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95 Ejercicios Resueltos DE Anualidades Ingenieria economica (Universidad Francisco de Paula Santander)

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AUTORES: ASTRID DANIELA JIMENEZ CONTRERAS

KAREN STEFANNY CABALLERO GONZALEZ DIANA KATHERINE ESTUPIÑAN PATIÑO SILVANA CAMILA JAIMES GAFARO JUAN GUILLERMO ROJAS OLEJUA JUAN DIEGO PINEDA CIFUENTES WILLIAM ANDRES ORTEGA PEÑARANDA NINI JHOJANA ALVAREZ BACCA JENNIFFER ALEJANDRA GUERRERO BUENO YESSICA JULIETH GELVES DÍAZ MARÍA FERNANDA VALBUENA GRANADOS DANNA LIZBETH CONTRERAS MEZA ZAYDA LUCY GELVEZ DUARTE LEIDDY CAROLINA MONTOYA REMOLINA DIANA CAROLINA CALDERON OYOLA PEDRO GONZALEZ RODRIGUEZ LUIS ANTONIO MARQUÉS CUEVAS ALIX CAMILA FERNANDA ARÉVALO CASTRO PAULA ANDREA MERIÑO PEÑALOZA HECTOR ELIAS MENDOZA CARDENAS

ANTONIO VICENTE GRANADOS GUERRERO DOCENTE

INGENIERÍA ECONOMICA

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS INGENIERÍA INDUSTRIAL SAN JOSÉ DE CÚCUTA 2018

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____________________ 95 EJERCICIOS RESUELTOS DE ANUALIDADES ____________________ ELABORADO POR ESTUDIANTES DE QUINTO SEMESTRE DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ____________________ 2018

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PRÓLOGO

En el momento actual de una economía globalizada, los conceptos teóricos de la Ingeniería Económica o las Matemáticas Financieras son fundamentales para apoyar la toma de decisiones acertadas sobre el manejo optimo del dinero. Los estudiantes universitarios de esta materia, que quieren llegar a tener un dominio aceptable de la misma, consideran que es imprescindible complementar los conceptos teóricos, mediante la resolución de problemas Es por esto que el documento que se presenta a continuación, el cual forma parte de un conjunto de cuatro módulos elaborados por un grupo alumnos de la materia de Ingeniería Económica del Plan de Estudios de Ingeniería Industrial de la Universidad Francisco de Paula Santander, pretende ser una herramienta útil para apoyar el trabajo académico de los alumnos de las facultades de Ingenierías, Administración, Economía, Contaduría Pública y carreras afines en el estudio y aprendizaje de la Ingeniería Económica o las Matemáticas financieras, con una colección variada de ejercicios resueltos de Intereses Simples, Intereses compuestos, Anualidades y Gradientes, que logren estimularlos en la reflexión, la búsqueda y la investigación.

Ingeniero Antonio Vicente Granados Guerrero Docente Cátedra Universidad Francisco de Paula Santander

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Una anualidad es una sucesión de pagos, depósitos o retiros, generalmente iguales, que se realizan en períodos regulares de tiempo, con interés compuesto. El término anualidad no implica que las rentas tengan que ser anuales, sino que se da a cualquier secuencia de pagos, iguales en todos los casos, a intervalos regulares de tiempo, e independientemente que tales pagos sean anuales, semestrales, trimestrales o mensuales.

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LAS FORMULAS QUE SE UTILIZARON EN EL SIGUIENTE SOLUCIONARIO SON LAS SIGUIENTES: (1+𝐼)𝑛 −1

𝑃 = 𝐴 ቂ(𝐼)(1+𝐼)𝑛 ቃ

P = Valor presente

𝐹 = 𝐴ቂ

(1+𝐼)𝑛 −1

(𝐼)

ቃ

F = valor futuro

A = anualidad (valor constante periódico) i = interés efectiva vencida periódica n = número de consignaciones o retiros CONDICIONES PARA ANUALIDAD 1. Consignaciones o retiros iguales. 2. Separación entre consignación y cada retiro es siempre la misma. TENIENDO EN CUENTA QUE: 1 AÑO = 360 DIAS 1 AÑO = 12 MESES 1 AÑO = 48 SEMANAS 1 AÑO = 2 SEMESTRES 1 AÑO = 4 TRIMESTRES

1 AÑO = 6 BIMESTRES Descargado por Dario Fogel ([email protected])

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EJERCICIO # 1 ¿Si una compañía de pensiones ofrece, por un pago inmediato de $130 millones una renta mensual de $1.5 millones durante 10 años. ¿Qué tasa de interés anual está reconociendo? Solución: Para resolver este ejercicio, es necesario seguir una serie de pasos. EL PRIMER PASO consiste en realizar la gráfica teniendo en cuenta los datos relevantes del ejercicio:  Periodo: 10 años  Pago inmediato: 130’.000.00  Renta mensual :1’500.000

P. (presente) A. (anualidad)

Cuando nos referimos a “pago inmediato “este se denomina como presente, “P”, es decir el pago inmediato se ubica en la gráfica en 0, ya que se identifica como el día de hoy. Por otro lado como las rentas son mensuales, el periodo de 10 años se cambia de manera equivalente a meses y de esta manera tener coherencia respecto a la igualdad del tipo de periodo manejado en el ejercicio entre las anualidades y el periodo de 10 años. 10 años x

12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 1 𝑎ñ𝑜

= 120 meses

n.

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A= $ 1’500.000

0 1 mes P= 130’.000.000

120 meses

EL SEGUNDO PASO es identificar la fórmula que vamos a usar, del cual usaremos la fórmula de presente puesto que ese dato ya lo tenemos y facilita la solución del ejercicio. 𝑷 = 𝑨(

(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏 𝒊(𝟏+𝒊)𝒏

P: presente

)

A: anualidades N: cantidad de anualidades El TERCER PASO es reemplazar los datos del ejercicio en la formula respectiva. 𝟏𝟑𝟎′ 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏′ 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎(

(𝟏 + 𝒊)𝟏𝟐𝟎 − 𝟏 ) 𝒊(𝟏 + 𝒊)𝟏𝟐𝟎

𝒊 = 𝟎, 𝟓𝟕 % 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍 ó 0.0057

Ahora proseguimos a cambiar a transformar la tasa de interés mensual a una anual, puesto que así lo pide el ejercicio. 𝟏𝟐

𝟏

(𝟏 + 𝒊 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍 ) 𝟏 − 𝟏 = (𝟏 + 𝒊 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍)𝟏 1 año=12 meses.

Despejamos interés anual: 𝒊 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟓)𝟏𝟐 − 𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟎𝟔 = 𝟕. 𝟎𝟔% Anual = 7,06 anual, tasa de

i = interés anual por los 120 meses

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¿El contrato de arriendo de una oficina fija pagos de $4’000.000 mensuales al principio de cada mes, durante un año. Si se supone un interés del 2,5% efectivo anual; ¿Cuál será el pago único al inicio del contrato que cubre todo el arriendo? Solución: Para realizar este ejercicio es necesario realizar los siguientes pasos. EL PRIMER PASO es realizar la gráfica y tener en cuenta los datos para ubicarlos y tener mayor comprensión del ejercicio:  4’000.000 al principio de cada mes, esto significa que el primer pago se hace hoy y se ubica en 0 y el último pago un periodo o un mes antes de que acabe el año. De esta manera se consideran como pagos adelantados.  El presente en anualidades siempre se ubica un periodo atrás de la primera cuota o anualidad inicial por lo tanto en a grafica la encontraremos -1, puesto que la primera anualidad se lleva a cabo “hoy”.  Pagos mensuales durante un año, por adelantado.  La tasa de interés equivale al 2.5% afectivo anual

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A=4’000.000

-1 0 P

11 meses 12 meses

X

El SEGUNDO PASO, es transformar la tasa de interés puesto que las consignaciones y la tasa de interés no son equivalentes respecto al periodo manejado. Es decir pasar la tasa de interés de efectivo anual a interés mensual. 𝟏

𝟏𝟐

(𝟏 + 𝒊 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 )𝟏𝟐 − 𝟏 = (𝟏 + 𝒊 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍)𝟏𝟐 12 meses= 1 año

Despejamos interés mensual: 𝒊 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍 = (𝟏, 𝟎𝟐𝟓)𝟏/𝟏𝟐 − 𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟎% 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍

El TERCER PASO consiste en identificar la fórmula que se utilizará para la solución del ejercicio. 𝑷 = 𝑨(

Dónde:

(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏 𝒊(𝟏+𝒊)𝒏

)

P= valor presente A= anualidades. i = tasa de interés n= cantidad de anualidades. EL CUARTO PASO se prosigue a reemplazar los valores en la fórmula de “presente”. 𝑿 = 𝟒′ 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 (

(𝟏, 𝟎𝟎𝟐)𝟏𝟐 − 𝟏 ) . (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟐) 𝟎, 𝟎𝟎𝟐(𝟏, 𝟎𝟎𝟐)𝟏𝟐

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Se multiplica por

(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟐) puesto que P se encuentra en menos 1 y se requiere

trasladar el valor a cero, cero es hoy, y la pregunta hace referencia del valor único al inicio del contrato (hoy) que cubre todo el arriendo, de esta manera el valor final y con tales indicaciones es el siguiente: X= $ 47476544.16

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Una empresa arrienda una bodega que tiene de sobra por $5.000.000 mensuales, los cuales se pagan de manera anticipada. Si cada que recibe el arriendo lo coloca en un fondo de inversiones que promete una tasa de interés del 2% mensual. ¿Cuánto podría retirar al cabo de un año? Para realizar el siguiente ejercicio es importante tener presente los siguientes pasos: EL PRIMER PASO consiste en realizar la gráfica con el objetivo de visualizar mejor el ejercicio y poder desarrollarlo de manera eficiente, teniendo presente los siguientes datos relevantes:  $5’000.000 mensuales que invierte

A

 Inversiones mensuales por 1 año ó 12 meses  Tasa de interés del 2% mensual

n

i

F

A= $ 5’000.000

0 1 mes

11 meses

P= 130’.000.000

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12 meses

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EL SEGUNDO PASO es identificar cuál formula es idónea para realizar el ejercicio, como se pregunta en el ejercicio sobra cuanto podrá retirar, esto se determina como futuro, por lo tanto usaremos la fórmula de futuro. (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 𝑭 = 𝑨[ ] 𝒊

F= futuro A= anualidad i = tasa de interés n= cantidad de anualidades (consignaciones) EL TERCER PASO consiste en reemplazar en la formula los datos ya identificados. (𝟏, 𝟎𝟐)𝟏𝟐 − 𝟏 ] ∗ (𝟏, 𝟎𝟐)𝟏 𝑭 = 𝟓. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 [ 𝟎, 𝟎𝟐 En este caso se multiplica por (1+0.02) puesto que se requiere saber el valor al cabo de 1 año y la última anualidad se realizó en el mes once, entonces se prosigue a multiplicar para trasladar el valor y de esta forma se ubique en el mes doce. 𝑭 = $ 𝟔𝟖. 𝟒𝟎𝟏. 𝟔𝟓𝟕, 𝟔𝟏

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Una empresa acepta que un cliente le pague el valor de una compra realizada el día de hoy, en seis cuotas mensuales de $800.000 a partir del séptimo mes. Si la empresa aplica una tasa efectiva de interés del 2,5% mensual, ¿Cuál será el valor de la venta? Solución: Para realizar el ejercicio es necesario plantear la gráfica, de esta manera se logra un mejor análisis para desarrollarlo, además, es importante tener en cuenta los datos relevantes que nos ofrece el enunciado.  $ 800.000 de cuotas mensuales  Tasa de interés del 2.5% mensual

A i

 A partir del séptimo mes la primera anualidad y la última anualidad en el mes 12, puesto que se van a realizar seis cuotas mensuales, si se comienza en el mes 7, la última se ubica seis cuotas después del mes 7, es decir en el mes 12.

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n

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0

A= $800.000 7 meses

P

12 meses

p’

EL SEGUNDO PASO es identificar la fórmula que se va a utilizar de acuerdo al ejercicio, en este caso nos preguntan cuál será el valor de la venta, por lo tanto aluden al presente y de esta manera determinamos que para este ejercicio es necesario usar la fórmula del presente. Como el enunciado dice que el valor de la compra es del día de hoy, el presente se ubica en 0. 𝑷 = 𝑨(

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 ) 𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏

P=presente

A= anualidades

n=cantidad de anualidades

i=tasa de interés.

EL TERCER PASO es reemplazar los valores en la fórmula. 𝑷 = 𝟖𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ቂ

(𝟏,𝟎𝟐𝟓)𝟔 −𝟏

𝟏

ቃቂ ቃ 𝟎.𝟎𝟐𝟓(𝟏,𝟎𝟐𝟓)^𝟔 (𝟏,𝟎𝟐𝟓)𝟔

𝑷 = 𝟑𝟕𝟗𝟗𝟕𝟏𝟏. 𝟑𝟖𝟗

𝟏

Se multiplica por ቂ(𝟏,𝟎𝟐𝟓)𝟔 ቃ puesto que p’ o el presente de las seis anualidades se encuentran en el mes 6, ya que el presente se ubica un mes antes de la primera anualidad, de esta manera para llevarlo a 0 o al día de hoy para saber el valor de la venta, debo dividir por (1,025) ya que pienso retroceder y elevarlo por la cantidad de periodos necesarios para trasladarlo a 0, que en este caso son 6 periodos o meses.

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Si un padre inicia un ahorro mensual de $200.000, cuando su hijo cumple 1 año, ¿Cuál será el valor ahorrado, cuando este cumpla 18 años, si el banco donde hace el depósito le reconoce un interés anual del 0,6% mensual? Para comenzar a desarrollar este ejercicio es ideal realizar los siguientes pasos: F

EL PRIMER PASO es realizar una gráfica que ilustre el ejercicio:

0

A= $200.000 12 meses

216 meses

P (hoy)

1 año= 12 meses, (Se hace la primera anualidad) 18 años=216 meses, (Se hace la última anualidad) EL SEGUNDO PASO es transformar la tasa de interés de interés nominal a efectiva. (0,6% apm  i mensual)

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𝒊𝒂𝒑𝒎 =

𝟎, 𝟔 % = 𝟎, 𝟎𝟓% 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍 𝟏𝟐

1 año tiene 12 meses como es anual pagadero mensual y se quiere transformar a mensual efectiva, proseguimos a dividir en 12 ya que se está pasando de un periodo grande a uno de menor extensión. EL TERCER PASO es identificar la fórmula adecuada para resolver el ejercicio, como nos piden el valor ahorrado esto nos conduce a usar la fórmula de futuro.

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 ] 𝑭 = 𝑨[ 𝒊 F= futuro

i= tasa de interés n=cantidad de anualidades

A =anualidad

EL CUARTO PASO es reemplazar los datos en la formula 𝑭 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ቂ

(𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟓)𝟐𝟎𝟓 −𝟏 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟓

ቃ F= $ 43163568,34

El valor que corresponde al ahorro.

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EJERCICIO # 6 Se adquiere una lavadora para pagar en 15 mensualidades de $250.000. Si se considera el interés al 32% anual pagadero mensual ¿cuál es el valor de contado de la lavadora?

GRAFICA

SOLUCION

Los datos propuestos en el ejercicio son los siguientes n= 15 mensual A= 250000 Al reemplazar el porcentaje del interés anual y simplificando obtenemos que

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32% 12

= 𝑎𝑝𝑚 →

8 3

%𝑚 ---------- 2.66%

Que reemplazando en la ecuación para verificar obtenemos como resultado que el valor a pagar de contado por la lavadora es: F=250000[

(1+2,66%)15 −1 2,66%

]

F = 4, 535,550.754

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Los ex alumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $200.000 y el mantenimiento se estima en $35.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva es del 7% anual.

Grafica

Solución De los datos iniciales y sabiendo que la tasa efectiva es del 7% anual tomamos nuestra primera ecuación y en ella reemplazamos cada dato de la siguiente manera F= p (1+i)𝑛 P = 200.000 +35.000(

(1+7%)10 −1

7%(1+7%)10

)

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Simplificando la expresión obtenemos lo siguiente, en donde sabemos que P= 200.000+ 35.000 P = 700,00

Con una tasa del 0.07 para un valor de 700.000

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Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000.000 cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6% anual pagadero semanal.

Grafica

Solución Partiendo de la ecuación inicial y con una tasa efectiva de 6% anual. F= p (1+i)𝑛 Al reemplazar los datos obtenemos que 300.000= A [(1+0.06)5 -1] Tasa efectiva = 0.06

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F= 53.218,92 Despejando el valor desconocido y dividiendo entre el capital estimado. F=

300.000

[(1+0.06)5 −1]

F = 886,982

Y reemplazando finalmente el valor obtenido nos da como resultado F = 886.982 Respuesta

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El comprador de una casa de campo pagará $ 125,000.00 como cuota inicial y $ 3.200.000 al principio de cada mes durante 8 años. Si el interés es del 27% anual pagadero quincenal, ¿cuál es el valor de contado de la casa de campo?

Grafica

Solución Partiendo del enunciado sabemos que tenemos como cuota de inicial Cuota inicial = 125.000.000 Y además durante un periodo tenemos que A = 3.200.000 durante 8 años Reemplazando los valores en la ecuación y solucionando las potencias tenemos que: En 1 año hay 12 meses y 24 quincenas

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24

lm = (1 + 𝑙𝑞)12 − 1

24

lm = (1 + 1,125%)12 − 1 = 0,0226

Entonces el valor que se debe pagar de contado por la casa es: F = 3.200.000 (

(1+0,0226)97 0,0226

)

F = 1, 245, 551,632

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Un equipo industrial tiene un precio de contado de $ 900.000.000. Una fábrica lo adquiere mediante un pago inicial de $ 65,000.000 y 30 pagos mensuales de $ 60.000.000, el primero con vencimiento al cabo de un año y medio. ¿Qué tasa bimestral se está cargando? Tenemos que el precio de contado es

P = 900.000.000 Y unos pagos a n = 30 Pago inicial = 65.000.000 A = 60.000.000 Mediante la ecuación y reemplazando cada dato, para poder obtener la tasa bimestral se hace lo siguiente P=A(

(1+𝑙𝑚)𝑛 −1

𝑙𝑚(1+𝑙𝑚)𝑛

1

) (1+𝑙𝑚)18+ 65,000,000

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(1+𝑙𝑚)30 −1

1

900.000.000 = 60.000.000 (𝑙𝑚(1+𝑙𝑚)30 ) ((1+𝑙𝑚)18 ) + 65, 000,000 lm = 0,0653

Entonces la tasa que se encuentra cargada y de forma bimestral es 13

lb = (1 + 0,0653) 6 − 1 = 0,14689 𝑙𝑏 Interés bimestral = 0.14689

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¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada bimestre para acumular en dos años y medio $ 50.000.000, si la tasa de interés es del 1,57% mensual? ¿Qué cantidad de intereses se gana? DATOS  𝐹 = 50,000,000

 𝑖 = 1.57% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

 𝑛 = 2.5 𝑎ñ𝑜𝑠 = 15 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠  𝐼 =?

A 𝑖 = 1.57% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

15 14

𝐵𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

50.000.000

En este problema piden calcular la cantidad de intereses, para ello se aplica la siguiente formula 𝐼 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 = 𝐹 − 𝐴 ∗ 𝑛

En la ecuación anterior se necesita conocer el valor de A, para ello se hará uso de la ecuación

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(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝐹 = 𝐴[ ] 𝑖

Y se despeja A

(1.03164)15 − 1 50,000,000 = 𝐴 [ ] ∗ (1.03164)1 0.03164 Y aplicando la primera formula

𝐴 = 2,574,704

𝐴 ∗ 𝑛 = 2,574,704 ∗ 15 = 38,620,560

𝐼 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 = 50,000,000 − 38,620,560 𝐼 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 = 11,379,440

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Se compra una agenda electrónica cuyo precio de contado es de $ 1.000.000 y se va a liquidar en 4 pagos quincenales iguales. El primer pago es de inmediato y la tasa de interés es del 27% anual pagadero bimestral. Calcule el valor del pago quincenal. ¿Qué cantidad de intereses se paga? DATOS     

𝑃 = 1,000,000 𝑁 = 4 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑖 = 27% 𝑎𝑝𝑏 𝐴 =? 𝐼 =? 𝑁 = 4 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐼 = 27% 𝑎𝑝𝑏

3

𝑄𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠

1.000.000

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Para resolver este problema, en primer lugar se debe convertir la tasa de interés en efectiva vencida

𝑖 = 27%𝑎𝑝𝑏

𝑖 = 1.106% 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙

Después se procede hacer los correspondientes cálculos 𝑃 = 𝐴(

(1+𝑖)𝑛 −1) 𝑖∗(1+𝑖)𝑛

) (1)

Para esta fórmula se debe tener en cuenta que el valor va a dar un periodo atrás, por este motivo se deberá arreglar multiplicando por un factor De la primera fórmula se despeja A 1,000,000 = 𝐴 (

(1.01106)4 − 1 ) (1.01106)1 0.01106(1.01106)4 𝐴 = 254,139

Después de tener el valor de A se hallan los intereses 𝐼 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 = 𝐴 ∗ 𝑛 − 𝑃

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 = 254,139 ∗ 4 − 1,000,000

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 = 16,556

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 = 16,556

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En una tienda de deporte se vende una tienda de campaña por $ 3.800.000, al contado. Se puede comprar a crédito en 6 mensualidades anticipadas. Si la tasa de interés es del 23%anual pagadero bimestral, calcúlese el valor del pago mensual. DATOS:  𝐴 =?

 𝑁 = 6 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠  𝑃 = 3,800,000  𝑖 = 23% 𝑎𝑝𝑏

En primer lugar, se deberá realizar la conversión de la tasa de interés, nos la dan en anual pagadero bimestral y se procede a convertir en mensual efectiva vencida 𝑖 = 23%𝑎𝑝𝑏

𝑖 = 1.897% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑁 = 6 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠

𝑖 = 23% 𝑎𝑝𝑏 3.800.000

5

𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

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Después de realizar la gráfica y escribir los datos, se plantea las respectivas ecuaciones; en este caso se plantea la ecuación del presente ya que contamos con todos los datos de esa fórmula para así hallar el valor de los pagos

3,800,000 = 𝐴(

(1.01897)6 − 1 )(1.01897)1 0.01897(1.01897)6 𝐴 = 663,456

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Calcular el valor del pago trimestral anticipado que debemos hacer para amortizar una deuda de $ 15.000.000. La tasa de interés es del 29.25% anual pagadero semestral y son 22 pagos los que se van a realizar. DATOS:  𝑃 = 15,000,000

 𝑖 = 29.25% 𝑎𝑝𝑠

 𝑁 = 22 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠

 𝐴 =?

𝑖 = 29.25% 𝑎𝑝𝑠 A

15.000.000

21

𝑇𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

En este problema nos piden hallar el valor de cada pago, para ello, y observando los datos que nos da el problema, se procede hacer uso de la ecuación del presente. Antes de sustituir los datos, se debe tener en cuenta que los pagos son anticipados, por ello se deberá multiplicar por el factor que hace que exista una igualdad en la ecuación. Pero antes que nada se deberá hacer la respectiva conversión de la tasa de interés

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𝑖𝑠 =

29,25% = 14,625% 2

Como es anual pagadero semestral, se divide entre dos ya son los semestres que hay en un año, como consecuencia nos dará una tasa semestral, sin embargo, la se necesita una tasa trimestral 1

𝑖𝑡 = (1,14625)2 − 1 = 0,0706 = 7,06%𝑡 Después de realizar las conversiones, se plantea la ecuación de presente (1,0706)22 − 1 15,000,000 = 𝐴 [ ] ∗ (1,0706)1 0.0706(1.0706)22

De ella se despeja A

𝐴 = 1,27,968

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Un padre de familia ha destinado una cierta cantidad de dinero para que su hija estudie una carrera universitaria. La carrera dura 10 semestres y el dinero depositado en una cuenta bancaria gana el 7.33% trimestral. ¿Qué cantidad de dinero debe depositarse en la cuenta si el pago de la matrícula es de $ 1.700.000 y este no sube de precio? Considere que la hija inicia a estudiar 2 años después de que realiza el depósito.

DATOS  𝐴 = 1,700,000

 𝑁 = 10 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠

 𝑖 = 7.33% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙  𝑃 =?

𝑃

4

𝐴 = 1,700,000

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13

𝑆𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

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En este problema nos piden hallar cuanto hay que depositar P para poder pagar la matrícula de la universidad, para ello se hará uso de la fórmula de presente

𝑖𝑠 = (1,0733)2 − 1 = 0,15197 = 15,197%𝑠 Se hace la respectiva conversión de la tasa (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑃 = 𝐴[ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛

Se reemplaza los datos en la formula

(1,15197)10 − 1 1 𝑃 = 1700000 [ ] ∗ 0,15197(1,15197)10 (1,15197)3 Como se ha dicho en varias ocasiones, hay que tener cuidado con la fórmula del presente ya que el valor va dar un periodo atrás, como en la gráfica el valor dará en el semestre 3, y es de izquierda a derecha se deberá dividir (1,15197)3

Como consecuencia el valor será

𝑃 = 5.539.482

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Se realizan depósitos mensuales y anticipados durante un año, al 18% anual pagadero semestral para obtener $ 10.840.000. Hallar el valor de la cuota mensual. Se debe plantear la gráfica:

Cuota anual 0

𝑖 = 18% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

11

12 meses

𝐹 = $10.840.000

Debido a que la tasa esta nominal se debe pasar a efectiva, para eso se debe dividir entre 2 que es el número de semestres que tiene un año: 18 % 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 9% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 2

Después de eso se debe pasar a mensual, debido a que los pagos deben ser mensuales. Se pasa la tasa mensual, con la siguiente ecuación: (1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 )2 = (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 )12

Despejamos el 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 y se reemplazan los valores: 1

𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = (1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 )6 − 1

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1

𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = (1 + 0,09)6 − 1

𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 1,45%

Para hallar el valor de la cuota se debe tener en cuenta, la ecuación: 𝐹 = 𝐴[

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑖

El valor de la cuota se representa como A, y n es el número de pagos. Sustituyendo valores queda: (1 + 0,0145)12 − 1 ] ∗ (1 + 0,0145)1 $10.840.000 = 𝐴 [ 0,0145

De allí se despeja A y se halla el valor, el cual es: 𝐴 = $821.625

Como se observa al final se multiplica por (1 + 𝑖)𝑛 esto se debe a que todo se tiene que llevar a los doce meses y como al hallar el F se encuentra un periodo atrás se debe llevar al punto final, donde realmente se encuentra F. R/ El valor de cada cuota es de $821.625

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Una empresa vende terrenos por $ 270.000.000 al contado y le ofrecen que los venda a crédito mediante pagos mensuales anticipados de $ 20.000,000, al interés del 18% anual pagadero mensual. ¿Cuántos pagos se debe realizar? Se debe plantear la gráfica:

0

𝑃 = $270.000.000

𝐴 = $20.000.000 𝑖 = 18% 𝑎𝑝𝑚

n meses

Se debe cambiar la tasa de interés de nominal a efectiva, para eso se divide en 12 que es el número de meses que hay en un año: 18 % 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 1,5% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 15

Para hallar el número de cuotas se debe tener en cuenta la siguiente ecuación: (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑃 = 𝐴[ ] 𝑖 ∗ (1 + 𝑖)𝑛

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Donde A es el valor de la cuota y P es el valor presente que se encuentra un periodo atrás. Sustituyendo valores: (1 + 0,015)𝑛 − 1 ] ∗ (1 + 0,015)1 $270.000.000 = $20.000.000 ∗ [ 𝑖 ∗ (1 + 0,015)𝑛

Se observa que al final se multiplica por (1 + 0,015)𝑛 eso es debido a que como se

mencionaba anteriormente P de la ecuación esta un periodo atrás y hay que llevarlo al P de la gráfica. Resolviendo con solve la ecuación anterior, el valor de n es de: 𝑛 = 14,9 ≅ 15 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠

R/ El número de pagos es de 15

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¿A qué tasa de interés mensual, 10 cuotas bimestrales anticipadas de $ 400.000 acumularán un monto de $ 4.800.000?

0

𝐴 = $400.000

9 10 bimestres

𝐹 = $4.800.000

Primero se debe hallar la tasa de interés bimestral y luego pasarla a mensual, para hallar la tasa de interés bimestral se hace con basa a la ecuación: (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝐹 = 𝐴[ 𝑖

El valor de la cuota se representa como A, y n es el número de pagos. Sustituyendo valores queda:

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$4.800.000 = $400.000 [

(1 + 𝑖)10 − 1 ] ∗ (1 + 𝑖)1 𝑖

De allí se despeja i y se halla el valor, el cual es: 𝑖 = 3,29% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

Como se observa al final se multiplica por (1 + 𝑖)𝑛 esto se debe a que todo se tiene que llevar a los doce meses y como al hallar el F (de la ecuación) se encuentra un periodo atrás se debe llevar al punto final, donde realmente se encuentra F (el de la gráfica). Para pasar de interés bimestral a mensual se utiliza la relación: (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 )6 = (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 )12

Despejamos el 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 y se reemplazan los valores: 6

𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 )12 − 1 6

𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = (1 + 0,0329)12 − 1 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 1,63%

R/ El interés mensual es de 1,63%

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Hallar el valor de los depósitos mensuales que son necesarios realizar en una cuenta de ahorros que paga el 18% anual pagadero trimestral, para obtener en un año capital de $ 22.000.000 Primero se debe realizar la gráfica:

Cuota mensual 0

1

𝑖 = 18% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

12 meses

𝐹 = $22.000.000

Lo siguiente es pasar la tasa que es nominal a efectiva, para eso se debe dividir entre 4 que es el número de trimestres que tiene un año: 18 % 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 4,5% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 4

Después de eso se debe pasar a mensual, debido a que los pagos deben ser mensuales. Se pasa la tasa mensual, con la siguiente ecuación: (1 + 𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 )4 = (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 )12

Despejamos el 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 y se reemplazan los valores:

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4

𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = (1 + 𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 )12 − 1 4

𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = (1 + 0,045)12 − 1 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 1,48%

Para hallar el valor de la cuota se debe tener en cuenta, la ecuación: 𝐹 = 𝐴[

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑖

El valor de la cuota se representa como A, y n es el número de pagos. Sustituyendo valores queda: (1 + 0,0148)12 − 1 ] ∗ (1 + 0,0148)1 $22.000.000 = 𝐴 [ 0,0148

De allí se despeja A y se halla el valor, el cual es: 𝐴 = $1.688.848

Como se observa al final se multiplica por (1 + 𝑖)𝑛 esto se debe a que todo se tiene que llevar

a los doce meses y como al hallar el F se encuentra un periodo atrás se debe llevar al punto final, donde realmente se encuentra F. R/ El valor de cada cuota es de $1.688.848

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Un comerciante, debe cancelar una deuda en 3 años con pagos semestrales de $ 5.000.000, el deudor conviene con su acreedor cancelar la deuda en 5 años, con cuotas semestrales. Hallar el valor de los nuevos pagos, si la tasa del interés es del 24% anual pagadero semestral. Este ejercicio se debe dividir en dos partes, en una cuando la deuda está por 3 años y la otra para los 5 años. Parte 1 Se plantea la gráfica:

𝐴 = $5.000.000

0 1

𝑖 = 24% 𝑎𝑝𝑠

𝑃 =?

6 semestres

Lo siguiente es hallar P, la cual nos sirve para realizar la segunda parte. Pero antes de eso se debe cambiar la tasa de interés nominal a efectiva para esto se divide en 2 que es el número de semestres que tiene un año. 24 % 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 12% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 2

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Una vez cambiada la tasa de interés, se procede a hallar P con la ecuación: 𝑃 = 𝐴[

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑖 ∗ (1 + 𝑖)𝑛

Donde A es el valor de la cuota y P es el valor presente que se encuentra un periodo atrás. Sustituyendo valores: (1 + 0,12)6 − 1 ] 𝑃 = $5.000.000 ∗ [ 0,12 ∗ (1 + 0,12)6

𝑃 = $20.557.037

Parte 2

Como el deudor propone cancelar la deuda en 5 años, entonces se debe volver a plantear la gráfica, la cual queda:

𝐴 =?

0 1

𝑖 = 24% 𝑎𝑝𝑠

𝑃 = $20.557.037

10 semestres

Para hallar el valor de la anualidad utilizamos la ecuación mencionada en la parte 1, en este caso solo se sustituyen valores: (1 + 0,12)10 − 1 $20.557.037 = 𝐴 [ ] 0,12 ∗ (1 + 0,12)10

Se despeja y se halla el valor de A, el cual nos da: 𝐴 = $3.638.270

R/ El valor de los nuevos pagos es de $3.638.270

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Un padre de familia deposita hoy $ 12.500.000 en una entidad financiera que reconoce un interés el 6% de interés anual pagadero bimestral para que su hijo reciba una anualidad de $ 3.000.000 y solventar sus estudios, recibiendo la primera anualidad dentro de 10 años. ¿Cuántos retiros anuales y completos podrán hacer el hijo?

Solución: se realiza el grafico, el deposito que realiza hoy se coloca arriba, el valor futuro (a los 10 años) se coloca abajo, se hace la anualidad después de ese tiempo (de haber recibido la primera) hasta un valor N.

Hoy - 12.500.000

3.000.000/anual 10 AÑOS

I: 6% APB

F

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N

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 Se cambia la tasa de interés de nominal a efectiva, usando el procedimiento:

I=

6 % = 1% bimestral 6

(1 + 0,01) 6 = (1 + ia) 1 𝟔

𝑖𝑎 = (1,01) 𝟏 − 1 = 0,0615 = 6,15%anual

 Se usa la siguiente formula, para hallar el valor futuro que tendrá transcurridos los 9 años (ya que al décimo recibe la primera anualidad) después del depósito, es decir:

F = P(1 + I)n

F = 12.500.000 (1 + 0,0615)9 F = 21.388.976

 Se usa la siguiente formula de presente, en donde se reemplazan los datos para despejar N, es decir:

𝑃 = A[

(1 + i)n − 1 ] i(1 + i)n

(1 + 0,0615)n − 1 21.388.976 = 3.000.000 [ ] 0,0615(1 + 0,0615)n N = 9, 66

RTA/ El hijo podrá hacer 9 retiros anuales y completos.

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Una señora hereda $ 500.000.000 En lugar de retirar el dinero lo invierte al 7% anual pagadero semestral conviniéndose que se recibirá 20 pagos semestrales iguales debiendo recibir el pago inicial dentro de 5 años. Encontrar el valor de cada uno de los pagos.

Solución: se realiza el grafico, el dinero que hereda se coloca arriba, se hace la anualidad (A) empezando desde el primer pago (decimo semestre) hasta el 20.

Hoy - 500.000.000

A 1er pago – 10 semestre

N = 20 pagos semestrales

I: 7% APS

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 Se cambia la tasa de interés de nominal a efectiva:

I=

7 % = 3,5% semestral 2

 Se usa la siguiente formula de presente, en donde se reemplazan los datos para despejar A, es decir:

𝑃 = A[ 500.000.000 = A ቂ

(1 + i)n − 1 ] i(1 + i)n

(1+0,035)20 −1

0,035(1+0,035)20

ቃ*ቂ

1 (1+0,035)9

ቃ

A = 47.947.462

RTA/ El valor de cada uno de los pagos es de $47.947.462 al invertir el dinero.

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¿A qué tasa de interés anual, 10 cuotas mensuales anticipadas de $ 400.000 acumularon un monto de $ 4.800.000? solución: se realiza el grafico 400.000/mensuales

hoy 0 1

2 3 4

5

6 7 8

9 10

4.800.000

 se usa la siguiente formula, en donde se reemplazan los datos, para despejar i: (1 + i)n − 1 ] F = A[ i

(1 + i)10 − 1 4.800.000 = 400.000 [ ] i im = 0,0398 = 3,98%

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 la tasa anterior mensual se cambia a anual: ( 1 + 0,0398) 12 = (1 + ia) 1 ia = (1.0398) 𝟏𝟐 − 1 = 0.5973 ia = 59,73% anual

RTA/ La tasa de interés anual es del 59,7%, en donde se acumula un monto de $ 4.800.000

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Usted debe pagar hoy $ 4.000.000. Como no cuenta con esa cantidad disponible acuerda con su

acreedor pagar mediante 6 cuotas de $ 750.000 al final de cada mes que tasa de interés anual se aplica en esta operación. solución: se realiza el grafico

750.000

1mes 2mes

3mes

4mes

5mes 6mes

4.000.000

 se usa la siguiente formula, en donde se reemplazan los datos, para despejar i:

(1 + i)n − 1 ] P = A[ i(1 + i)n

4.000.000 = 750.000 [

(1 + 𝑖)6 − 1 ] 𝑖(1 + 𝑖)6

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im = 0,0347 = 3,47%  la tasa anterior mensual se cambia a anual: ( 1 + 0,0347) 12 = (1 + ia) 1 ia = (1.0398) 𝟏𝟐 − 1 = 0.5058 ia = 50,58% anual

RTA/ La tasa de interés anual que se aplica es del 50,58% anual en esta operación.

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Cuantos pagos semestrales de $ 800.000 se deben hacer para cancelar una deuda de $42.000.000 al 8% anual pagadero semestral.

solución: se realiza el grafico 800.000/ semestral I =8% APS

42.000.000

 Se cambia la tasa de interés de nominal a efectiva:

I=

8 % = 4% semestral 2

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N

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 Se usa la siguiente formula de futuro, en donde se reemplazan los datos para despejar N, es decir: (1 + i)n − 1 F = A[ ] i

(1 + 0,04)N − 1 42.000.000 = 800.000 [ ] 0,04 N = 28,84 = 29 pagos semestrales

RTA/ Se debe hacer 29 pagos semestrales para cancelar una deuda de $42.000.000

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Una persona renta un departamento por $ 970.000 al mes durante un año. La renta se debe pagar por adelantado cada mes. ¿Cuál es el valor presente de las rentas de un año, tomando como base una tasa de interés del 21.5% anual?

NOTA: P se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de A.

A: $970.000 i = 21.5% anual= 0,215

$970.000 0 -1

21.5% anual

P=?

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Meses 11

12

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Primero convertimos la tasa de interés anual a una tasa de interés mensual ya que el periodo de tiempo que vamos a manejar es en meses.

Utilizando la siguiente formula: (1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑚)12 Despejando: 1

im = (1 + ia)12 − 1 1

im = (1 + 0,215)12 − 1 = 0,01636 = 1,636% mensual

Ahora empleamos la fórmula para hallar presente en anualidad:

P=A

[(1 + i)n − 1] ∗ (1 + i)n [i(1 + i)n ]

Se calcula el presente con la formula correspondiente, se debe tener en cuenta el traslado del verdadero presente pues al aplicar la formula indicada, el presente aparece un periodo atrás o sea en -1. Por eso multiplicamos por (1,01636)1 . [(1 + 0,01636)12 − 1] ∗ (1,01636)1 p = 970.000 [0,01636(1 + 0,01636)12 ] 𝐏 = $𝟏𝟎. 𝟔𝟔𝟐. 𝟖𝟑𝟐

Conclusión: el valor presente de las rentas del año es de $10.662.832

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Un equipo de sonido puede comprarse pagando $ 170.000 de cuota inicial y 24 pagos mensuales de $ 150.000 cada uno. ¿Cuál es el precio de contado si el interés cobrado es un 32% anual pagadero mensual? ¿Qué cantidad de intereses se está pagando?

$170.000

$150.000 Meses 32 % anual pagadero mensual

0 1

24

P

Primero se debe transformar la tasa nominal a efectiva así: dividiendo la tasa de interés en el número de meses que tiene un año.

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32% = 2.67% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12 Ahora empleamos la fórmula para hallar presente en anualidad:

P=A

[(1 + i)n − 1] ∗ (1 + i)n [i(1 + i)n ]

En este caso tenemos una cuota inicial de un valor de $170.000, más la cuota por 24 meses de $150.000, también podemos notar que en este caso el punto focal está ubicado donde queremos hallar el presente y como el primer pago de A esta ubicado en 1 y el presente siempre se encuentra un periodo atrás de donde esta A, al trasladarlo quedaría en cero, en el mismo punto focal.

P = Cuota inicial + A

P = 170.000 + 150.000

[(1 + i)n − 1] [i(1 + i)n ]

[(1 + 0,0267)24 − 1] [0,0267(1 + 0,0267)24 ]

𝐏 = $𝟐. 𝟖𝟎𝟑. 𝟎𝟒𝟓

El interés de contado del equipo es de $2.803.910

Ya sabemos que: 𝑭= 𝐏+𝐈

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Despejando: 𝑰= 𝐅−𝐏 Para poder saber la cantidad de intereses que se está pagando debemos hallar F con la siguiente formula: F = Cuota inicial + A

[(1 + i)n − 1] [i]

NOTA: El valor futuro siempre está en donde está el último valor de A.

F = 170.000 + 150.000

[(1 + 0,0267)24 − 1] [0,0267]

F = $5.125.685

Teniendo el valor del Futuro, empleamos la siguiente formula: 𝑰= 𝐅−𝐏

𝑰 = $𝟓. 𝟏𝟐𝟓. 𝟔𝟖𝟓 − $𝟐. 𝟖𝟎𝟑. 𝟎𝟒𝟓 𝐈 = $𝟐. 𝟑𝟐𝟐. 𝟔𝟒𝟎

La cantidad de intereses es de $2.322.640

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Una persona renta su casa en $1.840.000 mensuales anticipados e invierte este dinero a una tasa de interés del 15% anual pagadero mensual. Si el arrendatario pagó la renta por mes vencido, ¿qué pérdida le significó a la persona en un año?

Lo que nos quiere decir el ejercicio es que la persona a medida que va recibiendo el dinero del arriendo lo va invirtiendo.

$1.840.000 0

Meses

15% anual pagadero mensual 11 12

F1

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NOTA: El valor futuro siempre está ubicado en donde está ubicado el último valor de A Primero convertimos la tasa de interés anual pagadero mensual a una tasa de interés mensual ya que el periodo de tiempo que vamos a manejar es en meses, primero dividimos la tasa de interés 15% anual pagadero mensual en el número de meses que tiene un año.

15% = 1.25% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12 Ahora hallaremos el futuro de la inversión que el señor hizo a medida que le pagaban el arriendo; empleando la siguiente formula: F=A

Reemplazamos:

[(1 + i)n − 1] [i]

∗ (1 + i)n

[(1 + 0,0125)12 − 1] F1 = 1.840.000 ∗ (1 + 0,0125)1 [0,0125]

𝐅𝟏 = $𝟐𝟑. 𝟗𝟓𝟖. 𝟖𝟓𝟑

Plantearemos el ejercicio con un arriendo por mes vencido:

$1.840.000 0

1

15% anual pagadero mensual

Meses 12

F2

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Empleamos la siguiente formula: F=A

[(1 + i)n − 1]

F2 = 1.840.000

[i]

[(1 + 0,0125)12 − 1] [0,0125]

𝐅𝟐 = $𝟐𝟑. 𝟔𝟔𝟑. 𝟎𝟔𝟓

Ya tenemos los dos valores correspondientes a un pago de un arriendo anticipado y otro pago de arriendo vencido, entonces hallaremos la pérdida que se le significo a la persona restando el valor futuro 1 con el valor futuro. perdida = F1 − F2 𝐏𝐞𝐫𝐝𝐢𝐝𝐚 = $𝟐𝟑. 𝟗𝟓𝟖. 𝟖𝟓𝟑 − $𝟐𝟑. 𝟔𝟔𝟑. 𝟎𝟔𝟓 𝐏𝐞𝐫𝐝𝐢𝐝𝐚 = $𝟐𝟗𝟓. 𝟕𝟖𝟖

Si el arriendo hubiese sido pagado por adelantado la persona hubiese ganado $295.788 más.

Conclusión: la persona perdió $295.788

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Una persona depositó $ 1.210.000 al principio de cada mes en un fondo que paga 16% anual pagadero mensual. Después de 2 años ella no hizo más depósitos, pero dejó el dinero en el fondo por otros dos y medio años a la misma tasa de interés. ¿Cuán es el valor del fondo al final de ese tiempo?

Acá nos indican que una persona deposito en un fondo $1.210.000 mensuales anticipados

durante 24 meses que es equivalente a 2 años, esta persona deja su ahorro 2 años y medio lo que es equivalente a 30 meses, por tanto nos están pidiendo el futuro de este fondo 54 meses después a partir de la primera cuota. Planteamos el ejercicio de la siguiente manera:

$1.210.000 0

16% anual pagadero mensual

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meses 24

54

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Convertimos la tasa de interés de 16% anual pagadero mensual a una tasa de interés mensual dividiendo la tasa de interés 16% en la cantidad de meses que tiene un año así: 16% 12

= 1.33% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

Teniendo la tasa de interés mensual aplicamos la siguiente formula:

[(1 + i)n − 1] F=A ∗ (1 + i)n [i]

F = 1.210.000

[(1 + 0,01333)24 − 1] ∗ (1 + 0,01333)31 [0,01333]

𝐅 = $𝟓𝟏. 𝟏𝟗𝟕. 𝟏𝟖𝟗 Conclusión: el valor del fondo al final de ese tiempo es $51.197.189

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La prima a pagar de un seguro de incendio es de $ 2.800.000 por trimestre anticipado. ¿Cuál será el precio de contado del seguro anual, si la compañía cobra el 20% de interés anual pagadero semestral cuando el seguro se paga en abonos trimestrales?

Como los pagos son anticipados quiere decir que empieza a cancelar en cero, haciendo referencia que cero es tomado como el día en el que dio la primera cuota anticipada para el seguro de incendio; y como los pagos son durante un año, la última cuota se dará en el trimestre 3; ya que es anticipada y un año tiene 4 trimestres.

$2.800.000 0

1

20%anual pagadero semestral

P

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Trimestres 3

4

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Primero convertimos la tasa de interés anual pagadero semestral en una tasa de interés trimestral de la siguiente forma: 20% = 10% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 2

Ahora convertimos el interés semestral a interés trimestral con la siguiente formula: (1 + 𝑖𝑠)2 = (1 + 𝑖𝑡)4 (1 + 𝑖𝑠)2 = (1 + 𝑖𝑡)4

Despejamos el interés que queremos hallar que es el interés trimestral así:

2

𝑖𝑡 = (1 + 𝑖𝑠)4 − 1 2

𝑖𝑡 = (1 + 0.10)4 − 1

𝑖𝑡 = 0.0488 = 4.88%

Teniendo el interés trimestral empleamos la siguiente formula: (1 + i)n − 1 P = A( ) i(1 + i)n p = 2.800.000

[(1 + 0.0488)4 − 1] ∗ (1 + 0.0488)1 [0.0488(1 + 0.0488)4 ]

𝑷 = $𝟏𝟎. 𝟒𝟒𝟐. 𝟐𝟕𝟐 Conclusión: el precio de contado del seguro es de $10.442.272 Conclusión: el precio de contado del seguro es de $10.442.272

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Una persona desea acumular $ 32.900.000 dentro de 3 años. Para reunir dicha cantidad decide hacer depósito de trimestrales vencidos que crecen $120.000 cada año en un fondo de inversiones que rinde el 6.4% anual pagadero trimestral. Cuál es el valor de la primera consignación. Solución. En primer lugar se realiza la gráfica:

Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva trimestral:

Se debe tener en cuenta que en un año hay cuatro trimestres. El punto focal es el trimestre 12:

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Con el programa SOLVE de la calculadora científica se determina que: 𝑋 = 2.393.786 Repuesta. El valor de la primera consignación es de $ 2.393.786

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¿Cuántos depósitos de fin de mes de $ 500.000 se necesitan para acumular un monto de $12.000.000 en una entidad que paga una tasa de 4% anual pagadero mensual?

Solución. Representación gráfica del ejercicio:

Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva mensual.

Se sabe que en un año hay 12 meses

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Aplicar la fórmula de valor futuro de las anualidades: 𝐹 = 𝐴 ⌈

(1+𝑖)𝑛 −1 0,0033

⌉

Respuesta: el número de consignaciones que debe hacer la persona son 23

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¿Con cuántas cuotas constantes trimestrales vencidas de $ 500.000 se podrá amortizar un préstamo de $ 5.000.000 por el cual se paga una tasa de 6.2% trimestral?

Solución. Grafica de la situación planteada:

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Con el programa SOLVE de la calculadora científica se determina que: 𝑛 = 16 Respuesta: se necesitan 16 cuotas trimestrales vencidas para amortizar el préstamo.

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Con el objeto de retirar $ 800.000 cada bimestre una persona deposita $ 10.000.000 en un banco que ofrece una tasa de interés del 2% mensual hasta el mes 6 y del 4.5% bimestral de ahí en adelante ¿Cuantos retiros podrá efectuar?

Solución.

Grafica:

En la gráfica hacia arriba son los retiros y hacia abajo los depósitos. En la gráfica 3 bimestres corresponde a 6 meses Transformar la tasa de interés 2% mensual a bimestral: 𝑖𝑏 = (1 + 0,02)2 − 1 = 0,0404 = 4,04% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙.

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El punto focal lo tomamos en P: se debe llevar las dos anualidades hasta el punto 0

Con el programa SOLVE de la calculadora científica se determina que: 𝑛 = 15,4 Se debe sumar los tres retiros realizados a la tasa de interés del 4,04% b. Respuesta: n = 15+3 = 18 retiros en total podrá efectuar

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Usted deposita cada fin de bimestre en una cuenta de ahorro la suma de $ 1.200.000 durante 2 ½ años al final de este tiempo retira la suma total de $ 22.500.000. Cuál es la tasa de interés bimestral? Solución. Interpretación grafica del ejercicio

Dos años y medio = 15 bimestres. En esta grafica las consignaciones son hacia arriba y los retiros hacia abajo. Aplicamos la fórmula:

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Con el programa SOLVE de la calculadora científica se determina que: 𝑖𝑏 = 0,0311 = 3,11% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Respuesta. La tasa de interés que reconoce la entidad es del 3,11% bimestral.

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Un pequeño empresario para reponer su equipo de producción hoy, está en capacidad de realizar 36 pagos de $3´600.000 bimestrales, a partir del bimestre 4; si el banco que financia la operación cobra una tasa de interés del 24% anual pagadero mensual. ¿De cuánto dinero dispondrá para la reposición de los equipos? Solución. Se realiza la gráfica respectiva.

En la gráfica, del bimestre 4 al bimestre 39 se han realizado 36 pagos. Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva bimestral. Se debe tener en cuenta que en un año hay doce meses y en un bimestre hay dos meses.

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El punto focal lo tomamos en P: Se determina el valor presente de la anualidad y posteriormente se lleva al punto cero. Recordar que el valor presente de una anualidad cae un periodo de tiempo atrás.

Luego: 𝑃 = 60.110.663 Respuesta: la cantidad de dinero con la que dispone para realizar la reposición de sus equipos es de $ 60.110.663.

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Una persona desea comprar un automóvil que tiene un precio de $64´000.000 a través de un crédito. Si la empresa de financiamiento ofrece las siguientes condiciones: préstamo del 90% del valor total para cancelar en cuotas iguales durante 60 meses y una tasa efectiva de interés del 0,95% mensual, ¿Cuál será el valor de la cuota mensual? Solución. Realizar la gráfica:

P es el préstamo por parte de la empresa de financiamiento. Aplicamos la fórmula:

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Respuesta: el valor de la cuota mensual será de $ 1.263.884.

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De cuánto deberá ser el ahorro mensual de una persona que proyecta adquirir una casa de $80´000.000 dentro de cinco años, si la fiducia le asegura una tasa de interés efectiva mensual del 0,7%. Solución. Interpretación grafica de la situación:

Los cinco años = 60 meses. Aplicamos la fórmula de valor futuro de la anualidad:

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Respuesta: el ahorro mensual que debe hacer la persona durante los cinco años es de $ 1.077.470.

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Un padre de familia quiere conocer de cuánto dispondrá para la educación superior de su hijo, si inicia un ahorro mensual de $300.000, un mes antes de que cumpla 10 años y hasta cuando cumpla 18, edad en la cual estima iniciara los estudios universitarios; la fiducia donde se realiza el ahorro asegura una de interés del 10% anual pagadero mensual Solución. Se debe realizar en primer lugar la gráfica:

En la gráfica se puede ver la relación entre años y meses. El valor de “n” corresponde al número de consignaciones mensuales realizadas en 8 años y le agregamos la que se realizó un mes antes de los 10 años. Es decir que en total se realizaron 97 consignaciones.

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Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva mensual:

Respuesta: el padre tendrá ahorrados $ 44.439.748 para la educación superior de su hijo cuando cumpla los 18 años.

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Cuántos pagos semestrales deberá realizar un padre de familia para pagar primera matricula de la universidad de su hijo que estima le costará $4´500.000 dentro de 5 años; el banco reconoce por este tipo de ahorros una tasa de interés del 7% semestral Solución. Interpretación grafica del ejercicio:

Los cinco años corresponden a 10 semestres. Aplicar la fórmula de valor futuro:

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Respuesta. La anualidad semestral debe ser de $ 325.699.

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Un equipo cuyo valor de contado es de $1.000.000.000 se vende con un pago inicial de $100.000.000 y el saldo en pagos mensuales de $80.850.000. Si la tasa de interés cargada es del 24% anual pagadero semestral, encuentre el número de pagos necesarios para saldar la deuda.

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.

$100.000.000 A = $80.850.000

0 1

i = 24% anual pagadero semestral

P =$1.000.000.000 NOTA: 1 año = 2 semestres Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el número de pagos: ¿ n?

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¿n?

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Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es mensual. i = 24% anual pagadero semestral a % mensual i=

24 % anual pagadero semestral = 12% semestral = 0,12 2 semestres

(1 + is )2 = (1 + im )12 2

12

(1 + 0,12)12 = (1 + im )12 1

im = (1 + 0,12)6 − 1

im = 0,019 = 1,90% Cuarto paso: Planteamos la fórmula que usaremos. (1 + i)n − 1 ) P = A( i (1 + i)n Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. (1 + i)n − 1 ) P = A( i (1 + i)n

(1 + 0,019)n − 1 ) 1.000.000.000 = 100.000.000 + 80.850.000 ( 0,019 (1 + 0,019)n n = 12,6 mensualidades

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Se conviene en pagar una deuda con abonos de $2.700.000, a comienzos de cada trimestre, durante 4 años. Hallar el valor de la deuda con la tasa del 30% anual pagadero mensual.

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.

A = $2.700.000

0

i = 30% anual pagadero mensual ¿P?

4 años 15 trimestres

NOTA: El dibujo inicia desde 0 y termina en 15, ya que en el ejercicio dice que los abonos se pagan a comienzos de cada trimestre. 1 año = 4 trimestres 4 años = 16 trimestres 1 año = 12 meses

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Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el presente: ¿ P? Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es trimestral. i = 30% anual pagadero mensual a % trimestral i=

30 % anual pagadero mensual = 2,5% mensual = 0,025 12 meses

(1 + im )12 = (1 + it )4 12

4

(1 + 0,025) 4 = (1 + it )4

it = (1 + 0,025)3 − 1

it = 0,0769 = 7,69% Cuarto paso: Planteamos la fórmula que usaremos. (1 + i)n − 1 ) P = A( i (1 + i)n Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. (1 + i)n − 1 ) P = A( i (1 + i)n P = 2.700.000 ( F = $23.554.553

(1 + 0,0769)15 − 1 ) 0,0769 (1 + 0,0769)15

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Suponiendo una tasa de interés del 35% anual pagadero trimestral, ¿qué pagos iguales hechos al final de cada semestre, durante 4 años y 6 meses, amortizarán una deuda de $200.000.000?

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.

¿A? 0 1

i = 35% anual pagadero trimestral 4 años y 6 meses

P = $200.000.000

9 semestres

NOTA: 1 año = 2 semestres 4 año = 8 semestres 12 meses = 2 semestres 6 meses = 1 semestre

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Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan los pagos semestrales: ¿ A? Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es semestral. i = 35% anual pagadero trimestral a % semestral i=

35 % anual pagadero trimestral = 8,75% trimestral = 0,0875 4 trimestral

(1 + is )2 = (1 + it )4 2

4

(1 + is )2 = (1 + 0,0875)2

is = (1 + 0,0875)2 − 1

is = 0,1826 = 18,26% Cuarto paso: Planteamos la fórmula que usaremos. (1 + i)n − 1 ) P = A( i (1 + i)n Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. (1 + i)n − 1 ) P = A( i (1 + i)n

(1 + 0,1826)9 − 1 200.000.000 = A ( ) 0,1826 (1 + 0,1826)9 F = $46.882.663

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Una empresa desea acumular $1.000.000.000 en un fondo de amortización, al término de 7 años. ¿Qué depósito hecho al final de cada bimestre es necesario, si el fondo paga un 9,5% anual pagadero quincenal?

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. F = $1.000.000.000

¿A? 0 1

i = 9,5% anual pagadero quincenal

NOTA: 1 año = 6 bimestres 7 años = 42 bimestres Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan los pagos semestrales: ¿ A?

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7 años 42 bimestres

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Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es semestral. i = 9,5% anual pagadero quincenal a % bimestral i=

9,5 % anual pagadero quincenal = 0,40% quincenal = 0,0040 24 quincenas

(1 + ib )6 = (1 + iq )24 6

24

(1 + ib )6 = (1 + 0,0040) 6 ib = (1 + 0,0040)4 − 1 ib = 0,016 = 1,6%

Cuarto paso: Planteamos la fórmula que usaremos. (1 + i)n − 1 F = A( ) i Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. (1 + i)n − 1 ) F = A( i

(1 + 0,016)42 − 1 1.000.000.000 = A ( ) 0,016 F = $16.881.887

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Se compra un automóvil usado valuado en $63.400.000 dólares. Paga $6.400.000 de cuota inicial y acuerda pagar $1.100.000 al final de cada quincena. Hallar el número de pagos completos y el pago final, una quincena después, si la tasa de interés es del 14% anual pagadero bimestral.

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.

$6.400.000 A = $1.100.000

0 1

i = 14% anual pagadero bimestral

P = $63.400.000

Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el número de pagos: ¿ n?

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¿n?

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Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es quincenal. i = 14% anual pagadero bimestral a % quincenal i=

14 % anual pagadero bimestral = 2,33% bimestral = 0,0233 6 bimestres

(1 + ib )6 = (1 + iq )24 6

24

(1 + 0,0233)24 = (1 + iq )24 1

iq = (1 + 0,0233)4 − 1

iq = 0,00577 = 0,577%

Cuarto paso: Planteamos la fórmula que usaremos. (1 + i)n − 1 ) P = A( i (1 + i)n Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. (1 + i)n − 1 P = A( ) i (1 + i)n

(1 + 0,00577)n − 1 63.400.000 = 6.400.000 + 1.100.000 ( ) 0,00577 (1 + 0,00577)n n = 61,7

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El dueño de un automóvil antiguo, valuado en $500.000.000, piensa venderlo y recibe por él las siguientes ofertas: A. $50.000.000 al contado y el saldo en 6 pagos bimestrales vencidos de $85.000.000 cada uno. B. 12 pagos mensuales de $49.000.000 cada uno, efectuando el primer pago de inmediato. Si la tasa de interés promedio del dinero es un 15% anual, ¿qué oferta le conviene más? Se deben analizar las dos propuestas por separado, por lo tanto se dibujan dos graficas correspondientes Propuesta A Grafica Correspondiente $50.000.000 $85.000.000 0

P

1

6

15%a

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Pagos bimestrales

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Se transforma la tasa de interés anual a bimestral, para manejarla adecuadamente con los pagos bimestrales

1

(1 + 𝑖𝑏)6 = (1 + 𝑖𝑎)1 1

𝑖𝑏 = (1 + 𝑖𝑎)6 − 1 = (1 + 0.15)6 − 1 = 0.0236 = 2.36%𝑏 Se calcula el presente con la formula correspondiente. Se debe tener en cuenta que en anualidades n significa número de pagos, y no numero de periodos como significaba anteriormente (1 + 𝑖𝑏)6 − 1 ] 𝑃 = 𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝐴 [ 𝑖𝑏(1 + 𝑖𝑏)6

(1 + 0.0236)6 − 1 𝑃 = $50.000.000 + $85.000.000 [ ] = $520.390.722 0.0236(1 + 0.0236)6

Propuesta B Grafica correspondiente

$49.000.000 0

P

1

11

15%a

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Pagos mensuales

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Se transforma la tasa de interés anual a mensual, para manejarla adecuadamente con los pagos mensuales

1

(1 + 𝑖𝑚)12 = (1 + 𝑖𝑎)1 1

𝑖𝑚 = (1 + 𝑖𝑎)12 − 1 = (1 + 0.15)12 − 1 = 0.0117 = 1.17%𝑚 Se calcula el presente con la formula correspondiente, se debe tener en cuenta el traslado del verdadero presente pues al aplicar la formula indicada, el presente aparece un periodo atrás, en este caso se debe trasladar un periodo después para indicarlo correctamente en su lugar.

(1 + 𝑖𝑚)12 − 1 ] (1 + 𝑖𝑚)1 𝑃 = 𝐴[ 𝑖𝑚(1 + 𝑖𝑚)12 El P de la formula al aplicarla, se encontraría un periodo atrás del cero (-1) por lo tanto se multiplica o se traslada un periodo después Nota: Siempre los traslados entre fechas, si se hacen de izquierda a derecha se multiplica 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 y si es de derecha a izquierda se divide 𝑃 =

𝐹

(1+𝑖)𝑛

(1 + 0.0117)12 − 1 ] (1 + 0.0117)1 = $552.004.692 𝑃 = $49.000.000 [ 0.0117(1 + 0.0117)12 𝑃 = $552.004.692

La oferta que conviene recibir es la B, pues recibirá más dinero por el automóvil

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El beneficiario de una herencia puede optar por recibir $ 380.500.000 de inmediato o recibir 20 pagos trimestrales, el primero de ellos se hace de inmediato. ¿Cuál será el valor del pago trimestral si el dinero está invertido al 16% anual? Grafica Correspondiente

A 0 19

$380.500.000

Pagos trimestrales

16%a

Como se quiere analizar la propuesta, se debe igualar los $380.500.000 con los pagos de anualidades, es por eso que en la gráfica están planteados como un presente, no quiere decir que sea una deuda por cancelar

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Se transforma la tasa de interés anual a trimestral, para manejarla adecuadamente con los pagos trimestrales

1

(1 + 𝑖𝑡)4 = (1 + 𝑖𝑎)1 1

𝑖𝑡 = (1 + 𝑖𝑎)4 − 1 = (1 + 0.16)4 − 1 = 0.0378 = 3.78%𝑡

Con la fórmula del presente, se plantea la ecuación correspondiente a la gráfica y se despeja la incógnita (1 + 0.0378)20 − 1 ] (1 + 0.0378)1 $380.500.000 = 𝐴 [ 0.0378(1 + 0.0378)20 𝐴 = $26.455.153

Para aceptar la oferta de los pagos trimestrales dichos pagos deben ser de $26.455.153

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Un auto nuevo con valor de $ 75.000.000 será arrendado por 4 años, con la opción de comprarlo al precio de $ 15.000.000 al final del periodo de arrendamiento. Si el arrendador desea tener un rendimiento del 19.5% anual pagadero semanal, ¿de qué cantidad deben ser los pagos mensuales, hechos al inicio del mes?

Datos del problema P=$75.000.000 Valor del automóvil n= 48 pagos mensuales que equivalen a los 4 años X=$15.000.000 Pago realizado al final de los 4 años i= 19.5%apse tasa de interés o rendimiento del arrendatario A= Pagos mensuales

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Grafica del Problema

$15.000.000

A

47

0

48

$75.000.000

Se transforma la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva mensual para estar acorde con los pagos mensuales 19.5%𝑎𝑝𝑠𝑒 = 0.406%𝑠𝑒 = 0.00406 48 (1 + 𝑖𝑚)12 = (1 + 𝑖𝑠𝑒)48 48

𝑖𝑚 = (1 + 𝑖𝑠𝑒)12 − 1 48

𝑖𝑚 = (1 + 0.00406)12 − 1 = 0.0163 = 1.63%𝑚 Una vez transformada la tasa de interés ya se puede emplear la ecuación correspondiente del presente para anualidades y despejar la incógnita A

(1 + 𝑖𝑚)48 − 1 𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑃 = 𝐴[ ] (1 + 𝑖𝑚)1 + 48 𝑖𝑚(1 + 𝑖𝑚) (1 + 𝑖𝑚)48 Se debe tener en cuenta el traslado del verdadero presente, pues al aplicar la formula indicada, el presente aparece un periodo atrás. en este caso se debe trasladar un periodo después para indicarlo correctamente en su lugar debido a que los pagos realizados son al inicio del mes.

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El último pago realizado también se debe trasladar al cero para que la suma sea válida, pues no se puede sumar dinero con un valor hoy y dinero con un valor dentro de 4 años ya que el valor del dinero cambia con el tiempo Reemplazando los datos en la ecuación

$75.000.000 = 𝐴 [

(1 + 0.0163)48 − 1 $15.000.000 ] (1 + 0.0163)1 + 48 (1 + 0.0163)48 0.0163(1 + 0.0163)

Despejando y Resolviendo 𝐴 = $2.023.305 Los pagos mensuales de $2.023.305 junto con el valor del último pago, permitirán comprar el automóvil

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¿Cuántos depósitos semestrales anticipados de $1.500.000 cada uno, se deben hacer para acumular un monto de $10.000.000? La tasa de interés es del 10.98% semestral. Datos del problema A=$1.500.000 Pagos semestrales F=$10.000.000 Futuro (Dinero que se quiere obtener) i=10.98%s=0.1098 Tasa de interes n=? Numero de pagos o depósitos

$1.500.000 n = ¿?

0

$10.000.000 10.98%s

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Se tienen todos los datos correspondientes para emplear la ecuación de Futuro y despejar la incógnita (1 + 𝑖𝑠)𝑛 − 1 𝐹 = 𝐴[ ] 𝑖𝑠

(1 + 0.1098)𝑛 − 1 ] $10.000.000 = $1.500.000 [ 0.1098 Despejando y resolviendo 𝑛 = 5.27 Considerando que ese 0.27 representa una parte de un pago, no se pueden realizar 5.27 pagos, por lo tanto, se puede aproximar a 6 pagos y el dinero obtenido será un poco mayor a los $10.000.000 requeridos

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¿Cuántos pagos mensuales anticipados de $650.200 cada uno, deben hacerse para amortizar una deuda de $6.000.000 si hay que pagar intereses al 22% anual pagadero mensual? Datos del Problema A=$650.200 Valor de los pagos mensuales P=$6.000.000 Deuda i= Tasa de interés determinada n=? Numero de pagos mensuales anticipados que se deben realizar para saldar la deuda

Grafica Correspondiente

$650.200

-1

0

n= ¿?

6.000.000 22%apm

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Se debe transformar la tasa de interés nominal a efectiva mensual para estar acorde con los pagos mensuales realizados, por lo tanto: 22%𝑎𝑝𝑚 = 1.83%𝑚 = 0.0183 12 Aplicando la fórmula de presente se despeja y calcula el número de pagos anticipados. Debido a que son anticipados el presente de la formula se encuentra un periodo atrás (un mes atrás) por eso hay que trasladarlo un mes después para que la solución sea correcta

[(1 + i)n − 1] ∗ (1 + 𝑖)𝑛 = 6.000.000 P=A [i(1 + i)n ] = 650.200

[(1 + 0,0183)n − 1] ∗ (1,0183)1 [0,0183(1,0183)n ]

𝑛 = 10 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑜𝑠

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Un automóvil cuyo precio de contado es de $ 63.000.00 es vendido con $ 6.300.00 de cuota inicial y el saldo en 24 mensualidades, con una tasa de interés del 30% anual pagadero semestral. Encuentre el valor de los pagos mensuales y el interés total pagado. PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.

$6.300.000

A= ¿? 0 1

i= 30% anual pagadero semestral

P= $63.000.000

NOTA: P se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de A.

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24 mensualidades

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SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es mensual. 30% anual pagadero semestral

% mensual

1 año=2 semestres i=

30% anual pagadero semestral = 15% = 0,15 semestral 2 semestres

(1 + is )2 = (1 + im )12 2

12

(1 + 0,15)12 = (1 + im )12 2

im = (1 + 0,15)12 − 1

im = 0,0236 = 2,36%

TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. (1 + i)n − 1 P = A( ) i(1 + i)n I=F-P

CUARTO PASO: Resolver el ejercicio.

(1 + i)n − 1 ) P = A( i(1 + i)n (1 + 0,0236)24 − 1 ) + 6.300.000 63.000.000 = A ( 0,0236(1 + 0,0236)24 A= $3.121.430

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Total pagado en las 24 cuotas 3.121.430*24=

$74.914.320

Intereses total pagado I=F-P I= 74.914.320-63.000.000-6.300.000 I= $5.614.320

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Un banco otorga un préstamo bajo la siguiente forma de pago: $ 45.000.000 trimestrales durante 5 años, debiéndose dar el primer pago dentro de 2 años. Encuentre el valor del préstamo, si la tasa de interés es del 20% anual pagadero mensual. PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.

A= $45.000.000 1 2 años P= ¿?

i= 20% anual pagadero mensual

8 trimestres

5 años 20 trimestres

NOTA: P se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de A. En este caso se encuentra en el primer año, se deberá efectuar una operación en donde se traslade P al período cero. De izquierda a derecha multiplico, y de derecha a izquierda divido. 1 año=4 trimestres

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2 años=8 trimestres 5 años=20 trimestres

SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es trimestral. 20% anual pagadero mensual

% trimestral

1 año=12 meses i=

20% anual pagadero mensual = 1,67% = 0,0167 mensual 12 meses

(1 + it )4 = (1 + im )12 4

12

(1 + it )4 = (1 + 0,0167) 4

it = (1 + 0,0167)3 − 1 it = 0,0509 = 5,09%

TERCER PASO: La fórmula que se usará. (1 + i)n − 1 ) ∗ (1 + i)n P = A( i(1 + i)n CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. (1 + i)n − 1 ) ∗ (1 + i)n P = A( n i(1 + i)

(1 + 0,0509)13 − 1 P = 45.000.000 ( ) ∗ (1 + 0,0509)8 0,0509(1 + 0,0509)13 P= $625.438.288

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El 13 es la cantidad de consignaciones del 8 al 20 trimestre. Cuando se habla de consignaciones, se toma en cuenta la primera consignación (8). El 8 es el número de períodos de 0 a 8. Cuando se habla de períodos, no se toma en cuenta el primer período (cero).

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Se compra una casa en $ 234.000.000 a 20 años de plazo, dando una cuota inicial del 30% del precio de contado y el saldo en pagos mensuales con el 14% de interés anual. Hallar el valor del pago mensual. PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio. 30% P=0,30*234.000.000= $70.200.000 A= ¿?

0 1

i= 14% anual

P= $234.000.000

NOTA: P se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de A. 1 año=12 meses 20 años=240 meses

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20 años 240 meses

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SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es mensual. 14% anual

% mensual

(1 + ia )1 = (1 + im )12 1

12

(1 + ia )12 = (1 + 0,14)12 1

it = (1 + 0,14)12 − 1

it = 0,01098 = 1,098% TERCER PASO: La fórmula que se usará. (1 + i)n − 1 P = A( ) i(1 + i)n

CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. (1 + i)n − 1 P = A( ) i(1 + i)n

(1 + 0,01098)240 − 1 234.000.000 = A ( ) + 70.200.000 0,01098(1 + 0,01098)240 A= $1.939.615

El 240 es la cantidad de consignaciones del 1 al 240 mes. Cuando se habla de consignaciones, se toma en cuenta la primera consignación (1).

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Una persona deposita cada quincena $ 800.000 de su sueldo en una cuenta de ahorros que paga el 8.4% anual. ¿Cuántos depósitos debe hacer para reunir $ 22.000.000? PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.

F= $22.000.000

A= $800.000

0 1

i= 8,4% anual

n= quincenas

NOTA: F se sitúa en el último valor de A.

SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es quincenal. 8,4% anual

% quincenal

(1 + ia )1 = (1 + iq )24

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1

24

(1 + 0,084)24 = (1 + iq )24 1

iq = (1 + 0,084)24 − 1

iq = 0,00337 = 0,337% TERCER PASO: La fórmula que se usará. (1 + i)n − 1 F = A( ) i CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. (1 + i)n − 1 ) F = A( i

(1 + 0,00337)n − 1 22.000.000 = 800.000 ( ) 0,00337 n= 26,34 quincenas

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Un equipo se vende en $ 15.300.000, al contado. A plazos, se vende en 18 mensualidades de $ 1.350.000 cada una. Hallar la tasa de interés efectiva anual que carga la tienda. PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.

A= $1.350.000

0 1

i= ¿?

P= $15.300.000

NOTA: P se sitúa un período atrás de donde está el primer valor de A.

SEGUNDO PASO: La fórmula que se usará. (1 + i)n − 1 ) P = A( i(1 + i)n

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18 mensualidades

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TERCER PASO: Resolver el ejercicio. (1 + i)n − 1 P = A( ) i(1 + i)n

(1 + i)18 − 1 15.300.000 = 1.350.000 ( ) i(1 + i)18

i= 0,0540= 5,40%

El 18 es la cantidad de consignaciones del 1 al 18 mes. Cuando se habla de consignaciones, se toma en cuenta la primera consignación (1).

CUARTO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es anual. 5,40% mensual (1 + ia )1 = (1 + im )12 1

% anual

12

(1 + ia )1 = (1 + 0,0540) 1 ia = (1 + 0,0540)12 − 1

ia = 0,8797 = 87,97%

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¿Cuál es el monto de $ 500.000 depositados cada mes durante 5 años en una cuenta bancaria que da el 21% anual pagadero mensual?

Solución Se observa en el ejercicio que nos dan una tasa de interés nominal, que es 21%apm, dicha tasa de interés debemos convertirla en una tasa de interés efectiva, de la siguiente manera: i apm  i mensual 𝑖=

21 % 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0.0175 = 1.75% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

Se divide 24 sobre 12 debido a que en un año hay 12 meses.

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Debemos hacer que nuestra tasa de interés efectiva, nuestra ‘’n’’ y nuestra ‘’A’’ sean coherentes entre ellas, es por esto que los 5 años los convertimos a meses, lo cual nos da como resultado 60 meses. ‘’i’’, ‘’A’’ y ‘’n’’ están en meses. Ahora, procedemos a hallar F, que es lo que nos pide el ejercicio y lo hacemos usando la siguiente formula:

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 (1 + 0.0175)60 − 1 𝐹=𝐴 [ ] = 500.000 [ ] 𝑖 0.0175 Donde F es el valor futuro, A es la anualidad o el valor constante periódico, i es la tasa de interés efectiva vencida y n es el número de consignaciones o retiros. Cabe aclarar que la ubicación del valor futuro ‘’F’’ es igual a la de ultimo valor de ‘’A’’, en este caso, 60 meses. Realizando la anterior operación, tenemos: R/. F = $52.337.608

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Una familia desea empezar a ahorrar para hacer un viaje a Hawái. Se tiene pensado realizarlo dentro de 2, años con este fin se depositan $ 2.500.000 cada mes en una cuenta que genera intereses a una tasa del 31% anual. Obtenga el monto final obtenido.

Solución

Se observa que A se da en meses, así que debemos transformar nuestra tasa de interés y nuestra ‘’n’’ a meses. Para transformar la tasa de interés, se utiliza la siguiente ecuación: (1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) = (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙)12

Despejando imensual de la formula, nos queda:

1

1

𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = (1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙)12 − 1 = (1 + 0.31)12 − 1

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imensual = 0.0227 = 2.27% Ahora transformamos nuestra ‘’n’’, pasamos de 2 años a meses, lo cual equivale a 24 meses, ya que si en 1 año hay 12 meses, en 2 años hay 24 meses. Una vez ya con todo en las mismas unidades, procedemos a hallar F, que es lo que se nos pide hallar en el ejercicio, y lo hacemos utilizando la siguiente formula:

(1 + 0.0227)24 − 1 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] = 2.500.000 [ ] 𝐹=𝐴 [ 0.0227 𝑖 R/. F = $78.611.467

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¿Cuál es el valor presente de $ 350.000 depositados en una cuenta al final de cada trimestre durante 4 años, si la tasa de interés es del 28% capitalizable en forma trimestral?

Solución

1

Se observa que P se ubica en el periodo 0, esto se debe a que la ubicación del valor presente ‘’P’’ es un periodo atrás de donde se encuentra el primer valor de ‘’A’’. Cabe aclarar que cuando nos dice que la tasa de interés es del 28% capitalizable en forma trimestral, es lo mismo que decir que la tasa de interés es del 28% anual pagadero trimestral, el término ‘’capitalizable’’ hace referencia a ‘’anual’’. Lo que debemos hacer es transformar ‘’n’’ y la tasa de interés efectiva vencida de manera que ‘’n’’, la tasa de interés y ‘’A’’ sean coherentes.

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Para transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva hacemos lo siguiente: i apt  i trimestral 𝑖 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =

28 % = 0.07 = 7% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 4

Para transformar ‘’n’’, tenemos que 4 años equivalen a 16 trimestres debido a que en 1 año hay 4 trimestres entonces en 4 años hay 16 trimestres. Ahora que ya tenemos todo en las mismas unidades, procedemos a hallar el valor de P, que es lo que nos pide el ejercicio, lo hacemos utilizando la siguiente formula:

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 (1 + 0.07)16 − 1 𝑃=𝐴 [ ] = 350.000 [ ] 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 0.07 (1 + 0.07)16 Donde P es el valor presente, A es el valor constante periódico o anualidad, i es la tasa de interés efectiva vencida y n es el número de consignaciones o retiros. Realizando la operación anteriormente planteada tenemos: R/. P = $3.306.32

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Raquel desea jubilarse en este año, y cree que necesitará $ 5.000.000 cada mes durante los siguientes 15 años. Su banco le paga el 22% anual pagadero bimestral. ¿Cuánto dinero debe tener depositado para poder retirar la cantidad especificada cada mes? Solución

Para poder resolver el ejercicio, debemos tener ‘’A’’, ‘’i’’ y ‘’n’’ en las mismas unidades, es ‘’A’’ se da de manera mensual, así que debemos transformar i en una tasa de interés efectiva vencida mensual y ‘’n’’ en meses.

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Para pasar la tasa de interés que me da el ejercicio a una tasa de interés efectiva vencida, realizamos el siguiente procedimiento: i apb  i bimestral 𝑖 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =

22 % = 0.0367 = 3.67% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 6

Se divide en 6 debido a que en un año hay 6 bimestres. i bimestral  i mensual

(1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙)12 = (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)6 Despejamos i mensual de la anterior ecuación y tenemos:

6

1

𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)12 − 1 = (1 + 0.0367)2 − 1 imensual = 0.0182 = 1.82% mensual Ahora, tenemos que 15 años equivalen a 180 meses, debido a que en 1 año hay 12 meses, entonces en 15 años hay 180 meses. Ya que tenemos todo en las mismas unidades, procedemos a hallar F, que es lo que nos pide el ejercicio, y lo hacemos utilizando la siguiente formula:

(1 + 0.0182)180 − 1 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] = 5.000.000 [ ] 𝐹=𝐴 [ 0.0182 𝑖 R/. F = $6.786.097.364

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Un distribuidor de automóviles ofreció a un cliente un coche nuevo mediante un pago inicial de $ 8.000.000 y 30 pagos mensuales de $ 3.000.000 cada uno. Si se carga una tasa de interés del 30% anual pagadero trimestral, encuentre el valor de contado del automóvil.

Meses

Se observa que los pagos se realizan de manera mensual, así que debemos transformar nuestra tasa de interés nominal a una tasa de interés mensual efectiva vencida, mediante el siguiente procedimiento: i apt  i trimestral 𝑖 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =

i trimestral  i mensual

30 % = 0.075 = 7.5% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 4

(1 + 𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙)12 = (1 + 𝑖 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)4

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Despejando i mensual de la formula, tenemos: 4

1

𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = (1 + 𝑖 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)12 − 1 = (1 + 0.075)3 − 1 i mensual = 0.0244 = 2.44% mensual Ahora procedemos a hallar el valor de P, que es lo que nos pide el ejercicio, lo hacemos utilizando la siguiente formula:

𝑃=𝐴 [

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 (1 + 0.0244)30 − 1 ] = 8.000.000 + 3.000.000 [ ] 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 0.0244 (1 + 0.0244)30

R/. F = $71.296.165

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La Sra. Adela hereda $ 500.000.000 En lugar de retirar el dinero lo invierte al 3% semestral pagadero bimestral conviniéndose que se recibirá 20 pagos semestrales iguales debiendo recibir el pago inicial dentro de 5 años. Encontrar el valor de cada pago.

 Se convierten los intereses nominales a intereses efectivos y los transformamos al periodo en que lo necesitemos. 𝑖=

3 = 1% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 3

𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = (1 + 0.01)3 − 1 𝑖𝑠 = 3.0301%

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 Se aplica la ecuación de valor presente para hallar el valor de la cuota semestral, agregándole los intereses que han ido incrementando en los nueve semestres antes del primer pago. (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ) 𝑃 = 𝐴( 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 (1.030301)20 − 1 1 500.000.000 = 𝐴 [ ]∗ 20 (1.030301)9 0.030301(1.030301) 𝐴 = 44.088.536

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Un padre, al cumplir su hijo 10 años, deposita $ 30.000.000 en un fondo que abona el 6% anual pagadero quincenal, con la finalidad de que al cumplir los 18 pueda retirar cada año y durante 5 años una renta anual que garantice sus estudios universitarios. Hallar el importe que retirara cada año.

 Se convierten los intereses nominales a intereses efectivos y los transformamos al periodo en que lo necesitemos. 𝑖 = 6% 𝑎𝑝𝑞 𝑖=

6 = 0.25% 𝑞 24

𝑖 = (1.0025)24 − 1 𝑖 = 6.17%

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 Hallamos el valor futuro al finalizar los 8 años

𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛

𝐹 = 30.000.000(1 + 0.0617)8 𝐹 = 48.432.378

 Tomamos el valor anteriormente hallado como el valor presente para hallar el valor de A (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑃=𝐴 [ 1(1 + 𝑖)𝑛

48.443.378 = 𝐴 [

(1 + 0.0617)6 − 1 1 ] ∗ 0.0617(1 + 0.0617)6 (1 + 0.0617)7 𝐴 =15.060.329

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Una empresa de maquinarias industriales vende compresores a un precio al contado por un valor del $39.890.000. Al crédito exige una cuota inicial de $ 13.000.000 y el saldo se negocia de acuerdo con las propuestas del comprador cobrando una tasa mensual del 5%. Si un cliente solicita pagar la diferencia en 4 cuotas fijas cada fin de mes empezando a pagar del tercer mes después de la cuota inicial. ¿Cuál será la cuota fija a pagar por el cliente?

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 Tomamos en cuenta los datos que nos dieron, aplicamos la fórmula del valor presente y reemplazamos para hallar el valor de A. P= $39.890.000

i: 5%mensual

n=4

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 𝑷 = 𝑨[ ] 𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏

(1 + 0.05)4 − 1 1 39.890.000 = 13.000.000 + 𝐴 [ ]𝑥 4 (1 + 0.05)2 0.05(1 + 0.05) 𝐴 = 8.360.586 Respuesta: el valor de la cuota fija a pagar es de $8.360.586

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Una familia tienen una hija, que dentro de 3 años ingresara a la Universidad. A la familia les ha gustado la idea de ahorrar una cierta cantidad de dinero que garantice la formación profesional de su hija. Cuánto tendrá que depositar hoy en una cuenta que produce un interés del 10% anual, para poder retirar al inicio de cada semestre (iniciando dentro de 3 años) $2.500.000

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 Pasar los intereses de anual a semestral 1

𝑖 = (1.1)2 − 1 𝑖 = 4.88%

 Aplica la ecuación de valor presente y los intereses también los llevamos a cero

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑃=[ ] 𝑖 + (1 + 𝑖)𝑛 (1 + 0.0488)10 − 1 1 ]𝑥 𝑃 = 2.500.000 [ 10 (1 + 0.0488)5 0.0488(1 + 0.0488) 𝑃 = 15.301.222 Respuesta: la familia tendrá que depositar $15.301.222

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Un equipo cuesta $ 80.650.000 y es vendido bajo las siguientes condiciones: durante un año $ 8.000.000 mensuales comenzando después de transcurrir 5 meses. ¿Cuál es la tasa de interés pactada?

 Planteamos los datos que tenemos P= $80.650.000

A= $8.000.000

n=12

 Observamos que tenemos todos los datos necesarios para hallar la tasa de interés por medio de la ecuación de Valor Presente.

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i= ¿?

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(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑃 = 𝐴[ ] 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 (1 + 𝑖)12 − 1 1 80.650.000 = 8.000.000 [ ]𝑥 12 (1 + 𝑖)4 𝑖(1 + 𝑖) 𝑖 = 0.01689

NOTA: Usando el programa Solve de la calculadora CASIO fx-570ES PLUS el resultado es 0.01689

𝑖 = 1.689% Respuesta: la tasa de interés es de i= 1.689% mensual

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Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de cuota inicial; $1.000.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.500.000 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con anual pagadero mensual.

$ 25.000.000

$20.000 A= $1.000.000

Hoy 0 mes 1 mes

i= 9% a.p.mensual

30 meses

31 meses

X

Solución: - Se procede a cambiar la tasa de interés de nominal a efectiva y el tiempo de modo que coincidan al periodo, en este caso se cambia todas las tasas a mensual. 𝑖1 =

9% 𝑎. 𝑝. 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 0,75% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

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- La anualidad será A= 1.000.0000 - En este caso para la anualidad se toma la fórmula de P:

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑃 =𝐴∗[ ] 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 - Se hace igualdad con el fin de que todas las cuotas sean iguales al valor de contado, y se trasladan todos los pagos hacia el mes 0 “Hoy”.

(1 + 0,0075)30 − 1 1 ] + 2.500.000 ∗ 𝑋 = 20.000 + 1.000.000 ∗ [ 30 (1 + 0,0075)31 0,0075(1 + 0,0075) -Resolviendo queda: X= $28.778.174,25 R/: El valor de contado de la propiedad vendida será por un monto de $28.778.174,25

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Una mina en explotación tiene una producción anual de $18’000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8% anual.

A= $18.000.000

Hoy

i= 8% anual

1 año

10 años

P

Solución: - La tasa de interés se deja igual, ya que coincide con el tiempo del periodo i = 8% anual - La anualidad será A= 18.000.000 - Se calcula el valor presente con la fórmula de P: (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑃 =𝐴∗[ 𝑖(1 + 𝑖)𝑛

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-Reemplazando valores: (1 + 0,08)10 − 1 𝑃 = 18.000.000 ∗ [ ] 0.08(1 + 0,08)¹ᴼ P = $ 120.781.465,2 R/: El valor presente de la producción será por un monto de $120.781.465,2

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En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500.000 en una cuenta que abona el 8% anual por los primeros 8 años y del 9% anual de ahí en adelante; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a $3.000.000 Calcular la suma que tendrá a disposición de ella cuando cumpla los 18 años. i= 8% anual

Hoy 0 años

A= $1.500.000

1 consignación

8 años

i= 9% anual

A= $1.500.000 9 años

11 años

A= $3.000.000 12 años

18 años F

Solución: - Las tasas de interés se dejan igual, ya que coinciden con el tiempo del periodo 𝑖 1 = 8% anual

𝑖 2 = 9% anual

- Las anualidades serán A= 1.500.000 y A= 3.000.000

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- Se calcula el valor futuro con la fórmula de F aplicada a cada anualidad: 𝐹 =𝐴∗[

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑖

-Reemplazando valores: (1 + 0,08)9 − 1 𝐹 = 1.500.000 ∗ [ ] (1 + 0,08)10 + 0.08

(1 + 0,09)3 − 1 (1 + 0,09)7 − 1 + 1.500.000 ∗ [ ] (1 + 0,09)7 + 3.000.000 ∗ [ ] 0.09 0.09 - Resolviendo queda: F= $ 77029597,75 R/: Cuando la hija cumpla 18 años, esta tendrá la suma de $77029597,75

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Cada bimestre empezando desde hoy una persona deposita $ 600.000 en su cuenta de ahorros, que paga el 2.6% bimestral. Cuando cumple 2 años de estar haciendo consignaciones la persona suspende de hacer los depósitos y el monto obtenido en ese momento pasa a un fondo de inversión que da el 20.85% anual pagadero mensual. Si el dinero permaneció en el fondo de inversión 2 años, obtenga el monto final.

A= $600.000

Hoy 0 bimestres

12 bimestres

i= 2,6% bimestral F

Solución -La tasa de interés se deja igual, ya que está efectiva y en la misma unidad de tiempo que el periodo. i= 2,6% bimestral - La anualidad será A= 600.000 - Se calcula el valor futuro con la fórmula de F: 𝐹 =𝐴∗[

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑖

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-Reemplazando valores: (1 + 0,026)13 − 1 𝐹 = 600.000 ∗ [ ] 0.026 - Resolviendo queda: F= $ 9.140.707,14 - Ahora la persona lo invierte en un fondo de inversión, y el valor futuro del cálculo anterior se toma como el monto de la inversión “P=F”: Ft i= 20.85% a.p.mensual

12 bimestres

P= F -Se procede a cambia la tasa de interés de nominal a efectiva y el tiempo de modo que coincida con el periodo, en este caso se cambia a bimestral: 𝑖=

20,85% 𝑎. 𝑝. 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 1,74% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12 12

𝑖 = (1 + 0,0174) 6 − 1 = 0,0351 = 3,51% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

-Se calcula el valor acumulado total en el lapso de 12 bimestres “Ft”, se utiliza la fórmula de interés compuesto: 𝐹𝑡 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛1

𝐹𝑡 = 9.140.707,14 ∗ (1 + 0,0351)12 - Resolviendo queda:

Ft = $ 13.828.258,76 R/: El monto final de la inversión será por $13.828.258,76

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Se puede comprar un departamento por $51.000.000 como cuota inicial y pagos trimestrales de $4,600.000 durante 10 años. Encuentre su valor de contado considerando que los pagos incluyen un interés del 9% anual pagadero bimestral. $51.000.000 A= $4.600.000 1 trimestre

i= 9% a.p.bimestral

X

40 trimestres 10 años

Solución: - Se procede a cambiar la tasa de interés de nominal a efectiva y el tiempo de modo que coincidan al periodo, en este caso se cambia la tasa a trimestral. 𝑖=

9% 𝑎. 𝑝. 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1,5% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 6 3

𝑖 = (1 + 0,015)2 − 1 = 0,0226 = 2,26% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

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- La anualidad será A= 4.600.000 - Se calcula el valor de contado con la fórmula de P aplicada a la anualidad: (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑃 =𝐴∗[ ] 𝑖(1 + 𝑖)𝑛

-Planteando la ecuación y reemplazando valores: (1 + 0,0226)40 − 1 𝑋 = 51.000.000 + 4.600.000 ∗ [ ] 0.0226 ∗ (1 + 0,0226)40 - Resolviendo queda: X = $ 171.283.379,1 R/: El valor de contado del departamento será por un monto de $171.283.379,1

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Una tienda de artículos electrónicos ofrece una videocámara, cuyo precio de contado es de $5.000.000, en mensualidades anticipadas de $190.000 cada una. Encuentre el número de pagos mensuales, si se carga el 24,6% apm. Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:  P=$5.000.000, donde P es el valor presente.  A= $190.000, donde A es la anualidad.  i= 24,6% apm, donde i es la tasa de interés anual pagadero mensual.  n=es la incógnita, donde n es el número de pagos.

Lo primero que debemos hacer es transformar la tasa de interés, de anual a mensual. 24,6% 𝑎𝑝𝑚 ;

24,6% 12

= 2,05%𝑚, donde 12 son los meses que tiene un año.

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Para hallar el número de pagos mensuales debo aplicar la fórmula de valor presente: (1 + 𝑖)𝑛 − 1 y multiplicarlo por (1 + 𝑖)𝑛 ya que el valor presente siempre queda un 𝑃 = 𝐴[ ] 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 periodo atrás de donde está el primer valor de A. La incógnita se resolverá por medio de la operación SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ésta nos arroja el resultado.

(1 + 2,05%)𝑛 − 1 ] ∗ (1 + 2,05%)1 Reemplazando tenemos: 5.000.000 = 190.000 [ 2,05%(1 + 2,05%)𝑛 Efectuando datos en la calculadora nos da como resultado: 𝑛 ≈ 21 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠. RTA= Aproximadamente se realizarán 21 pagos mensuales

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El ingeniero deposita $450.000 a principios de cada mes en una cuenta de ahorros. Si la cuenta le paga un interés de 21.2% apb. ¿En cuánto tiempo lograría ahorrar $77.000.000? Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:  F=$77.000.000, donde F es el valor futuro.  A= $450.000, donde A es la anualidad.  i= 21.2% apb., donde i es la tasa de interés anual pagadero bimestral.  n=es la incógnita, donde n es el tiempo.

Lo primero que debemos hacer es transformar la tasa de interés, de anual a bimestral. 21,2% = 3,53%𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 , donde 6 son los bimestres que tiene un 6 año, pero ahora debo convertir esa tasa de interés a mensual ya que la anualidad se hace 𝑖 = 21,2% 𝑎𝑝𝑏,𝑖𝑏 =

1

mensualmente. Para ello debo implementar la siguiente formula: 𝑖𝑚 = (1 + 𝑖𝑏)2 − 1 , donde

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el ib debe ir dividido en 100 para ser convertido en un número natural. Reemplazando: 1

𝑖𝑚 = (1 + 0.0353)2 − 1 = 0.0175, pero si lo quiero en porcentaje lo multiplico en 100 y me dará im= 1.75% mensual.

Ahora utilizo la fórmula de futuro para poder despejar la incógnita n de esta, además lo multiplico por (1 + 𝑖)𝑛 ya que el valor futuro siempre queda en donde esta ultimo valor de (1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] (1 + 𝑖)𝑛 , la incógnita se resolverá por medio de la A. Por lo tanto: 𝐹 = 𝐴 [ 𝑖 operación SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ésta nos arroja el resultado.

(1 + 0,0175)𝑛 − 1 ] ∗ (1 + 0,0175)1 Reemplazando me da: 77.000.000 = 450.000 [ 0,0175 Efectuando datos en la calculadora nos da como resultado: 𝑛 ≈ 79 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

RTA= Aproximadamente en 79 meses lograran ahorrar $77.000.000

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Una persona desea reunir $ 30.000.000 con el propósito de realizar un viaje en compañía de su familia a Disney World, dentro de un año y medio. Con este fin invierte $ 1.500.000 cada mes, empezando de inmediato, en una cuenta de ahorros que le paga una tasa de interés del 1.68%, mensual. El día que fue a depositar el noveno pago, se le informó que la tasa de interés bajó al 1.12% mensual. ¿Qué cantidad deberá depositar cada mes, a partir de ese momento, con el fin de lograr acumular el monto deseado? Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:  F=$30.000.000, donde F es el valor futuro.  A1= $1.500.000, donde A1 es el valor de la inversión mensual en la primera sección.  i1= 1.68%, mensual, i2= 1.12% mensual, i1 y i2 es la tasa de interés con la que paga el banco a la persona.

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Para realizar este ejercicio tomamos como punto focal el mes 18, es decir en este punto las deudas y los pagos serán igual, lo que es mismo decir que las flechas de arriba son las misma que las de abajo. Σ DEUDAS = Σ PAGOS Implementaremos la fórmula de futuro: 𝐹 = 𝐴1 ቂ

(1+𝑖)𝑛 −1 𝑖

ቃ (1 + 𝑖)𝑛 + 𝐴2 ቂ

(1+𝑖)𝑛 −1 𝑖

ቃ , donde

las n se toman de acuerdo a los pagos realizados y teniendo en cuenta que el valor futuro

siempre queda donde está el último valor de A, en el caso de llevar A1 al punto focal se debe multiplicar por (1 + 𝑖)𝑛 , ya que hay un cambio de interés en esa transición, por lo cual el i

es el i de la segunda sección (i=1.12%m) y el n es igual a los meses que hay de 8 a 18. Reemplazando tendremos: 30.000.000=1.500.000(

(1+0.0168 )9 −1 0.0168

) ((1.0112 )10 )+A2(

(1+0.0112 )10 −1 0.0112

)

Ahora despejamos la incógnita por la función SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ésta nos arroja el resultado A2= $1.317.060. RTA: La cantidad que deberá depositar cada mes, a partir de ese momento es de $1.317.060

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Un automóvil se vende en $ 22.000.000 pidiendo $ 5.000.000 de cuota inicial y 6 pagos de $ 2.000.000 al mes, así como un séptimo pago global final. Si la tasa de interés es del 28% anual pagadero trimestral, ¿cuál será el valor del pago global final? Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:  P=$22.000.000, donde P es el valor presente.  A1=$2.000.000, donde A1 es el valor de los pagos mensuales.  i= 28% apt., donde i es el interés anual pagadero trimestral.  Siendo $ 5.000.000 la cuota inicial.

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Lo primero que debemos hacer es transformar la tasa de interés, de anual a trimestral. 28% , donde 4 son los trimestres que tiene un = 7%𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 4 año, pero ahora debo convertir esa tasa de interés a mensual ya que la anualidad se hace 𝑖 = 28% 𝑎𝑝𝑡,

𝑖𝑡 =

1

mensualmente. Para ello debo implementar la siguiente formula: 𝑖𝑚 = (1 + 𝑖𝑡)3 − 1 , donde el it debe ir dividido en 100 para ser convertido en un número natural. Reemplazando: 1

𝑖𝑚 = (1 + 0.07)3 − 1 = 0.0228, pero si lo quiero en porcentaje lo multiplico en 100 y me

dará im= 2.28% mensual.

Para realizar este ejercicio tomamos como punto focal el mes 0, es decir en este punto las deudas y los pagos serán igual, lo que es mismo decir que las flechas de arriba son las misma que las de abajo. Σ DEUDAS = Σ PAGOS Implementamos la fórmula de presente𝑃 = 𝐴 ቂ

(1+𝑖)𝑛 −1 𝑖(1+𝑖)𝑛

ቃ , donde n es igual a 6 ya que el

valor presente siempre queda un periodo atrás y llevamos todas las flechas al punto focal. Reemplazando datos nos queda que: 22.000.000=5.000.000+2.000.000 (

(1+0.0228 )6 −1

0.0228(1+0.0228 )6

𝑋

)+((1+0.0228 )7 )

Ahora despejamos la incógnita por la función SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ésta nos arroja el resultado X= $6.911.168 RTA: El valor del pago global final es $6.911.168

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Una tienda vende un equipo completo de cómputo en $ 5.600.000, precio de contado. Se puede adquirir a crédito dando un pago inmediato de $ 1.900.000 y 11 mensualidades de $400.000. ¿Calcule la tasa de interés anual que se está cobrando? Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:  P=$5.600.000, donde P es el valor presente.  A1=$400.000, donde A1 es el valor de los pagos mensuales.  Siendo $ 1.900.000 el pago inmediato.  n=11 pagos.

Para realizar este ejercicio tomamos como punto focal el mes 0, es decir en este punto las deudas y los pagos serán igual, lo que es mismo decir que las flechas de arriba son las misma que las de abajo. Σ DEUDAS = Σ PAGOS.

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Implementamos la fórmula de presente𝑃 = 𝐴 ቂ

(1+𝑖)𝑛 −1 𝑖(1+𝑖)𝑛

ቃ , donde n es igual a 11 ya que el

valor presente siempre queda un periodo atrás y llevamos todas las flechas al punto focal. Reemplazando datos nos queda que: 5600000 = 1900000 + 400000 ቂ

(1+𝑖)11 −1 𝑖(1+𝑖)11

ቃ.

Ahora despejamos la incógnita por la función SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES

PLUS, donde ésta nos arroja el resultado i= 0,030= 3,0% mensual. Pero ahora debemos convertirlo a un interés anual ya que el ejercicio nos lo pide anual, por lo tanto aplicamos la fórmula de ia=(1 + 𝑖)𝑛 − 1 , n es igual a 12 ya que un año tiene 12 meses. Reemplazando nos queda: ia=(1,030)12 − 1 = 0,4258 = 𝟒𝟐, 𝟓𝟖%𝒂

RTA= La tasa de interés anual es del 42,58%

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Juan se compromete pagar una deuda de $80.000.000 adquirida hoy mediante la cancelación de 19 cuotas bimestrales iguales, siendo el primer pago dentro de 15 bimestres. Determinar el valor de cada pago, si la tasa de interés es de 18% anual pagadero trimestral? Determinar el saldo de la deuda después de haber cancelado la cuota No.10

SOLUCION: Grafica. Para la parte a.

Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés bimestral efectiva.

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Tomar como punto focal el bimestre 0 y aplicar la fórmula de valor presente, luego se debe llevar al punto 0 quitando los intereses

Para la parte b. La grafica es:

Luego se determina el saldo después de pagar la cuota 10.

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Determinar el valor de un crédito, que será pagado con 19 cuotas trimestrales de $ 1.600.000, con el interés del 24% anual pagadero quincenal por los primeros 6 trimestres y del 13% semestral pagadero semanal de ahí en adelante, si el primer pago se efectúa al final del octavo trimestre de haber obtenido el crédito.

SOLUCION: Grafica.

Del trimestre 8 al trimestre 26 hay 19 cuotas

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Transformar la tasa de interes nominal a una tasa de interes efectiva trimestral.

Tomar como punto focal el trimestre 0 y aplicar la formula respectiva

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Hallar el valor final obtenido dentro de 3 años si se consignan $ 2.000.000 mensualmente durante tres años al 24% anual pagadero semestral SOLUCION: Grafica.

Los tres años corresponden a 36 meses Transformar la tasa de interes nominal auna tasa de interes efectiva mensual.

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Aplicar la fórmula de valor futuro para la anualidad.

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Se depositan $ 8.000.000 al final de cada mes, durante dos años en un banco que reconoce el 18% anual pagadero mensual. Hallar el valor presente de la anualidad. SOLUCION: Grafica.

Transformar la tasa de interes nominal auna tasa de interes efectiva mensual.

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Ahora determinamos el valor presente como se ve a continuación:

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Usted adquiere mercaderías a crédito que serán pagados mediante 4 cuotas trimestrales de $ 1.500,000 seguido de 6 cuotas bimestrales de $ 1.000.000 Hallar el valor al contado de las mercaderías, si la tasa de mercado es del 2% mensual. SOLUCION Grafica: El tiempo que se representa en la gráfica está en meses.

Transformar la tasa de interés mensual a una tasa de interés trimestral y una tasa de interés bimestral. 𝑖𝑡 = (1 + 𝑖𝑚)3 − 1 = (1 + 0,02)3 − 1 = 0,0612 = 6,12% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

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𝑖𝑏 = (1 + 𝑖𝑚)2 − 1 = (1 + 0,02)2 − 1 = 0,0404 = 4,04% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Tomar como punto focal el mes “0” y aplicar la formula respectiva, se debe llevar todo al mes “0” o punto “P” 𝑃 = 1.500.000 ቂ

(1,0612)4 −1

4 ቃ + 1.000.000 ቂ

0,0612(1,0612)

(1,0404)6 −1

0,0404(1,0404)6

ቃ∗

1

(1,02)12

El valor de P es de 9.311.420

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Una persona desea acumular $ 25.000.000. Para reunir dicha cantidad decide hacer depósitos trimestrales vencidos en un fondo de inversiones que rinde 32% anual pagadero trimestral. Si deposita $ 1.500.000 cada fin de trimestre. ¿En cuánto tiempo habrá acumulado la cantidad que desea?

A= $ 1.500.000 1

n =? Trimestres

ί= 32% apt

F= $ 25.000.000 El número de cuotas para amortizar una obligación financiera, se puede determinar a partir del valor presente o valor futuro de una anualidad; en este caso trabajaremos con el valor futuro el cual nos da el problema. (1 + ί)n − 1 F = A[ ] ί

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Despejando se obtiene obtendrá ቂ1 +

𝐹∗ί 𝐴

𝐹∗ί 𝐴

= (1 + ί)𝑛 − 1, sumando 1 a ambos lados de la igualdad, se

ቃ = (1 + ί)𝑛 , aplicando logaritmo a ambos lados de la ecuación. Para el

segundo término se tiene el logaritmo de una potencia, que es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base, se tendría. Ln ቂ1 +

F∗ ί A

ቃ = nLn(1 + ί) . Por consiguiente 𝑛 =

𝐿𝑛ቂ1+

𝐹∗ ί ቃ 𝐴

𝐿𝑛 (1+ί)

En el ejercicio nos dan la tasa de interés nominal debemos pasarla a una tasa de interés efectiva para haber una relación homogenizada entre ί y n. ί:

32 % = 8% trimestral 4

Llevamos a un punto focal que está en el valor final que se desea obtener

n=

2.500.000 ∗ 0.08 ቃ 1.500.000 = 11 Ln ( 1 + 0.08)

Ln ቂ1 +

Respuesta: el tiempo que necesita para acumular $25.000.000 es 11 trimestres

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Por la compra de una casa, se firma un documento por $ 28.000.000 que será pagado dentro de cierto tiempo. El deudor decide realizar depósitos de $1.000.000 al final de cada trimestre durante 3 años, seguidos de cuotas de $2.000.000 hasta completar ahorrar $ 28.000.000.¿Cuántos depósitos de $2.000.000 debe realizar para pagar toda la deuda, si la tasa de interés es del 8 % anual pagadero semestral?

A= $ 2.000.0000

A= $ 1.000.0000 ί= 8% aps

12

13 F= $28.000.000

Los números representa el número de periodos en el diagrama económico de 1 a 12 se hacen pagos constantes y el mes 13 aumente el pago de la cuota, se trasladan todos los pagos a la fecha focal utilizando una tasa de interés del 8% aps. En el ejercicio nos dan la tasa de interés nominal debemos pasarla a una tasa de interés efectiva para haber una relación homogenizada entre ί y n. 8 % aps

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8 ί: % = 4 %semestral 2 1

ί: (1 + 0.04)2 − 1 = 0.0198 ≈ 1.98% Trimestral (1 + 𝒾)n − 1 (1 + 𝒾)n − 1 F = A[ ] × (1 + 𝒾)n + A [ ] 𝒾 𝒾 28.000.000 = 1.000.000 ቂ

(1+0.0198)12 −1 0.0198

ቃ ∗ (1 + 0.0198)n + 2.000.000 ቂ

(1+0.0198)n 0.0198

ቃ

n= 6.12 Trimestres ≈ 7 Trimestres Respuesta: Tienes que hacer depósitos de $2.000.000 para pagar toda la deuda es de 7 pagos trimestrales

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Usted debe pagar hoy $ 4.000.000 Como no cuenta con esta cantidad disponible acuerda con su acreedor pagar mediante 6 cuotas de $ 725.000 al final de cada mes. ¿Qué tasa de interés se aplica en la operación?

A= 725.000 0

ί =?

1

Meses 6

P= $ 4.000.000

El periodo 0 representa el día de hoy, los restantes números en el diagrama económico presentan el número de pagos. Para plantear la ecuación de valor se traslada todos los pagos a la fecha focal para saber que tasa de interés está utilizando. (1 + 𝒾)n − 1 ] P = A[ 𝒾(1 + 𝒾)n

4000000 = 725000 ቂ

(1+𝒾)6 −1 𝒾(1+𝒾)6

ί: 0.0245 = 2.45 % mensual

ቃ

Respuesta: la tasa de interés que se aplica a esta operación es del 2.45% mensual.

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Se desea invertir la cantidad de $175.000.000 en el Banco. La inversión tendrá una duración de 2.5 años la tasa de interés corresponde al 18% anual por el primer año y de 22% anual de ahí en adelante. ¿Cuánto nos dará el banco al final del tiempo estipulado?

A= $ 100.000 mensual

1

Meses

ί= 4 % Bimestral

5 F= $?

Los números representan el número de periodos en el diagrama económico, la fecha representa el pago al final del tiempo acordado se trasladan todos los pagos a la fecha focal utilizando una tasa de interés del 4% bimestral. En el ejercicio nos dan la tasa de interés bimestral debemos pasarla a mensual para haber una relación homogenizada entre ί y n. 𝒾 = 4% bimestral 1

𝒾m = (1 + 0.04)2 − 1 = 0.0198 ≈ 1,98%m (1 + 𝒾)n − 1 F = A[ ] 𝒾

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(1 + 0.0198)5 − 1 F = 100000 [ ] 0.0198 F = 520195.93 ≈ $520.196

Respuesta: El banco les dará el final del tiempo estipulado es de $520.196

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Una persona deposita $ 1.000.000 cada fin de mes durante los primero 6 meses y $2.000.000 de ahí en adelante. Si la tasa de interés es 24% anual pagadero mensualmente, hallar el monto total que tendrá al final del año.

A= $ 2.000.0000

A= $ 1.000.0000 1

ί= 24% apm

6

7

Meses 12

F= $? Los números representa el número de periodos en el diagrama económico de 1 a 6 se hacen pagos constantes y el mes 7 aumente el pago de la cuota, se trasladan todos los pagos a la fecha focal utilizando una tasa de interés del 24% apm. En el ejercicio nos dan la tasa de interés nominal debemos pasarla a una tasa de interés efectiva para haber una relación homogenizada entre ί y n. ίm ⋮

24% = 2% mensual → 0.02 12

(1.02)6 − 1 (1.02)6 − 1 ] ∗ (1.02)6 + 2.000.000[ ] = 19.720.211 0.02 0.02

F = 1.000.000[

Respuesta: en el mes 12 el monto total que tendrá a mitad de año es de $19.720.211

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Juan se compromete pagar una deuda de $44.000.000 adquirida hoy mediante la cancelación de 9 cuotas mensuales iguales, siendo el primer pago dentro de 8 meses. Determinar el valor de cada pago, si la tasa de interés es de 18% anual pagadero semestral?. Determinar el saldo de la deuda después de haber cancelado la cuota No.4

SOLUCION: se realiza el diagrama económico para la primera parte sabiendo que: P = 44.000.000 9 cuotas mensuales iguales I = 18% APS

p

A=? 7

8 meses

16 meses

P= 44.000.000

Para la primera parte el ejercicio solicita hallar el valor de la anualidad, por lo cual se aplica la siguiente ecuación:

𝑃 = 𝐴ቂ

(1+𝐼)𝑛 −1 (𝐼)(1+𝐼)𝑛

ቃ

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Antes de reemplazar en la ecuación se transforma el interés anual pagadero semestral a un interés mensual, el primer paso es pasar los años a semestres: 18% 𝐴𝑃𝑆 ×

1 𝑎ñ𝑜

2 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

= 9% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

Ahora pasamos los semestres a meses: 2

𝐼𝑚 = (1 + 0,09)12 − 1 = 0,0144 = 1,44%

Reemplazamos en la ecuación y utilizando shift solve despejamos A:

44.000.000 = 𝐴 ቂ A=

(1+0,0144)9 −1

(0,0144)(1+0,0144)9

5.799.962,38

ቃ×

1

(1+0,0144)7

Para la segunda parte se solicita determinar el saldo de la deuda después de haber cancelado la cuota No.4, se realiza el diagrama económico:

P

A=5.799.962,38

11

12 meses

16 meses

En el diagrama económico se refleja que la cuota 5 está ubicada en el mes 12, el valor presente se ubica un mes antes y como las cuotas terminan en el mes 16 el número de cuotas para esta parte son 5, se utiliza la siguiente ecuación:

𝑃 = 𝐴ቂ

(1+𝐼)𝑛 −1 (𝐼)(1+𝐼)𝑛

ቃ×

1

(1+𝐼)𝑛

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Reemplazamos los valores: (1+𝐼0,0144)5 −1

𝑃 = 5.799.962,38 ቂ(0,0144)(1+0,0144)5 ቃ P=

27.787.932,22

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Determinar el valor de un crédito, que será pagado con 8 cuotas mensuales de $ 800.000, con el interés del 24% anual pagadero mensual por los primeros 6 meses y del 13% semestral pagadero bimestral de ahí en adelante, si el primer pago se efectúa al final del cuarto mes de haber obtenido el crédito.

SOLUCION: se realiza el diagrama económico sabiendo que: A= 800.000 N= 8 cuotas mensuales I1= 24%APM por los primeros 6 meses I2= 13% SPB por los últimos 5 meses La primera cuota se efectúa en el 4 mes

P

A=800.000

P=? 3

4

A=800.000

6

24%APM 13%SPB

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7

11

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En este ejercicio se aplica la ecuación de presente debido a que la incógnita es el valor del crédito, para la solución se debe tener en cuenta que hay dos tasas de interés por consiguiente, se divide en dos partes, donde cada una se llevara al presente:

𝑃 = 𝐴ቂ

(1+𝐼)𝑛 −1 (𝐼)(1+𝐼)𝑛

ቃ

Antes de remplazar en la ecuación se transforman las tasas de interés a tasas mensuales: Para la primera tasa se pasa los años a mese: 24%𝐴𝑃𝑀 ×

1𝑎ñ𝑜

= 0,02 = 2% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

Para la segunda tasa de interés se transforman los semestres a bimestres: 13%𝑆𝑃𝐵 ×

2𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

6 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

= 4,33% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

Ahora se transforma la tasa bimestral a mensual: 6

𝐼𝑀 = (1 + 0,0433)12 − 1 = 0,0214 = 2,14% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 Reemplazamos en la ecuación:

𝑃 = 800.000 ቂ

P=

(1+0,02)3 −1

ቃ× 3

(0,02)(1+0,02)

5.508.809,711

1

+ 800.000 ቂ 3

(1,02)

(1+0,0214)5 −1

(0,0214)(1+0,0214)5

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ቃ×

1

(1,02)6

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Un padre deposita $ 20.000.000 en un fondo que abona el 8% anual al cumplir su hijo 10 años, con la finalidad de que al cumplir 18 años pueda retirar cada año y durante 5 años una renta anual que garantice sus estudios universitarios. Hallar el importe que retirará cada año.

SOLUCION: se realiza el diagrama económico:

P

A=?

10 años 17

18

8% anual

23

P=20.000.000

Cuando se refiere del importe que retirara cada año está haciendo alusión a la anualidad, como conocemos el valor de presente se aplica la siguiente ecuación:

𝑃 = 𝐴ቂ

(1+𝐼)𝑛 −1 (𝐼)(1+𝐼)𝑛

ቃ

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Reemplazamos los valores y utilizando shift solve despejamos A, para la solución de este ejercicio debemos llevar el valor presente que está ubicado en el año 17 al año en que se efectuó el de pósito:

20.000.000 = 𝐴 ቂ P=

(1+0,08)5 −1

(0,08)(1+0,08)5

ቃ×

1

(1,08)7

8.584.767,002

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Se efectúan ocho (8) depósitos de $ 2.000.000 cada principio de mes. Si la tasa de interés es del 24% anual pagadero quincenal por los primeros 4 meses y del 15% semestral de ahí en adelante, determinar el monto al final del año. SOLUCION: se realiza el diagrama económico sabiendo que: A=2.000.000 I1= 24% apq por los primeros 4 meses I2= 15% semestral por los últimos ocho meses 8 cuotas mensuales al principio de cada mes F=?

A=2.000.000

A=2.000.000

12 0

4

24%apq

5

7

15% semestral

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F=?

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En este ejercicio se aplica la ecuación de futuro debido a que la incógnita es el monto al final del año , para la solución se debe tener en cuenta que hay dos tasas de interés por consiguiente, se divide en dos partes, donde cada una se llevara al futuro:

𝐹 = 𝐴ቂ

(1+𝐼)𝑛 −1 (𝐼)

ቃ

Antes de remplazar en la ecuación se transforman las tasas de interés a tasas mensuales: Para la primera tasa se pasa los años a quincenas:

24%𝑎𝑝𝑞 ×

1𝑎ñ𝑜

24 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠

= 1% quincenal

Ahora se transforma la tasa quincenal a mensual: 24

𝐼𝑀 = (1 + 0,01)12 − 1 = 0.0201 = 2.01% mensual

Para la segunda tasa de interés se transforma los semestres a meses: 2

𝐼𝑀 = (1 + 0,15)12 − 1 = 0.0236 = 2.36% mensua Ahora reemplazamos en la ecuación:

𝐹 = 2.000.000 ቂ

(1+0,0201)4 −1

(1,0236)5 F=

(0,0201)

ቃ × (1,0236)8 + 2.000.000 ቂ

24.325.917,73

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(1+0,0236)3 −1 (0,0236)

ቃ×

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Calcular el valor de contado de un vehículo vendido a 2 años plazo, con pagos bimestrales anticipados de $ 3.000.000, sabiendo que la tasa de interés es del 18% anual pagadero bimestral. SOLUCION: Se realiza el diagrama económico sabiendo que: A= 3.000.000 PAGOS BIMESTRALES anticipados I= 18% apb n= 11 bimestres

A=3.000.000 0

I=18%apb

11bimestres

En el diagrama económico se puede apreciar que al efectuar pagos anticipados el primer pago se realiza en el bimestre cero y de ahí se empieza a contar los 2 años que es igual a 11 bimestres se utiliza la ecuación de presente debido a que el ejercicio solicita el valor de contado:

𝑃 = 𝐴ቂ

(1+𝐼)𝑛 −1 (𝐼)(1+𝐼)𝑛

ቃ

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Antes de reemplazar en la ecuación se transforma la tasa de interés, pasando los años a bimestres:

18%𝑎𝑝𝑏 ×

1𝑎ñ𝑜

6 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

= 3% bimestral

Reemplazamos en la ecuación:

𝑃 = 3.000.000 ቂ

P=

(1+0,03)12 −1 (0,03)(1+𝐼)12

30.757.872.34

ቃ × (1,03)1

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Cuanto se requeriría depositar semanalmente empezando hoy para reunir un monto de $4.590,000 si se considera una tasa de interés 40% anual pagadero bimestral y si los depósitos se van a hacer durante 6 semanas.

4590000

-1. 0

A=?

6

p

Datos: F= 4590000 i = 40%apb n=7 cuotas semanales como los depósitos son semanales y el primero se va a hacer desde hoy entonces en total se van a hacer 7 cuotas ya que se cuanta la de hoy y luego la de cada una al final de cada semana, por lo tanto, p estaría un periodo antes de la primera cuota.

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Estas 7 cuotas se describen con el rectángulo en negro de la grafica Cambiamos la tasa de interés de anual pagadero bimestral a semanal, primeramente, la tenemos que cambiar de apb a bab (bimestral pagadero bimestral) 40%apb / 6 = 6.67% bimestral Y luego se despeja la tasa de interés semanal de la siguiente igualdad (1 +ib) ^6 = (1 + is)^48 Isemanal = (1 + ib) ^6/48 - 1 = (1+ 6.67%%)^6/48 – 1 = 0.8104% semanal

Para hallar el valor de A que es el valor de cada una de las cuotas realizadas se realiza con la siguiente formula:

F = A (1+i) ^n – 1

A=

F/

(1+i) ^n – 1

i

i

A = 4590000 / (1+ 0.8104%)^7 – 1

=

639944.11

0.8104%

Cada cuota depositada debe tener un valor de 639944.11

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Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $200.000.000. suponiendo que la tasa comercial es del 8% anual y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse (iniciando al final del año 7) F

-1 0

7

200000000

15.

P

Datos: A= 200000000 i = 8%anual n= 9 cuotas son nueve cuotas porque se empieza a tener ganancias desde el año 7 hasta el año 15

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Para hallar el valor futuro se utilizará la siguiente formula:

F = A (1+i) ^n – 1 = 200000000 (1+8%)^9 – 1 i

F=

8%

2497511568

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Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $40.000.000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasa del 6% el valor presente de la producción.

F

0.

5 6

p

P1

40000000

25.

Datos: A= 40000000 i = 6% anual n = 20 cuotas para poder hallar el valor presente utilizamos la siguiente formula: P= A

(1+i)^n – 1 i (1+i) ^n

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pero al aplicar la formula tal y como esta hay estriamos hallando es el valor de P1 y lo que queremos hallar es el valor de P para ello hay que agregarle a la formula una división para mover p del periodo 5 al 0 de la siguiente manera: ya remplazando valores P = 40000000

(1+6%)^20 – 1 6%(1+6%)^20

P=

*

1 (1+6%)^5

342839694.9

Por lo tanto, el valor presente que la compañía invirtió es de 342839694.9

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Alguien deposita $100.000.000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se pague, a él o a sus herederos, una renta de $2.500.000, a principio de cada mes. ¿Durante cuántos meses se pagará esta renta, si el banco abona el 6% anual pagadero trimestral? F1

0

120

meses 2500000

100000000

p

n

Datos: A = 2500000 p = 100000000 i = 6% apt cambiamos la tasa de interés de anual pagadero trimestral a trimestral pagadero trimestral, y luego la cambiamos a meses ya que cada consignación se va a hacer al inicio de cada mes. año = 4 trimestres

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6% apt / 4 = 1.5% trimestral (1 +it) ^4 = (1 + im) ^12 Im = (1 + it) ^4/12 - 1 = (1+ 1.5%)^4/12 – 1 = 0.49% mensual (1 +bit) ^4 = (1 + ia) Ia = (1 + it) ^4 - 1 = (1+ 1.5%)^4 – 1 = 6.135% anual

En primera ocasión debemos hallar el valor de f1 el cual va a se el mismo de p en este caso para entender la gráfica (utilizamos la tasa de interés anual y los 10 años transcurridos, primeramente). F1 = p (1+ ia) ^n = 100000000(1+6.135%)^10 = 181378682.3 Este se va a tomar como el valor presente para el cual se le empezaran a retirar las cuotas, por lo tanto, para hallar el número de cuotas retiradas se realiza con la siguiente ecuación:

P = A (1+ i) ^n – 1 i(1+i) ^n

p en esta ocasión sería el valor presente que se endrina al cumplirse los 10 años 181378682.3= 2500000

(1+0.49%)^n – 1 0.49%(1+0.49%)^n

n=

89.87 meses

Esta renta se pagará durante 89.87 meses aproximadamente

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Una deuda contraída al 8% anual, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20.000.000, con la primera obligación por pagar dentro de 2 años. Se propone sea sustituida por una obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagándose la primera de inmediato. Determinar el valor de las cuotas trimestrales

P2

-1

F1

0

18

24

20000000

66

69

¿A2=?

P

P1

F2

Datos: A1 = 20000000

n2 = 24 cuotas trimestrales

i = 8% anual n1 = 8 cuotas semestrales en primer lugar, cambiamos la tasa de interés anual a semestral y trimestral

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(meses)

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(1 + it) ^4 = (1 + ia) = (1+ ist) ^2 = (1+ im)^12 It = (1 + ia) ^1/4 - 1 = (1+ 8%)^1/4 – 1 = 1.94%% trimestral Is = (1 + ia) ^1/2 - 1 = (1+ 8%)^1/2 – 1 = 3.92% semestral Im = (1 + ia) ^1/12 - 1 = (1+ 8%)^1/12 – 1 = 0.64% mensual Lo que se quiere es cambiar la primera forma de pago por la segunda opción, ya que estos se tratan del mismo préstamo, se puede decir que serían igual los valores de P1 y P2 por lo tanto al igualar esta ecuación se puede hallar el valor de A2. Se debe utilizar la siguiente ecuación:

P = A (1+ i) ^n – 1 i(1+i) ^n

Para el valor de p1 se tiene que mover del mes 18 al mes 0 ya que este mes 0 fue el momento en el que se hizo el préstamo, y para el valor de p2 se tiene que mover del mes -1 al mes 0 por la misma razón, estos se moverán con la tasa de interés mensual. Entonces las ecuaciones se deberán modificar de la siguiente manera: P1=P2 A1

(1+ ist) ^n1 – 1

x

i(1+ist) ^n1

1

=

A2

(1+im)^18

20000000 (1+ 3.92%) ^8 – 1 3.92%(1+3.92%) ^8

x

(1+ it) ^n2 – 1 x ( 1+im) i(1+it) ^n2

1 (1+0.64%)^18

= A2 (1+ 1.94%) ^24 – 1 1.94%(1+1.94%) ^24

Despejando el valor de A2 tenemos que: 6284607.282

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x ( 1+0.64%)

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95 EJERCICIOS RESUELTOS DE ANUALIDADES ELABORADO POR: ESTUDIANTES DE QUINTO SEMESTRE DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

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