Carrera: Ing. En procesos y operaciones industriales Tema: Ejercicios de pruebas de hipótesis pareadas e independientes
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Carrera: Ing. En procesos y operaciones industriales Tema: Ejercicios de pruebas de hipótesis pareadas e independientes Materia: Diseño de experimentos Docente: Marco Antonio Juárez Mendoza Nombre del alumno: Díaz González Ángel Grupo: 9: A
Fecha: 28 de mayo de 2016
Ejercicios 22. Se desea comprar una gran cantidad de bombillas y se tiene que elegir entre las marcas A y B. Para ello, se compraron 100 focos de cada marca, y se encontró que las bombillas probadas de la marca A tuvieron un tiempo de vida medio de 1 120 horas, con una desviación estándar de 75 horas; mientras que las de la marca B tuvieron un tiempo de vida medio de 1 064 horas, con una desviación estándar de 82 horas. ¿Es significativa la diferencia entre los tiempos medios de vida? Use a = 0.05. ¿Con qué tamaño de muestra se aceptaría que las marcas son iguales, utilizando a = 0.05? H0: mu (A) = mu (B) HA= mu (A) ≠ mu (B) Prueba T de dos muestras e IC * NOTA * No se pueden crear gráficas con datos resumidos.
Muestra 1 2
N 100 100
Media 1120.0 1064.0
Desv.Est. 75.0 82.0
Error estándar de la media 7.5 8.2
Diferencia = mu (1) - mu (2) Estimado de la diferencia: 56.0 IC de 95% para la diferencia: (34.1, 77.9) Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = 5.04 196
Valor P = 0.000
GL =
Debido a los resultados obtenidos podemos decir que las afirmación de que la diferencia entre los focos es significativa y que hay variación entre ellos, lo que nos demuestra que la diferencia entre las bombillas A y B afecta en los tiempos de vida de los focos.
23. En un laboratorio bajo condiciones controladas, se evaluó, para 10 hombres y 10 mujeres, la temperatura que cada persona encontró más confortable. Los resultados en grados Fahrenheit fueron los siguientes:
¿La temperatura promedio más confortable es igual para hombres que para mujeres? Pruebe la hipótesis adecuada. H0: mu (Mujer) = mu (Hombre) HA= mu (Mujer) ≠ mu (Hombre) Prueba T e IC de dos muestras: Mujer, Hombre T de dos muestras para Mujer vs. Hombre
Mujer Hombre
N 10 10
Media 77.40 74.50
Desv.Est. 2.07 1.58
Error estándar de la media 0.65 0.50
Diferencia = mu (Mujer) - mu (Hombre) Estimado de la diferencia: 2.900 IC de 95% para la diferencia: (1.156, 4.644) Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = 3.53
Valor P = 0.003
GL = 16
Como podemos observar con el análisis obtenido los valores obtenidos la temperatura confortable entre las mujeres y hombres no obtuvo mucha variación, con lo cual podemos decir que nuestra hipótesis nula no se rechaza ya que no hay suficientes pruebas para demostrar la afirmación. 24. Se prueban 10 partes diferentes en cada nivel de temperatura y se mide el encogimiento sufrido en unidades de porcentaje multiplicado por 10. Los resultados son:
¿La temperatura tiene algún efecto en el encogimiento? Plantee las hipótesis estadísticas correspondientes a esta interrogante. H0: mu (Baja) = mu (Alta) HA= mu (Baja) ≠ mu (Alta) Prueba T e IC de dos muestras: Temperatura baja, Temperatura alta T de dos muestras para Temperatura baja vs. Temperatura alta
Temperatura baja Temperatura alta
N 10 10
Media 17.240 20.620
Desv.Est. 0.842 0.520
Error estándar de la media 0.27 0.16
Diferencia = mu (Temperatura baja) - mu (Temperatura alta) Estimado de la diferencia: -3.380 IC de 95% para la diferencia: (-4.051, -2.709) Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = -10.80 Valor P = 0.000 14
GL =
Conforme a los datos obtenidos podemos decir que cuando la temperatura es alta, hay más probabilidad de nivel de encogimiento, mientras que cuando la temperatura es baja este se presenta menos, por lo cual la diferencia de temperaturas si afecta. La hipótesis nula se rechaza y se acepta la hipótesis alternativa ya que la diferencia que existe es significativa para el proceso. 25. Una compañía de transporte de carga desea escoger la mejor ruta para llevar la mercancía de un depósito a otro. La mayor preocupación es el tiempo de viaje. En el estudio se seleccionaron al azar cinco choferes de un grupo de 10 y se
asignaron a la ruta A; los cinco restantes se asignaron a la ruta B. Los datos obtenidos fueron:
a) ¿Existen diferencias significativas entre las rutas? Plantee y pruebe las hipótesis estadísticas correspondientes. H0: mu (Ruta A) = mu (Ruta B) HA= mu (Ruta A) ≠ mu (Ruta B)
Prueba T e IC de dos muestras: Ruta A, Ruta B T de dos muestras para Ruta A vs. Ruta B
Ruta A Ruta B
N 5 5
Media 25.00 29.00
Desv.Est. 5.92 5.61
Error estándar de la media 2.6 2.5
Diferencia = mu (Ruta A) - mu (Ruta B) Estimado de la diferencia: -4.00 IC de 95% para la diferencia: (-12.62, 4.62) Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = -1.10
Valor P = 0.309
GL = 7
Conforme al análisis podemos observar que entre la ruta A y B hay diferencias significativas, con lo que podemos decir que la hipótesis nula se rechaza y se acepta la hipótesis alternativa.
26. Se tienen dos proveedores de una pieza metálica, cuyo diámetro ideal o valor objetivo es igual a 20.25 cm. Se toman dos muestras de 14 piezas a cada proveedor y los datos obtenidos se muestran a continuación:
Pruebe la hipótesis de igualdad de los diámetros de los proveedores en cuanto a sus medias. H0: mu (Proveedor 1) = mu (Proveedor 2) HA= mu (Proveedor 1) ≠ mu (Proveedor 2) Prueba T e IC de dos muestras: Proveedor 1, Proveedor 2 T de dos muestras para Proveedor 1 vs. Proveedor 2
Proveedor 1 Proveedor 2
N 14 14
Media 20.19 21.811
Desv.Est. 1.58 0.529
Error estándar de la media 0.42 0.14
Diferencia = mu (Proveedor 1) - mu (Proveedor 2) Estimado de la diferencia: -1.618 IC de 95% para la diferencia: (-2.569, -0.667) Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = -3.63 15
Valor P = 0.002
GL =
Como podemos observar mediante la prueba realizada, las diferencias que existen entre las medias de las medidas de los diámetros ambos proveedores son mínimas, lo que nos dice que estas no son significativas. La hipótesis nula no se rechaza debido a que no hay suficientes pruebas para comprobarla.
33. La prueba actual de un solo disco se tarda 2 minutos. Se propone un nuevo método de prueba que consiste en medir solamente los radios 24 y 57, donde casi es seguro que estará el valor mínimo buscado. Si el método nuevo resulta igual de efectivo que el método actual se podrá reducir en 60% el tiempo de prueba. Se plantea un experimento donde se mide la densidad mínima de metal en 18 discos usando tanto el método actual como el método nuevo. Los resultados están ordenados horizontalmente por disco. Así 1.88 y 1.87 es el resultado para el primer disco con ambos métodos.
a) Pruebe la igualdad de las medias usando la prueba pareada. ¿Cuál es el criterio de apareamiento? b) Encuentre un intervalo para la diferencia de medias usando la desviación estándar de las diferencias. Interprete. c) Haga el análisis de los datos ignorando el apareamiento. Compare con los resultados del inciso a), ¿por qué ignorar el apareamiento es incorrecto? d) Determine un intervalo de confianza para la diferencia de medias suponiendo muestras independientes. Compare con el inciso b). e) ¿Qué se gana con el apareamiento de los datos en este caso? f) ¿Recomendaría usted la adopción del método nuevo? Argumente su respuesta. H0: mu (Método actual) = mu (Método nuevo) HA= mu (Método actual) ≠ mu (Método nuevo)
IC y Prueba T pareada: Metodo actual, Metodo nuevo T pareada para Metodo actual - Metodo nuevo
Metodo actual
N 18
Media 1.9606
Desv.Est. 0.1150
Error estándar de la media 0.0271
Metodo nuevo Diferencia
18 18
1.9628 -0.00222
0.1124 0.03949
0.0265 0.00931
IC de 95% para la diferencia media:: (-0.02186, 0.01742) Prueba t de diferencia media = 0 (vs. no = 0): Valor T = -0.24
Valor P = 0.814
Mediante el análisis realizado podemos decir que las diferencias que existen entre el método actual y el nuevo es demasiada, ya que la diferencia de densidades de los discos que existen entre estos es grande, por lo cual las hipótesis no se pueden comprobar ya que no hay suficientes pruebas para sostener la afirmación.
34. En una prueba de dureza, una bola de acero se presiona contra el material al que se mide la dureza. El diámetro de la depresión en el material es la medida de su dureza. Se dispone de dos tipos de bolas de acero y se quiere estudiar su desempeño. Para ello, se prueban ambas bolas con los mismos 10 especímenes elegidos de manera aleatoria y los resultados son:
a) Analice paso a paso cómo se hizo el experimento y explique por qué es importante realizarlo de esa manera. b) Pruebe la hipótesis de que ambas bolas dan las mismas mediciones de dureza. c) Pruebe la igualdad de las bolas sin considerar que están pareadas. Compare los resultados con los obtenidos en el inciso b). d) ¿En qué situación se esperaría que los análisis b) y c) den los mismos resultados? H0: mu (Bola X) = mu (Bola Y) HA= mu (Bola X) ≠ mu (Bola Y) IC y Prueba T pareada: Bola X, Bola Y T pareada para Bola X - Bola Y
N
Media
Desv.Est.
Error estándar de la media
Bola X Bola Y Diferencia
10 10 10
52.70 47.70 5.00
13.71 8.19 15.85
4.34 2.59 5.01
IC de 95% para la diferencia media:: (-6.34, 16.34) Prueba t de diferencia media = 0 (vs. no = 0): Valor T = 1.00
Valor P = 0.344
Conforme al análisis obtenido, podemos decir que las diferencias que existen entre las bolas de acero son significativas, por lo cual podemos concluir que la hipótesis nula se rechaza y se acepta la hipótesis alternativa ya que se presenta variación entre las medias de las bolas de acero.
35. Se conduce un experimento para determinar si el uso de un aditivo químico y un fertilizante estándar aceleran el crecimiento de las plantas. En cada una de 10 localidades se estudiaron dos plantas sembradas en condiciones similares. A una planta de cada localidad se le aplicó el fertilizante puro y a la otra el fertilizante más el aditivo. Después de cuatro semanas el crecimiento en centímetros fue el siguiente:
¿Los datos obtenidos apoyan la afirmación de que el aditivo químico acelera el crecimiento de las plantas? Plantee las hipótesis apropiadas y pruébelas usando a = 0.05. H0: mu (Sin aditivo) ≥ mu (Con aditivo) HA= mu (Sin aditivo) ≤ mu (Con aditivo) IC y Prueba T pareada: Sin aditivo, Con aditivo T pareada para Sin aditivo - Con aditivo
Sin aditivo Con aditivo Diferencia
N 10 10 10
Media 22.20 24.20 -2.000
Desv.Est. 5.45 5.63 2.160
Error estándar de la media 1.72 1.78 0.683
Límite superior 95% para la diferencia de la media: -0.748 Prueba t de diferencia media = 0 (vs. < 0): Valor T = -2.93
Valor P = 0.008
Conforme a los datos que se obtuvieron podemos concluir que el aditivo si ayuda al crecimiento de las plantas, lo cual es un factor de variación en el procedimiento de estas. Por consiguiente la hipótesis nula se rechaza y se acepta la hipótesis alternativa ya que hay suficientes pruebas para afirmar que las plantas crecen más con aditivos.
36. Retome los datos del ejemplo 2.6 (impurezas en cofres levantados y bajados): Impurezas en cofres levantados y bajados. En una fábrica de autos se tiene la conjetura o hipótesis de que el número de impurezas en la pintura de los cofres de los autos es diferente, dependiendo de si el auto pasó con el cofre cerrado o abierto por los hornos de secado. Se decide correr un experimento para comparar el número promedio de impurezas en cada situación del cofre (tratamientos). Se consideró que no era adecuado utilizar muestras independientes, ya que se sabía que los días de la semana o los turnos podían tener influencia en el número de impurezas. Estos dos factores se incluyen en el estudio como el criterio de apareamiento, como se muestra en la tabla 2.4, en la cual también se aprecian los datos obtenidos. Así, en cada combinación de día y turno se asignaron carros con el cofre levantado y cerrado. Cada dato en las columnas levantado y bajado en la tabla 2.4 representa el promedio de impurezas en 10 autos, de tal forma que en el experimento se utilizaron en total 200 autos. La aleatoriedad se llevó a cabo por parejas de autos: antes de la entrada a los hornos se aleatorizó si el cofre del primero estaría levantado o bajado; si le tocaba levantado, el cofre del segundo auto debía estar bajado. El planteamiento estadístico consiste en probar la hipótesis de que la media de las diferenciases cero:
a) Ignore el apareamiento, y compare de manera independiente los dos tratamientos. H0: mu (Bajado) = mu (Levantado)
HA= mu (Bajado) ≠ mu (Levantado) Prueba T e IC de dos muestras: Bajado, Levantado T de dos muestras para Bajado vs. Levantado
Bajado Levantado
N 10 10
Media 3.56 2.82
Desv.Est. 1.23 1.15
Error estándar de la media 0.39 0.36
Diferencia = mu (Bajado) - mu (Levantado) Estimado de la diferencia: 0.740 IC de 95% para la diferencia: (-0.382, 1.862) Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = 1.39
Valor P = 0.182
GL = 17
Por los datos obtenidos podemos decir que si hay variación entre que el cobre del carro venga levantado y bajado, ya que la variación que existe de las impurezas es significativa, por lo cual la hipótesis nula se rechaza y se acepta la hipótesis alternativa, probando que si afecta si el cobre del carro viene abierto o cerrado. 37. Se realizó un experimento para ver si dos técnicos tienen alguna tendencia a obtener diferentes resultados cuando determina la pureza de cierto producto. Cada muestra fue dividida en dos porciones y cada técnico determinó la pureza de una de las porciones. Los resultados se muestran a continuación:
a) Estos datos deben analizarse en forma pareada, explique por qué.
b) Formule la hipótesis correcta al problema. c) Pruebe la hipótesis y obtenga conclusiones. d) Si los técnicos son diferentes, ¿hay alguna evidencia sobre cuál de ellos hace mal el trabajo? e) ¿Qué recomendaría para lograr mayor uniformidad en las determinaciones de los dos técnicos? IC y Prueba T pareada: Porcion 1, Porcion 2 T pareada para Porcion 1 - Porcion 2
Porcion 1 Porcion 2 Diferencia
N 8 8 8
Media 73.188 72.025 1.162
Desv.Est. 0.998 1.134 0.996
Error estándar de la media 0.353 0.401 0.352
IC de 95% para la diferencia media:: (0.330, 1.995) Prueba t de diferencia media = 0 (vs. no = 0): Valor T = 3.30
Valor P = 0.013
Conforme al análisis realizado podemos decir que la variación que existe entre cada técnico varían las purezas de los productos, con lo cual podemos decir que los técnicos son diferentes y que eso es significativo, por consiguiente la hipótesis nula se rechaza y existe la afirmación suficiente para aceptar que existe variación entre los técnicos.