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Ejercicios Resueltos Tema 11. Transformadores Electrotecnia (Universidade de Vigo)
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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS
TEMA 11. TRANSFORMADORES 11.1.- Un transformador monofásico de 600/380 V y Sn =5000VA, tiene una Zcc del 7% con un cosϕ de 0.5. Determinar la tensión con que se debería alimentar al primario para que el secundario alimente a tensión e intensidad nominales una carga que presenta un cosϕ de 0.8 inductivo. Se desprecia el efecto de la rama de vacío. Se representa el circuito equivalente sin considerar la rama de vacío ZP
ZS UC carga
UP
a:1
UP: tensión de alimentación primaria ZP: impedancia de cortocircuito del primario ZS: impedancia de cortocircuito del secundario US: tensión secundaria en la carga Por lo general la impedancia de cortocircuito se representa bien en el primario o en el secundario ZCCS
ZCCP
UP
UC carga
U’C
UP
US
a:1
a:1
ZCCP: impedancia de cortocircuito vista en el primario ZCCS: impedancia de cortocircuito vista en el secundario U’C: tensión en la carga vista en el primario US: tensión de la alimentación vista en el secundario Se utiliza el circuito equivalente indicado a continuación ZCCS
IP
UP
US
IS UC carga
a:1
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UC carga
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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS Lo que se quiere es determinar el valor de UP para que la tensión en la carga UC sea la nominal cuando la carga es tal que la corriente IS (y también la IP) es la nominal La ecuación fasorial U S = I S ⋅ Z CCS + U C
Donde: ZCCS =
0 ,07 ⋅ 380 2 = 2 ,0216 Ω con ϕCC = arccos 0 ,5 = 60º 5000 Z CCS = 2 ,0216 ∠60
El valor de IS es la corriente nominal IS =
5000 = 13 ,1579 A 380
La ecuación fasorial es: US ∠α = 13 ,1579 ∠β ⋅ 2 ,0216 ∠60 + 380 ∠γ En la ecuación anterior son incógnitas US, α, β, y γ y se necesita reducir a solo dos incógnitas que son las que se pueden obtener descomponiendo la ecuación compleja en su parte real e imaginaria. Si se toma la tensión en la carga como fasor de referencia US = 380∠0 entonces γ = 0 ya no es incógnita y como además la carga presenta un factor de potencia 0,8 inductivo eso quiere decir que la corriente retrasa 36,87º respecto a la tensión y entonces β tampoco es incógnita ya que sería β = -36,87º U S ∠α = 13 ,1579 ∠ − 36 ,87 ⋅ 2 ,0216 ∠60 + 380 ∠0 U S ∠α = 26 ,6 ∠23 ,13 + 380 ∠0
Descomponiendo en parte real e imaginaria se obtiene U S ⋅ cos α = 24 ,461784 + 380 = 404 ,46178 U S ⋅ senα = 10 ,448977 Elevando al cuadrado y sumando se elimina la incógnita α y se obtiene US = 404,596 V (También se puede dividir una por otra con lo que se elimina US y se determina
α) Esa es la tensión de alimentación primaria vista desde el secundario del transformador ideal del circuito equivalente y para ello la tensión de alimentación primaria debe de ser: U P = 404 ,596
600 = 638 ,83V 380
Alimentando con esa tensión al primario se compensa la caída de tensión que produce en la impedancia de cortocircuito del transformador el paso de la corriente y con ello la tensión en la carga es de 380 V. 11.2.- Un transformador monofásico de 380/220V y Sn = 3000 VA tiene una Zcc del 5% con un cosϕ de 0.4. Determinar la tensión secundaria cuando se alimenta el primario a 380 V sabiendo que la carga conectada toma 2/3 de la intensidad nominal del transformador y que tiene un cosϕ de 0.8 capacitivo. Se desprecia el efecto de la rama de vacío.
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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS Se utiliza el circuito equivalente indicado a continuación ZCCS
IP
UP
US
IS UC carga
a:1
Lo que se quiere es determinar el valor de UC cuando la corriente es 2/3 de la nominal y la carga presenta un cosϕ = 0,8 capacitivo La ecuación fasorial U S = I S ⋅ Z CCS + U C
Donde 0 ,05 ⋅ 220 2 ∠66 ,4218 = 0 ,80666 ∠66 ,4218 3000 2 3000 El valor de IS es 2/3 la corriente nominal I S = ⋅ = 9 ,0909 A 3 220 Z CCS =
La ecuación fasorial es: 220 ∠α = 9 ,0909 ∠β ⋅ 0 ,8066 ∠66 ,4218 + U C ∠γ
Tomando UC como fasor de referencia (γ = 0) el valor de β queda definido ya que la corriente adelanta 36,87º respecto de la tensión en la carga 220 ∠α = 9 ,0909 ∠36 ,87 ⋅ 0 ,8066 ∠66 ,4218 + U C ∠0 220 ∠α = 7 ,3333 ∠103 ,2918 + U C ∠0
Quedan como incógnitas α y UC , descomponiendo la ecuación compleja en su parte real e imaginaria 220 ⋅ cos α = −1,68601 + U C 220 ⋅ senα = 7 ,1368 ⇒ α = 1,859 220 ⋅ cos 1,859 = −1,68601 + U C ⇒ U C = 221,57V
11.3.- Un transformador monofásico de 50 kVA, rt=1000/500 V, tiene una Zcc del 5% con un argumento de 60º. Determinar la impedancia de carga que hay que conectar en el secundario para que alimentando el primario a la tensión nominal, el transformador tome de la red la intensidad nominal primaria y ésta sea totalmente resistiva. ZCCS
IP
UP
US
IS UC
Zcarga
a:1
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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS Se quiere determinar la impedancia de carga para que IP sea la nominal primaria y presente un cosϕ = 1 respecto a UP Eso es equivalente a que IS sea la nominal secundaria y presente un cosϕ unidad respecto a US o bien que la impedancia total vista desde US sea una resistencia pura y de un valor que es el cociente entre tensión nominal secundaria e intensidad nominal secundaria Tomando US como fasor de referencia la IS es IS =
50000 kVA = 100 A ⇒ I S = 100 ∠0 500V
La impedancia vista es: Z =
500 ∠0 = 5 ∠0 100 ∠0
Esa impedancia es la suma de la impedancia de cortocircuito vista en el secundario más la de carga buscada Z = 5 ∠0 = Z CCS + Z c arg a 500 2 ∠60 = 0 ,25 ∠60 = 0 ,125 + j 0 ,2165063 50000 Z c arg a = 5 − ( 0 ,125 + j 0 ,2165063 ) = 4 ,8798 ∠ − 2 ,5429
Z CCS = 0 ,05
11.4.- Un transformador monofásico de 500/200 V y Sn = 10 kVA, tiene una impedancia de cortocircuito del 7.5% con tgϕcc=1. Con el primario alimentado a la tensión nominal, el secundario alimenta una carga inductiva (ϕ=45) que toma del transformador la intensidad nominal secundaria. Determinar la potencia consumida en la carga. El circuito equivalente ZCCS
IP
UP
US
IS UC
Zcarga
ϕ = 45º (i)
a:1
La ecuación fasorial desde el secundario U S = I S ⋅ Z CCS + U C
Donde ZCCS = 0 ,075 ⋅
200 2 ∠45 = 0 ,3 ∠45 10000
Tomando como fasor de referencia la tensión en la carga la corriente retrasa 45º y su módulo es la corriente nominal del transformador I S =
10000 ∠ − 45 = 50 ∠ − 45 200
200 ∠α = 50 ∠ − 45 ⋅ 0 ,3 ∠45 + UC ∠0
Descomponiendo en parte real e imaginaria
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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS 200 cos α = 15 + U C 200 sen α = 0 ⇒ α = 0
U C = 185V
La potencia en la carga: Pc arg a = 185 ⋅ 50 ⋅ cos 45 = 6540 ,73W
11.5.- Un transformador trifásico Dy5 de potencia aparente Sn=100⋅√3 kVA y rt = 20000/400 V, tiene una intensidad de cortocircuito secundaria, estando el primario alimentado a la tensión nominal, de 5000 A. Determinar la tensión de cortocircuito en % y la impedancia de cortocircuito en Ω referida al primario. El ensayo de cortocircuito se realiza aplicando una tensión reducida a un lado del transformador estando el otro en cortocircuito de forma que circule la intensidad nominal, la tensión aplicada es la tensión de cortocircuito y se expresa en % respecto a la nominal (ECC), por tanto si en vez de la tensión de cortocircuito ECC lo que hay aplicada es el 100% de la tensión nominal la corriente será mayor que la nominal, esa es la corriente de (defecto) cortocircuito, la relación entre ambas es la que corresponde a una sencilla regla de tres (proporcionalidad) ICC =
U nom ⋅ I nom ECC
En este caso la corriente nominal secundaria es Inom(sec) =
ICC = 5000 =
100000 ⋅ 3 3 ⋅ 400
= 250 A
U nom U U ⋅ Inom = nom ⋅ 250 ⇒ nom = 20 ECC ECC ECC
U nom 5 = 20 ⇒ ECC = ⋅ U nom ⇒ ECC = 5% ECC 100
La impedancia de cortocircuito expresada en % coincide con el valor de la tensión de cortocircuito también en %, por tanto el transformador presenta una impedancia de cortocircuito del 5% y vista desde el primario el valor absoluto en Ω es ZCC(1º ,Y ) = 0 ,05
20000 2 100000 ⋅ 3
= 115 ,47 Ω
El valor determinado es la impedancia de cortocircuito del equivalente en estrella del transformador, el cual tiene realmente sus devanados primarios conectados en triángulo, por tanto si se desea calcular la impedancia que presenta cada devanado lo que hay que hacer es determinar el equivalente en triángulo de la impedancia anterior, es decir tres veces el valor calculado ZCC(1º ,Δ ) = 3 ⋅115 ,47 Ω = 364 ,41Ω
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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS 11.6.- De un transformador trifásico de Sn = 100 kVA, Dy11 y rt = 20000/400 V se conocen los siguientes datos: Tensión de cortocircuito: 5% Resistencia primaria: 60 Ω/fase Resistencia secundaria: 0.02Ω/fase Determinar la impedancia de cortocircuito en módulo y argumento vista desde el lado secundario (se desprecia el efecto de la rama de vacío). Este ejercicio (y algún otro) se resolverá de dos formas que conducen a los mismos resultados, cada uno puede escoger el procedimiento que le resulte más sencillo o comprensible 1º. Por reducción a un transformador equivalente estrella – estrella Independientemente de cómo esté construido el transformador trifásico (en este caso Dy11) se puede considerar un transformador Y-y equivalente lo que significa que ese transformador tiene las mismas características y va a producir los mismos efectos que el original. D-y 11
Y-y 0
A B
n
C
a
A
b
B
c
C
100kVA 20000/400 V
a n
b c
100kVA 20000/400 V
Del transformador equivalente Y-y se estudia una fase (equivalente monofásico) porque las otras tendrán los mismos valores de tensión e intensidad solo que sus fasores están desfasados 120º. Y-y 0 a
A B
b
n
c
C
100kVA 20000/400 V
ZCCS
ZCCP
UP
UC
U’C
20000/400
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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS En este ejercicio se dice que la resistencia por fase (o devanado) del primario es de 60Ω, los devanados primarios están conectados entre sí en triángulo por tanto se pueden transformar en su equivalente en estrella, al ser las resistencias iguales los equivalentes en estrella son la tercera parte, esto es 20Ω La parte de la impedancia de cortocircuito representada en el primario se puede pasar al secundario (dividiendo por rt2) siendo en este caso rt = 20000/400 dado que el transformador equivalente en estrella mantiene las mismas características que el original en triángulo ZCC(2º,Y)
UP
Z’CCP ZCCS
ZCCS
ZCCP
UP
UC
U’C
US
UC
20000/400V
20000/400V
La impedancia del equivalente en estrella del primario se pasa al secundario con lo cual la resistencia vista en el secundario es 60 R' eq ,sec =
( 20000
3 400
)2
= 0 ,008 Ω
Esa resistencia queda en serie con la del devanado secundario, cuyo valor es de 0,02Ω por tanto la resistencia de cortocircuito total vista en el secundario es RCC ,sec = 0 ,008 + 0 ,02 = 0 ,028 Ω
Como se pide calcular la impedancia de cortocircuito vista desde el secundario y se dice que la tensión de cortocircuito es del 5% se tiene entonces Z CC( 2 º ,Y ) = 0 ,05
400 2 = 0 ,08 ∠ϕ = 0 ,08 ⋅ cos ϕ + j 0 ,08 ⋅ senϕ 100000
RCC ,sec = 0 ,028 = 0 ,08 ⋅ cos ϕ ⇒ ϕ = 69 ,512
Z CC( 2º ,Y ) = 0 ,08 ∠69,51
2º. Resolución por fase (o por devanado) Con este procedimiento lo que se considera es un transformador monofásico formado por un devanado primario y otro secundario arrollado sobre la misma columna magnética (o bien si son tres transformadores independientes el primario y secundario de uno de ellos)
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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS D-y 11 a 400V b
A 20kV B
n
c
C 100kVA 20000/400 V
Aquí es imprescindible considerar que la relación de tensiones entre los devanados no coincide con la relación de transformación trifásica del transformador. La tensión en las bobinas primarias por estar conectadas en triángulo es la compuesta (20000V) mientras que la tensión en las bobinas secundarias al estar conectadas en estrella es la simple (
400
V ), eso quiere decir que para pasar de un
3
devanado al otro no hay que considerar la relación de transformación trifásica (entre las tensiones de línea, 20000/400 V) sino la de tensiones entre bobinas r ' t =
20000 V 400 3
ZCC(2º,Y)
UP
Z’CCP ZCCS
ZCCS
ZCCP
UC
U’C
UP
US
20000/(400/√3)
UC
20000/(400/√3)
Con ello la resistencia por bobina del primario pasa al secundario dividida por el cuadrado de la anterior relación de transformación R' sec =
60 ( 20000 ⋅ 3
= 0 ,008 Ω 400
)
2
Esa resistencia queda en serie con la del devanado secundario, cuyo valor es de 0,02Ω por tanto la resistencia de cortocircuito total vista en el secundario es RCC ,sec = 0 ,008 + 0 ,02 = 0 ,028 Ω
Como se pide calcular la impedancia de cortocircuito vista desde el secundario y se dice que la tensión de cortocircuito es del 5% se tiene entonces Z CC( 2 º ,Y ) = 0 ,05
400 2 = 0 ,08 ∠ϕ = 0 ,08 ⋅ cos ϕ + j 0 ,08 ⋅ senϕ 100000
RCC ,sec = 0 ,028 = 0 ,08 ⋅ cos ϕ ⇒ ϕ = 69 ,512
Z CC( 2º ,Y ) = 0 ,08 ∠69,51
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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS 11.7.- Un transformador trifásico Yd7 de 15000/380 y 100 kVA tiene una Zcc = 6% con tgϕcc = 1. Con el primario alimentado a la tensión nominal, el secundario alimenta una carga inductiva trifásica equilibrada cuyo argumento es de 60º, la cual toma del transformador la intensidad nominal secundaria. Determinar la tensión de línea en bornes de la carga. 1º. Por reducción a un transformador equivalente estrella – estrella Independientemente de la constitución real del transformador se considera un transformador Y-y equivalente y de este se estudia solamente una fase El circuito equivalente monofásico en estrella ZCCS(Y) IS(L)
IP(L)
UP(S)
US(S)
UC(S)
Zcarga
ϕ = 60º (i)
15000/380V
Z CCS( Y ) = 0 ,06 ⋅
380 2 ∠45 = 0 ,08664 ∠45 100000
Tomando la tensión en la carga como fasor de referencia, la intensidad retrasa 60º respecto de esa tensión y su módulo es la corriente nominal I S( L ) =
380 3
100000 3 ⋅ 380
∠ − 60 = 151,9342 ∠ − 60
∠α = 151,9342 ∠ − 60 ⋅ 0 ,08664 ∠45 + U C( S ) ∠0 380 3
∠α = 13 ,1635 ∠ − 15 + U C( S ) ∠0
Tomando parte real e imaginaria 380 3 380 3
⋅ cos α = 12 ,715 + U C( S )
⋅ senα = −3 ,406985 ⇒ α = −0 ,88978
UC( S ) = 206 ,651V
La anterior es la tensión simple, la de línea será UC( L ) = 206 ,651 ⋅ 3 = 357 ,93V
2º. Resolución por fase (o por devanado) En este caso hay que tener en cuenta lo siguiente: La tensión en cada bobina primaria es la simple y la corriente es de línea La tensión en cada bobina secundaria es de línea y la corriente es de fase
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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS El circuito equivalente monofásico conviene representarlo inicialmente desde el primario ya que esta parte es la conectada en estrella y permite calcular directamente la impedancia de cortocircuito IP(L) ZCCP(Y)
IS(F)
UP(S)
US(L)
UC(L)
Zcarga
ϕ = 60º (i)
(15000/√3)/380V
Z CCP ( Y ) = 0 ,06 ⋅
15000 2 ∠45 = 135 ∠45 100000
Para pasar la impedancia calculada al lado secundario (en triángulo) hay dividirla por el cuadrado de la relación de transformación entre bobinas 15000 3 380
= 22 ,790142 ZCCS(Δ) IS(F)
IP(L)
UP(S)
US(L)
UC(L)
Zcarga
ϕ = 60º (i)
(15000/√3)/380V
Z CCS ( Δ ) =
135 22 ,790142 2
∠45 = 0 ,25992 ∠45
Tomando la tensión (de línea) en la carga como fasor de referencia, la intensidad retrasa 60º respecto de esa tensión y su módulo es la corriente nominal de fase en triángulo, es decir la nominal de línea dividida por √3 100000 I S( F ) =
3 ⋅ 380
∠ − 60 = 87 ,7192 ∠ − 60
3
La ecuación fasorial es: 380 ∠α = 87 ,7192 ∠ − 60 ⋅ 0 ,25992 ∠45 + U C( L ) ∠0 380 ∠α = 22 ,7999 ∠ − 15 + UC( L ) ∠0
Tomando parte real e imaginaria 380 ⋅ cos α = 22 ,023 + UC( L ) 380 ⋅ senα = −5 ,90106 ⇒ α = −0 ,8897 UC( L ) = 357 ,93V
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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS 11.8.- En un transformador trifásico Dy5 15000/400 V, Sn=200 kVA con el secundario en cortocircuito es necesario aplicar una tensión compuesta de 1500 V al primario para que circule la intensidad nominal secundaria. Asimismo, midiendo con corriente continua desde el primario, la resistencia que presenta el transformador entre dos líneas se obtiene un lectura de 19.68 Ω, y la resistencia por fase del secundario es 1 mΩ. Determinar la resistencia y reactancia de cortocircuito vista desde el primario que presenta el transformador. En este ejercicio no se da la resistencia por fase de las bobinas primarias sino la medida con corriente continua entre dos líneas del primario (conectado en triángulo), por tanto el dato es el indicado en la figura siguiente
Rmedida=19,68Ω
RF RF RF
Lo que se mide es la resistencia (con c.c. la inductancia de las bobinas es un cortocircuito) que presenta el conjunto que es la resistencia de una fase en paralelo con las otras dos en serie RF//2RF R medida = 19 ,68 =
RF ⋅ 2RF ⇒ R F = 29 ,52 Ω 3RF
Igual que en los ejercicios anteriores se plantea de dos formas 1º. Por el equivalente Y-y El equivalente en estrella del primario en triángulo presenta una resistencia igual a 1/3 de la determinada anteriormente RYP = 9,84Ω Las bobinas secundarias presentan una resistencia de 1mΩ por fase se pasan al primario multiplicando por el cuadrado de la relación de transformación R' = 0 ,001 ⋅ (
15000 2 ) = 1,40625 Ω 400
Las dos resistencias están en serie con lo cual se tiene R cc = 9 ,84 + 1,406 = 11,246 Ω La tensión de cortocircuito es de 1500V lo cual es un 10% de la tensión nominal primaria, eso quiere decir que tanto la tensión como la impedancia de cortocircuito es el 10% 15000 2 = 112 ,5 ∠ϕ = 112 ,5 ⋅ cos ϕ + j112 ,5 ⋅ senϕ 200000 RCC = 11,246 = 112 ,5 ⋅ senϕ ⇒ ϕ = 84 ,2628
Z CC = 0 ,1
X CC = 112 ,5 ⋅ sen84 ,2628 = 111,936 Ω
Estos valores son los del equivalente en estrella, para pasar al triángulo equivalente hay que multiplicarlos por tres
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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA EJERCICIOS RESUELTOS RCC = 3 ⋅ 11,246 = 33 ,738 Ω X CC = 3 ⋅ 111,936 = 335 ,808 Ω
2º Resolución por fase Considerando una bobina primaria y otra secundaria arrolladas sobre la misma columna magnética, la tensión primaria es de línea mientras que la secundaria es una tensión simple. La relación de transformación entre bobinas es la de sus tensiones rt =
15000 = 64 ,951905 400 3
La bobina secundaria de resistencia 1mΩ pasada al primario es vista con su resistencia multiplicada por el cuadrado de la relación anterior 0 ,001 ⋅ 64 ,951905 2 = 4 ,21Ω
Sumando esa a la que presenta la bobina primaria calculada al principio (29,52Ω) se obtiene la resistencia total vista en el primario dando RCC = 4 ,21 + 29 ,52 = 33 ,73 Ω La tensión aplicada en el ensayo de cortocircuito es de 1500V, un 10% de la nominal de línea primaria, esta es la corriente necesaria para que por las líneas del primario circule la corriente nominal primaria y también circulará por las bobinas del primario la corriente nominal de fase de cada una de ellas I nom( faseΔ ) =
200000
S1F U nom( L )
=
15000
3 = 4 ,4444 A
La impedancia de cortocircuito por fase vista en el primario es Z cc( FaseΔ ) = 0 ,1 ⋅
15000 ∠ϕ = 337 ,5 ∠ϕ 4 ,4444
RCC = 33 ,73 = 337 ,5 ⋅ cos ϕ ⇒ ϕ = 84 ,2642 X CC = 337 ,5 ⋅ senϕ = 335 ,81Ω
11.9.- En una fábrica de transformadores se tiene un transformador trifásico construido a base de 3 bobinas de A.T cuya tensión asignada es de 20000 V y la sección de las espiras es la adecuada para una corriente asignada de 10 A. Las 3 bobinas de B.T son de tensión asignada 400 V y la sección de las espiras es la adecuada para una corriente asignada de 500 A. Determinar para las siguientes conexiones las tensiones de línea primaria y secundaria a las que podría estar conectado ese transformador y la potencia trifásica que podría suministrar sin peligro de daño. Conexión Y-y Y-d D-y D-d
UL1ª 20000x√3 20000x√3 20000 20000
UL2ª 400x√3 400 400x√3 400
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S (trifásica) 3x20000x10 3x20000x10 3x20000x10 3x20000x10