Ejercicios de Oscilaciones Libres y Forzadas Resueltos

EJERCICIOS DE OSCILACIONES LIBRES Y FORZADAS RESUELTOS Una masa m de 10 Kg cuelga de un resorte de constante k=2.5 kN/

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EJERCICIOS DE OSCILACIONES LIBRES Y FORZADAS RESUELTOS

Una masa m de 10 Kg cuelga de un resorte de constante k=2.5 kN/m. En el instante t=0, cuando pasa por su posición de equilibrio estático, tiene una velocidad descendente de 0.5 m/s. Hallar: a) el alargamiento estático el resorte; b) la frecuencia angular natural ω0 y la frecuencia de oscilación f0; c) el periodo de las oscilaciones del sistema; d) El desplazamiento en función del tiempo, medida desde la posición de equilibrio estático; e) la velocidad y la aceleración máxima que alcanza la masa.

Solución: a) Teniendo en cuenta el diagrama de cuerpo libre estático del sistema masa-resorte de la figura se tiene que:

𝐹𝑅 − 𝑚𝑔 = 0 𝐹𝑅 = 𝑚𝑔 𝐾𝑥 = 𝑚𝑔 𝑚𝑔 𝑥 = 𝐾 =0,0392 m

K

FR m mg

b) Si el sistema masa-resorte oscila, debemos tener en cuenta que oscila bajo un M.A.S. La frecuencia angular y de oscilación del sistema se puede calcular así:

𝜔0 =

𝐾 = 15,8 𝑟𝑎𝑑ൗ𝑠 𝑚

𝜔 𝑓= = 2,5 𝐻𝑧 2𝜋

c) El periodo de las oscilaciones es: 𝑇=

2𝜋 1 = = 0,4 𝑠 𝜔 𝑓

d) Si el sistema masa-resorte oscila, la función de desplazamiento en función del tiempo es:

𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙 𝑥ሶ 𝑡 = −𝐴𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙 De las condiciones iniciales, sabemos que: 𝑥 𝑡=0 =0 𝑥ሶ 𝑡 = 0 = 0,5 𝑚/𝑠

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones: 0 = 𝐴 cos(𝜙) y 0,5 = −𝐴𝜔 sin(𝜙)

Multiplicando la primera ecuación por ω0, elevando al cuadrado y sumando las dos ecuaciones nos independizamos de φ: 0 = 𝐴𝜔 cos 𝜙 0 = 𝐴2 𝜔2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜙) 0,52 = 𝐴2 𝜔2 sin2 (𝜙)

0,52 = 𝐴2 𝜔2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜙 + 𝐴2 𝜔2 sin2 (𝜙) 0,52 = 𝐴2 𝜔2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜙 + sin2 𝜙 ) 0,52 = 𝐴2 𝜔2 0,52 = 𝐴2 2 𝜔 0,32 𝑚 = 𝐴2

La constante de fase la puedo calcular de la ecuación de velocidad : 𝑥ሶ 𝑡 = 0 = −𝐴𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝜙 0,5 𝑚/𝑠 = 𝑠𝑖𝑛 𝜙 −𝐴𝜔 −1 = 𝑠𝑖𝑛 𝜙

𝜙=−

𝜋 2

e) La velocidad y aceleración máxima que alcanza la masa 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔 = 0,5 𝑚/𝑠 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔2 = 7,8 𝑚/𝑠 2