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Asignatura: Matem´ aticas III Departamento: Ingenier´ıa Matem´ atica e Inform´atica Ejercicios: Ecuaciones en derivadas parciales - M´etodo de separaci´on de variables

1. En una varilla recta homogenea y aislada t´ermicamente, la temperatura u(x, t) satisface la ecuaci´ on ut = a uxx . Determina u(x, t) cuando a = 1 y la longitud de la varilla es de L = 100 unidades, sabiendo que los extremos de la varilla est´an a temperatura cero en todo instante t, y que la distribuci´on inicial de temperatura viene dada por u(x, 0) = 0,01x(100 − x) para cada x ∈ [0, L]. 2. Utilizando el m´etodo de separaci´ on de variables, encontrar las soluci´on de los siguientes problemas. Nota. Las constantes que figuran en todos los ejercicios son n´ umeros reales positivos, es decir, l > 0, c > 0, k > 0, α > 0, a > 0, b > 0.  2  2 2 ∂ u ∂ u ∂2u   2∂ u   = c , 0 < x < l, t > 0 + 2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b    ∂t2 2   ∂x2 ∂y    ∂x 0≤x≤l 0≤x≤a a) u(x, 0) = f (x) , h) u(x, 0) = 0,     ut (x, 0) = g(x), 0≤x≤l  u(x, b) = f (x), 0≤y≤b      u (0, t) = 0 = u (l, t),  t>0 x x ux (0, y) = ux (a, y) = 0, 0≤y≤b  2  ∂ u ∂u  ∂2u ∂u   = − u, 0 < x < π, t > 0   = + sen πx, 0 < x < 1, t > 0 2  ∂t ∂x ∂t ∂x2 b) u(x, 0) = 1, i ) u(x, 0) = sen 2πx, 0≤x≤π  0≤x≤1      ux (0, t) = 0 = u(π, t), t>0 u(0, t) = 0 = u(1, t), t>0  2 2  ∂u ∂ u ∂ u  ∂4u ∂2u   + u = α2 2 , 0 < x < l, t > 0  2 +2  = − , 0 ≤ x ≤ 1, t > 0  ∂t ∂t ∂x  ∂t2 ∂x4  c) u(0, t) = u(l, t) = 0,   t > 0   t>0  u(0, t) = u(1, t) = 0,  u(x, 0) = 1, ut (x, 0) = 0, 0≤x≤l j ) uxx (0, t) = uxx (1, t) = 0, t>0    2 1  ∂ u ∂u    0≤x≤1 u(x, 0) = sen πx + sen 3πx,   = − u, 0 < x < π, t > 0   2 2  ∂t ∂x  d ) u(x, 0) = sen x, ut (x, 0) = 0, 0≤x≤1 0≤x≤π     ux (0, t) = 0 = u(π, t), t>0 ∂2u ∂u   = , 0 < x < π, t > 0     ∂x2  ∂t ∂u ∂ 2 u   − 2 + u = 0, 0 < x < π, t > 0 t>0  k ) u(0, t) = 0, ∂t ∂x  e) u(x, 0) = x(π − x),  u(π, t) = 3π, t>0  0≤x≤π     u(x, 0) = 0,  0≤x≤π u(0, t) = 0 = ux (π, t) = 0, t>0   2 ∂u ∂ 2 u ∂u ∂ u ∂u     = + , 0 < x < 1, t > 0 , 0 < x < l, t > 0  k 2 = ∂t ∂x2 ∂x ∂x ∂t l ) u(0, t) = u(1, t) = 0, f ) u(0, t) = u(l, t) = 0, t>0 t>0       −x/2 u(x, 0) = e , 0≤x≤1 u(x, 0) = f (x), 0≤x≤l   2 ∂2u ∂2u ∂2u   2∂ u   a = , 0 < x < l, t > 0 = + tx, 0 < x < π, t > 0     2 2   ∂t2 ∂x2  ∂x  ∂t t>0 t>0 g) u(0, t) = u(l, t) = 0, m) u(0, t) = u(π, t) = 0,     u(x, 0) = f (x), 0≤x≤l u(x, 0) = sen x, 0≤x≤π       u (x, 0) = g(x),  0≤x≤l ut (x, 0) = 5 sen 2x − 3 sen 5x, 0≤x≤π t