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• Alex Lopez

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Ejemplo: sen2 x lim 2 x →0 sen x sen2 0 lim =¿ ¿ 2 x →0 sen 0 Al evaluar se obtiene una Indeterminación

0 , se procede a utilizar la regla L’Hôpital y 0

se obtiene:

d ( sen x )2 dx lim x →0 d (sen x 2) dx d ( sen x ) dx d cos x 2 x 2 dx

2( sen x) lim

x →0

lim

x →0

2 sen x cos x cos x 2 (2 x)

se aplica la identidad trigonométrica del ángulo doble.

sen ( 2 x )=2 sen x cos x lim

x →0

sen ( 2 x ) sen (2.0 ) 0 = = 2 x cos x 2 2.0 cos 02 0

Se vuelve a evaluar y se obtiene otra Indeterminación L’Hôpital por segunda vez y se obtiene:

d sen ( 2 x ) dx lim x →0 d 2 x . cos x 2 dx cos ( 2 x ) lim

x →0

2x

d 2x dx

d d cos x 2 +cos x 2 2 x dx dx

x →0

2cos ( 2 x ) d 2 x (−sen x 2 ) x 2+ 2cos x 2 dx

lim

2 cos ( 2 x ) 4 x (−sen x 2)+2 cos x 2

lim

x →0

2

0 , se procede a utilizar la regla 0

lim

2 cos ( 2 x ) 2 cos ( 2.0 ) 2 cos 0 = = =1 2 2 2 2 2 2 2 cos x −4 x sen x 2 cos 0 −4.0 sen 0 2 cos 0

lim

sen2 x =1 sen x 2

x →0

x →0

Ejemplo: sen x 2 lim x →0 1−cos 3 x sen x 2 sen 02 sen 0 0 lim = = = 1−cos 3.0 1−1 0 x →0 1−cos 3 x Al evaluar se obtiene una Indeterminación

0 , se procede a utilizar la regla L’Hôpital y 0

se obtiene:

lim

x →0

d sen x 2 dx d (1−cos 3 x) dx

d 2 x dx lim d x →0 −(−sen 3 x ) 3 x dx cos x 2

2 x cos x 2 2.0 cos 02 0 cos 0 0 lim = = = 3 sen 3 .0 3 sen 0 0 x →0 3 sen 3 x Se vuelve a evaluar y se obtiene otra Indeterminación L’Hôpital por segunda vez y se obtiene:

d 2 x cos x 2 dx lim x →0 d 3 sen 3 x dx 2x lim

x →0

d d cos x 2 +cos x 2 2 x dx dx d 3 cos 3 x 3 x dx

lim 2 x ¿ ¿¿ x →0

lim 4 x 2 ¿ ¿ ¿ x →0

0 , se procede a utilizar la regla 0

lim

2 cos x 2−4 x2 sen x 2 2cos 02−4.02 sen 02 2cos 0−0 2 ( 1 )−0 2 = = = = 9 cos 3 x 9 cos 3 .0 9 cos 0 9(1) 9

lim

sen x 2 2 = 1−cos 3 x 9

x →0

x →0

Ejemplo:

tan x −sen x x−sen x x →0 tan x −sen x tan 0−sen 0 0 lim = = x−sen x 0−sen 0 0 x →0 lim

Al evaluar se obtiene una Indeterminación

0 , se procede a utilizar la regla L’Hôpital y 0

se obtiene:

d d ( tan x )− (sen x ) dx dx lim d d x →0 x− sen x dx dx 2 sec x−cos x sec 2 0−cos 0 1−1 0 lim = = = 1−cos x 1−cos 0 1−1 0 x →0 Se vuelve a evaluar y se obtiene otra Indeterminación L’Hôpital por segunda vez y se obtiene:

d d (sec x)2− cos x dx dx lim ¿ d x →0 ¿¿ dx 2 ( sec x ) lim

x →0

d sec x−(−sen x) dx −(−sen x )

lim 2 sec x ¿ ¿ ¿ x →0

2 sec 2 x . tan x +sen x 2 sec 2 0 . tan 0+sen 0 0 lim = = sen x sen 0 0 x →0

0 , se procede a utilizar la regla 0

Se vuelve a evaluar y se obtiene otra Indeterminación

0 , se procede a utilizar la regla 0

L’Hôpital por tercera vez y se obtiene:

lim

x →0

d 2¿¿¿ dx

(

2 sec 2 x lim

x →0

d d tan x+ tan x (sec x)2 + cos x dx dx cos x

)

[

2 sec 2 x ( sec 2 x)+ tan x .2(sec x ) lim

d ( sec x) +cos x dx

]

cos x

x →0

lim

2 [ sec 4 x +2 tan x . sec x ( sec x . tan x) ] +cos x cos x

lim

2 [ sec 4 x +2 sec 2 x . tan 2 x ] + cos x cos x

x →0

x →0

2 sec 4 x + 4 sec 2 x . tan 2 x +cos x 2 sec 4 0+4 sec 2 0 . tan 2 0+cos 0 lim = cos x cos 0 x →0 2(1)4 + 4 ( 1 )2 (0)2 +1 2+ 0+1 ¿ = =3 1 1 lim

x →0

tan x −sen x =3 x−sen x