• Author / Uploaded
• Adrian Arturo Mendoza Inciarte

Citation preview

EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE COMPLEJA. 1. Calcular la integral :

Solución: El método general para este tipo de integrales es estudiar la función de variable compleja (log z) 2/(z4 + 1) , con lo que tendremos :

y las raíces del denominador son :

En general, para obtener las raíces de za , con a = l/n , tenemos :

y esto nos da en nuestro caso :

Por lo que, considerando que los polos son todos simples, tendremos para los residuos :

El último paso se explica como sigue (por ejemplo, para

):

Sustituyendo cada zk en la expresión obtenida y llevando a la integral, tenemos :

2. Resolver la integral :

Solución: Vamos a estudiar la función

sobre el circuito adjunto con lo que tendremos:

y la integral es nula por no haber ningún polo de f(z) en el circuito. Continuando resulta:

Y tenemos: en BC.- z = R+i.y , con O < y < a , dz = i.dy :

Y la última expresión tiende a cero cuando R tiende a infinito. Aná1ogamente resulta para la última de las integrales, con lo que nos queda, para la tercera : en CD.- z = x + i.a , x en el intervalo (R,-R) :

De ese modo, finalmente :

siendo la integral una que aparece en el estudio de la función Gamma de Euler. Por otro lado , para la función de variable real que estamos estudiando, tenemos :

Pero el primer integrando es una función par que nos permite continuar la igualdad en la forma :

con lo que finalmente resulta :

3. Resolver las integrales de Fresnel :

Solución: Tomaremos como función a estudiar , y como circuito el representado en la figura adjunta. Aplicando el teorema de los residuos, y considerando que no hay ningún cero en el recinto, tenemos:

Para la segunda integral tenemos :

Y esto resulta de que en AB :

Nos queda calcular la última de las integrales, para la que tenemos:

En consecuencia :

donde nos aparece la integral de Euler, vista en otros problemas. Continuando nos queda :

4. Sea f(z) una función analítica en un dominio D, y sea C el contorno de dicho dominio. Si z1,… , zk son polos exteriores, se demuestra que podemos escribir:

donde el símbolo indica que la integral se hace en sentido negativo. Teniendo en cuenta lo anterior podemos escribir:

y tenemos : Si z = es cero de primer orden, entonces : Res(f, ) = -Lím z.f(z) (cuando z Si z = es cero de orden > , entonces : Res(f, ) = 0 Si z = es polo de orden n, entonces : Res(f, ) = - Res[(1/z2 ).f(z) , 0] Como aplicación a estos conceptos calcúlese la integral:

Solución: Primero calculamos la integral por medio de los residuos interiores. Para ello :

Tenemos 4 ceros simples cuyos residuos valen :

Y, por tanto:

Si desarrollamos la integral por los residuos exteriores tendremos :

)

En este caso no hay ningún polo exterior al circuito, por lo que . Además, el residuo en el infinito también es cero, por ser éste un cero de orden 3. Así, pues, tendremos que la última integral nos da un valor nulo como era de esperar teniendo en cuenta el resultado anterior.

5. Se demuestra en teoría que si una función es analítica, la suma de todos sus residuos, comprendido el del infinito, es cero. Aplicar lo dicho al cálculo de la integral :

Solución: Si elegimos los residuos interiores, el proceso resulta difícil, pues necesitamos obtener el residuo de un polo de orden 4 y tendríamos que derivar hasta el 4º orden. Si lo hacemos por los residuos exteriores tenemos que el infinito es un cero de orden 7 y, por tanto, su residuo es cero. Tendremos entonces:

y cada uno de los residuos vale :

Con lo que tendremos :