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EJERCICIO TAMIZADO 1. El análisis por tamizado que presenta la tabla 28,1 corresponde a una muestra de cuarzo triturado. La densidad de las partículas es 2,650 Kg/m3 (0,00265 g/mm3), y los factores de forma son a=2 y Ф=0,571. Para el material con tamaño de partículas comprendido entre 4 y 200 mallas, calcule: a) Aw en milímetros cuadrados por gramo, y Nw en partículas por gramo. b) Dv c) Ds d) Dw e) Ni para el incremento 150/200 mallas. f) ¿Qué fracción del número total de partículas hay en el incremento 150/200 mallas? TABLA DE DATOS: MALLAS

4 6 8 10 14 20 28 35 48 65 100 150 200 Pan

SOLUCION

ABERTURA FRACCION DEL TAMIZ DE MASA Dpi (mm) RETENIDA, Xi 4,699 0,0000 3,327 0,0251 2,362 0,1250 1,651 0,3207 1,168 0,2570 0,833 0,1590 0,589 0,0538 0,417 0,0210 0,295 0,0102 0,208 0,0077 0,147 0,0058 0,104 0,0041 0,074 0,0031 -------0,0075

D MEDIO PARTICULASEN EL INCREME, Dpi, mm -------4,013 2,845 2,007 1,409 1,001 0,711 0,503 0,356 0,252 0,178 0,126 0,089 0,037

FRACCION ACUMULATIVA INFERIOR A Dpi 1,0000 0,9749 0,8499 0,5292 0,2722 0,1132 0,0594 0,0384 0,0282 0,0205 0,0147 0,0106 0,0075 0,0000

POR EL METODO DIFERENCIAL:

Dpi N° TAMIZ prom 4a6 4,013 6a8 2,8445 8 a 10 2,0065 10 a 14 1,4095 14 a 20 1,0005 20 a 28 0,711 28 a 35 0,503 35 a 48 0,356 48 a 65 0,2515 65 a 100 0,1775 100 a 150 0,1255 150 a 200 0,089

(Dpi prom)^3 64,6260302 23,01536222 8,078253775 2,800239907 1,00150075 0,359425431 0,127263527 0,045118016 0,015907941 0,005592359 0,001976656 0,000704969

Xi 0,0251 0,125 0,3207 0,257 0,159 0,0538 0,021 0,0102 0,0077 0,0058 0,0041 0,0031 0,0075

Sumatoria

Xi/Dpi prom 0,006254672 0,043944454 0,159830551 0,182334161 0,15892054 0,075668073 0,041749503 0,028651685 0,030616302 0,032676056 0,032669323 0,034831461

Xi x Dpi prom 0,1007263 0,3555625 0,64348455 0,3622415 0,1590795 0,0382518 0,010563 0,0036312 0,00193655 0,0010295 0,00051455 0,0002759

0,828146781 8,829557947 1,67729685

Primero hallamos el área total y la superficie especifica: 𝒏

𝟔∱ 𝑿𝒊 𝑨𝒘 = ∑ 𝝆𝒑 Ф 𝑫𝒑𝒊 𝒊=𝟏

𝑨𝒘 =

Xi/(Dpi prom)^3 0,000388388 0,005431155 0,039699174 0,091777851 0,158761738 0,149683343 0,165011928 0,226073771 0,48403499 1,037129342 2,074209788 4,39735648

𝟔 (𝟏) 𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟖𝟖𝟒𝒈 ( ) 𝟎,𝟓𝟕𝟏 ) 𝒎𝒎𝟑

×0,703192574

𝑨𝒘 = 𝟑𝟗𝟔𝟓, 𝟐 × (𝟎, 𝟖𝟐𝟖𝟏𝟒𝟕) 𝑨𝒘 = 𝟑𝟐𝟖𝟑, 𝟕𝟔𝟖

Para hallar la superficie especifica dividimos entre 1-Xi : 𝑨𝒘 =

Y tenemos que Xi=0,0075

𝟑𝟐𝟖𝟑, 𝟕𝟔𝟖 𝟏 − 𝑿𝒊

𝟑𝟐𝟖𝟑, 𝟕𝟔𝟖 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟓

𝑨𝒘 =

𝟑𝟐𝟖𝟑, 𝟕𝟔𝟖 = 𝟑𝟑𝟎𝟖, 𝟓𝟖 𝒎𝒎𝟐 /𝒔𝒆𝒈 𝟎, 𝟗𝟗𝟐𝟓

𝑨𝒘 =

Ahora hallamos Nw: 𝒏

𝟏 𝑿𝒊 𝑵𝒘 = ∑ ̅̅̅̅̅̅𝟑 𝝆𝒑 𝒂 𝑫 𝒑𝒊 𝒊=𝟏

𝑵𝒘 =

𝟏 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟔𝟓𝒈 ) (𝟐) 𝒎𝒎𝟑

× (𝟖, 𝟖𝟐𝟗𝟓𝟓𝟕𝟗𝟒𝟕)

(

𝑵𝒘 = 𝟏𝟖𝟖, 𝟔𝟕𝟗 × ( 𝟖, 𝟖𝟐𝟗𝟓𝟓𝟕𝟗𝟒𝟕)

𝑵𝒘 = 𝟏𝟔𝟔𝟓, 𝟗𝟓𝟐 Para hallar el Nw especifico dividimos entre 1-Xi : 𝑵𝒘 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒊𝒇𝒊𝒄𝒐 =

𝑵𝒘 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒊𝒇𝒊𝒄𝒐 =

𝟏𝟔𝟔𝟓, 𝟗𝟓𝟐 𝟏 − 𝑿𝒊

𝟏𝟔𝟔𝟓, 𝟗𝟓𝟐 𝟎, 𝟗𝟗𝟐𝟓

𝑵𝒘 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒊𝒇𝒊𝒄𝒐 = 𝟏𝟔𝟕𝟖, 𝟓𝟒 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒔/𝒈 Ahora hallamos Dv: 𝟏⁄ 𝟑

𝟏

̅̅̅̅ = 𝑫𝒗 [

∑𝒏𝒊=𝟏

𝑿𝒊 𝑫𝒑𝒊 𝟑 ]

𝟏 ̅̅̅̅ = [ 𝑫𝒗 ] (𝟖, 𝟖𝟐𝟗𝟓𝟓𝟕𝟗)

𝟏⁄ 𝟑

̅̅̅̅ 𝑫𝒗 = 𝟎, 𝟒𝟖𝟑𝟖𝟐 𝒎𝒎

Ahora hallamos el diámetro medio volumen de superficie:

̅̅̅̅̅̅ 𝑫𝒔𝒗 =

̅̅̅̅̅̅ 𝑫𝒔𝒗 =

𝟏 ∑𝒏𝒊=𝟏

𝑿𝒊 𝑫𝒑𝒊

𝟏 𝟎, 𝟖𝟐𝟖𝟏𝟒𝟕

̅̅̅̅̅̅ 𝑫𝒔𝒗 = 𝟏, 𝟐𝟎𝟕𝟓𝟏 𝒎𝒎

Hallamos el diámetro medio de masa: 𝒏

̅̅̅̅̅ 𝑫𝒘 = ∑ 𝑿𝒊 𝑫𝒑𝒊 𝒊=𝟏

̅̅̅̅̅ = 𝟏, 𝟔𝟕𝟕𝟐 𝒎𝒎 𝑫𝒘 Calculamos el número de partículas en el incremento 150/200 mallas: 𝑵𝒊 =

𝑵𝟏𝟓𝟎/𝟐𝟎𝟎 =

𝑵𝟏𝟓𝟎/𝟐𝟎𝟎 =

𝑿𝒊 𝟑

𝒂𝝆𝒑 ̅̅̅̅̅ 𝑫𝒑𝒊

𝑿𝟏𝟓𝟎/𝟐𝟎𝟎 𝟑

𝒂𝝆𝒑 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑫𝒑𝒊 𝟏𝟓𝟎/𝟐𝟎𝟎

𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟏 (𝟐)(𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟔𝟓)(𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟎𝟒𝟗𝟔)

𝑵𝟏𝟓𝟎/𝟐𝟎𝟎 = 𝟖𝟐𝟗, 𝟕𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒔/𝒈 Ahora hallamos la fracción del número total de partículas: 𝟖𝟐𝟗, 𝟕𝟎 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟒𝟗, 𝟖% 𝟏𝟔𝟔𝟓, 𝟗𝟓𝟐

Hallamos el diámetro medio aritmético: (Dpi Ni * Dpi prom)^3 Xi Ni prom 64,62603 0,0251 0,073281 0,294075966 23,015362 0,125 1,024746 2,91489065 8,0782538 0,3207 7,49041 15,02950794 2,8002399 0,257 17,31658 24,4077133 1,0015008 0,159 29,95504 29,97002249 0,3594254 0,0538 28,24214 20,08016165 0,1272635 0,021 31,13433 15,66056603 0,045118 0,0102 42,65543 15,18533252 0,0159079 0,0077 91,32736 22,96883018 0,0055924 0,0058 195,6848 34,73404872 0,0019767 0,0041 391,3603 49,11572233 0,000705 0,0031 829,6899 73,84240126 0,0075 Sumatoria 1665,954 304,203273 N° TAMIZ 4a6 6a8 8 a 10 10 a 14 14 a 20 20 a 28 28 a 35 35 a 48 48 a 65 65 a 100 100 a 150 150 a 200

̅̅̅̅ 𝑫𝑵 =

∑𝒏𝒊=𝟏 𝑵𝒊 𝑫𝒑𝒊 ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑵𝒊 𝑫𝒑𝒊 = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑵𝒊 𝑵𝒕

̅̅̅̅̅ 𝑫𝑵 =

𝟑𝟎𝟒, 𝟐𝟎𝟑𝟐𝟕𝟑 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟐𝟔 𝟏𝟔𝟔𝟓, 𝟗𝟓𝟒

2. Se desea triturar 17 ton/h de manera que el tamaño de la alimentacion tal que el 80% pase por un tamiz de 5 pulg y el producto a traves de 2 pulg calcular la potencia requerida, utilizando un indice de trabajo 15,89 para la hematita. Di=5 pulg= 0,417pie Df=2=pulg=0.17 pie 17 ton/h=0.283 ton/min P=1.46*m*(

1

-

1

)*wi

((Dpf)^0.5 (Dpi)^0.5)

P=1.46*m*( 1 1____)*15,89 ((0,17)^0.5 (0,417)^0.5) P=20,34 Hp

3. ¿Qué velocidad rotacional (RPM) de operación recomendaría usted, como ingeniero de proceso, para un molino de bolas con diámetro (D) de 1200 mm, cargado con bolas de diámetro (d) de 75 mm? La velocidad crítica del molino se calcula según: 𝟏 𝐠 𝑵𝒄 = [ ] 𝟐𝝅 (𝑹 − 𝒓)

𝟏⁄ 𝟐

[=](𝐑𝐏𝐌); donde: { 𝑅: Radio del Molino 𝑟: Radio de las bolas

Se determina el valor de la velocidad crítica del molino de acuerdo a las especificaciones proporcionadas en el enunciado:



Radio del molino: 𝑅=



D 1200 mm = = 600 mm = 0,6 m 2 2

Radio de las bolas: 𝑟=

d 75 mm = = 37,5 mm = 0,0375 m 2 2

Valor de la velocidad crítica del molino: 1 g 𝑁𝑐 = [ ] 2𝜋 (𝑅 − 𝑟)

1⁄ 2

1⁄ 2

1 9,8 m⁄s 2 = [ ] 2𝜋 (0,6 − 0,0375)m

𝑁𝑐 = 0,6643117072 s−1 ∗

= 0,6643117072s−1

60 s = 𝟑𝟗, 𝟖𝟓𝟖𝟕𝟎𝟐𝟒𝟑 𝐦𝐢𝐧−𝟏 (𝐑𝐏𝐌) 1 min

A partir de este cálculo realizado, la velocidad crítica que alcanza el molino es de 𝟑𝟗, 𝟖𝟓𝟖𝟕𝟎𝟐𝟒𝟑 𝐦𝐢𝐧−𝟏 (𝐑𝐏𝐌), es decir que a esta velocidad la carga junto con las bolas tiende a girar junto al molino, por consiguiente se anula la molienda completamente a causa de la fuerza centrífuga que anula la influencia la gravedad sobre las bolas (en otras palabras, no caen), y la potencia para girar el molino se reduce drásticamente. Realizando una breve explicación, el mecanismo de inducción de energía del molino produce dos tipos de fuerzas: de impacto y fricción; ambas generadas entre las bolas y las paredes del recipiente que las contiene como consecuencia de esa alta carga centrípeta y centrifuga que es proporcional a la velocidad de giro manipulada. Así, cada molino debe considerar una velocidad crítica rotacional para evitar que una elevada carga centrifuga y centrípeta evite que las bolas no se puedan deformar y fracturar. A continuación una tabla se observan las acciones del molino [Deslizamiento (Slinding), caída (Cascading) y acción fuerza

centrífuga(Centrifuging)] para distintos porcentajes de velocidad crítica:

Tabla 1: Efecto de la velocidad de rotación en la acción del molino. [Fuente tomada de: “Informe Final; ME56B: Taller de Diseño Mecánico Profesor: Alejandro Font F. Auxiliar: Ociel Gutiérrez G Alumnos: Juan Fco. Hinojosa E. José I. Seminario C. Santiago, 21 Julio. Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Mecánica.”

Los números 1, 2 y 3 indican el grado de ocurrencia en forma descendente, donde 1 significa que ocurre poco y 3 que ocurre de forma considerable. A partir de esta información, se aconsejan porcentajes de entre 70-80% de la velocidad crítica, para determinar una velocidad optima de trabajo del molino, aunque en otras literaturas, se aconseja una velocidad entre el 65 – 80% de la velocidad crítica de la maquinaría. Por consiguiente, una velocidad óptima que recomendaría con ingeniero de proceso para el proceso (valga la redundancia) de pulverización del molino, debe variar entre 65 – 80% de su valor crítico.

4.

Filtraciones de laboratorio realizadas a caída de presión constante con una suspensión de CaCO3 en H2O han conducido a los datos que se presentan en la tabla 29.1.

El área de filtrado es de 500 cm2, la masa de sólido por unidad de volumen de filtrado es de 23.5 g/L, y la temperatura es de 25 °C. Evaluar α y Rm como funciones de la caída de presión, y obtener una ecuación empírica para α ajustando los resultados. Resuelto

6. En la filtración a nivel laboratorio de un caldo para la recuperación de gentamicina, la solución presentó una viscosidad de 1.2 cp y un contenido de sólidos de 5 g L-1. El área de

filtración empleada fue de 100 cm2 y el gradiente de presión de 1.8 m de agua. Los datos de filtración son los siguientes:

Estimar el tiempo de filtrado para procesar 5,000 L de este caldo en un filtro de 1.5 m2 de área, si el proceso se realiza con un gradiente de presión igual al empleado en el laboratorio. Solución: Con los datos experimentales se realizan los cálculos de la Tabla T (s)

V (L)

10

0.6

20

0.78

30

0.95

40

1.1

V (dm3) 0.6 0.78 0.95 1.1

V/A (dm) 0.6 0.78 0.95 1.1

At/V (s/dm) 16.6666667 25.6410256 31.5789474 36.3636364

9. Un tanque rígido de 100 L contiene volúmenes iguales de líquido y vapor de freón-12 a 35ºC . Se añade freón al tanque hasta que su masa sea 80 Kg. Si la temperatura se mantiene constante. a) ¿Cual es el volumen final que ocupa el líquido? b) ¿Cuanta masa de freón entró al tanque?

Apliquemos la metodología planteada a la solución de este problema.

1. Entender la situación física:

Se tiene un tanque rígido de 100 L con volúmenes iguales de líquido y vapor, es decir, ya define el estado inicial como una mezcla liquido-vapor.

? Freón 12 Estado inicial: mezcla liquido-vapor en 100 L

Estado final: 80 kg de freón 12 en 100 L

Se inyecta freón 12 al tanque a través de una válvula hasta que la masa dentro del tanque sea 80 Kg. (estado final) a priori se desconocen las fases presentes en este estado. Aunque la pregunta dice el volumen ocupado por el líquido en el estado final, eso hay que verificarlo.

2. Hallar las restricciones.

El sistema es abierto porque entra freón 12, es decir, la masa no es constante. Hay más masa de freón 12 en el estado final. El proceso es isotérmico y se lleva a cabo a 35 ºC. Ambos estados están definidos, en el estado inicial se conoce la temperatura y el volumen del sistema pero como se sabe que esta en equilibrio liquido-vapor entonces las reglas de las fases de Gibbs nos dice que para una sustancia pura en dos fases en equilibrio se necesita un (1) grado de libertad, es decir, como se conoce la temperatura se puede conocer el resto de las variables (P por ejemplo). El estado final también esta definido allí se conoce la temperatura y con la masa total y el volumen del sistema se puede calcular el volumen específico y así conocer el resto de las variables, lo que falta verificar son las fases del sistema en el estado final.

3. Escoger los modelos 4. Identificar los datos 5. Aplicar los principios termodinámicos (Razonamiento integral).

Se debe utilizar las tablas de propiedades termodinámicas del freón 12 en unidades del sistema internacional. Para el estado inicial se debe leer con la temperatura (35 ºC) en la tabla de saturación Vf y Vg . Con estos valores y los volúmenes de líquido (50 L) y vapor (50 L) se puede estimar la masa de líquido y la masa de vapor para dicho estado, al sumar ambas masas se obtiene la masa total.

Vf 

Vliquido mliquido

Vg 

y

Vvapor mvapor

masa total = m liquido + m vapor

Por ser el proceso isotérmico los valores de Vf y Vg son los mismos para el estado final, ahora se debe comprobar en que fase se encuentra el estado final. Se debe estimar con la masa total (80 Kg) y el volumen del sistema (100 L) el volumen específico final (ˆ ).

ˆ =

V final m final

, este valor debe compararse con Vf y Vg y así determinar la fase en que se encuentra

el estado final (usa un diagrama T vs ˆ ) T líquido

35 ºC

Vapor

L+V

Vf

Vg

V

 



Si ˆ final > Vg el estado final es vapor sobrecalentado y la respuesta a la primera pregunta seria cero (0) volumen de liquido. Si ˆ final < Vf el estado final es liquido subenfriado y el volumen ocupado por el liquido vendría dado por: Vliquido = Vfinal x m final = 100 L (puede verificarlo) Si Vf < ˆ final < Vg, , entonces el sistema esta como una mezcla liquido-vapor. En este caso, se debe calcular primero la calidad (X) del sistema según la ecuación:

ˆ final = Vg (X) + (1-X) Vf

Al obtener de aquí el valor de (X), la fracción de liquido será (1-X). Luego (1-X) =

mliquido mtotal

Con la masa total (80 Kg) y (1-X) se obtiene la masa de líquido, después con este valor y el volumen específico del líquido (Vf) se obtiene el volumen ocupado por el líquido.

Vf 

Vliquido mliquido

Para obtener la masa que entró al tanque debe restarse la masa final menos la masa inicial.

Masa entra = masa final – masa inicial.

6. Cálculo y análisis.

Una vez que logres llegar exitosamente a esta etapa, lo demás es carpintería, el cálculo no es lo más importante pero debes hacerlo bien.

Se busca en la tabla de temperatura del freón 12 (zona de saturación). Temperatura

Presión de saturación

Vf

Vg

(ºC)

MPa

(m3/Kg)

(m3/Kg)

34

0.82636

0.0007832

0.02118

36

0.86948

0.0007880

0.02012

Fuente: kenneth wark, Termodinámica. IV edición.

Ud. dirá ¡bueno!.. y por que no aparecen los valores para 35 ºC?. El profesor colocó una temperatura que no aparece en la tabla y ahora cómo hago, donde busco los valores para esa temperatura? R- Tranquilo, como comprenderás seria difícil y poco práctico tabular todos los valores posibles de variables (P y T ), además, también existen muchas sustancias puras. En estos casos tienes que recurrir a la interpolación lineal, pues, los valores que necesitas están entre los valores reportados por las tablas.

Calculemos el Vf a 35 ºC. Construye un grafico T vs Vf y traza una línea recta entre esos dos (2) puntos.

T (ºC)

Linea de saturacion para la interpolacion 36,5 36 35,5 35 34,5 34 33,5 33

36

34

0.0007832

0.0007880 Vf (m3/Kg)

Por el método de igualación de pendientes se estima el valor de Vf a 35 ºC.

(36  34) (35  34)  (0.0007880  0.0007832) (V f  0.0007832)

Vf = 0.0007856 m3/Kg.

Si se realiza el mismo procedimiento para estimar el valor de Vg a 35 ºC, se obtiene

Vg = 0.02065 m3/Kg

Ahora podemos calcular la masa de líquido y la masa de vapor en el estado inicial. Como el volumen de líquido y vapor es de 50 L este valor debe llevarse a m3.

1 m3 50 L  0.05 m3 1000 L m liquido =

m vapor=

Vliquido Vf

Vvapor Vg



0.05 m3  63.64 Kg 0.0007856 m3 / Kg

0.05 m3   2.42 Kg 0.02065 m3 / Kg

masa total inicial = m liquido + m vapor = 63.64 Kg + 2.42 Kg = 66.06 Kg.

Pasemos ahora a estudiar el estado final, primero calculemos el volumen específico final.

ˆ =

V final m final

0.1 m3   0.00125 m3 / Kg 80 Kg

Este valor se encuentra entre Vf y Vg por lo tanto el sistema se encuentra en equilibrio liquidovapor en el estado final. Se procede a calcular la calidad (X) de estos tres valores.

X=

Vˆ  V f Vg  V f



0.00125  0.0007856  0.023 Kg vapor / Kg de Freón 12 total. 0.02065  0.0007856

La fracción de volumen de líquido será (1-X) = 0.977 y la masa de líquido vendrá dada por:

m liquido = (1-X) mtotal = 0.977 x 80 Kg = 78.16 Kg. El volumen ocupado por el líquido en el tanque es.

V liquido = Vf m liquido = (0.0007856 m3/ Kg) x (78.16 Kg) = 0.0614 m3 , que equivale a 61.40 L. (esta es la respuesta a la primera interrogante) Ahora calculamos la masa que entra:

Masa entra = masa final – masa inicial.= (80 Kg – 66.06 Kg) = 13.94 Kg. (esta es la respuesta a la segunda interrogante).