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MATEMATICAS IV FUNCIONES:

A B C QD E

1 2 3 4 8

Q

P

Q (conjunto de salida)} (Dominio de la función) Variables: Dependientes

depende de alguien.

Independientes X Y f(x)

no depende de alguien.

t f (t)

g f(g)

L f(L)

Ejercicios. 1) X+y-1=0 Y=1-x X

-1 0

1 2

f(x) 2 1 0 -1

2 4 6 8

P R

Q/∈Q2 P

P (conjunto de llegada) (Recorrido de una función)

f(x)

f(x)= 1-x

( )

r Vc(R) =? Vc=L3 Vc=R3 Vc(R) =R3 L 2R2 =L2 + L2 2R2 =2 L2 L2 = 2R2 2 L = √𝑅 2 L=R  Área rectangular Lora Wallman desea cercar un área rectangular ubicada en la ribera de un rio, como se ilustra en el diagrama, si solo tiene 400 pies de cerca y desea encerrar un área de 15.000 pies cuadrados, determinar las dimensiones del área rectangular. Rio 15.000 a c = 400 pies Datos: AR = 15.000 pies 2 Cp = 400 pies

b

Dimensiones del área rectangular =? Rectángulo P = a+b+a+b P = 2b +a 2b + a = 400 A =a*b 15.000 = ab a + 2b = 400 1 ab = 15.000

a=

15000 𝑏

a en 1 150 + 2b = 400 𝑏 15000+2b2 = 400b 2b2 - 400b + 15000 =0 b2 – 200b + 7500 =0 −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 −(−200) ± √(−200)2 − 4(1)(7500) 𝑥= 2(1) 200 ± √40000 − 30000) 𝑥= 2 200 ± √10000) 𝑥= 2 200+100 X1 = 2 = 150 𝑏1 = 150 X1 =

200−100

2 15000

= 50 𝑏2 = 50

a = 150 a= 100 15000 a2 = 150 a2 = 300

R1: a= 100 b= 150 R2= a= 300 b= 50 R1= 15000 = (100) (150) 15000 = 15000 400 = 100 + 2(150) 400= 100 + 300 400 = 400

TIPOS DE FUNCIONES Algebraicas Polinómicasf(x) = x+2 f(x) = x2 +x+1 f(x) = x4 +x+4 𝑓(𝑥)

Racionales

𝑔(𝑥)

= g(x) ≠ 0

f(x) x2 + 1 x-1 Radicales :

f(x ) = √𝑥 + 1 Logarítmicas Exponenciales Trigonométricas

Especiales

FUNCIONES Df: todos los valores de x Donde f(x) existan

∀𝑥 ∈ ℝ/𝑥∃𝑓(𝑥)

Rf: todos los valores donde f(x) exista. ∀𝑓(𝑥) ∈ ℝ/∃𝑓(𝑥)  F(x) = 4x+1 X -1 0 1 2 F(x) -3 1 5 9 1

 F(x)= 𝑥−1 X -1 0 1 2 F(x) -1/2 -1 1/0 1  F(x) = √4𝑥 − 2 1

X

f(x)

4x-2 ≥ 0

f(1/2) =√4 (2) − 2

-1 0 1 2

√−6 √−2 √2 √6

4x≥2 x≥1/2

f(1/2) =√0 f(1/2)

 F(x) =

1 𝑥−1

x-1=0 x=1 Df: ℝ- [1]

 F(x) = X -3 -2 -1 0 1 2

1 𝑥+1

f(x) -1 -1/0 -1 1/2 1/3 1/4

Df: ℝ - [-2]  F(x) = √𝑥 2 − 4 X2-4≥0 X2≥4 F(x)= x≥±2 F(x) = [2 ; +∞[ F(x) = ]- ∞ ; −2] Df: ℝ − ∗ −2; 2[  F(x) = 1+x Y=1+x X=y-1 F(y)= y -1 Df: ℝ Rf: ℝ  Un fabricante de relojes puede producir un reloj a un costo unitario de $15.00. se estima que el precio de venta unitario del reloj es x, entonces el número de relojes vendidos por semana es 125-x . a) expresar el monto de las utilidades semanales como una función de x. b) analice en que intervalo la función es real. Datos. Cu = 15 Pu = x # Rv = 125-x V(x) =?

V = It – Ct3 U = utilidad It = ingreso total por ventas Ct= Costo total Ct= Cu y #Rv= Ct= 15(125-x)1 It = Pu y #Rv= It = x (125 - x)2

1 y 2 en 3 U (x) = x (125-x)-15(125-x) U(x)= (125-x) (x-15) U(x) =0 X=125 ˄ x=15 X0 𝑥 𝑥 X>-2 D f: [-2;+∞]  H={(x, y)/y √𝑥 − 1 H(x)=√𝑥 − 1 x-1 ≥0 x≥1= Df: [1;+∞] y=√𝑥 − 1 y2=x-1 x=1+y2 f-1(x)=1+y2=D f: R+

 g= {x, y)/y=5-x2} g (x)=5-x2= D f: R y=5-x2 x2=5-y x=√5 − 𝑦 f-1 (x)= √5 − 𝑦= 5-y≥0 5≥ y Rf: [-∞; 5]

 g={(x, y)/y= g (x)=

(𝑥 2 −4)(x−3) 𝑥 2 −𝑥−6

(𝑥 2 −4)(x−3) 𝑥 2 −𝑥−6

x2-x-6=0 = (x-3)(x+2)=0 x=-3 x=-2 D f:R – {3;-2} Y=

(𝑥 2 −4)(x−3) 𝑥 2 −𝑥−6

X2y-xy-6y=x3-3x2-4x+12 X2y-xy-x3+3x2+4x=12+6y X(xy-y-x2+3x+4)=12+6y 12+6𝑦 X=𝑥𝑦−𝑦−𝑥 2 +3𝑥+4 =F-1(x) Rf: R

1

 f(x)= 𝑥+1+x+2 = =

1+𝑥(𝑥+1)+2(𝑥+1) 𝑥+1 1+𝑥 2 +x+2x+1 𝑥+1

𝑥 2 +3x

f(x) + g(x) =

𝑥+1

1

 f(x)=𝑥+1 g(x)=x+2 1

f(x) * g(x) = 𝑥+1 * x+2 𝑥+2

= 𝑥+1 1

=2 * 2 2

=2 =1 X+1=0 X= -1 D f: R - {-1}



𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

1

=

𝑥+1 𝑥+2 1

1

= (𝑥+1)(𝑥+2) 1

=𝑥 2 +2𝑥+𝑥+2 1

= 𝑥 2 +3𝑥+2 X+1=0 X=-1

x+2=0 x=-2

D f: R – {-1; -2}

 La fórmula para calcular la distancia D en metros sobre la superficie de la nieve es D=1/6, x2 donde x es la velocidad del automóvil (m/s), si la distancia necesaria para detener un automóvil fue de 150m, cual es la velocidad del automóvil antes de que frene.

x 150m X= m/s 1 d= 6 x2 x2= 6d x=√6𝑑 x=√6 (150) x= √900 x=30 m/s 

𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟐 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟕 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝟐 + 𝒙 + 𝟕 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟓

D f: R

𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝟐 − (𝒙 + 𝟕) 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝟐 − 𝒙 − 𝟕 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = −𝟗



𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟕) 𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟒 𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟒

Df: R- {2;-7}

𝒇(𝒙)/𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟐)/(𝒙 + 𝟕)

Df: R- {-7}

𝒇(𝒙) = √𝒙 − 𝟐 𝒈(𝒙) = 𝒙² − 𝟐 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) = √𝒙 − 𝟐 + 𝒙² − 𝟐 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = √𝒙 − 𝟐 − (𝒙𝟐 − 𝟐) 𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙) = (√𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟐 − 𝟐)

𝒇(𝒙)/𝒈(𝒙) = (√𝒙 − 𝟐)/(𝒙𝟐 − 𝟐) 

𝒇(𝒙) = √𝒙² − 𝟏 𝒈(𝒙) = √𝒙 − 𝟏 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) = √𝒙² − 𝟐 + √𝒙 − 𝟏 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟐 − √𝒙 − 𝟏 𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟐 ∗ √𝒙 − 𝟏 𝒇(𝒙)/𝒈(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟐/√𝒙 − 𝟏

Función Compuesta: Siempre que se tienen dos funciones g y f se puede definir una nueva función de manera que la variable dependiente de g sea a su vez la variable independiente de f. Observa la siguiente ilustración entre los conjuntos. Ejercicios: 1. (𝒇𝒐𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)) 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟐 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟗 𝒇𝒐𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝟐 + 𝒙 + 𝟗 𝒇𝒐𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟕 𝟏

2. 𝒇(𝒙) = 𝒙+𝟐 𝒈(𝒙) 𝟒𝒙² − 𝟗𝒙 + 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝒈𝒐𝒇(𝒙) = 𝟒 ( ) −𝟗( )+𝟏 𝒙+𝟐 𝒙+𝟐 𝟒

𝟗

𝒈𝒐𝒇(𝒙) = (𝒙+𝟐)² - 𝒙+𝟐 + 𝟏 𝒈𝒐𝒇(𝒙) =

𝟒(𝒙+𝟐)−𝟗+(𝒙+𝟐)

𝑥+1

3. 𝑓 (𝑥) = 𝑥−2

(𝒙+𝟐)

=

𝟓𝒙+𝟏 𝒙+𝟐

D f: R - {-2}

𝑔(𝑥) = 1

𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑥1 𝑥

+1 −1

=

4. 𝑔𝑜𝑓(𝑥) =

1+𝑥 𝑥 1−𝑥 𝑥

1 𝑥+1 𝑥−1

(1+𝑥)(𝑥)

1+𝑥

= (1−𝑥)(𝑥)= 1−𝑥

1 𝑥

Df: R-{1}

𝑥−1

= 𝑥+1

Df: R-{-1}

5. ℎ(𝑥) = 𝑥 + 1 2

𝑖(𝑥) = √𝑥 2 + 1 2 ℎ𝑜𝑖(𝑥) = √𝑥 2 + 1 + 1

6. 𝒊 𝒐 𝒉 (𝒙) = √(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟏 = √𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + 1 = √𝑥 2 + 2𝑥 + 2 𝑥=

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

=

−2±√22 −4(1)(2) 2(1)

=

−2±√−4

Df: R+

2

1

7. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝒈(𝒙) = √−𝒙 1

1

𝑓𝑜𝑔(𝑥) = √−𝑥2 = −𝑥

D f: R - {0}

8. Una línea telefónica debe tenderse entre dos pueblos situados en orillas opuestas de un rio en un punto B. el ancho del rio es de 1 km y B está situado 2 km rio debajo de A. tiene un costo de C dólares por kilómetro tender la línea por tierra y 2C dólares por kilómetros tender la línea por debajo del agua. La línea telefónica deberá seguir la orilla del rio diagonalmente en línea recta hacia B. Determine el costo total de la línea. 2km Ax

D

1 km B

𝐶𝑡(𝑥) =? 𝐶𝑡 = (𝑐 + 2𝑐) 𝐶𝑎𝑏 = 𝐶𝑥 ̅̅̅ 𝐶𝑐𝑏 = 2𝑐 𝑐𝑏 ̅̅̅̅̅ 𝑐𝑏 2 = ̅̅̅̅̅ 𝑏𝑑 2 + ̅̅̅̅̅ 𝑐𝑑2 ̅̅̅̅̅ 𝑐𝑏 2 = 1 + (2 − 𝑥)² ̅̅̅ 𝑐𝑏 = √1 + (2 − 𝑥)² ̅̅̅ 𝑐𝑡 = 𝑐𝑥 + 2𝐶 𝑐𝑏 𝑐𝑡(𝑥) = 𝑐𝑥 + 2𝐶 √1 + (2 − 𝑥)² 𝑐𝑡(𝑥) = 𝑐𝑥 + 2𝐶 √𝑥 2 − 4𝑥 + 5

9. Al precio p dólares por unidad un fabricante puede vender por unidad de su producto donde x y p están relacionados por 𝒙𝟐 + 𝒑𝟐 + 𝟒𝟎𝟎𝒙 + 𝟑𝟎𝟎𝒑 = 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎. Dibuje la curva de demanda y cuál es el precio mal alto por encima del cual no hay ventas posibles. 𝒙𝟐 + 𝒑𝟐 + 𝟒𝟎𝟎𝒙 + 𝟑𝟎𝟎𝒑 = 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝑥 2 + 400𝑥 + (200)2 ) + (𝑝2 + 300𝑝 + (150)2 ) = 6000 + 40000 + 22500 (𝑥 + 200)2 + (𝑝 + 150)2 = 122500 √122500 = 350

350 150

D f: R [-350; 350] D f: R [0; 350] D f: R [0;- 350] D f: R [0; 350]

𝑥+2

10. 𝑓(𝑥) = 𝑥−2 antes del 2 x -1 0 -1,5 -1,9 -1,99 1,999

y 0,3333 -1 39 399

después del 2 X

y

2,001 2,01 2,1 3 4

4001 401 41 5 3

3999

1 2

Indeterminación Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sinoque la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones. Tipos de indeterminación

1. Infinito partido por infinito 2. Infinito menos infinito 3. Cero partido por cero 4. Cero por infinito 5. Cero elevado a cero

6. Infinito elevado a cero 7. Uno elevado a infinito Ejercicios: 1. lim(3𝑥 2 + 𝑥 + 2) = 3(1)+1+2 𝑥→1

= 3+1+2 = 6 2. lim

𝑥 2 −4

𝑥→2 𝑥−2

lim

𝑥 2 −4

𝑥→2 𝑥−2

=

22 −4 2−2

0

= 0∞

(𝑥+2) (𝑥−2)

=

= x+2 = 2+2 = 4

𝑥−2

3. lim 𝑥 2= 32 = 9 𝑥→3

𝜋

4. lim𝜋 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3 = (𝑠𝑒𝑛 2 + 3) = 3 𝑥→

2

𝑥

2

5. lim 𝑥−5 =

−3

𝑥→2

6. lim √7𝑥 + 4 = √7(7) + 4 = √53 𝑥→7

7. lim

𝑥 2 −3𝑥+4 𝑥 3−1

𝑥→2

𝑥= 8. lim

−(−3)±√(−3)2 −4(1)(4) 2(1) 𝑥 4 −𝑎4

𝑥→𝑎 𝑥−𝑎

=

𝒙→𝟎

𝑥−2

𝑥→2 √2−√𝑋

∗

(𝑿𝟐 −𝑿+𝟓)

√2+√𝑋 √2+√𝑋

= (𝑥 2 +𝑎2 )(𝑥 + 𝑎) = (𝑎2 +𝑎2 )(𝑎 + 𝑎) = (2𝑎2 )(2𝑎) = 4𝑎3

𝑿𝟐 (𝑿+𝟐) 𝑿𝟐

No existe Límite

2

𝑥−𝑎

𝑿𝟑 +𝟐𝑿𝟐

lim

3±√−7

(𝑥 2 +𝑎2 )(𝑥−𝑎)(𝑥+𝑎)

9. 𝐥𝐢𝐦 𝑿𝟒− 𝑿𝟑+𝟓𝑿𝟐 = 10.

=

=

𝟐

=

𝟓

(𝑋+2)(√2)+ √𝑋) 2

√2 − √𝑋

2

=

(𝑋−2)(√2+√2) 2−𝑋

=

(2−2)(2√2) 2−2

0

=0

NO existe el límite 11.

lim

𝑥→0 1

√2+𝑥 + √2

√2+𝑥 − √2 √2+𝑥 + √2 * 𝑥 √2+𝑥 + √2 1 2√2 2√2

=

2√2

∗

2√2

=

(2√2)

(√2+𝑥 )²+(√2)²

= (𝑥)(

2

=

√2+𝑥 + √2) 2√2 √2 2∗2

=

2

=

2+𝑥−2 √2+𝑥 ∓√2

=

𝑥 𝑥 (√2+𝑥 + √2)

=

𝑿𝟐 −𝟒𝒙−𝟓𝟐

12.

𝐥𝐢𝐦 𝑿𝟑 −𝟑𝑿𝟐 +𝟑𝒙−𝟏 𝒙→𝟏

𝑋 3 − 3𝑋 2 + 3𝑥 − 1 = 𝑋 2 − 2𝑥 + 1 NO existe el límite 1

-3 1 -2

1 1

3 -2 1

𝒙𝟑 −𝟑𝒙+𝟐

13.

𝐥𝐢𝐦 𝑿𝟒 −𝟒𝒙+𝟑 = 𝒙→𝟏

-1 1 0

(𝒙+𝟐)(𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏) (𝒙−𝟏)(𝒙𝟑 +𝒙𝟐 +𝒙−𝟑)

(𝒙−𝟏)(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟐)

=

(𝒙−𝟏)(𝒙−𝟏)(𝒙𝟐 +𝟐𝒙+𝟑)

=

(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟐) (𝒙−𝟏)(𝒙𝟐 +𝟐𝒙+𝟑)

(𝑥 + 2)(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) 1 -2 1

1 1

1 1 1

14.

lim

𝑥→0

lim

𝑥→0

X F(x)

15.

1 -2

0 2 -2

-3 4 1

2 -2 0

0 1 1

0 1 1

-4 1 -3

3 -3 0

1 1 2

1 2 3

-3 3 0

(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 2𝑥 + 3)

2𝑥 2 𝑥 4 −2𝑥 2

2𝑥 2

(𝑥 − 1)(𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 3)

2

= 𝑥 2 (𝑥 2 −2) = 2 = −1

2𝑥 2 =𝑥0 𝑥 4 − 2𝑥 2 -3 2/7

-2 1

-1 -2

2 𝑠𝑖 𝑥 < −2 𝑓(𝑥) = {𝑥 2 − 4 𝑠𝑖 ∈ {2,3}[2;3] 8 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

16.

lim 2 = 2 𝑥2

lim = ∄𝑓(𝑥)𝑥 → 2

𝑥−2+

lim = ∄𝑓(𝑥)𝑥 → 2

𝑥−2−

lim 𝑥 2 − 4 = 22 − 4 = 0

𝑥−2+

lim 𝑥 2 − 4 = 9 − 4 = 5

𝑥−3−

lim 8 − 𝑥 = 8 − 3 = 5

𝑥−3+

0 𝑠𝑖 𝑥 < −2 (𝑥 − 1)2 𝑠𝑖 ∈ [−2;0] 𝑓(𝑥) = { −(𝑥 + 1)2 𝑠𝑖 ∈ (0; 2 ⟧ 0 𝑠𝑖 𝑥 > 2

17.

Propiedades. lim

𝑥→∞

18. 19. 20. 21. 22.

lim

𝑥→∞

lim

𝑥→∞

lim

1

=0

𝑥 2 3𝑥 2

2/𝑥 2

=

𝑥

lim

1−2𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

lim

𝑛→∞

=3

1−2𝑥 1−∞ ∞

𝑥→∞

𝑥→∞

0

3𝑥 2 /𝑥 2

∞

=∞ = ∞

= lim

𝑥→∞

𝑛+3

= lim

𝑛−1

𝑛→∞

1 2𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛−3 𝑛 𝑛−1 𝑛

= lim

𝑥→∞

= lim

𝑛→∞

1 𝑥

− 2 = -2

𝑛 3 + 𝑛 𝑛 𝑛 1 − 𝑛 𝑛

= lim

𝑛→∞

3 𝑛 1 1− 𝑛

1+

= lim

𝑛→∞

1 1

=1

23.

= lim 6𝑛+1

𝑛→∞

24.

𝑛→∞

√𝑛+3−√𝑛−3 2

lim

𝑛→∞

lim

lim

𝑛→∞

3

3 𝑛 1

3 1 √ − 2 +√ 𝑛 𝑛 𝑛

25.

𝑛→∞

= lim

3 − 2 𝑛

= lim

= lim

√𝑛+3) +√𝑛−3)

𝑛→∞

𝑛→∞

√𝑛+3−√𝑛−3 2

𝑛→∞

2(√𝑛+3) +(√𝑛−3)

𝑛→∞

2𝑛 3 + 𝑛 𝑛 6𝑛 3 + 𝑛 𝑛

= lim

= lim

(√𝑛+3)2 −(√𝑛+3)2

lim

𝑛→∞

𝑛2+3 𝑛 6𝑛+3 𝑛

2𝑛+3

lim

𝑛→∞

.

√𝑛2 +1+√𝑛2

√𝑛+3+√𝑛−3 √𝑛+3+√𝑛−3

√𝑛+3 √𝑛−3 + 𝑛 𝑛

=

3 𝑛 𝑛

3

+1+√𝑛2

= √𝑛2

1 +1+√𝑛2

=

√𝑛2 +1+√𝑛2 𝑛2 +1+√𝑛2 1 𝑛2

√𝑛2 +1 √𝑛2 + 2 𝑛2 𝑛

Continuidad en límites −𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0 0 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑓(𝑥) = { 𝑥+3