• Author / Uploaded
• Dental Studio

Citation preview

Ejercicios: Sólidos de revolución En cada uno de los siguientes ejercicios, decida cuál de los métodos estudiados para el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución es el más apropiado. En los casos donde sea posible, resuelva el problema utilizando distintos métodos (mediante discos, arandelas o capas cilíndricas) y compare sus respuestas. 1. Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar la región sombreada alrededor del eje indicado.

Respuestas:

38 9 , 2 15

y 9 . 2

2. Encuentra el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje x. p a) y D 25 x 2 , y D 3. Resp. 256 3 b) y D sen x, y D cos x, x D 0, x D c) x D .y

 . 4

1/2 , x D y C 1.

Resp.

d) y D e x , y D 0, x D 0, x D ln 3.

 2 27 2

Resp.

Resp. 4

e) y D ln x, y D 0, x D 1, x D e.

Resp. .e

2/

3. Encuentra el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje y. a) y D x 2 , x D y 2 . b) x D y 2 , x D y C 2. c) x D .y d) x D 1

Resp.

1/2 , x D y C 1. y2, x D 2 C y2, y D

e) y D ln x, x D 0, y D 0, y D 1.

3 10 72 5 72 5

Resp.

Resp. 1, y D 1.

Resp. 10 Resp. 2 .e 2

1/

2

4. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas y D x 2 C 1, y D 0, x D 0 y x D 1 alrededor del eje y. Resp. 3 2 5. Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar la región acotada por la curp va y D x y las rectas y D 0, x D 9 alrededor de la recta x D 9. Resp.

648 5

6. Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar la región del problema anterior alrededor de la recta y D 3. Resp.

135 2

7. Encuentre el volumen del sólido que se obtiene cuando la región acotada por p y D x, x D 1, x D 4 y el eje x gira alrededor del eje y. Resp. 124 5 8. Halle el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje y de la región limitada por y D sen x, y D 0, con 0  x  . Resp. 2 2 9. Encuentre el volumen del sólido generado por la región acotada por y D x 3 , y D x al girar alrededor de la recta x D 2. Resp. 2 10. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región debajo de y D x 2 en el intervalo Œ0; 2 alrededor de la recta y D 1. Resp. 176 15 11. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de y D x 3 C x C 1, y D 1, y x D 1 alrededor de la recta x D 2. Resp.

29 15

12. Plantee, pero no evalúe, una integral para el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor de la recta que se indica. (a) y D ln x, y D 1 y x D 1 alrededor de y D (b) y D

x 2 C 4x

1.

3 e y D 0 alrededor de x D 4.

(c) y D x 2 e y D x 3 alrededor de x D 1. (d) y D cos x, y D 0, x D 0 y x D 2 alrededor de y D 1.
alrededor de x D 1. (e) y D x 4 e y D sen x 2 (f) y D sen x, y D 0, x D 2 y x D 3 alrededor del eje y. p (g) y D x, x D 0 y x D 4 alrededor de y D 4. p (h) y D 3 x y x D 4y alrededor de x D 9. p (i) y D 3 x y x D 4y alrededor de y D 3. p (j) y D x e y D x 2 alrededor de y D 2. 13. Algunos de los iniciadores del cálculo, como Kepler o Newton, se inspiraron en el problema de determinar volúmenes de barriles de vino. (De hecho, Kepler publicó un libro Stereometria doliorum en 1615, en el que se tratan los métodos para determinar volúmenes de los barriles). A menudo se aproximan la forma de sus lados mediante parábolas.

3

(a) Se genera un barril de altura h y radio máximo R al girar alrededor del eje x la parábola y D R cx 2 , con h2  x  h2 , donde c es una constante positiva. Demuestre que el radio de cada extremo del barril es r D R d , donde d D ch2 =4. (b) Demuestre que el volumen encerrado por el barril es   h 2 2 2 2 V D 2R C r d 3 5 14. La figura 1 muestra una pirámide cuya base es un cuadrado con lado L y cuya altura es h. Utilice el método de secciones transversales para mostrar que su volumen es L2 h V D 3

Figura 1: Pirámide de base cuadrada

15. Utilizando el método de secciones transversales, muestre que el volumen de un cono circular recto de altura h y con base de radio r es V D

1 2 r h 3

16. Un cono truncado de un cono circular tiene una altura h y un volumen V . Su base es un disco circular con radio R y su parte superior un disco con radio r (Figura 2). Demuestre que su volumen está dado por V D

Figura 2: Cono truncado

1 h.r 2 C rR C R2 / 3

17. La figura 3 muestra un segmento esférico con altura h que se corta de una esfera de radio r con un plano horizontal. Mediante el método de secciones transversales, muestre que este volumen es V D

1 2 h .3r 3

h/ Figura 3: Casquete de una esfera

18. En la figura 4 se observa un tronco de pirámide con base cuadrada de lado b, lado a del cuadrado superior y una altura h. Utilice el método de secciones transversales para demostrar que V D

1 2 .a C ab C b 2 /h 3

19. Determine la longitud exacta de las curvas dadas en los problemas del 7 al 18 del libro base, sección 8.1, página 543. Figura 4: Tronco de pirámide