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• Danitza Ariza

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS

A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. 1.

De acuerdo con la definición de derivada de una función

f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Ejercicio Estudiante 1

f ( x )=3 x 2 +5 x

Usando la definición de derivada: tenemos que:

f ( x +h )−f ( x ) =lim ¿h → 0 3∗¿ ¿ ¿ ¿ h 3 x 2 +9 xh+2 h2 +5 x+5 h−3 x2 −5 x 9 xh+2 h2+ 5 h ¿ lim ¿h →0 =lim ¿h → 0 ¿¿ h h f ´ ( x )=lim ¿h → 0

¿ lim ¿h →0

h∗(9 x+ 2h+5) =lim ¿h → 0 9 x +2 h+5=9 x +5 ¿ ¿ h

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

Ejercicio Estudiante 1 2.

d [3 ( 1−x ) √ x ] dx

3

f ( x )=( √ x)(1−x )

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¿ 3.

d [(1−x ) √ x ] dx

d [ 1−x ] . √ x+ ( 1−x ) . d [ √ x ] ) dx dx

3( 3¿

¿ 3( ( 0−1 ) √ x + ¿ 3( ¿3

1−x ) 2√ x

1−x −√ x) 2 √x

(1−x ) −3 √ x 2 √x

Simplifica

−9 x−3 2√x Ejercicio Estudiante 1 3. Se parte de la regla del cociente y se identifica las subfunciones. Aquí aplicamos la regla de cociente por la cual:

f ( x )=

1−x √ x+3

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Reemplazando por las funciones tenemos: 1 ( 1−x )−( √ x +3 ) .1 x 1 2 x+3 f ' ( x )= √ ¿¿ Aplicando distribución:

1 f ' ( x )= +3 ¿ ¿ 2 3

1

3

1 1 + 3 x 2 − x 2 −1 x 2 +1 x1 2 2 f ' ( x )= ¿¿ Operando queda 3

1

3

1

−3 2 1 2 1 1 x − x + x 2 2 2 ' f ( x )= ¿¿ −3 2 1 2 1 1 x − x + x 2 2 2 ' f ( x )= 2¿ ¿

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¿

4 x 2 √ x−3 x 3−1 2√ x ¿¿

4. Ejercicio Estudiante 1

1.

2x

f ( x )=( 5 x +1 ) . x

4

Se parte de la regla de las leyes de los exponentes para reacomodar la función:

a b=e 1 na por lo tanto :f ( x )=¿ 2.

Se aplica la regla de las leyes de los exponentes para reacomodar la función:

f ( u )=e u ; u=2 x 1 n (5 x +1 ) . x 4 La regla de la cadena nos dice:

df ( x) df (u) du = dx du dx Donde:

df (u) d (e u) u = =e du du 5 4 du d 4 4 5x .4 x = [ 2 x 1 n (5 x +1 ) . x ]=2[1n ( 5 x+ 1 ) . x + ] dx dx 5 x +1

Nota1: en este cálculo se utilizó la regla del producto que se presentó en el mensaje anterior y la regla para derivar un término algorítmico.

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3.

Se remplaza y se simplifica

df ( x ) u 5 x5 . 4 x4 ¿ e .2[1n ( 5 x+ 1 )+ ] dx 5 x+ 1 df ( x ) 2 x1 n ¿¿ ¿e dx df ( x ) 5 x5 . 4 x 4 2 1 n ( 5 x+1 ) + ¿ dx 5 x+1

[

]

Nota2: en este último paso se utilizó de nuevo la ley de los exponentes descrita a principio de esta guía. RESULTADO:

df ( x) 5 x5 . 4 x 4 =2 1 n ( 5 x+1 ) + ¿ dx 5 x+1

[

5.

]

Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. Ejercicio Estudiante 1

2

√ xy−x y =1

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d [ √ yx− y x2 ] dx ¿

d [ √ yx ] − y . d [ x 2 ] dx dx

1 ¿ ¿ 2 d [ x] dx ¿ − y .2 x 2 √ yx y.

¿

y .1 − y .2 x 2 √ yx

¿

y −2 yx 2 √ yx

Se procede realizar las derivadas que se indican.

6.

Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Ejercicio Estudiante 1

d2 ( 3x 3x e + √ 2+ 1 )=9 e 2 dx

3x

2

f ( x )=e + √ x + 1

Derivada de orden superior ''

f (x )=?

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d 3x ( e + √ 2+1 ) dx d 3x ( e + √ 2+1 )=3 e 3 x dx d (3 e 3 x ) dx d ( 3 e 3 x )=9 e3 x dx ¿ 9 e3 x

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra).

Estudiante 1

a.

f ( x )=5 x 2−3 x d [ 5 x2 −3 x ] dx ¿ 5.

d 2 [ x ]−3. d [ x ] dx dx

¿ 5.2 x −3.1

a.

f ( x )=5 x 2−3 x

b.

f ( x )=2 cos x +1

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¿ 10 x−3

b. f ( x )=2 cos x +1

d ¿ dx ¿ 2.

d d cos ( x ) ]+ [1] [ dx dx

¿ 2 (−sin ( x ) )+ 0 ¿−2 sin ⁡( x)

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3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Problemas

Asignación

Estudiante 1

A

Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función

¿ ¿

1 1 f ( x )= x 3 + x 2−6 x 3 2

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¿ 1 1 + −6 x 23 22 1 1 ¿ + −6 x 8 4 ¿

Punto de inflexión (o,6)

B Calcular la velocidad de un objeto en caída libre a los 2 segundos, si la función de posición es:

1 16 1 s ( t ) =16 t(t + ) 16

(

s ( t ) =16 t t+

)

A los dos segundos el objeto está en la posición.

(

s ( 2 )=16 ( 2 ) 2+

1 33 =32 =66 m/s 16 16

) ( )

donde s está dado en m y t en segundos. Encuentre también la aceleración para los tiempos t=2s y t=4s

distancia 66 = =33 m/ s tiempo 2 velocidad 33 aceleracion= = m/ s4 tiempo 2 velocidad=

T=4s

distancia 66 = =16 m/ s tiempo 4 velocidad 16 aceleracion= = m/ s4 tiempo 4 velocidad=

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