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• Jaque Jonathan

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Universidad de Santiago de Chile

Complementos de Minería

EJERCICIOS MECANICA DE FLUIDOS 1.

En una planta de procesamiento de minerales que está en marcha blanc a se ha detectado que las bombas de los circuitos de molienda están mal diseñadas, por lo que se le encarga a usted, como ingeniero estrella recién contratado que estime la bomba más adecuada para un circuito, es decir, P resión y Potencia Hidráulica para un caudal máximo de 80 3 m /hr. Los datos que usted obtiene al hacer la inspección en terreno son: Considere la viscosidad dinámica (µ) de la pulpa como 0,0018 kg/(m*s) Longitud circuito: 80 m N° codos a 90°: 23 Válvulas de globo: 2 Altura de elevación de fluido: 4 m Válvula de compuerta: 1 3 Hidrociclones, pérdida en cada uno: Le = 5 m Tuberías de hierro con revestimiento interior 3 Densidad de la pulpa: 1350 kg/m Diámetro Tuberías: 4” Sugerencia: utilice ƒT = ƒ Solución: Bernoulli Modificado: lo único que sé es que tengo que vencer todas las pérdidas de carga observadas. (ojo con esto… el sistema nos obliga a usar B ernoulli modificado para igualar las energías en los puntos 1 y 2)

P1/γ + V 1/2g + z 1 = P2/γ + V2/2g + z 2 + hl NOTA: Se supone que en 2 el flujo tiene contacto con la atmosfera. El dibujo no representa mucho la situación. Donde: P2 = Patm = 0 P1 = es la presión en la salida de la bomba Por continuidad Q1 = Q2, A1 = A2, V1 = V2 P1/ γ = H1 hl = hf + hs Ayudant ía Hidrología

Patricio Gálvez A.

Universidad de Santiago de Chile

Complementos de Minería H1 = hf + hs + (z 2 – z 1)

Nos queda: Pérdidas por fricción (hf ):

3

-6

2

v = η/ ρ = (0,018 kg/ms)/(1350 kg/m ) = 1,33 x 10 m /s D = 4” x .0,0254 = 0,1016 m 2

-3

A = (π x 0,1016 m )/4 = 8,11 x 10 m 3

2

2



A = πD /4



Q = AV



Nr = VD/ v = ρVD/η

3

Q = 80 m /h x 1/3600 s = 0,022 m /s 3

-3

2

V = (0,022 m /s)/8,11 x 10 m = 2,71 m/s -6

2

Nr = (2,71 m/s x 0,1016 m)/ 1,33 x 10 m /s = 207.019,55 -4

ε = 1,2 x 10 m



Rugosidad absoluta Hierro dúctil recubierto

D/ε = 0,1016 m/1,2 x 10 m = 847



Rugosidad relativa Hierro dúctil recubierto

ƒ = 0,0218



Diagrama de Moody (Nr vs D/ε)

-4

2

2

2

hf = ƒ x L/D x V /2g

hf = 0,0218 x 80m/0,1016m x (2,71 m/s) /2 x 9,8 m/s = 6,43 m  Pérdidas singulares (hs ): Llevaremos todo a longitud equivalente. hs = 3 x hhidrociclon + 2 x hv álvula globo + hv álvula compuerta + 23 x hcodos 90° hhidrociclon



hv álvula globo



Le/D = 340

(tabla)

hv álvula compuerta



Le/D = 8

(tabla)

hcodos 90°



Le/D = 30

(tabla)

Le = 5m = Le/D = 5m/0,1016m = 49,21

2

hs = ƒT x V /2g (3 x hhidrociclon + 2 x hv álvula globo + hv álvula compuerta + 23 x hcodos 90° ) 2

 ƒT = ƒ

2

hs = 0,0218 x (2,71 m/s) /2 x 9,8 m/s (3 x 49,21 + 2 x 340 + 8 + 23 x 30) = 12,8m Por lo tanto tenemos: H1 = hl + hs + (z 2 – z1) = 6,43m + 12,8m + 4m = 23,23m 3

H1 = P 1/ γ = 23,23m

2

 γ = ρg = 1350 kg/m x 9,81 m/s = 13.243,5 N/m 3

2

3

2

P1 = 23,23m x 1350 kg/m x 9,81 m/s = 307.646,51 kg/ms = 307.646,51 Pa 3

2

3

PH = ρgHQ = 1350 kg/m x 9,81 m/s x 23,23m x 0,022 m /s = 6768,22 Nm/s = 6768,22 kW

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Universidad de Santiago de Chile 2.

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Usted debe estimar los requerimientos mínimos de presión para seleccionar una bomba que debe impulsar un caudal máximo de 5 L/s desde un estanque con solución hasta la cima de una pila de lixiviación, punto desde donde comienzan los ramales de alimentación y que nec esitan una presión de 12 m.c.a. para funcionar. La bomba está ubicada a 650 m en la planta EW-S X. Considere que la viscosidad cinemática de la s olución agua-ácido -6 2 3 sulfúrico a 20°C es de 1,02 x 10 m /s y densidad es de 1011,5 k g/m . El sistema considera una válvula de compuerta a la salida de la bomba y una válvula anti retorno disco de vástago antes de la subida a la pila, dos codos a 45°, y una válvula de c ompuerta ubicada en la parte superior de la pila. El diámetro int erior de la tubería de PVC es de 3”.

Solución: 2

2

P1/γ + V 1 /2g + z 1 = P2/γ + V 2 /2g + z2 + hl

Bernoulli Modificado: Donde: -

P1/ γ = H1  Presión a la salida de la bomba H1 corresponde a la carga que la bomba entrega a la bomba en metros. 3 2 3 γ = ρg = 1011,5 kg/m x 9,81 m/s = 9922,82 N/m Por continuidad Q1 = Q2; A1 = A2; V1 = V2 hl = hf + hs P2/γ = Presión de salida = 12 m.c.a. H1 = P2/γ + (z 2 - z 1) + hl = 12m + 18m + hl = 30m + hl

Por lo tanto: Pérdidas por fricción:

D = 3” x 0,0254m = 0,0762m 2

-3

A = π x (0,0762m) /4 = 4,56 x 10 m 3

-3

2

3

Q = 5 L/s x m /1000L = 5 x 10 m /s -3

3

-3

2

V = (5 x 10 m /s)/4,56 x 10 m = 1,1 m/s -6

2

Nr = (1,1 m/s x 0,0762m) / 1,02 x 10 m /s = 82.176,47 -7

ε = 3,0 x 10 m



Q = AV



Nr = VD/ v = ρVD/η



Rugosidad absoluta plástico

D/ε = 0,0762m/ 3,0x10 = 254.000



Rugosidad relativa plástico

ƒ = 0,0185



Diagrama de Moody (Nr vs D/ε)

-7

2

hf = 0,0185 x 650m/0, 0762m x (1,1m/s) = 9,73m Ayudant ía Hidrología



2

hf = ƒ x L/D x V /2g Patricio Gálvez A.

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Pérdidas Singulares: Consideraremos ƒ = ƒT (no nos dan la tabla para buscar los ƒT) 2

2

2

V /2g = cte = (1,1m/s) /(2 x 9,81m/s ) = 0,062m 2

hs = ƒ x V /2g x (2hv al comp. + hv al vast. + 2hcodos 45° ) hv al comp.



Le/D = 8

hv al vast.



Le/D = 420

hcodos 45°



Le/D = 16

hs = 0,0185 x 0,062m x (2 x 8 + 420 + 2 x 16) = 0,54m hl = hf + hs = 9,73m + 0,54m = 10,27m Finalmente: H1 = 30m + hl = 30m + 10,27m = 40,27m = P1/ γ 3

2

P1 = 40,27m x 1011,5 kg/m x 9,81 m/s = 399591,76 Pa = 399,6 kPa

2.1 Debido a la alta evaporación que existe en el desierto, en donde está la mina, usted debe diseñar la sección del canal de PVC que recolecta la solución enriquecida de la pila ant erior, con una pendiente de 0,05% de sección circular llena hasta la mitad y que debe circular con la solución en régimen laminar. El caudal considera un 20% de evaporación y pérdidas por fugas respecto del caudal inicial que alimenta la pila desde arriba. Solución: S = 0,05% = 0,0005 -3

3

-3

3

Q = 5 x 10 m /s x 0,8 = 4 x 10 m /s 2

2

A = ½ x (πD /4) = πD /8 

n = 0,01

Canal de PV C

2

R = (πD /8)/(πD/ 2) = D/4 -3

3

2

2

2

V = Q/A = (4 x 10 m /s) / πD /8 = 0,032/πD = 0,01/ D 2/3

V = [(D/4)

1/2

2

(0,0005) ] / 0,01 = 0,01/D

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Finalmente despejando D: D = 0,18m R = 0,045m PM = πD/2 = 0,28 m 2

A = πD /8 = 0,013 m 3.

2

Se desea instalar en la ladera de un cerro (α=45°) un estanque regulador de presión que alimentaría a 3 casas ubicadas en el valle, a los cuales debe llegarles una presión de 14 m.c.a. y un caudal de 10 L/min. Determine la elevación “H” mínima requerida para poner el estanque. Considere en A una contracción brusca, una tubería de acero de 2” para toda la red, un codo a 45° en B, una válvula de mariposa en C, y dos Te en D. Considere los siguientes datos: AB= ¿? BC = 20 m CD = 450 m L1 = L2 = L3 = 100 m -5 ε = 4,6 x 10 m K = 0,028 (contracción en A) -6 2 v = 1,15 x 10 m /s El principio de continuidad para el flujo estable requiere que el flujo volumétrico que ingresa al sistema ramificado sea el mismo que sale de este. La continuidad también requiere que la suma de los flujos en todas la ramas debe ser igual al flujo volumétrico total en el sistema. Cada unidad de peso de fluido que ingresa a un sistema en paralelo experimenta la misma pérdida de energía, sin importar la tray ectoria que siga a través del sistema. El flujo tenderá a seguir la trayectoria de menor resistencia; por tant o, el flujo que ent ra se bifurca entre todas la ramas, con mayor flujo en aquellas que tienen menor resistencia.

1.2.Ayudant ía Hidrología

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De acuerdo a las propiedades anteriores aplicaremos Bernoulli modificado entre los puntos A y D, sabiendo que los 10L/min que llegan a F provienen de los 30L/min ant es de la ramificación. Esta es una forma de solucionar el problema, no es la única, lo mismo para los demás ejercicios. 2

2

PA/γ + V A /2g + z A = PD /γ + VD /2g + z D + hl

Bernoulli Modificado: Donde:

PA: Presión atmosférica  Presión manométrica = 0 VA: Se considera estanque suficient emente grande Q = 10L/min x 3 = 30L/min z A - zD = H PD /γ = 14 m.c.a. hl = hf + hs

-

 VA = 0

2

z A - zD = H = PD /γ + VD /2g + hl

Por lo tanto tenemos: 3

-4

3

QD = 30L/min x 1min/60s x 1m /1000L = 5 x 10 m /s D = 2” x 0,0254m = 0,0508m 2

-3

2

-3

2

A = π x 0,0508 / 4 = 2,03x10 m -4

3

VD = (5 x 10 m /s) / 2,03x10 m = 0,25m/s 2

VD /2g = 0,013m Pérdidas Lineales: 2

hf = ƒ x (AB + BC + CD)/D x V D /2g



AB = H/sen 45°

Nr = VD/ v = 11043,48 -7

ε = 3,0 x 10 m D/ε = 1104,35

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 Diagrama de Moody (Nr vs D/ε)

hf = 0,0295 x (H/sen 45° + 20m + 450m)/0, 0508m x 0,013m hf = 0,06 + H/5331,59 Pérdidas Singulares: hs = hcontracción + hcodo 45° + hválvula mariposa + 2hT 2

-4

hcontracción = K VD /2g = 0,028 x 0,013m = 3,64x 10 m 2

hcodo 45° = ƒT x Le/D x V /2g

ƒT = 0,019 Le/D = 16

(según tabla para tubería de 2”) (tabla)

-3

hcodo 45° = 0,019 x 16 x 0,013m = 3,95x10 m 2

hv álvula mariposa = ƒT x Le/D x V /2g

ƒT = 0,019 Le/D = 45

(según tabla para tubería de 2”) (tabla)

hv álvula mariposa = 0,019 x 45 x 0,013m = 0,01m 2

hT = ƒT x Le/D x V /2g

ƒT = 0,019 Le/D = 60

(según tabla para tubería de 2”) (tabla)

hT = 0,019 x 60 x 0,013m = 0,015m -4

-3

hs = 3,64x10 m + 3,95x10 m + 0,01m + 2 x 0,015m = 0,044m Por lo tanto: hl = 0,06m + H/5331,59 + 0,044m = 0,104m + H/5331,59 Finalmente: H = 14m + 0,013m + 0,104m + H/5331, 59 = 14,117m + H/5331,59 H = 14,12m

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En la figura se muestra una torre que abastece de agua a un camión aljibe con un caudal Q. El diámetro del conducto y la manguera de aliment ación es de 2”. El chorro de agua debe tener una presión P mínima para poder vencer la resistencia de la válvula antiretorno. La altura del camión tiene altura h desde el suelo. Determine la altura H de la torre para poder abastecer al c amión aljibe, des preciando los efectos viscosos que producen pérdidas de carga en la manguera.

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En la figura se muestra un estanque que abastece de agua a un camión aljibe con el mismo caudal Q. El diámetro del conducto es de 2”. El chorro de agua debe tener una presión P mínima para poder vencer la resistencia de la válvula antiret orno. La altura del camión tiene altura h desde el s uelo. Determine la altura H del estanque para poder abastecer al camión aljibe, c onsiderando los efectos viscosos que producen pérdidas de carga en la tubería y en la válvula de mariposa. (Datos: tubería de acero, ángulo de inclinación de la tubería 35º)

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7.-

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EJERCICIOS FLUIDOS EN CANALES ABIERTOS 1. 2. 3.

¿Cuál sería la descarga normal de drenaje de una t ubería de arcilla que tiene un diámetro de 200mm y corre a la mitad de su capacidad? ¿Está instalada en una pendiente de 0. 1%? ¿Donde existe mayor descarga normal, en una sección de canaleta semicuadrada o semi circular? Asuma que el lado del cuadrado es igual al radio del círculo. Demuestre. Diseñe un canal rectangular que se va a fabricar en concreto semi terminado formado para 3 transportar 5.7 m /s de agua cuando se instale sobre una pendiente de 1.2% La profundidad normal deberá ser de la mitad del anc ho del fondo del canal.

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