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• Nicolás Honorato

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Gu´ıa 8 (Trigonometr´ıa) Fundamentos de Matem´atica 1er Semestre de 2015 Notaci´ on 1 Considere en esta gu´ıa que cosn (α) = (cos(α))n = cos(α) · cos(α) · · · cos(α) {z } | n−veces

para α ∈ R y n ∈ N. Lo mismo para las otras funciones trigonom´etricas.

Ejercicios 1.- Pasar a radianes, los siguientes a´ngulos dados en grados: 15◦ , 35◦ , 160◦ , 310◦ . 2.- Pasar a grados, los siguientes a´ngulos dados en radianes:

2π 4π 13π , , . 3 3 2

3.- Considere el siguiente tri´angulo rect´angulo. Encontrar los valores de a, b, c (seg´ un corresponda), si a) b) c) d)

a = 3 y α = 45◦ c = 2 y α = 30◦ b = 5 y α = 60◦ c = 2 y α = 75◦

4.- Desde la misma figura exprese: a) a en t´erminos de α y c

d) a en t´erminos de β y b

b) a en t´erminos de α y b

e) c en t´erminos de α y a

c) a en t´erminos de β y c

f) c en t´erminos de α y b

5.- Calcular los valores de seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente en los siguientes ´angulos 4π 5π 3π 31π , , y 3 6 2 6
sec π2 − α cos(π + α)
6.- Simplificar la expresi´on tan(2π − α)sen 3π + α 2 1

Gu´ıa 8 (Trigonometr´ıa) Fundamentos de Matem´atica 1er Semestre de 2015 7.- Expresar los siguientes valores usando un a´ngulo entre 0 y 90◦ .   13π a) sen(130◦ ) e) cos 3 b) sec(250◦ )   7π c) cos(430◦ ) f) tan   2 4π d) sen 3 8.- Determinar el valor de sen(α) si: 4 a) cos(α) = − y α se encuentra en el tercer cuadrante. 5 5 b) cos(α) = y α no se encuentra en el primer cuadrante. 6 i πh 4 12 9.- Considere que sen(α) = , sen(β) = y α, β ∈ 0, . ¿Cu´al es el valor de 5 13 2 sen(α − β) y cos(α + β)? iπ h 1 10.- Considerando que sen(α) = y α ∈ , π , ¿cu´al es el valor de sen(2α)? 3 2   π √ π + cos α − = 3sen(α). 11.- Demostrar que sen α − 6 3 12.- Calcular sen(α), cos(α) o tan(α) , seg´ un corresponda, considerando que hπ i hπ i 3 5 a) sen(α) = , con α , π d) cos(α) = − , con α , π 5 2 13 2   h πi 1 3π e) sen(α) = − , con α π, b) tan(α) = 2, con α 0, 2 2 2   h i 1 3π 1 π f) tan(α) = , con α π, c) cos(α) = , con α − , 0 2 2 3 2

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Gu´ıa 8 (Trigonometr´ıa) Fundamentos de Matem´atica 1er Semestre de 2015 13.- Demostrar las siguientes identidades trigonom´etricas. Indique el dominio, en [0, 2π], en el cual estas identidades est´an definidas. 1 + cos(2α) 2 1 − cos(2α) sen2 (α) = 2 2 tan(α) sen(2α) = 1 + tan2 (α) 1 − tan2 (α) cos(2α) = 1 + tan2 (α) 1 − cos4 (α) sen2 (α) + tan2 (α) = cos2 (α) cot(α) sec(α)sen(α) = 1

a) cos2 (α) = b) c) d) e) f)

g) sec(α + β) =

sec(α) sec(β) 1 − tan(α) tan(β)

cot(α) − tan(α) 2
cos(α) + sen(α) √ +α = 2

h) cot(2α) = i) sen

π 4

1 (cos(α − β) − cos(α + β)) 2     α+β α−β k) cos(α)+cos(β) = 2 cos cos 2 2 j) sen(α)sen(β) =

14.- Encontrar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonom´etricas √ 1 3 a) cos(x) = − c) cos(2x) = 2 2  1 π b) sen(x) = − √ = −1 d) sen 2x − 2 3 15.- Encontrar la soluci´on S0 , soluci´on en el intervalo [0, 2π], de las siguientes ecuaciones trigonom´etricas  4π a) tan 2 (x) + sec 2 (x) = 7 Rpta: S0 = π3 , 2π , 3 3  1 − tan(x) = 1 − sen(2x) Rpta: S0 = 0, π4 , π, 5π b) 4 1 + tan(x)  4π c) 2 cos 2 (x) − 3 cos(x) = 2 Rpta: S0 = 2π 3 , 3  π π 5π 3π d) 2sen(x) cos(x) = cos(x) Rpta: S0 = 6 , 2 , 6 , 2 √  π 13π e) 3 cos(2x) + sen(2x) = 1 Rpta: S0 = − 12 , 12  f) tan(x) − sen(2x) = 0 Rpta: S0 = 0, π4 , π, 5π 4

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Gu´ıa 8 (Trigonometr´ıa) Fundamentos de Matem´atica 1er Semestre de 2015 16.- Resolver los siguientes problemas, aplicando los teoremas del seno y coseno. a) Cuando el sol est´a a 25◦ sobre el horizonte, un silo da una sombra de 28 metros. ¿Cu´al es la altura del silo? R: La altura es 13.05mts b) Al observar desde el u ´ltimo piso de un edificio de 60 pies de altura, el ´angulo de elevaci´on del extremo superior de un poste vertical es de 14◦ . Desde la base del edificio, el ´angulo de elevaci´on es de 28◦ . Encontrar la altura del poste y la distancia del edificio al poste. Si lo desea, considere que 1 pie es equivalente a 30, 48 cm R: La altura del poste es 112.977 pies (34.435 mts). La distancia entre el edificio y el poste de es 212.479 pies (o 64.764 mts) c) Los puntos A y B est´an en una misma recta horizontal con el pie de una colina y los a´ngulos de depresi´on de estos puntos desde la cima son 30.2◦ y 22.5◦ , respectivamente. Si la distancia entre A y B es de 75 m, ¿cu´al es la altura de la colina? R: La altura de la colina es 107.75mts. d) Un barco sale de puerto y durante 4 horas sigue un curso de 78◦ a 18 nudos. Despu´es, la nave cambia al curso de 168◦ y lo sigue durante 6 horas a 16 nudos. Despu´es de 10 horas de navegaci´on, ¿cu´al es la distancia del barco al puerto? Un nudo es equivalente a 1852 mts por hora. R: El barco est´ a a 120 m.n. (millas na´ uticas) que es equivalente a 222240mts

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Gu´ıa 8 (Trigonometr´ıa) Fundamentos de Matem´atica 1er Semestre de 2015 e) Desde un punto a ras de suelo, los a´ngulos de elevaci´on a la base y el tope de un m´astil de 6 m de altura, colocado sobre un acantilado, son de 38◦ y 46◦ respectivamente. ¿Cu´al es la altura del acantilado? R: La altura es 18.43mts f) Para encontrar la altura de un edificio, una persona a medido dos a´ngulos de elevaci´on (desde el suelo) uno de 60◦ y el segundo, despu´es de avanzar 5 metros hacia el edificio, de 80◦ . ¿Cu´al es la altura del edificio? R: La altura es 12.4mts g) Al poco rato de haber despegado 2 aviones se cruzan en el aire cuando son las 16:00 hrs. Uno se dirige en linea recta hacia una isla ubicada a 68◦ al noreste, mientras el otro va a una ciudad ubicada al este. Si el primero se desplaza a una velocidad de 650 km/h y el segundo 820 km/h. ¿Qu´e distancia hay entre ellos a las 17:15 hrs.? R: La distancia entre ellos es de 407.97mts. h) Una escalera de 3 mts de largo esta apoyada sobre la pared de un edificio, de tal manera que su base est´a a 1.5 mts del edificio. ¿Qu´e ´angulo forma la escalera con el piso? R: El ´ angulo es de 60◦ .

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Gu´ıa 8 (Trigonometr´ıa) Fundamentos de Matem´atica 1er Semestre de 2015

Problemas extras 17.- Dos observadores, situados en dos puntos A y B distantes entre si por 2 km, miden simult´aneamente el a´ngulo de elevaci´on de un globo meteorol´ogico y obtienen respectivamente medidas de 40◦ y 70◦ . Si el globo est´a exactamente sobre un punto de la recta que une A y B, ¿cu´al es la altura del globo? 18.- Un avi´on vuela a una velocidad constante de 300 km/h y cuando pasa por una antena de radar (ubicada en el suelo y que est´a a 1 km de distancia del avi´on) el avi´on comienza a elevarse en un a´ngulo de 30◦ . a) Encuentre una funci´on (en funci´on del tiempo t medido en horas) que represente la distancia entre el avi´on y la antena, desde el momento en que el avi´on comienza a elevarse. b) Exprese la funci´on anterior si la distancia se midiera en metros y el tiempo en segundos. 19.- Encontrar los valores de a y c a partir de la siguiente figura

5 20.- Si tan(α) = − con α ∈]π, 2π[, determine el valor de csc(α). 6 21.- Determine si las funciones tan(x), cot(x), sec(x) y csc(x) son funciones pares o impares. 22.- Encontrar el valor de

csc(300◦ ) − sec(240◦ ) tan(135◦ ) + cot(330◦ )

23.- Encontrar el valor de 

           37π 41π 71π 25π 19π 44π sen , cos , tan , cot , sec y csc 3 4 3 6 4 3

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Gu´ıa 8 (Trigonometr´ıa) Fundamentos de Matem´atica 1er Semestre de 2015 24.- Demostrar que a) cot

π 2


− x cot(x) = 1

b) cos(π − x) = cos(π + x) = − cos(−x) c) (cos(x) + sen(x))2 sec(x) = sec(x) + 2sen(x) 25.- Seg´ un el siguiente tri´angulo, encontrar en t´erminos de a, b, c las expresiones 1 − sen(x) 1 − cos(x) b) sen(x) − cos(x) c) tan(2x) a)

26.- Considerando

el

siguiente

tri´angulo √ 3 rect´angulo y ademas que sen(α) = 2 y el lado AC mide 10. ¿Cu´anto mide el lado AB?

2 27.- Encontrar el valor de csc(α) si se sabe que cos(α) = − y tan(α) < 0. 7   1 + csc(α) 9 sen(2α) 28.- Si sec(α) = y α est´a en el cuarto cuadrante, calcular el valor de 7 cot(α) − 2 2 29.- Si α pertenece al segundo cuadrante y cot(α) = − , encontrar el valor de 3 a) sen3 (α) b) sec(α) 30.- Si csc2 (α) = 3, encontrar el valor de A = 1 + cos2 (α) π  π  31.- Determinar el valor de sen + 8π − tan − 5π 2 3  π 32.- Graficar la funci´on definida por f (x) = 2 cos x + 6 7

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Ejercicio de aplicaci´ on 33.- Una pantalla de cine de 5 m de alto est´a adosada a una pared vertical de manera que su borde inferior est´a a 1 m por encima del nivel de los ojos del observador

Considerando los dos a´ngulos presentes en el problema a) Encontrar el a´ngulo β en funci´on de x, donde x es la distancia entre la pantalla y el observador. b) ¿A qu´e distancia de la pantalla deber´ıa estar el observador, para que el a´ngulo β sea m´aximo?

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Gu´ıa 8 (Trigonometr´ıa) Fundamentos de Matem´atica 1er Semestre de 2015

Algunas soluciones Soluci´ on ejercicio 33 De la figura se puede observar la existencia de 2 a´ngulos como se muestra en la figura. De esta manera, tenemos que tan(α) = Usando la identidad tan(x − y) =

1 x

y

tan(α + β) =

6 x

tan(x) − tan(y) tenemos que 1 + tan(x) tan(y)

tan(β) = tan((α + β) − α) tan(α + β) − tan(α) = 1 + tan(α + β) tan(α) 1 6 x − x = 1 + x62 5x = 2 x +6 Luego, tan(β) =

5x x2 + 6 

β = arctan Graficando β(x) = arctan

5x

5x x2 + 6

/ arctan( ) 




x2 +6

tenemos que el m´aximo valor que alcanza el ´angulo β, es cuando el observador est´a a x = 2.44949 metros de la pantalla y tendr´a un valor de β(2.44949) ≈ 0.7956radianes el cual e equivalente a 45.5845◦ . 9