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OPERACIONES UNITARIAS

FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL  Curso: Termodinámica 

Tema:

Ejercicios de la semana 14

 Docente: Artemio Flores Lima

 Alumnos:  Lavado Pérez Ángelo Roel  Daryl Alexis Candiotti De La Cruz  Gian Paul Sánchez Condorhuacho  Jordy Félix Domenack Chávez  Gerald Edgard Rojas Astola

Lima-Perú 2020

Docente: Artemio Flores Lima

OPERACIONES UNITARIAS

EJERCICIOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

1. Un cable eléctrico de 1,4 m de largo y 0,2 cm de diámetro es extendido a través de una habitación que se mantiene a 20°C. En el cable se genera calor como resultado de la disipación de la energía eléctrica, al medirse la temperatura de la superficie del cable, resulta ser de 240°C, en condiciones de operación estacionaria. Así mismo al medirse el voltaje y la corriente eléctrica en el cable, resulta ser de 110 V y 3 A, respectivamente. Si se ignora cualquier transferencia de calor por radiación, determine: a. El coeficiente de transferencia de calor por convección para la transferencia de calor entre la superficie externa del cable y el aire de la habitación. Si el cable es de cobre de k=401W/mK b. ¿Cuál es su temperatura en el centro?

Solución Primero entendemos la situación del problema y vemos que nos piden:

Se trata de un cable eléctrico que presenta una transferencia de calor por convección, ya que su temperatura superficial va a ser mucho mayor a la temperatura del ambiente, entre la superficie del cable y el aire ya que las pérdidas de calor por radiación son despreciables. Nos piden determinar el coeficiente de convección h. La barra se calienta porque la energía eléctrica se transforma en calor, entonces esa conversión de energía se puede ver como generación de calor en el cable.

 Datos: D=0.2cm → R=0.1 cm=0.001 m

Docente: Artemio Flores Lima

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q0 =? Ts = 240 °C Tf = 20 °C V = 110V I = 3A K = 401W/Mk Tc =? P = V. I P = 110 x 3 P = 330 W Calculamos la cantidad de calor generado interno: q 0=

P V

q 0=

330 π r2 x L

q 0=

330 2 π ( 0.001 ) x 1.4 m

q 0=75030187.46

W m3

Calculamos la temperatura en el centro T C =T s +

T C =240+

q0 2 r 4K

75030187.46 ¿ 4 x 401

T C =240.0467769 ° C Ahora calculamos el coeficiente de transferencia de calor por convección: Entonces: A S=πDL A S=π ( 0.002 m) ( 1.4 m ) A S=0.0088 m 2

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Por lo tanto: h=

Qconv As(Ts−Tf )

h=

330W 0.0088m2 ( 240−20 ) ° C h=170.5

W m2 ° C

2. Una resistencia eléctrica de alambre de 2 kW y 6 m de largo está hecha de acero inoxidable de 0,2 cm de diámetro (k=15,1 W/m°C) La resistencia de alambre opera en un medio ambiente a 20 °C. con un coeficiente de transferencia de calor de 175 W/m2 °C en la superficie exterior. Determine la temperatura superficial del alambre: a. Usando una relación aplicable. b. Planteando la ecuación diferencial apropiada y resolviéndola Solución  Supondremos que: 1. La transferencia de calor es estacionaria ya que no hay indicación del algún cambio con el tiempo. 2. La transferencia de calor es unidimensional dado que se tiene simetría térmica con respecto a la línea central y no hay variación en la dirección axial. 3. Las conductividades térmicas son constantes. 4. La resistencia térmica por contacto en la interfase es despreciable. La conductividad térmica del plástico es k =15,1

W m° C

Si se denota la temperatura desconocida en la interfase por T, el problema de transferencia de calor del alambre se puede formular como ⅇ˙ 1 d =¿) + gen =0 r dr k d T alambre (0) =0 dr

 Se resuelve T alambre (r )=T 1 +

ⅇ˙ gen ×(r 2 ) 4 k alambre

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La resistencia del calentador de 2 kW convierte la energía eléctrica en calor a razón de 2 kW. La generación de calor por unidad de volumen del alambre es

ⅇ˙ gen =

E˙gen V alambre

=

E˙gen 2

πr0 L

=

2000W 9W =¿ 0.106 ×10 2 2 π (0.001m) ( 6 m) m

Entonces, se determina que la temperatura en el alambre es W 0.106 ×10 ( 0.001 m ) ( m ) =20° C+ 9

T 0=T s +

ⅇ˙ gen × r 0 4k

2

2

3

(

4 × 15,1

W m° C

)

T 0=20 ° C +1.755 ° C T 0=21.76 ° C La diferencia de temperaturas en el alambre es de 1.76°C. La temperatura es la interfase es 21.76°C. 3. Considere un muro blindado para un reactor nuclear. El muro recibe un flujo de rayos gamma de modo que dentro del muro se genera calor de acuerdo con la relación: −ax q=q ˙ 0× e Donde q 0 es la generación de calor en la cara interna del muro expuesto al flujo de rayos gamma y (a), es una constante. Utilizando esta relación para la generación de calor, obténgase una expresión para la distribución de temperatura en una pared de espesor (L), donde las temperaturas interior y exterior se mantienen a Ti y To respectivamente. Obténgase también una expresión para la temperatura máxima de la pared. Y el flujo de calor en la superficie.

Ti

X=-L

T0

X=0

X=L

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 

Qx+Qgen=Qx+ dx dt dt k d 2 t − xc 1 −xc 1 −KA + q0 e =−KA − e dx dx d x2

( )

( )



−k d 2 t q 0= d x2



−q 0 −d 2 t = ∫ k ∫ d x2



∫



t ( x )=



Condiciones de frontera 1

−q 0 dt x+ c 1= k dx −q 0 x 2 + c 1 x+ c 2 … α 2k

x=0

q0 dt dt =0 en :− x +c 1= dx k dx

0=0+c 1

 

Condición de frontera 2 x=−L ; t=ti en α



t ( x )=



ti=



c 2=ti+



Hallando el perfil de temperatura

−q 0 x + c 1 x+ c 2 2k 2

−q0 x +c 1 x+ c 2 2k 2

q0 L 2K

2

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c 1=0

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−q 0 x q + 0+ti+ 0 L 2k 2K 2 2 q0 t ( x )=( −x + L ) + ti 2K 2

t ( x )=

2

HallandoT MAX ( se encuentra en x=0 ) 2 tmáx=tcentro=( L )



Hallando el flujo de color  0

 



q0 + ti 2k

dt ∫ ¿−¿ q 0 L/ K ¿ dx x= L −q0 L q x =−K k

(

)

q x =q0 L

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q

x=−¿ K (

dt )¿ dx

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4. Un cable eléctrico de una aleación de Al tiene K = 190 W/m°C. Un diámetro de 30mm y soporta una corriente eléctrica de 230 A. La resistividad del cable ρ = 2,9 µΩ.cm y la temperatura superficial exterior del cable es de 180°C. Calcule la temperatura máxima dentro del cable si la temperatura del aire está a 15°C. Nota: El calor generado es debido a la potencia que genera el flujo eléctrico. Q generado=P=I 2 × R=q0 xV ρL R= , V = A × L A SOLUCIÓN  DATOS: K=190W /m° C Ti=180 ℃



Diámetro

D=30 mm≠30 x 10−1 cm≠30 x 10−3 m  Amperio I =230 A 

Resistividad del cable ρ=2.9 µΩ. cm≠2.9 x 10−6 µΩ. cm≠2.9 x 10−8 m

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Calcular: To=?

HALLAR

Q0 : L

Reemplazar: Q=

I 2∗ρL A

Para hallar Q/L: Q I 2∗ρ = L A HALLAR EL ÀREA: FORMULA:

π A= d 2 4 2 π A= ( 30∗1 0−3 ) 4

A=7.069∗1 0−4 m2 DATOS DEL EJERCICIO

D=30 x 10−3 m I =230 A ρ=2.9 x 10−8 m

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Reemplazar los datos: 2 −8 Q ( 230 ) ∗2,9× 1 0 = L 7.069× 1 0−4

Q w =2.17 L m

LEY DE FOURIER:

Qh

FORMULA: r

A

−K∗Ar∗dt Qr= dr

T0=?

Reemplazar el Área:

q r=−k∗2

Ql

πrL∗dt dr

T1

L

ro ≤r ≤ d /2 d /2

t1

−q 1 ∗∫ dr =∫ dt 2 πKl ro r ¿

d/2

t1

−q ∫ ¿ r=∫ dt 2 πkL ro ¿

DATO HALLADO

−q d ∗¿ −¿ ( ro ) =t 1−¿ 2 πk L 2

(( )

)

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Q w =2.17 L m

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Reemplazar datos hallados y datos del ejercicio: −q d ∗¿ −¿ ( ro ) =t 1−¿ 2 πk L 2

(( )

)

−2.17 30× 10 ∗¿ 2 π∗190 2

((

−3

DATOS DEL EJERCICIO

K=190W /m° C Ti=180 ℃

)−¿( ro ))=180−¿

−1,818 ×1 0−3∗(−4.199−¿ ( ro ) )=180−¿ ¿=179,99−1.818 ×10−3∈ro

Docente: Artemio Flores Lima

D=30 x 10−3 m