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• brenda vasquez becerra

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INGENIERÍA CIVIL | CICLO 2020-0

EJERCICIOS RESUELTOS PRESIÓN LATERAL DE SUELOS CURSO: MECÁNICA DE SUELOS AVANZADOS Ciclo: 2020-0 1. Problema Nº 1 Un muro de retención de 6m de altura con su cara posterior vertical retiene una arcilla blanda saturada homogénea. El peso específico de la arcilla saturada es de 19.8 KN/m3. Pruebas de laboratorio indican que la resistencia cortante no drenada c u de la arcilla es de 14.7 KN/m2. a. Haga los cálculos necesarios y dibuje la variación de la presión activa de Rankine sobre el muro respecto a la profundidad. b. Encuentre la profundidad a la que puede ocurrir una grieta de tensión. c. Determine la fuerza activa total por longitud unitaria de muro antes de que ocurra una grieta de tensión. d. Determine la fuerza activa total por longitud unitaria de muro después de que ocurre una grieta de tensión. Encuentre también la localización de la resultante.

SOLUCIÓN

a. Haga los cálculos necesarios y dibuje la variación de la presión activa de Rankine sobre el muro respecto a la profundidad. Empleando la siguiente fórmula, se puede calcular la presión activa de Rankine para diferentes profundidades:

𝜎𝑎 = 𝐾𝑎 𝛾𝑠𝑎𝑡 𝑧𝑜 − 2𝑐𝑢 √𝐾𝑎 M.Sc. Ing. Héctor Cuadros Rojas

Mecánica de Suelos Avanzados

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Para calcular el coeficiente de presión activa de tierra, se considera el ángulo de fricción interno ∅=0; por lo que:



∅

𝐾𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2 (45 − ) 2

0 𝐾𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2 (45 − ) 2 𝐾𝑎 = 1 

Para z=0: 𝜎𝑎0 = 1𝑥19.8𝐾𝑁/𝑚3𝑥0𝑚 − 2𝑥14.7𝐾𝑁/𝑚2𝑥√1 𝜎𝑎0 = −29.4 𝐾𝑁/𝑚2



Para z=1: 𝜎𝑎1 = 1𝑥19.8𝐾𝑁/𝑚3𝑥1𝑚 − 2𝑥14.7𝐾𝑁/𝑚2𝑥√1 𝜎𝑎1 = −14.7 𝐾𝑁/𝑚2



Para z=2: 𝜎𝑎2 = 1𝑥19.8𝐾𝑁/𝑚3𝑥2𝑚 − 2𝑥14.7𝐾𝑁/𝑚2𝑥√1 𝜎𝑎2 = 0 𝐾𝑁/𝑚2



Para z=3: 𝜎𝑎3 = 1𝑥19.8𝐾𝑁/𝑚3𝑥3𝑚 − 2𝑥14.7𝐾𝑁/𝑚2𝑥√1 𝜎𝑎3 = 14.7 𝐾𝑁/𝑚2



Para z=4: 𝜎𝑎4 = 1𝑥19.8𝐾𝑁/𝑚3𝑥4𝑚 − 2𝑥14.7𝐾𝑁/𝑚2𝑥√1 𝜎𝑎4 = 29.4 𝐾𝑁/𝑚2



Para z=5: 𝜎𝑎5 = 1𝑥19.8𝐾𝑁/𝑚3𝑥5𝑚 − 2𝑥14.7𝐾𝑁/𝑚2𝑥√1 𝜎𝑎5 = 44.1 𝐾𝑁/𝑚2



Para z=6: 𝜎𝑎6 = 1𝑥19.8𝐾𝑁/𝑚3𝑥6𝑚 − 2𝑥14.7𝐾𝑁/𝑚2𝑥√1 𝜎𝑎6 = 58.8 𝐾𝑁/𝑚2

Para dibujar la variación de la presión activa de Rankine sobre el muro respecto a la profundidad:

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b. Encuentre la profundidad a la que puede ocurrir una grieta de tensión. La grieta ocurre cuando la presión activa se vuelve igual a 0, lo cual ocurre para una profundidad zo:

𝑧0 = 𝑧0 =

2𝑐𝑢 𝛾 √𝐾𝑎

2 𝑥 14.7𝐾𝑁/𝑚2 19.8𝐾𝑁 𝑥 √1 𝑚3

𝑧0 = 1.485𝑚 c. Determine la fuerza activa total por longitud unitaria de muro antes de que ocurra una grieta de tensión. La fuerza activa total por longitud unitaria de muro, antes de que ocurra una grieta de tensión y para ∅=0 y 𝐾𝑎 = 1, se obtiene de la fórmula:

1 𝑃𝑎 = 𝛾𝑠𝑎𝑡 𝐻 2 − 2𝑐𝑢 𝐻 2 𝑃𝑎 = M.Sc. Ing. Héctor Cuadros Rojas

1 19.8𝐾𝑁 𝑥 𝑥 (6𝑚)2 − 2 𝑥 14.7𝐾𝑁/𝑚2 𝑥 6𝑚 2 𝑚3 Mecánica de Suelos Avanzados

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𝑷𝒂 = 𝟏𝟖𝟎 𝑲𝑵/𝒎 d. Determine la fuerza activa total por longitud unitaria de muro después de que ocurre una grieta de tensión. Encuentre también la localización de la resultante. La fuerza activa total por longitud unitaria de muro, después de que ocurra la grieta de tensión y para ∅=0 y 𝐾𝑎 = 1, se obtiene de la fórmula: 1

𝐶𝑢2

2

𝛾

𝑃𝑎 = 𝛾𝑠𝑎𝑡 𝐻2 − 2𝑐𝑢 𝐻 + 2 𝑃𝑎 =

1 19.8𝐾𝑁 14.7𝐾𝑁 (14.7𝐾𝑁/𝑚2)2 𝑥 𝑥 (6𝑚)2 − 2 𝑥 𝑥 6𝑚 + 2 𝑥 2 𝑚3 𝑚2 19.8𝐾𝑁/𝑚3

𝑷𝒂 = 𝟐𝟎𝟏. 𝟖𝟐𝟕 𝑲𝑵/𝒎 2. Problema Nº 2 Un muro de retención de 6m de altura con cara posterior vertical tiene como relleno un suelo c - Φ. Para el relleno, γ = 18.1 KN/m3, c= 29 KN/m2, y Φ = 18°. Tomando en consideración la grieta de tensión, determine la fuerza pasiva Pp por unidad de longitud para el estado pasivo de Rankine. SOLUCIÓN

Considerando el ángulo de fricción interno ∅=18°; por lo que:



∅

𝐾𝑃 = 𝑡𝑎𝑛2 (45 + ) 2

𝐾𝑃 = 𝑡𝑎𝑛2 (45 +

18 ) 2

𝐾𝑃 = 1.894 M.Sc. Ing. Héctor Cuadros Rojas

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La fuerza activa total por longitud unitaria de muro, antes de que ocurra una grieta de tensión, se obtiene de la fórmula:

1 𝑃𝑃 = 𝐾𝑃 𝛾𝐻 2 + 2𝑐√𝐾𝑃 𝐻 2 1 18.1𝐾𝑁 𝑃𝑃 = 𝑥 1.894 𝑥 𝑥 (6𝑚)2 + 2 𝑥 29𝐾𝑁/𝑚2 𝑥 √1.894 𝑥 6𝑚 2 𝑚3 𝑷𝑷 = 𝟏𝟎𝟗𝟔. 𝟏𝟖𝟓 𝑲𝑵/𝒎 3. Problema Nº 3 En la siguiente figura se muestra un muro de retención. La altura del muro es de 6m y el peso específico de la arena del relleno es de 18.9 KN/m3. Calcule la fuerza activa Pa sobre el muro usando la ecuación de Coulomb para los siguientes valores del ángulo de fricción:

a. δ= 0° b. δ= 10° c. δ= 20° Comente sobre la dirección y posición de la resultante.

SOLUCIÓN a.

δ= 0°

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La presión activa de tierra de Coulomb, se obtiene de la siguiente fórmula: 1 𝑃𝑎 = 𝐾𝑎 𝛾 𝐻2 2 Donde: 𝑐𝑜𝑠 2 (∅ − 𝜃) 𝐾𝑎 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃cos(𝛿 + 𝜃) [1 + √

𝑠𝑒𝑛(𝛿 + ∅)𝑠𝑒𝑛(∅ − 𝛼) ] cos(𝛿 + 𝜃) cos(𝜃 − 𝛼)

Sabiendo que α=0, puesto que el relleno es horizontal, se tiene: 𝑐𝑜𝑠 2 (38 − 5) 𝐾𝑎 =

2

𝑠𝑒𝑛(0 + 38)𝑠𝑒𝑛(38 − 0) 𝑐𝑜𝑠 2 5cos(0 + 5) [1 + √ ] cos(0 + 5) cos(5 − 0) 𝐾𝑎 = 0.2718 Reemplazando el Ka en la fórmula: 𝑃𝑎 =

𝑃𝑎 =

1 𝐾 𝛾 𝐻2 2 𝑎

1 18.9𝐾𝑁 𝑥 0.2718 𝑥 𝑥 (6𝑚)2 2 𝑚3 𝑷𝒂 = 𝟗𝟐. 𝟒𝟓𝟑 𝑲𝑵/𝒎

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La dirección de Pa está inclinada el ángulo δ respecto a la normal dibujada a la cara del muro que soporta el suelo; por lo que: Dirección = 180°+δ: Dirección = 180° + 0° Dirección = 180° La posición, al ser un triángulo, se obtiene por H/3 (considerando la medida a partir de la base del muro): X = 6m/3 X= 2m

b.

δ= 10°

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La presión activa de tierra de Coulomb, se obtiene de la siguiente fórmula: 1 𝑃𝑎 = 𝐾𝑎 𝛾 𝐻2 2 Donde: 𝑐𝑜𝑠 2 (∅ − 𝜃) 𝐾𝑎 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃cos(𝛿 + 𝜃) [1 + √

𝑠𝑒𝑛(𝛿 + ∅)𝑠𝑒𝑛(∅ − 𝛼) ] cos(𝛿 + 𝜃) cos(𝜃 − 𝛼)

Sabiendo que α=0, puesto que el relleno es horizontal, se tiene: 𝑐𝑜𝑠 2 (38 − 5) 𝐾𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 2 5cos(10 + 5) [1 + √

2

𝑠𝑒𝑛(10 + 38)𝑠𝑒𝑛(38 − 0) ] cos(10 + 5) cos(5 − 0)

𝐾𝑎 = 0.2570 Reemplazando el Ka en la fórmula: 𝑃𝑎 =

𝑃𝑎 =

1 𝐾 𝛾 𝐻2 2 𝑎

1 18.9𝐾𝑁 𝑥 0.2570 𝑥 𝑥 (6𝑚)2 2 𝑚3 𝑷𝒂 = 𝟖𝟕. 𝟒𝟒𝟕 𝑲𝑵/𝒎

La dirección de Pa está inclinada el ángulo δ respecto a la normal dibujada a la cara del muro que soporta el suelo; por lo que: Dirección = 180°+δ: Dirección = 180° + 10° Dirección = 190° La posición, al ser un triángulo, se obtiene por H/3 (considerando la medida a partir de la base del muro): X = 6m/3 X = 2m

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c.

δ= 20°

La presión activa de tierra de Coulomb, se obtiene de la siguiente fórmula: 𝑃𝑎 = M.Sc. Ing. Héctor Cuadros Rojas

1 𝐾 𝛾 𝐻2 2 𝑎 Mecánica de Suelos Avanzados

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Donde: 𝑐𝑜𝑠 2 (∅ − 𝜃)

𝐾𝑎 =

2

𝑐𝑜𝑠 2 𝜃cos(𝛿 + 𝜃) [1 + √

𝑠𝑒𝑛(𝛿 + ∅)𝑠𝑒𝑛(∅ − 𝛼) ] cos(𝛿 + 𝜃) cos(𝜃 − 𝛼)

Sabiendo que α=0, puesto que el relleno es horizontal, se tiene: 𝑐𝑜𝑠 2 (38 − 5)

𝐾𝑎 =

2

𝑐𝑜𝑠 2 5cos(20 + 5) [1 + √

𝑠𝑒𝑛(20 + 38)𝑠𝑒𝑛(38 − 0) ] cos(20 + 5) cos(5 − 0)

𝐾𝑎 = 0.2523 Reemplazando el Ka en la fórmula: 𝑃𝑎 =

𝑃𝑎 =

1 𝐾 𝛾 𝐻2 2 𝑎

1 18.9𝐾𝑁 𝑥 0.2523 𝑥 𝑥 (6𝑚)2 2 𝑚3 𝑷𝒂 = 𝟖𝟓. 𝟖𝟒𝟑 𝑲𝑵/𝒎

La dirección de Pa está inclinada el ángulo δ respecto a la normal dibujada a la cara del muro que soporta el suelo; por lo que: Dirección = 180°+δ: Dirección = 180° + 20° Dirección = 200° La posición, al ser un triángulo, se obtiene por H/3 (considerando la medida a partir de la base del muro):

X = 6m/3 X = 2m

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