piezas defectuosas sigue una distribuci´ on de Poisson de media 3 diarias. Determinar la probabilidad que en 200 d´ıas el n´ umero de defectuosas est´e comprendido entre 600 y 690.

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Ejercicio C34

Un paciente que padece una rara enfermedad de la sangre tiene 0.4 de probabilidad de recuperarse. Si se sabe que 100 personas contrajeron esta enfermedad ¿cu´al es la probabilidad de que sobrevivan menos de 30?

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Ejercicio C35

Se conoce que los errores de impresi´ on de un libro siguen una ley de Poisson de intensidad media 0,8 errores por p´agina. Calcular la probabilidad de que: En una p´agina haya alg´ un error En un cap´ıtulo de diez p´aginas haya m´as de 10 errores En las 500 p´aginas de un libro haya menos de 350 errores

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Ejercicio C36

Se lanza una moneda 400 veces. Calcular la probabilidad de obtener Entre 185 y 210 caras. Exactamente 205 caras. Menos de 176 o m´as de 227 caras.

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA Ejercicios Sobre Probabilida

Ejercicio C37

Una empresa produce partes componentes para un motor. Las especifi caciones de las partes sugieren que s´ olo 95 % de los art´ıculos las cumplen. Las partes para los clientes se embarcan en lotes de 100. ¿Cu´al es la probabilidad de que m´as de 2 art´ıculos est´en defectuosos en un lote determinado? ¿Cu´al es la probabilidad de que m´as de 10 art´ıculos de un lote est´en defectuosos? ¿Cu´al es la probabilidad de que m´as de 30 pero menos de 60 art´ıculos de un lote est´en defectuosos?

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ISTICA Ejercicios Sobre Probabilida

Ejercicio C38

En una f´abrica de papas fritas, la probabilidad de que un paquete salga defectuoso es 0,2. Si se toman 200 unidades para inspeccionar ¿Cu´al es la probabilidad de que salgan m´as de 100 defectuosos. Calcule P (25