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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN FACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ASIGNATURA: “CONTROL DE PROCESOS” DOCENTE ENCARGADO DEL CURSO: ING. JULIO CESAR CARRASCO BOCANGEL “EJERCICIOS DEL LIBRO” PROPIETARIO:

Mamani Taya, Paola Alejandra.

AREQUIPA – PERÚ

2020

18. Determine el índice de capacidad antes (cr0 = 0.038) y después (cr0 = 0.030) de la mejora en el problema de ejemplo 5-8, usando las especificaciones 6.40 ± 0.15 mm Datos σ σ mejorado Tolerancia

c p=

0.038 0.03 6.40 ± 0.15

LES−LEI 6σ

Cp para σ = 0.038 c p=

6.55−6.25 = 1.3158 6∗0.038

Cp para σ = 0.030 c p=

6.55−6.25 = 1.6667 6∗0.030

20. ¿Cuál es el valor de Cpk después de la mejora en el ejercicio 18, cuando el centro del proceso es 6,40? ¿Cuándo el centro del proceso es 6,30? Explique por qué. 

Cuando el centro del proceso es 6.40:

Datos σ media Tolerancia

C ρk =

0.03 6.40 6.55 - 6.40 6.40 - 6.25

Min{ ( LES−´x ) o ( ´x −LEI ) } 3σ C ρk =



( 6.55−6.40 ) = 1.67 3∗0.030

Cuando el centro del proceso es 6.30:

Datos σ media Tolerancia

0.03 6.30 6.55 - 6.30 6.30 - 6.25

C ρk =

( 6.30−6.25 ) = 0.56 3∗0.030

El valor de Cpk se reduce porque al cambiar la media del proceso a 0.30, estamos descentrando el proceso 22. Determine la línea central y los límites de control revisados para una gráfica de suma de subgrupo, usando los datos de: Las gráficas de control revisadas son iguales a las que acostumbramos hallar, pero en una escala mayor proporcional al número de datos que subgrupos que tenemos. (a) El ejercicio 2 La gráfica de suma de datos es equivalente a la gráfica de control que conocemos en función al número de subgrupos

NUMERO X 1.00 508.75 2.00 510.00 3.00 509.00 4.00 516.25 5.00 505.00 6.00 510.00 7.00 510.75 8.00 509.25 9.00 512.00 10.00 510.50 11.00 509.75 12.00 509.50 13.00 510.00 14.00 510.25 15.00 511.25 16.00 508.50 17.00 509.00 18.00 510.50 19.00 512.50 20.00 507.75 21.00 509.75 22.00 509.75 23.00 510.00 24.00 510.25 25.00 510.00 promedio 510.01 LC LCS LCI

510.01 514.3087 505.7113

R 8.50 9.00 8.00 9.00 9.00 9.00 7.75 8.50 7.50 9.25 7.25 7.50 8.25 9.00 8.50 9.00 9.25 18.25 9.50 8.75 9.50 8.25 8.00 8.50 7.50 8.90

GRAFICA SUMA DE SUBGRUPOS X LCS

LC

LCI

DATO X

518.00 516.00 514.00 512.00 510.00 508.00 506.00 504.00 502.00 500.00 498.00

0

5

10

15

20

25

30

Para los límites de control revisados vamos a quitar los subgrupos 4 = 516, 5 = 505 

´x revisado

∑ ´x −´x d x´´n= g−g d 12750.25−516.25−505 x´´n= = 11729/23 = 509.96 25−2 LCS= x´ 0 + A σ 0 LCS = 509.96 + 1.225*3.5122 = 514.26 LCI =´x0 −A σ 0 

LCI = 509.96 – 1.225*3.5122 = 505.6575 Grafica para límites de control revisados

GRÁFICA X REVISADA LCS

LC

LCI

DATO X

516.00 514.00 512.00 510.00 508.00 506.00 504.00 502.00 500.00

0

5

10

15

20

25

(b) El ejercicio 3 – Datos para suma de subgrupos ITEM

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

PROM LC LCS LCI

12063 12519.354 11606.646

R 11900 11650 12100 11650 11750 12350 12150 12400 12200 12050 12450 11600 12100 12050 12650 12400 11950 12100 12650 11900 12125 12250 11575 11725 11850 12063

800 600 800 650 600 600 700 575 600 650 625 600 600 550 575 575 625 600 575 625 725 625 550 675 550 626

GRÁFICA DE SUMA 12800 12600 12400 12200 12000 11800 11600 11400 11200 11000

0

5

10 LCS



15 LC

20 LCI

25

30

DATO X

´x revisado

Eliminaremos los datos 15 = 12650, 19 = 12650, 23=11575 ∑ ´x −´x d x´´n= g−g d 313638−12650−12650−11575 x´´n= = 12586.434 25−3 LCS= x´ 0 + A σ 0 LCS = 12586.434 + 1.5*304.51 = 12992.48 LCI =´x0 −A σ 0 LCI = 12586.434 – 1.5*304.51 = 12079.67

24. Repita el ejercicio 23, con un intervalo de tiempo de 4. ¿Cuál es la diferencia en la línea central y los límites de control? ¿Hay puntos fuera de control? Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8

X1 4.56 4.65 4.69 4.61 4.65 4.54 4.72 4.43

X2 4.65 4.4 4.29 4.66 4.61 4.54 4.47 4.34

X3 4.66 4.5 4.58 4.46 4.54 4.47 4.66

X4 4.34 4.55 4.71 4.7 4.55 4.64 4.51

X barra 4.55 4.53 4.57 4.61 4.59 4.55 4.59 4.39 4.55

R

S 0.32 0.25 0.42 0.24 0.11 0.17 0.25 0.09 0.23

0.15 0.10 0.19 0.11 0.05 0.07 0.12 0.06 0.11

Gráfica Xbarra-S Media de la muestra

4.8

LCS=4.7698

4.7 __ X=4.556

4.6 4.5 4.4

LCI=4.3422 1

2

3

4

5

6

7

8

Muestra

Desv.Est. de la muestra

0.3 LCS=0.2627 0.2 _ S=0.0804

0.1

0.0

LCI=0 1

2

3

4

5

6

7

8

Muestra

Las pruebas se realizaron con tamaños de la muestra desiguales

Gráfica Xbarra-R Media de la muestra

4.8

LCS=4.7709

4.7 __ X=4.556

4.6 4.5 4.4

LCI=4.3411 1

2

3

4

5

6

7

8

Muestra

Rango de la muestra

0.48 LCS=0.3733

0.36 0.24

_ R=0.1143

0.12 0.00

LCI=0 1

2

3

4

5

6

7

8

Muestra

Las pruebas se realizaron con tamaños de la muestra desiguales

26. Determine la línea central y los límites de control tentativos para las gráficas de mediana y rango, con los datos de la tabla 5-2. Suponga que hay causas asignables para los puntos fuera de control que haya, y determine la línea central y los límites de control revisados. Compare el patrón de variación con las gráficas X y R de la figura 5 4. De los datos obtenemos las líneas centrales:

g

∑ X´ i = 160.25 = 6.41

´x = i=1 g

25

g

∑ Ri = 2.19 = 0.0876

R= i=1 g

25

Para hallar los limites tentativos usamos los factores A2 = 0.729, D3 = 0, D4 = 282 

Límites de control para la mediana

LCS ´x = ´´x + A 2 R´ LCS = 6.41 + (0.729) (0.0876) = 6.47 ´ LCI ´x = ´´x − A2 R LCI = 6.41 - 0.729*0.0876 = 6.35 

Límites de control para el rango

LCSR=D 4 R´ LCSR = 2.282*0.0876 = 0.20 LCIR=D 3 R´ LCIR = 0*0.0876 = 0 

Gráficas de control

Gráfico X 6.70 6.60 6.50 6.40 6.30 6.20 6.10

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 LCS x

LC x

LCI x

DATO X

Gráfico R 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 LCS R

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 LC R

LCI R

DATO R

Para la gráfica X, los subgrupos fuera de control son :4, 16 y 20. Para la gráfica R, el subgrupo fuera de control es el 18, ya que todos tienen causas asignables, y no son parte de la variación natural, se desechan de los datos. Se calcula entonces los nuevos limites de X y R. Los cuales a su vez serán los valores estándar. 

´x revisado

∑ ´x −´x d x´´n= g−g d 160.25−6.65−6.51−6.34 x´´n= = 6.40 25−3  R´ n =

´ revisado R

∑ R−Rd g−g d 2.19−0.30 R´ n = = 0.079 25−1

Una vez establecidos los valores estándar, podemos hallar los límites de control revisados. x´ 0 R´ 0 A σ D2 D1 

6.390 0.079 1.500 0.038 4.698 0.000

Límites de control revisados para la mediana

LCS= x´ 0 + A σ 0 LCS = 6.40 + 1.5*0.038 = 6.46 LCI =´x0 −A σ 0 LCI = 6.40 – 1.5*0.038 = 6.34 

Límites de control revisados para el rango LCS=D 2 σ 0 LCS = 4.698*0.038 = 0.18 LCI =D1 σ 0 LCI = 0*0.038 = 0



Gráficas de control revisadas Gráfica X revisada 6.50

6.45

6.40

6.35

6.30

6.25

1

2

3

4

5

6

7

8

9

LCS x

10 LC x

11

12

13 LCI x

14

15

16

17

18

19

20

21

22

DATO X

Gráfica R revisada 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

LCS R

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 LC R

LCI R

DATO R

28. Determine los límites superior e inferior de rechazo para la gráfica X del ejercicio 2. Las especificaciones son 20.40 ± 0.25. Compare estos límites con los límites de control revisados.

Tolerancia = 20.40 ± 0.25 LES 2.65 20.1 LEI 5 g

∑ X´ i = 510.01 = 20.4

´x = i=1 g

25

g

∑ Ri = 8.89 = 0.3556

R= i=1 g 

25

Límites de control para X

LCS ´x = ´´x + A 2 R´ LCS = 20.4 + 0.153*0.3556 = 20.454 ´ LCI ´x = ´´x − A2 R LCI = 20.4 – 0.153*0.3556 = 20.345 

Límites de control para el rango

LCSR=D 4 R´ LCSR = 2.004*0.3556 = 0.71 LCIR=D 3 R´ LCIR = 0*0.3556 = 0

Gráfica X 20.70 20.60 20.50 20.40 20.30 20.20 20.10 20.00 19.90

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 X

LCS X

LC X

LCI X

Si observamos la “Gráfica de control X” encontraremos bastantes puntos fuera de control, sin embargo, se encuentran dentro de los límites de especificación, por lo que no hay desperdicio, pero es un proceso que se debe estar evaluando constantemente ya que si no se controla terminara sobrepasando el límite de especificación superior de 20.65. Límites de control revisados 

´x revisado

∑ ´x −´x d x´´n= g−g d 510.01−20.65−20.20−20.48−20.52−20.50−20.31 x´´n= = 20.39 25−6



Límites de control revisados para la mediana σ = 0.34/2.534 = 0.13 (luego de eliminar el subgrupo 18 = 0.73, ya que sobrepasaba los límites de R) LCS= x´ 0 + A σ 0 LCS = 20.39 + 1.225*0.13 = 20.54 LCI =´x0 −A σ 0 LCI = 20.39 – 1.225*0.13 = 20.23



Grafica revisada para la mediana Con los nuevos límites de control revisados ya no tenemos puntos fuera de control, y el proceso es estable.

30. Está comenzando un nuevo proceso, y existe la posibilidad de que haya problemas con la temperatura. Cada día se hacen ocho mediciones, a las 8:00 A.M.,10:00 A.M., 12:00 A.M., 2:00 P.M., 4:00 P.M., 6:00 P.M., 8:00 P.M. y 10:00 P.M. Prepare una gráfica de corrida y evalúe los resultados con los siguientes datos: A2

Existe una variación significativa, los datos acerca de la

32. Use el programa del CD y 

Ejercicio 1

0.373

3σX 3σR

0.58934 1.74

UCL X CL X LCL X

80.16 79.572 78.98

UCL R CL R LCL R

2.95 1.58 0.21

entre el primer y segundo día, temperatura están bajo control

resuelva:

Gráfica X - R Media de la muestra

LCS=0.8248 0.80 0.75

__ X=0.717

0.70 0.65

LCI=0.6092

0.60 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

Muestra 1

Rango de la muestra

0.4

LCS=0.3376

0.3 0.2

_ R=0.148

0.1 0.0

LCI=0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

Muestra



Ejercicio 25

Gráfica de Mediana y Rango Media de la muestra

LCS=7.287 7.0 6.5

__ X=6.064

6.0 5.5 5.0

LCI=4.840 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

Muestra LCS=3.078

Rango de la muestra

3

2 _ R=1.196

1

0

LCI=0 1

3

5

7

9

11

13 Muestra



Ejercicio 27

15

17

19

21

23

Gráfica Xbarra-R de C1; ...; C2 Media de la muestra

8.5 LCS=8.295 8.0 __ X=7.593

7.5

7.0

LCI=6.891 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Muestra

LCS=1.220

Rango de la muestra

1.2 0.9 0.6

_ R=0.373

0.3 0.0

LCI=0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Muestra

34. Use Excel para escribir una plantilla para gráficas PROMEDIO X y s y trace las gráficas para el ejercicio 1.

LC X-S 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50

0

5

10 X

15 LCS X

20 LC X

LCI X

25

30

LC S 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

0

5

10 S

15 LCS S

20 LC S

25

30

LCI S

36. Use el programa del CD para determinar la capacidad del proceso de bolsas con corteza de ciprés, en kilogramos, para los datos de la tabla siguiente. También determine los coeficientes Cp y Cpk para un límite superior de tolerancia (USL) de 130 kg, y límite inferior de tolerancia (LSL) de 75 kg

Informe de capacidad entre/dentro de C2; ...; C5 LEI Procesar datos

LEI Objetivo LES Media de la muestra Número de muestra Desv.Est. (General) Desv.Est. (Entre) Desv.Est. (Dentro) Desv.Est. (Entre/Dentro)

LES General E/d

75 * 130 92.0417 96 8.39538 4.05403 7.75038 8.74664

Capacidad general Pp 1.09 PPL 0.68 PPU 1.51 Ppk 0.68 Cpm * Capacidad e/d Cp CPL CPU Cpk

70 Rendimiento Esperado Largo Observado plazo PPM < LEI 10416.67 21184.09 PPM > LES 0.00 3.07 PPM Total 10416.67 21187.16

80

90

100

110

120

1.05 0.65 1.45 0.65

130

Esperado E/D 25685.45 7.13 25692.59

El proceso está generando una fracción disconforme, además el el hecho de no está centrado, si se centraría estaría dentro de los límites de especificación Cp=1.05 Cpk=0.65