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• George Marriott

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (Discretas) 1. Según el Departamento de justicia de Estados Unidos, el 5% de todos los hogares estadounidenses sufrió al menos un robo el año anterior; pero la policía de Newport informa que una comunidad de 15 hogares sufrió cuatro robos el año anterior. Después de calcular la probabilidad de tener cuatro o más robos en una comunidad de 15 hogares, ¿cree usted que esa comunidad simplemente haya tenido mala suerte?

2. Se ha comprobado que determinada prueba cultural es superada por el 70% de las personas con estudio de grado medio y por el 55% de las personas con estudios primarios. Un total de 10 personas (seis con estudios de grado medio y cuatro con estudios primarios) realizan dicha prueba cultural. Calcular: a) La probabilidad de que exactamente cuatro de las personas con estudios de grado medio superen la prueba. b) La probabilidad de que al menos una de las personas con estudios primarios supere la prueba. c) Si consideramos la variable “número de personas que superan la prueba entre las 10 que la realizan”, ¿seguiría un modelo binomial de probabilidad? Razona la respuesta. Solución a) Podemos suponer que el número de éxitos para las 6 personas con estudios de grado medio sigue un modelo binomial con n =6 y p =0,7. La probabilidad de tener exactamente 4 éxitos vendría dada por:

b) Análogamente para las 4 personas con estudios primarios. Sea X el número de éxitos

c) No, pues una de las condiciones del modelo de binomial es que la probabilidad de éxito, en cada prueba, permanezca constante. 3. En recientes estudios realizados sobre pacientes portadores del SIDA se ha podido determinar que el 70% consume algún tipo de drogas. En la sala de espera de una consulta especializada en esta enfermedad se encuentran en un determinado momento seis personas. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno haya consumido drogas? Solución La variable X sigue una binomial de parámetros n=6 y p=0,7. Por tanto, la probabilidad p[X =0] =0,36=0,000729. 4. Según informó un periódico nacional, de un total de 2.847 asuntos presentados en el Tribunal Constitucional en un período determinado, sólo se han podido resolver 2.147, lo que equivale aproximadamente al 75% de los presentados. ¿Cuál es la probabilidad de que de diez asuntos elegidos al azar todos hayan sido resueltos?

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Solución Sea X la variable aleatoria que nos da el número de éxitos en 10 pruebas. X sigue un modelo binomial de parámetros n =10 y p =0,75. La probabilidad p[X=10] =0,7510 =0,0563 5. Según un informe de una organización internacional, en el año 1981 el 35% de la población mundial tenía menos de 15 años. Si fuera posible elegir una muestra aleatoria de la población mundial formada por diez personas, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo haya tres individuos con edad inferior a 15 años? Solución Sea X la variable aleatoria “número de individuos cuya edad es inferior a 15 años en una muestra aleatoria de 10 individuos”. X sigue una binomial de parámetros n =10 y p =0,35. La probabilidad que nos piden es p[X £ 3]=p[X=0]+p[X=1]+p[X=2]+p[X=3]=

6. En un test destinado a medir la capacidad espacial de un grupo de alumnos de la Escuela de Arquitectura se ha podido saber que el 20% tienen una capacidad espacial insuficiente. ¿Cuál es la probabilidad de que de tres alumnos elegidos al azar los tres hayan dado resultados insuficientes en el test? Solución Sea X la variable aleatoria que da el número de éxitos (el éxito aquí es tener capacidad espacial insuficiente) en las 3 pruebas. X sigue una binomial de parámetros n=3 y p=0,2. Por tanto, la probabilidad p[X=3]=0,23=0,008. 7. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

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8. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos. Solución

9. A la caja de un supermercado llegan en promedio 2 clientes por minuto. Calcular la probabilidad de que: a) No lleguen clientes en un minuto. b) Llegue más de un cliente en un minuto. c) Lleguen 5 clientes en 2 minutos. Solución

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10. En una fábrica de calzado se producen 7 accidentes en 35 días de trabajo. Si esta situación se mantiene, calcular la probabilidad de que: a) En un día cualquiera no se produzcan accidentes. b) Se produzcan 2 accidentes en 3 días de trabajo. c) Se produzcan como máximo 3 accidentes en 7 días de trabajo.

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11. Un libro de 520 páginas contiene 390 errores tipográficos. Suponiendo que el número de errores por página es una variable de Poisson, encuentre la probabilidad de que 4 páginas seleccionadas al azar estén libres de errores.

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EJERCICIOS PROPUESTOS Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Si un alumno contesta al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien 4 preguntas? b) ¿Y la de que conteste correctamente más de 2 preguntas? c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas. x es B 10; a) P [x = 4] = · 0,254 · 0,756 = 0,146 b) P [x > 2] = 1 – P [x 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) = = 1 – (0,056 + 0,188 + 0,282) = 1 – 0,526 = 0,474 c) P [x = 0] = 0,7510 = 0,056

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Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su color y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite 5 veces, calcula la probabilidad de obtener: a) Tres bolas rojas. b) Menos de tres rojas. c) Más de tres rojas. d) Alguna roja. Si consideramos éxito = “sacar roja”, x es B (5; 0,3) a) P [x = 3] = 5· 0,33 · 0,72 = 0,1323 b) P [x < 3] = P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] = = 0,16807 + 0,36015 + 0,3087 = 0,83692 0,8369 c) P [x > 3] = 1 – P [x 3] = 1 – (0,1323 + 0,8369) = 0,0308 d) P [x 0] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,75 = 0,8319 En una fiesta hay tantos chicos como chicas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de seis personas haya tres chicas? b) ¿Y la de que haya menos de tres chicas? x es B (6; 0,5) a) P [x = 3] = · 0,53 · 0,53 = 0,3125 b) P [x < 3] = P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] = 0,56 + 6 · 0,56 + 15 · 0,56 = 0,3437 La probabilidad de que un torpedo lanzado por un submarino dé en el blanco es 0,4. Si se lanzan 6 torpedos, halla la probabilidad de que: a) Sólo uno dé en el blanco. b) Al menos uno dé en el blanco. x es B (6; 0,4) a) P [x = 1] = · 0,4 · 0,65 = 0,1866 b) P [x 1] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,66 = 0,9533 En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula la probabilidad de que en una caja haya este número de tornillos defectuosos: a) Ninguno. b) Uno. c) Más de dos. ¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja? x es B (50; 0,02) a) P [x = 0] = 0,9850 = 0,364 b) P [x = 1] = 50 · 0,02 · 0,9849 = 0,372 c) P [x > 2] =1 – P [x 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) = = 1 – (0,364 + 0,372 + 0,186) = 1 – 0,922 = 0,078 Por término medio, habrá μ = 50 · 0,02 = 1 tornillo defectuoso en cada caja. Dos ajedrecistas de igual maestría juegan al ajedrez. ¿Es más probable ganar dos de cuatro partidas o tre de seis partidas? (Las partidas finalizadas en tablas no se toman en consideración).

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Hallar la dispersión de una magnitud aleatoria discreta X, o sea, del número de apariciones del suceso A en cinco pruebas independientes, si la probabilidad de que ocurra el suceso A en cada una de las pruebas es igual a 0,2.

Hallar la dispersión de una magnitud aleatoria discreta X, o sea, del número de fallos de un elemento de cierto dispositivo en diez experimentos independientes, si la probabilidad del fallo del elemento en cada experimento es igual a 0,9. Solución: D(X) = 0,9 Un manual se edita con un tiraje de 100.000 ejemplares. La probabilidad de que un manual esté encuadernado incorrectamente es igual a 0,0001. Hallar la probabilidad de que el tiraje contenga: a) 5 libros defectuosos. b) Más de 3 libros defectuosos.

Un dispositivo está compuesto de 1000 elementos que trabajan independientemente uno de otro. La probabilidad de fallo de cualquier elemento durante un tiempo T es igual a 0,002. Hallar la probabilidad de que durante ese tiempo fallen exactamente 3 elementos.

Una máquina automática estampa remeras. La probabilidad de que la remera elaborada resulte defectuosa es igual a 0,01. Hallar la probabilidad de que entre 200 remeras resulten exactamente 4 defectuosas.

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Una fábrica envía al depósito 500 artículos. La probabilidad de deterioro de un artículo en el camino es igual a 0,002. Hallar la probabilidad de que en el camino se deterioren: a) exactamente 3 artículos, b) menos de tres, c) más de tres, d) por lo menos un artículo.

El promedio de pedidos de taxi, hechos al centro de despachos en un minuto es exactamente de tres. Hallar la probabilidad de que en 2 minutos se hagan: a) 4 pedidos, b) menos de 4 pedidos, c) no menos de cuatro pedidos. a)

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El promedio de pedidos de llamadas recibidas en el 911 en un minuto es igual a dos. Hallar la probabilidad de que en 4 minutos se reciban: a) 3 llamadas, b) menos de 3 llamadas, c) no menos de 3 llamadas.

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