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• Nicole Fernanda Reyes Tapia

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UNIVERSIDAD DE LA SERENA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS LA SERENA-CHILE

EJERCICIOS ANALISIS NUMERICO PARA INGENIERIA

H´ ector Andr´ es Torres Apablaza

Versi´ on 2016, Semestre I

ii

Contents 1 INTERPOLACION E INTEGRACION NUMERICA

3

1.1

EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

3

2

Chapter 1 INTERPOLACION E INTEGRACION NUMERICA 1.1

EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1.1.1. Considerar la siguiente funci´on: f (x) = e−2x

2

a-) Usando los puntos de interpolaci´on x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1 x3 = 2 y usando la f´ormula de Newton, determinar el valor aproximado de f (1.5). Soluci´ on: Primero determinamos la tabla para obtener las diferencia divididas, es decir, xi

f [xi ] f [xi , xi+1 ] f [xi , xi+1 , xi+2 ] f [xi , xi+1 , xi+2 , xi+3 ]

-1

e−2

1-e−2

0

1

e−2 -1

1

e−2

e−8 -e−2

2

e−8

2e−2 −2 2 e−8 −2e−2 +1 2

e−8 −4e−2 +3 6

Entonces, N (x) = e−2 + (1 − e−2 )(x + 1) − (1 − e−2 )(x + 1)x + 3

e−8 − 4e−2 + 3 (x + 1)x(x − 1) 6

4 es decir, f (1.5) ≈ N (1.5) = e−2 + (1 − e−2 )(2.5) − (1 − e−2 )(2.5)1.5 +

e−8 − 4e−2 + 3 (2.5)1.5(0.5) 6

= −0.3125 + e−2 + 0.3125e−8 b-) Si agregamos el punto de interpolaci´on x4 = 0.5 con , determinar el error cometido al aproximar f (1.5).s Soluci´ on: xi

f [xi ]

f [xi , xi+1 ]

f [xi , xi+1 , xi+2 ]

-1

e−2

1-e−2

0

1

−2

1

e−2

e−8 -e−2

2

e−8

0.5

e−0.5

2 e−8 −2 e−0.5 + 3 3

2e−2 −2 2 e−8 −2e−2 +1 2 4 e−0.5 + 2 e−8 − 2e−2 3 3

e

-1

f [xi , xi+1 , xi+2 , xi+3 ] 1 e−8 3

e−8 −4e−2 +3 6 8 e−0.5 − 2e−2 + 3

1 e−8 9

− 8 e−2 + 16 e−0.5 − 1 9 9

−1

Entonces, N (x) = e−2 + (1 − e−2 )(x + 1) − (1 − e−2 )(x + 1)x+ e−8 − 4e−2 + 3 1 8 16 (x + 1)x(x − 1) + [ e−8 − e−2 + e−0.5 − 1](x + 1)(x)(x − 1)(x − 2) 6 9 9 9 es decir, f (1.5) ≈ N (1.5) = e−2 + (1 − e−2 )(2.5) − (1 − e−2 )(2.5)1.5+ e−8 − 4e−2 + 3 1 8 16 (2.5)1.5(0.5) + [ e−8 − e−2 + e−0.5 − 1](2.5)(1.5)(0.5)(−0.5) 6 9 9 9 5 5 5 = −0.3125 + 0.9375 + (1 + )e−2 + (0.3125 − )e−8 − e−0.5 6 48 3 c-) Si se interpola con x0 = 0, x1 = 1 x2 = 2, determinar el error m´aximo que se puede cometer en todo el intervalo [x0 , x2 ]. Soluci´ on: Sabemos que la cota para el error de interpolaci´on es |f (3) (ξ)| |x||x − 1||x − 2| 3! ξ∈[0,2]

|f (x) − N (x)| ≤ sup

entonces el m´aximo error en el intervalo [0, 2] es |f (3) (ξ)| max |x||x − 1||x − 2|. x∈[0,2] 3! ξ∈[0,2]

max |f (x) − N (x)| ≤ sup x∈[0,2]

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

5

Determinamos primero el valor de |f (3) (ξ)| , 3! ξ∈[0,2] sup

es decir, determinaremos el valor m´aximo de la funci´on f 3 (x) dentro del intervalo cerrado
2 [0, 2] (materia de c´alculo I). Como f (3) = e−2x 48x−64x3 , calculamos los puntos cr´ıticos con 2

f (4) (x) = 16e−2x (16x4 − 24x2 + 3) = 0 q √ q √ q √ q √ 3+ 6 3− 6 3+ 6 ∗ ∗∗ , los cuales son x = ± yx=± , donde solo x = y x = 3−4 6 , 4 4 4 estan dentro del intervalo [0, 2]. Ahora, q √ −3−√6 (3) ∗ f (x ) = −8 18 + 6 6e 2 = −2.9991754307143128, q √ −3+√6 (3) ∗∗ f (x ) = 8 18 − 6 6e 2 = 11.0409523692859926 , f (3) (0) = 0 f (4) (2) = −416e−8 = −0.1395524532074449 Entonces

p √ −3+√6 8 18 − 6 6e 2 |f (3) (ξ)| = , sup 3! 6 ξ∈[0,2]

Adem´as, max |x||x − 1||x − 2| = max |x(x − 1)(x − 2)| x∈[0,2]

x∈[0,2]

considerando g(x) = x(x − 1)(x − 2), se tiene que g 0 (x) = 3x2 − 6x + 2, la cual se anula en x∗ = g(x∗ ) =

√ √ 3− 3 y x∗∗ = 3+3 3 . Entonces, se tiene que g tiene valores 3 √ √ 2 3 −2 3 ∗∗ y g(x ) = (notar obviamente que evaluando los 3 3

extremos dados por extremos g(0) = 0,

g(2) = 0). Es decir, √ 2 3 max |x||x − 1||x − 2| = max |x(x − 1)(x − 2)| = . x∈[0,2] x∈[0,2] 3 Finalmente, |f (3) (ξ)| 8 max |f (x) − N (x)| ≤ sup max |x||x − 1||x − 2| ≤ x∈[0,2] x∈[0,2] 3! 6 ξ∈[0,2]

q √ √6−3 18 − 6 6e 2

√ 2 3 3

6 EJEMPLO 1.1.2. Considerar los siguientes valores en la tabla: xi

-2

0

1

3

f (xi )

0.5

1.5

3

0.5

a-) Usando la f´ormula de Newton, determinar el valor aproximado de f (2.5). Soluci´ on: Primero, debemos determinar la tabla para las diferencias divididas, es decir, xi

f (xi )

0

1

3

1 3 11 − 12

− 41

-2

0.5

0.5

0

1.5

1.5

1

3

-1.25

3

0.5

entonces 1 1 N (x) = 0.5 + 0.5(x + 2) + (x + 2)x − (x + 2)x(x − 1) 3 4 f (2.5) ≈ N (2.5) = 2.28125 b-) Si agregamos un punto m´as de interpolaci´on x4 = 4 con f (x4 ) = 0.5 , entonces determinar el valor aproximado de f (2.5). Soluci´ on: Agregando este punto de interpolaci´on , se tiene que xi

f (xi )

0

1

3

1 3 − 11 12 5 12

− 41

-2

0.5

0.5

0

1.5

1.5

1

3

-1.25

3

0.5

0

4

0.5

7 72

1 3

entonces 1 1 7 N (x) = 0.5 + 0.5(x + 2) + (x + 2)x − (x + 2)x(x − 1) + (x + 2)x(x − 1)(x − 3) 3 4 72 f (2.5) ≈ N (2.5) = 1.4609375 c-) Si se interpola por medio de un spline lineal (aunque los nodos no son equiespaciados), determinar el valor de f (2.5).

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

7

Soluci´ on: El interpolante spline lineal en el intervalo [1, 3] es (determinando la ecuaci´ on de la recta que pasa por (x2 , f (x2 )) y (x3 , f (x3 )) ) S(x) = 3 − 1.25(x − 1) entonces f (2.5) ≈ S(2.5) = 3 − 1.25(1.5) = 1.25 EJEMPLO 1.1.3. Considerar los siguientes valores en la tabla: xi f (xi )

-1 0

1

2

3

1

1

4

9

0

a-) Usando la f´ormula de Lagrange (o Newton), determinar el grado del polinomio de interpolaci´on. Soluci´ on: Independiente de la f´ormula de aproximaci´on que usemos el polinomio de interpolaci´on es P (x) = x2 lo cual se puede ver por el comportamiento de los datos dados. Recordemos que si aproximamos un polinomio el resultado ser´a el mismo polinomio. b-) Si agregamos un punto m´as de interpolaci´on x5 = 4 con f (x4 ) = 16 , determinar el grado del nuevo polinomio de interpolaci´on. Soluci´ on: Obviamente, si consideramos mas puntos de interpolaci´on, el polinomio ser´ a el mismo. P (x) = x2 c-) Si consideramos los 5 puntos de interpolaci´on originales y se interpola por medio de un spline cuadr´atico, entonces determinar el valor de f (0.5). Soluci´ on: Si estamos interpolando por un interpolante cuadr´atico una funci´on que ya es cuadr´atica, entonces este interpolante, tambien ser´a la misma funci´on, entonces f (0.5) = P (0.5) = (0.5)2 = 0.25 EJEMPLO 1.1.4. Dada la siguiente tabla

8 xi

-2 -1 0

f (xi ) -6

0

2

3

6

7

-16

-70

-96

a-) Usando la f´ormula de Newton determinar y escribir explicitamente el polinomio de interpolaci´on. SOLUCION: Para determinar el polinomio de Newton , debemos usar la siguiente tabla xi f (xi ) -2

-6

6

-2 0

0

-1

0

2

-2 0

0

0

2

-6

-2 0

3

-16

-18

-2

6

-70

-26

0

7 -96 Entonces el polinomio de Newton esta dado por N (x) = −6 + 6(x + 2) − 2(x + 2)(x + 1) + 0(x + 2)(x + 1)(x) + 0(x + 2)(x + 1)(x)(x − 3)+ 0(x + 2)(x + 1)(x)(x − 3)(x − 6) = −6 + 6(x + 2) − 2(x + 2)(x + 1) , es decir, N (x) = −6 + 6(x + 2) − 2(x + 2)(x + 1) = −2x2 + 2 b-) Usando la f´ormula de Lagrange determinar y escribir explicitamente el polinomio de interpolaci´on. SOLUCION: Se sabe de la te´oria de interpolaci´on, que el polinomio de Newton es el de Lagrange escrito en forma conveniente, es decir, no necesitamos hacer ningun c´ alculo y se concluye que L(x) = −2x2 + 2 c-) Si quitamos los puntos de interpolaci´on x3 y x5 en la tabla, ahora usando la f´ormula de Lagrange determinar y escribir explicitamente el polinomio de interpolaci´on. SOLUCION: Como el resultado anterior es un polinomio de grado dos, se sabe de teor´ıa que al usar tres o mas puntos de interpolaci´on el resultado sera el mismo polinomio,

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

9

entonces al quitar dos puntos, tendremos 4 puntos de interpolaci´on, por lo tanto sin hacer ning´ un c´ alculo, se sabe que L(x) = −2x2 + 2 EJEMPLO 1.1.5. Considerar la siguiente funci´on f (x) = xe−x Considerar los puntos de interpolaci´on x0 = −2, x1 = −1, x2 = 1 y x3 = 2. a-) Usando la f´ormula de Newton, determinar el valor aproximado de f (1.5). Determinar el error m´aximo cometido al aproximar f (1.5). SOLUCION: Para determinar la f´ormula de Newton, consideremos la siguiente tabla xi fi -2 −2e2

−e + 2e2

(e−1 + 3e − 4e2 )/6

-1

−e

(e−1 + e)/2 (4e−2 − 3e−1 − e)/6

1

e−1

2e−2 − e−1

(e−2 + e2 − e−1 − e)/6

2 2e−2 , entonces el polinomio de Newton esta dado por N (x) = −2e2 +(2e2 −e)(x+2)+

(e−1 + 3e − 4e2 ) (e−2 + e − e−1 − e) (x+2)(x+1)+ (x+2)(x+1)(x−1) 6 6

entonces f (1.5) ≈ N (1.5) = −2e2 +(2e2 −e)(3.5)+

(e−1 + 3e − 4e2 ) (e−2 + e2 − e−1 − e) (8.75)+ (4.375) 6 6

Por otro lado, para determinar el m´aximo error cometido debemos usar la cota del error |e(x)| = |f (x) − N (x)| ≤ supξ∈[−2,2]

|f (4) (ξ)| |x + 2||x + 1||x − 1||x − 2| 4!

entonces |e(1.5)| = |f (1.5) − N (1.5)| ≤ supξ∈[−2,2]

|f (4) (ξ)| |3.5||2.5||0.5||0.5| 4!

10

|e(1.5)| = |f (1.5) − N (1.5)| ≤ supξ∈[−2,2]

|f (4) (ξ)| 2.1875 4!

, donde queda calcular el supremo. Como f (4) = (−4 + x)e−x entonces f (5) = (5 − x)e−x = 0 ⇐⇒ 5 = x Ahora f (4) (−2) = (−4 − 2)e2 f (4) (2) = (−4 + 2)e−2 y f (4) (5) = (−4 + 5)e−5 = e−5 Pero el punto cr´ıtico esta fuera del intervalo [−2, 2], entonces evaluamos la funci´on solo en los extremos del intervalo obteniendo que supξ∈[−2,2]

|f (4) (−2)| 6e2 |f (4) (ξ)| = = 4! 4! 4!

Entonces el m´aximo error de aprox. esta dado por |e(1.5)| = |f (1.5) − N (1.5)| ≤ supξ∈[−2,2]

6e2 |f (4) (ξ)| |3.5||2.5||0.5||0.5| = 2.1875 4! 4!

b-) Determinar el error m´aximo cometido en todo el intervalo [−2, 2] SOLUCION: Para determinar el m´aximo error cometido en el intervalo, debemos usar la cota del error |e(x)| = |f (x) − N (x)| ≤ supξ∈[−2,2]

|f (4) (ξ)| |x + 2||x + 1||x − 1||x − 2| 4!

entonces el m´aximo error en todo el intervalo esta dado por   |f (4) (ξ)| maxx∈[−2,2] |e(x)| ≤ maxx∈[−2,2] supξ∈[−2,2] |x + 2||x + 1||x − 1||x − 2| 4!

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

11

  |f (4) (ξ)| maxx∈[−2,2] |x + 2||x + 1||x − 1||x − 2| maxx∈[−2,2] |e(x)| ≤ supξ∈[−2,2] 4! calculemos

  maxx∈[−2,2] |x + 2||x + 1||x − 1||x − 2|

consideremos h(x) = (x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2) = (x2 − 4)(x2 − 1) = x4 − 5x2 + 4 para obtener el m´aximo de esta funci´on en el intervalo [−2, 2], debemos encontrar los puntos cr´ıticos r h0 (x) = 4x3 − 10x = 0 ⇐⇒ x(4x2 − 10) = 0 ⇐⇒ x = 0, x = ±

5 2

donde h(0) = 4 r 5 ) = 2.25 h( 2 Entonces

|f (4) (ξ)| 6e2 (4) = (4) 4! 4! c-) Agregar un nuevo punto de interpolaci´on x4 = 0, entonces determinar el valor aproxmaxx∈[−2,2] |e(x)| ≤ supξ∈[−2,2]

imado de f (1.5). SOLUCION: xi

fi

-2

−2e2

−e + 2e2

(e−1 + 3e − 4e2 )/6

(e−2 + e2 − e−1 − e)/6

-1

−e

(e−1 + e)/2

(4e−2 − 3e−1 − e)/6

(2e−2 − 3e−1 + e)/6

1

e−1

2e−2 − e

e−2 − e−1

2

2e−2

e−2

0

0

N1 (x) = N (x) +

(e−2 − e2 − 2e−1 + 2e)/12

(e−2 − e2 − 2e−1 + 2e) (x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2) 12

entonces f (1.5) ≈ N (1.5) +

(e−2 − e2 − 2e−1 + 2e) (−2.1875) 12

EJEMPLO 1.1.6. considerar la funci´on f (x) = x2 e−x

12 a.- Determinar el polinomio de Newton usando los puntos de interpolaci´on x0 = −1, x1 = 2 y x2 = 3. b.- Determinar el valor aproximado en x∗ = 0 y estimar el error m´aximo cometido en x∗ . c.- Determinar el error m´aximo cometido en todo el intervalo. SOLUCION: Determinarmos el polinomio de Newton usando la siguiente tabla xi f (xi ) −1

e

2

4e−2

3

9e−3

4e−2 −e 3 −3 −2

9e

27e−3 −16e−2 +e 12

− 4e

PN (x) = e + (

, entonces

4e−2 − e 27e−3 − 16e−2 + e )(x + 1) + ( )(x + 1)(x − 2). 3 12

Entonces, 4e−2 − e 27e−3 − 16e−2 + e ) − 2( ). 3 12 Estimamos el error en x∗ = 0, es decir, PN (0) = e + (

|PN (x∗ ) − f (x∗ )| ≤ supξ∈[−1,3]

|f 000 (ξ)| ∗ |x + 1||x∗ − 2||x∗ − 3| 3!

donde f 000 (x) = (−6 + 6x − x2 )e−x y f 0000 (x) = (12 − 8x + x2 )e−x = 0 ⇐⇒ 12 − 8x + x2 = 0 ⇐⇒ x = 6, x = 2 donde solo x = 2 ∈ [−1, 3], es decir, |f 000 (−1)| = 13e = 35, 33766377 |f 000 (3)| = 3e−3 = 0, 149361205 |f 000 (2)| = 2e−2 = 0, 270670566 entonces

|f 000 (ξ)| 6 = 13e. 3! Finalmente para determinar el error m´aximo cometido en todo el intervalo   |f 000 (ξ)| supx∈[−1,3] |PN (x) − f (x)| ≤ supx∈[−1,3] supξ∈[−1,3] |x + 1||x − 2||x − 3| 3! |PN (0) − f (0)| ≤ supξ∈[−1,3]

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

13

  |f 000 (ξ)| supx∈[−1,3] |x + 1||x − 2||x − 3| = supξ∈[−1,3] 3! donde se debe calcular solo el supremo que esta mas a la derecha. Consideremos |x + 1||x − 2||x − 3| = |(x + 1)(x − 2)(x − 3)| = |x3 − 4x2 + x + 6| donde h(x) = x3 − 4x2 + x + 6 entonces h0 (x) = 3x2 − 8x + 1 = 0 ⇐⇒ x1 = 4/3 −

√ √ 13/2, x2 = 4/3 + 13/2

entonces h(x1 ) = 5, 69139185 h(x2 ) = 0, 639585651 , es decir, supx∈[−1,3] |PN (x) − f (x)| ≤ 13e × 5, 69139185 EJEMPLO 1.1.7. Sea la funci´on f (x) = x3 + ln(x + 1) usando los nodos x0 = 0, x1 = 1 y x2 = 2 se puede calcular el polinomio de Lagrange L(x). a-) Calcular entonces

R2 0

L(x) dx.

SOLUCION: Se sabe de la te´oria que al usar tres puntos de interpolaci´on dados por los extremos y punto medio , lo que estamos haciendo es usar la regla Simpson para aproximar la integral de f (x), entonces sin necesidad de calcular L(x) Z 2 Z 2
2−0 f (x) dx ≈ L(x) dx = f (0) + 4f (1) + f (2) 6 0 0 entonces Z

2

L(x) dx = 0


2 ln(0 + 1) + 4(13 + ln(1 + 1)) + 23 + ln(2 + 1) 6

14 =


2
2 4(1 + ln(2)) + 8 + ln(3) = 4ln(2) + 12 + ln(3) 6 6

b-) Determinar el error m´aximo cometido al aproximar la integral R2 de 0 L(x) dx.

R2 0

f (x) dx por medio

SOLUCION: Para determinar el m´aximo error cometido en el intervalo, debemos usar la cota del error para la regla de Simpson Z Z (2 − 0)5 supξ∈[0,2] |f (4) (ξ)| | f (x) − L(x)| ≤ 2880 donde |f (4) (x)| =

6 (x + 1)4

la cual alcanza su m´aximo en el intervalo en x = 0, es decir , supξ∈[0,2] |f (4) (ξ)| = |f 4 (0)| = 6 Finalmente

Z |

Z f (x) −

L(x)| ≤

(2 − 0)5 6 = 0.06666666 2880

EJEMPLO 1.1.8. Considerar la siguiente funci´on f (x) = xe−x Considerar los puntos de interpolaci´on x0 = 0, x1 = 2, x2 = 4. a-) Determinar el polinomio de Newton regresivo NR (x). R4 b-) Calcular la integral 0 NR (x) dx y usando la regla de Simpson determinar la aproxiR4 maci´on de la integral 0 xe−x dx. Que se puede concluir. SOLUCION: a) Para determinar la f´ormula de Newton regresiva, consideremos la siguiente tabla xi fi 0

0

2e−2

2

2e−2

4e−4 − 2e−2

4

4e−4

4e−4 − 4e−2

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

15

, entonces el polinomio de Newton regresivo esta dado por NR (x) = 4e−4 + = 4e−4 +

[4e−4 − 2e−2 ] [4e−4 − 4e−2 ] (x − 4) + (x − 4)(x − 2) 1! 21 2! 22

[4e−4 − 4e−2 ] [4e−4 − 2e−2 ] (x − 4) + (x − 4)(x − 2). 2 8

b) Se tiene que Z

4

Z NR (x) dx =

0

0

4

4e−4 +

[4e−4 − 4e−2 ] [4e−4 − 2e−2 ] (x − 4) + (x − 4)(x − 2) dx 2 8

[4e−4 − 4e−2 ] (2) 3   [8e−4 − 8e−2 ] [16e−2 + 8e−4 ] 8 −2 −2 −4 = 8e + = = 2e + e 3 3 3 = 16e−4 + [4e−4 − 2e−2 ](−4) +

Ahora, usando la regla de Simpson     Z 4 8 4 −x −2 −4 −2 −4 xe dx = 0 + 4(2e ) + 4e = 2e + e 6 3 0 Se concluye que los dos valores son iguales, YA QUE en este caso al calcular la integral de NR , en el intervalo [0, 4], esto no es nada m´as que usar la f´ormula de Simpson para la integral de la funci´on interpolada.

EJEMPLO 1.1.9. Dada la siguiente tabla xi

-2 0

2

f (xi )

-6 2

-6

a-) Usando la f´ormula de Newton regresiva NR (x) determinar el polinomio de interpolaci´on. b-) Usando la f´ormula de Lagrange L(x) determinar y escribir explicitamente el polinomio de interpolaci´on. R2 c-) Calcular la integral −2 NR (x) dx y usando la regla de Simpson determinar la aproxR2 imaci´on de la integral −2 (2 − 2x2 ) dx. Que se puede concluir.

16 SOLUCION: a) Para determinar la f´ormula de Newton regresiva, consideremos la siguiente tabla xi f i -2 -6

8

0

-8

2

-16

2 -6 , entonces el polinomio de Newton regresivo esta dado por NR (x) = −6 +

−8 −16 (x − 2) + (x − 2)(x) 1 1! 2 2! 22

= −6 − 4(x − 2) − 2(x − 2)(x) = 2 − 2x2 . b) Usamos a) P (x) = 2 − 2x2 . c) Z

2

Z

2

NR (x) dx = −2

2 − 2x2 dx = −8/3.

−2

Usando Simpson Z

2

(2 − 2x2 ) dx =

−2

 2 (−6) + 4(2) + (−6) = −8/3 3

Se concluye que los dos valores son iguales, YA QUE en este caso al calcular la integral de NR , en el intervalo [−2, 2], esto no es nada m´as que usar la f´ormula de Simpson para la integral de la funci´on interpolada.

EJEMPLO 1.1.10. Considerar la siguiente funci´on f (x) =

x+1 2

a-) Usando el punto de interpolaci´on x0 = 2 calcular el polinomio de Newton N1 (x). b-) Usando los puntos de interpolaci´on x0 = 1, x1 = 3 calcular el polinomio de Newton N2 (x). c-) Usando los puntos de interpolaci´on x0 = 1, x1 = 2 y x2 = 3 calcular el polinomio de

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

17

Newton N3 (x). R3 R3 R3 d-) Calcular los valores de 1 N1 dx, 1 N2 dx y 1 N3 dx . Cual de las integrales se acerca R3 mas al valor 1 f (x) dx y porque ?. SOLUCION: a) Como tenemos un solo punto de interpolaci´on, en este caso N1 (x) =

3 2

b) Como la funci´on interpolada es un polinomio de grado 1 y tenemos dos puntos de interpolaci´on, se tiene que N2 (x) =

x+1 . 2

c) Si agregamos otro punto de interpolaci´on el resultado sera el mismo, es decir, N3 (x) = x+1 2

d) Z

3

Z

3

3 dx = 3 1 1 2 Z 3 Z 3 Z 3 x+1 dx = 3 N3 dx = N2 dx = 2 1 1 1 N1 dx =

Ahora,

R3 1

f (x) dx = 3.

Las tres integrales, tienen el mismo valor, ya que N2 y N3 son iguales a f (x). Adem´ as, R3 N1 dx es el area bajo el polinomio constante 3/2 en en [1, 3], que tiene la misma area 1 del trapecio formado en [1, 3] por la funci´on f (x).

EJEMPLO 1.1.11. Sea f (x) una funci´on definida en [a, b]. Considerar los puntos de interpolaci´on x0 = a, x1 =

a+b , x2 2

= b.

a-) Determinar el polinomio de Newton N (x) de la funci´on f (x). ´ SOLUCION: Usando la tabla correspondiente se tiene que  a+b    f ( 2 ) − f (a) f (a) − 2f ( a+b ) + f (b) a+b 2 N (x) = f (a) + 2 (x − a) + 2 (x − a)(x − ) 2 b−a (b − a) 2 Rb b-) Calcular el valor de a N (x) dx. Que obtuvo?. ´ SOLUCION: Obviamente si el alumno sabe la teor´ıa BASICA, se dar´a cuenta que es la regla Simpson, es decir, Z b b−a a+b N (x) dx = (f (a) + 4f ( ) + f (b)) 6 2 a

18

En este caso π(x) = (x − a)(x −

a+b )(x 2

− b)

c-) Demostrar que π(x) cambia de signo en [a, b]. ´ SOLUCION: Basta ver la gr´afica de este polinomio para darnos cuenta que cambia de signo (polinomio de grado 3 con raices en a,(a + b)/2 y b). Rb d-) Calcular a π(x) dx. Rb ´ SOLUCION: De la misma gr´afica de la funci´on se tiene que a π(x) dx = 0. Rb 0000 e-) Por c-) y d-) se tiene que E = f 4!(ξ) a π(x)(x − x3 ) dx. Considerar x3 = x1 y calcular el valor de esta expresi´on. ´ SOLUCION: El alumno sabe que el error usando Simpson esta dado por E=

f 0000 (ξ) (b − a)5 2880

y como estamos usando Simpson se tiene que f 0000 (ξ) f 0000 (ξ) E= (b − a)5 = 2880 4!

Z

b

π(x)(x − x3 ) dx a

f-) Determinar una cota de error para E. ´ SOLUCION: Aplicar valor absoluto en ambos lados.

EJEMPLO 1.1.12. Dada la integral doble Z Z f (x, y)dydx, A

donde A := {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1}. a-) Determinar y escribir la f´ormula del trapecio para esta integral. SOLUCION: Sabemos que la f´ormula del trapecio esta dada por Z b (b − a) g(x)dx ≈ [g(a) + g(b)]. 2 a

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

19

aplicando esta misma f´ormula a la integral doble se tiene que   Z 1Z 1 Z 1 1 [f (x, 0) + f (x, 1)] dx f (x, y)dy dx ≈ 2 0 0 0 1 = 2

Z

1

1

Z f (x, 0)dx +

 f (x, 1)dx

0

0

  1 1 1 = [f (0, 0) + f (1, 0)] + [f (0, 1) + f (1, 1)] 2 2 2   1 = f (0, 0) + f (1, 0) + f (0, 1) + f (1, 1) 4 b-) Si subdividimos el ´area de integraci´on en 4 cuadrados iguales, entonces determinar la f´ormula del trapecio compuesta para este caso. SOLUCION: Se sabe de la teor´ıa que las f´ormulas compuestas consisten en aplicar una regla de integraci´on en cada subconjunto de integraci´on, en este caso, aplicamos las regla del trapecio a cada cuadrado, usando la regla anterior, es decir, Z 1Z 1 f (x, y)dydx = 0

Z

1 2

Z

1 2

Z

1 2

1

Z

f (x, y)dydx + 0

0

0 1

Z

Z

f (x, y)dydx + 0

1 2

1 2

1

Z

1

Z

f (x, y)dydx + 1 2

0

f (x, y)dydx 1 2

1 2

  1 1 1 1 1 1 1 ≈ f (0, 0)+f (1, 0)+f (0, 1)+f (1, 1)+2(f ( , 0)+f (0, )+f (1, )+f ( , 1))+4f ( , ) 16 2 2 2 2 2 2 c-) Si f (x, y) = x2 + y 2 , determinar y escribir una aproximaci´on para la integral usando a y b. SOLUCION: Aplicado solo las f´ormulas anteriores y considerando la evaluaciones en la funci´on f (x, y) f (0, 0) = 0 f (0, 1) = 1 f (1, 0) = 1 f (1, 1) = 1 + 1

20 f (0, 1/2) = 1/4 f (1/2, 0) = 1/4 f (1, 1/2) = 1 + 1/4 f (1/2, 1) = 1/4 + 1 f (1/2, 1/2) = 1/4 + 1/4 entonces, usando a    Z 1Z 1 1 f (x, y)dy dx ≈ f (0, 0) + f (1, 0) + f (0, 1) + f (1, 1) = (1 + 1)/2 4 0 0 Y usando b

1

Z

Z

0

1

0

 3 f (x, y)dy dx ≈ (1 + 1) 8

EJEMPLO 1.1.13. Considerar la siguiente integral Z √2 2 −x2 dx √ e −

2 2

a-) Determinar una aproximaci´on de la integral usando la f´ormula del punto medio . b-) Determinar una aproximaci´on de la integral usando la f´ormula del trapecio. c-) Determinar una aproximaci´on de la integral usando la f´ormula de Simpson. d-) Cual de las aproximaciones anteriores se aproxima m´as al valor real y por que? (justifique). SOLUCION: a-)

√

√

2 2

Z

√

Z

√ 2 2

√ − 22

e

2 2

−

b-)

−x2

√ 2 2 0 √ dx = ( + )e = 2 2 2 √

−x2

e

dx = (

2 2

√

+ 2

2 2

1

1

)(e− 2 + e− 2 ) =

√

1

2e− 2

c-) √

√

Z

2 2

√

−

2 2

−x2

e

dx = (

2 2

√

+ 6

2 2

− 12

)(e

− 21

+ 4e0 + e

√ √ 2 −1 2 −1 )= (2e 2 + 4) = (e 2 + 2) 6 3

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

21 2

as se d-) Viendo la gr´afica de la funci´on e−x (figura 1), sabemos que la integral que m´ aproxima en este intervalo es la obtenida por la regla de Simpson, cuyo polinomio de interpolaci´on es una par´abola, la cual aproxima de mejor manera la funci´on.

Figure 1.1: Gr´afica de e−x

2

EJEMPLO 1.1.14. Considerar la siguiente integral Z 1Z 1 2 2 xy + e−(x +y ) dydx −1

−1

a-) Usando regla del trapecio compuesta, subdividiendo la regi´on de integraci´on en cuatro cuadrados, determinar la aproximaci´on de esta integral. Soluci´ on: La idea de las reglas de integraci´on compuesta, es aplicar la cada f´ormula de integraci´on en cada subintervalo de integraci´on, en este caso los nodos en eje X son x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1 y en el eje Y por x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1. Usando las reglas compuestas en las dos integrales se obtiene Z 1Z 1 Z −(x2 +y 2 ) xy + e dydx = −1

−1

1

−1

Z

1

−(x2 +y 2 )

xy + e −1

 dy dx =

22 Z

1

1

Z

−(x2 +y 2 )

xy + e −1

 Z dy dx =

−1

1



−1

  1 −(x2 +1) −(x2 ) −(x2 +1) −x+e + 2(e )+x+e dx = 2

1

   1  1 −(x2 +1) −x2 e +e dx = e−2 +e−1 +2(e−1 +1)+e−2 +e−1 = 2e−2 +4e−1 +2 = e−2 +2e−1 +1 2 2 −1 = 1.8710941655794973

Z

b-) Usando regla del Simpson compuesta, subdividiendo la regi´on de integraci´on en cuatro cuadrados, determinar la aproximaci´on de esta integral. Soluci´ on: De la misma maanera que es (a), se tiene  Z 1Z 1 Z 1 Z 1 −(x2 +y 2 ) −(x2 +y 2 ) xy + e dydx = xy + e dy dx = −1

Z

1



= −1

−1

−1

 1 −x −(x2 + 1 ) x −(x2 + 1 ) 2) 2 +1) −(x2 +1) −(x −(x 4 )+4( 4 )+2(e [−x+e +4( +e +e )+x+e ] dx = 6 2 2  Z 1 1 −(x2 +1) −x2 −(x2 + 41 ) ) + 2(e )] dx = = [2e + 8(e 6 −1  Z  1 1 −x2 −(x2 +1) −(x2 + 41 ) ) + e ] dx = = [e + 4(e 3 −1 =

+4[e =

−1

−( 45 )

5 1 1 5 1 −2 ([e + 4(e−( 4 ) ) + e−1 ] + 4[e−( 4 ) + 4(e−( 2 ) ) + e− 4 ] 18

−( 12 )

+ 4(e

− 41

)+e

] + 2[e

−1

−( 41 )

+ 4(e

−2

) + 1] + [e

+ 4(e

−( 54 )

−1

)+e ]

 =

5 1 1 1 (2e−2 + 16e−( 4 ) + 4e−1 + 16e−( 4 ) + 32e−( 2 ) + 2) = 2.2331143733815990944 18

EJEMPLO 1.1.15. Considerar la siguiente integral Z 1Z 1 2 2 xy + e−(x +y ) dydx −1

−1

a-) Usando regla del trapecio, determinar la aproximaci´on de esta integral. Soluci´ on: Z

1

Z

1

xy + e −1

−1

−(x2 +y 2 )

Z

1

Z

1

dydx =

xy + e −1

−1

−x2 −y 2

e

 dy dx =

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

23

    Z 1 Z 1  2 2 −1 −x2 −1 −x2 −1 −x2 −1 2e e dx = 2e e−x dx −x+e e +x+e e dx = 2 −1 −1 −1     2 = 2e−1 (e−1 + e−1 ) = 2e−1 (2e−1 ) = 4e−2 = 0.5413411329464508 2

Z

1

b-) Usando regla de Simpson, determinar la aproximaci´on de esta integral. Soluci´ on: Z

1

Z

1

−(x2 +y 2 )

xy + e −1

Z

1

Z

1

dydx =

−1

xy + e −1

−x2 −y 2

e

 dy dx =

−1

1

   2 −x2 −1 −x2 −x2 −1 − x + e e + 4(e ) + x + e e dx 6 −1  Z 1  1 −x2 −1 −x2 2e e + 4(e ) dx = 3 −1  Z 1   1 2 −1 e−x dx 2e + 4 = 3 −1      1 1 −1 −1 −1 = 2e + 4 e +4+e 3 3 2    1 −1 2e + 4 = 2.4919346879655031 = 3

Z

EJEMPLO 1.1.16. Considerar la siguiente integral Z 1Z 1 2 2 e−(x +y ) dydx −1

−1

a-) Usando regla del trapecio, determinar la aproximaci´on de esta integral. Soluci´ on: Z 1Z 1 Z −(x2 +y 2 ) e dydx = −1

−1

1

Z

−1

1

−(x2 ) −(y 2 )

e −1

e

Z

1

dydx =

e

−(x2 )

−1

 Z

1

dx

e

−(y 2 )

 dy

−1

Podemos usar la regla del trapecio para cada una de estas integrales por separado, es decir,   Z 1 1 − (−1) −1 −(x2 ) −1 e dx ≈ e +e = 2e−1 2 −1 y Z

1

e −1

−(y 2 )

  1 − (−1) −1 −1 dy ≈ e +e = 2e−1 2

24 Entonces

1

Z

1

Z

e−(x

2 +y 2 )

dydx ≈ 4e−2

−1

−1

b-) Usando regla de Simpson, determinar la aproximaci´on de esta integral. Z

1

Z

1

e −1

Z

−(x2 +y 2 )

1

Z

1

−(x2 ) −(y 2 )

dydx =

e

−1

−1

e

Z

1

dydx =

−1

e

−(x2 )

 Z

1

dx

−1

e

−(y 2 )

 dy

−1

Podemos usar la regla de Simpson para cada una de estas integrales por separado, es decir,   Z 1 1 − (−1) −1 4 + 2e−1 −(x2 ) 0 −1 e dx ≈ e + 4e + e = 6 3 −1 y Z

1

e

  1 − (−1) −1 4 + 2e−1 0 −1 dy ≈ e + 4e + e = 6 3

−(y 2 )

−1

Entonces Z

1

Z

1

e −1

−(x2 +y 2 )

−1

 dydx ≈

4 + 2e−1 3

2

EJEMPLO 1.1.17. Recordemos que la f´ormula de cuadratura para aproximar la integral de una funci´on f (x) esta dada por Z

b

f (x)dx ≈

n X

a

Ai f (xi ) = A0 f (x0 ) + A1 f (x1 ) + ... + An f (xn ),

(1)

i=0

Donde [a, b] es el intervalo de integraci´on, {xi }ni=0 son los (n + 1) puntos de interpolaci´on dados y los Ai son los valores num´ericos a determinar. Para simplificar el c´alculo de los valores de Ai , podemos resolver el sistema lineal de (n + 1) ecuaciones y (n + 1) incognitas (las cuales son los Ai ) dado por n X i=0

Ai xki =

bk+1 − ak+1 , para cada k = 0, 1, ..., n. k+1

(Las (n + 1) ecuaciones se obtienen considerando cada valor de k. En el lado derecho de la igualdad es el lado derecho del sistema lineal y en el lado izquierdo aparecen las (n + 1) incognitas Ai )

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

25 2

Consideremos la funci´on f (x) = e−x y los puntos de interpolaci´on x0 = 0, x1 = 2, x2 = 4. Entonces, a-) Determinar el sistema lineal para encontrar los valores de Ai . b-) Resolver el sistema lineal de a-) usando el m´ etodo de factorizaci´ on LU. R 4 −x2 c-) Usando (1) determinar el valor num´ erico de 0 e dx. [Si quiere comprobar este resultado, debe darse cuenta de la regla de integraci´on usada, ya que Rb a

L(x)dx =

Pn

i=0 Ai f (xi ).

d-) Calcular la matriz de Jacobi del sistema lineal en a-). e-) Calcular el espectro de la matriz de Jacobi. f-) Determinar si el m´etodo de Jacobi es convergente. g-) Calcular la matriz de Gauss-seidel del sistema lineal en a-). h-) Calcular el espectro de la matriz de Gauss-Seidel. i-) Determinar si el m´etodo de Gauss-Seidel es convergente. SOLUCIONES: a-) A0 + A1 + A2

= b − a, para cada k = 0

A0 x10 + A1 x11 + A2 x12 = +

A1 x21

+

A2 x22

=

b2 −a2 , 2 b3 −a3 , 3

para cada k = 1 para cada k = 2

,es decir, A0 + A 1 + A 2

=4

2A1 + 4A2

=8

4A1 + 16A2

=

64 3

Matricialmente podemos escribir: 

1 1

a

f (x)dx ≈

La comprobaci´on asegura que lo hecho en a-), b-) y c-) esta

bueno]

A0 x20

Rb

1



A0





4



      0 2 4   A1  =  8  ⇐⇒ AX = B      64 0 4 16 A2 3

26 b-) 

1 1

1





1 0 0



1 1 1



      0 2 4  =  0 1 0  0 2 4       0 4 16 0 2 1 0 0 8 Entonces AX = B ⇐⇒ LU X = B ⇐⇒ LY = B

y UX = Y

Primero LY = B ⇐⇒   4 y1 1 0 0       0 1 0   y2  =  8  ⇐⇒      64 y3 0 2 1 3 







y1







4

     y2  =  8      16 y3 3

Segundo UX = Y   A0 4 1 1 1      0 2 4   A1  =  8     16 0 0 8 A2 3 



⇐⇒ 



A0





     ⇐⇒  A1  =      A2

2 3 8 3 2 3

   

c-) Se tiene que 4

Z 0

2 8 2 2 8 2 2 e−x dx ≈ f (0) + f (2) + f (4) = + e−4 + e−16 . 3 3 3 3 3 3

Para comprobar, usamos la regla de Simpson (con la cual se esta trabajando implicitamente) Z 0

4

4 2 2 e−x dx ≈ [f (0) + 4f (2) + f (4)] = [1 + 4e−4 + e−16 ]. 6 3

los cuales son iguales. d-)    

J = D−1 (E + F ) =     1 0 0 0 −1 −1 0 −1 −1      0 0 −4  =  0  0 1/2 0  0 −2     0 0 1/16 0 −4 0 0 −1/4 0

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

27

e-) Espectro |λI − J| = √ λ 1 1 λ 1 0 λ 2 = λ3 − = λ(λ2 − ) = 0 ⇐⇒ λ1 = 0, λ2,3 = ± 2 2 2 2 0 1/4 λ entonces,

√ √ √ 2 2 2 . , }= ρ(J) = max{0, − 2 2 2

f-)

√ 2 ρ(J) = < 1, 2

es decir, el m´etodo de Jacobi es convergente. g-) Gs = (D − E)−1 F =      0 −1 −1 0 −1 −1 1 0 0        0 0 −4  =  0 0 −2   0 1/2 0      0 0 1/2 0 0 0 0 −1/8 1/16 h-) Espectro 1 λ 1 0 λ 2 0 0 λ − 1/2

|λI − Gs | = = λ2 (λ − 1/2) = 0 ⇐⇒ λ1,2 = 0, λ3 = 1/2

entonces, ρ(Gs ) = max{0, −

1 1 1 , } = . 2 2 2

i-) ρ(Gs ) = es decir, el m´etodo de G-S es convergente.

1 < 1, 2

28 EJEMPLO 1.1.18. Considerar la integral Z 4 ln(x) dx 1

a.-Aproximar la integral, usando las reglas del trapecio y Simpson. b.-Aproximar la integral, usando la regla del trapecio compuesta, subdividiendo el intervalo en 3 subintervalos de igual longitud. c.-Determinar el n´ umero m´ınimo de intervalos necesarios para que al usar la regla del trapecio compuesta, el error sea menor a 0.3. Con ´este n´ umero m´ınimo de intervalos determinar el valor de la integral SOLUCION: Usando la reglas del trapecio Z 4 4−1 3 ln(x) dx ≈ (ln(1) + ln(4)) = (ln(4)) = 3ln(2) 2 2 1 Regla de Simpson Z 4 4−1 1 ln(x) dx ≈ (ln(1) + 4ln(2.5) + ln(4)) = (4ln(2.5) + 2ln(2)) 6 2 1 Usando la regla del trapecio compuesta (h = 1) Z 4 h 1 ln(x) dx = (ln(1) + 2ln(2) + 2ln(3) + ln(4)) = (4ln(2) + 2ln(3)) 2 2 1 Para c-) se tiene que (b − a)3 supξ∈[1,4] |f 00 (ξ)| |Error| ≤ 2 12n entonces, para que el error sea menor que 0.3, se debe tener que (b − a)3 supξ∈[1,4] |f 00 (ξ)| < 0.3 12n2 es decir, (b − a)3 supξ∈[1,4] |f 00 (ξ)| < n2 3, 6 donde f 00 (x) =

−1 x2

1.1 EJERCICIOS RESUELTOS

29

entonces supξ∈[1,4] |f 00 (ξ)| = 1 entonces 7.5 < n2 2.738612788 < n es decir, n = 3. Por lo tanto se necesitan 3 intervalos, los mismo que b), por lo tanto no hay nada que calcular. EJEMPLO 1.1.19. La f´ ormula del trapecio corregida se obtiene considerando 4 puntos de interpolaci´on, tomando x0 = x1 = a y x2 = x3 = b, lo cual nos da b

Z

f (x)dx ≈ a



(b − a)2 0 b−a f (a) − f (b) + f (a) − f 0 (b) . 2 12

Determinar para este caso la estimaci´on del error. Comparar esta estimaci´on con la estimaci´on del error para la f´ormula del trapecio simple. AYUDA: Recordar que la f´ormula para el error esta determinada por π(x). En algun Rb Rb m momento usar la f´ormula de integraci´on a (x − a)m (x − b)n dx = − n+1 (x − a)m−1 (x − a
b)n+1 dx SOLUCION: En este caso se tiene que π(x) = (x − a)(x − a)(x − b)(x − b) = la cual no cambia de signo, ya es siempre positiva. Entonces el error cometido es |f 0000 (ξ)| |E| ≤ supξ∈[a,b] 4!

Z

b

π(x) dx. a

Usando la f´ormula Z

b

Z π(x) dx =

a

a

b

2 (x−a)2 (x−b)2 dx = − 3

Z a

b

1 (x−a)(x−b)3 dx = 6

Z a

b

5 b 1 (x − b) (b − (x−b)4 dx = ( ) = 6 5 30 a

30

1.2

Ejercicios Propuestos

1.- Encontrar el polinomio de interpolaci´on de Lagrange usando f´ormula original para los siguientes datos −1 0

xi f (xi )

0

1

1 −1

Adem´as, usar la formula de Newton para determinar el polinomio de interpolaci´on. Tambi´en usar las f´ormulas de Newton progresivas y regresivas. 2.- En estudios de polimerizaci´on inducida por radiaci´on, se emplea una fuente de rayos gamma para obtener dosis medidas en radiaci´on. Sin embargo, la dosis var´ıa con la posici´on del aparato, seg´ un los datos que se dan a continuaci´on. Posici´on (centimetros) Dosis

1.0

1.5

2.0

3.0

2.71 2.98 3.20

3.20

i)Cu´al es la estimaci´on para el nivel de dosis en 2.5 centrimetros? ii)Si se efect´ ua una nueva medici´on que indica que a 3.5 cms el nivel de dosis correspondiente es de 2.98, cu´al ser´a ahora la estimaci´on para el nivel de dosis en 2.5 pulgadas? 3.- Para los valores siguientes xi

40

fi

0.63

60

80

100

120

1.36 2.18 3.00 3.93

donde xi son los voltios y fi los kilovatios en una curva de p´erdida en el n´ ucleo para un motor el´ectrico. Calcular el polinomio de interpolaci´on con f´ormula de Newton de segundo grado para xi = 80, 100, 120 . Utilizarlo para estimar el valor de fi correspondiente a xi = 90 voltios. 4.- Dados los datos de la siguiente tabla, xi

10.50

29.49

42.70

60.01

75.51

91.05

yi

10.421 10.939 11.321 11.794 12.242 12.668

1.2 Ejercicios Propuestos

31

Usando la f´ormula de Newton, determinar el polinomio de interpolaci´on. Determinar el valor para x = 90. Usando Newton progresivo y regresivo determinar el valor de aproximaci´on en x = 90. Que se puede concluir?. 5.- Determinar el valor aproximado de P (1), donde P es un polinomio de tercer grado, R2 tal que P (0) = 1, P (2) = 3 y 0 P (x) dx = 4. 6.- Un fabricante de refrigeradores desea saber la densidad del agua, dada cierta temperatura. Sin embargo, solo tiene datos sobre temperaturas distintas a las de inter´es, como la siguiente tabla: T

18

Densidad [Kg/m3 ] 998.5

20

22

998.2 997.7

Le pide su ayuda, porque no sabe qu´e hacer y necesita calcular la densidad cuando T = 20.256. Calcule la densidad para T = 20.256 usando los m´etodos m´as adecuados de interpolaci´on conocidos en el curso . 7.- Aproximar el valor de la funci´on f (x) = cos(x) ∀ x ∈ [0, 2π] en x =

5π 4

considerando

la partici´on P = {0, π/2, π, 3π/2, 2π} usando la f´ormula de Newton. Determinar el error cometido. 8.- Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la funci´on f (x) = log(x) con los puntos {1, 2, 4, 6, 8}. Determinar la funci´on del error y acotar el error cometido al aproximar el valor de log(3). 9.- Considerar la funci´on f (x) =

√ x

y los puntos de interpolaci´on x0 = 1, x1 = 4, x2 = 9. a-) Desarrollar el polinomio de interpolaci´on usando la f´ormula de Newton para estos

32 puntos de Interpolaci´on. b-) Desarrollar el polinomio de Lagrange (usando f´ormula original ) para estos puntos de Interpolaci´on. c-) Estimar el error al calcular

√ 2.5.

10.- Como en el ejemplo anterior aproximar el valor

√ 115 y determinar el error cometido.

11.- Considerar la funci´on f (x) = x1/3 y los puntos de interpolaci´on x0 = 1, x1 = 8, x2 = 27. a-) Desarrollar el polinomio de Newton para estos puntos de interpolaci´on. b-) Desarrollar el polinomio de Lagrange (usando f´ormula original ) para estos puntos de interpolaci´on. c-) Estimar el error al calcular 201/3 . 12.- Aproximar el valor de la funci´on f (x) = sin(x) ∀ x ∈ [0, π] en x =

3π 8

con-

siderando la partici´on P = {0, π/4, π/2, 3π/4, π}. Determinar el error cometido 13.- Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la funci´on f (x) = xlog(x) con los puntos {1, 2, 4, 6}. Determinar la funci´on del error y acotar el error cometido al aproximar el valor de la funci´on en x = 5. 14.- Encontrar los polinomios de Newton progresivo y regresivo para los siguientes datos xi f (xi )

−1 0 0

1

1

2

−1 −2

Ademas, para cada interpolaci´on encontrar la estimacion en x = 1.5. Que se puede concluir?. 15.- En estudios de polimerizaci´on inducida por radiaci´on, se emplea una fuente de

1.2 Ejercicios Propuestos

33

rayos gamma para obtener dosis medidas en radiaci´on. Sin embargo, la dosis var´ıa con la posici´on del aparato, seg´ un los datos que se dan a continuaci´on. Posici´on (centimetros)

1.0 2.0 3.0

Dosis

2.6 2.9 3.2

i)Cu´al es la estimaci´on para el nivel de dosis en 2.5 cms? ii)Si se efect´ ua una nueva medici´on que indica que a 4.5 cms el nivel de dosis correspondiente es de 4.1, cu´al ser´a ahora la estimaci´on para el nivel de dosis en 2.5 cms? 16.- Sea A(x) un interpolante de f (x) en los puntos de interpolaci´on x0 , x1 , ..., xn−1 y sea B(x) otro interpolante de f (x) en los puntos x1 , x2 , ..., xn . Demostrar que C(x) =
−x A(x) + xxn0−x A(x) − B(x) interpola a f (x) en los puntos x0 , x1 , ..., xn . 0 17.- Sean P (x) = 3 + 21 (x − 1) + 13 (x − 1)(x − 1.5) − 2(x − 1)(x − 1.5)x y Q(x) = 5 3

− 23 (x − 2) − 35 (x − 2)x − 2(x − 2)x(x − 1.5), dos polinomios que interpolan a una funci´ on.

Obtener las tablas de las diferencias divididas de cada polinomio. 18.- Considerar la funci´on f (x) =

1 . 1+x2

Sean los puntos de interpolaci´on −5, −4, ..., 4, 5.

Segun Ud. que interpolaci´on ser´ıa mas u ´til: Lagrange o por splines cubicos. 20.- Construir un polinomio de grado 3 que pasa por los puntos (0, 10), (1, 15), (2, 5) y cuya recta tangente en (0, 10) tiene pendiente 1. 21.- Aproximar por splines c´ ubicos para los siguientes datos xi

3

4.5

f (xi )

2.5

1

7

9

2.5 0.5

22.- Sabemos que el error cometido al interpolar una funci´on f (x) por P (x) en un punto especifico z esta dado porque |E(z)| = |f (z) − P (z)| ≤

max∈I |f n+1 ()| |(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )| (n + 1)!

34 Ahora, demostrar que el m´aximo error cometido en todo el intervalo I esta dado por max |f (x) − P (x)| ≤ x∈I

maxx∈I |f n+1 (x)| max |(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )| x∈I (n + 1)!

(ojo con esto, lo deben saber). Dada la funci´on x3 − 5 f (x) = 2 x +1 y los puntos de interpolaci´on −2, −1, 1, 2, determinar el error de interpolaci´on en x = 0 y determinar el error m´aximo cometido en el intervalo [−2, 2]. Que se puede concluir?. 23.- Consideremos los puntos equiespaciados xi = x0 + ih, donde h es la distancia entre puntos consecutivos. a) Determinar el m´aximo error cometido en el intervalo, al construir una interpolaci´on lineal (polinomio de interpolaci´on de grado 1). b) Determinar el m´aximo error cometido en el intervalo, al construir una interpolaci´on cuadr´atica (polinomio de interpolaci´on de grado 2). c) Determinar el m´aximo error cometido en el intervalo, al construir una interpolaci´on c´ ubica (polinomio de interpolaci´on de grado 3). (ojo: usar ejercicio anterior) 24.- Se desea interpolar la funci´on f (x) = cos(x)ex en el intervalo [−π, π] con nodos equiespaciados. a) Usando splines de orden 1: Cuantos nodos se debe tomar para que el error cometido en todo el intervalo [−π, π] no sea mayor a 0.5? (usar a) ejercicio anterior) b) Usando splines de orden 2: Cuantos nodos se debe tomar para que el error cometido en todo el intervalo [−π, π] no sea mayor a 0.5? (usar b) ejercicio anterior) 25.- Considerar

Z I=

π

sen(x) dx 0

a-) Calcular una aproximaci´on de I, usando la regla del trapecio compuesta, considerando 4 subintervalos de igual longitud.

1.2 Ejercicios Propuestos

35

b-) Estimar el error cometido. c-) Cu´al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un error menor a 0.001?. 26.- Considerar

π/2

Z I=

cos(x) dx 0

a-) Calcular una aproximaci´on de I, usando la regla del trapecio compuesta, considerando 4 subintervalos de igual longitud. b-) Estimar el error cometido. c-) Cu´al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un error menor a 0.0001?. 27.- Considerar Z I=

1

2

e−x dx

0

a-) Calcular una aproximaci´on de I, usando la regla del punto medio, trapecio y Simpson, estimar el error cometido. b-) Cu´al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un error menor a 0.01, usando las reglas compuestas?. 28.- Considerar

Z

1

I=

√ cos x dx

0

a-) Calcular una aproximaci´on de I, usando la regla del Simpson compuesta, considerando 4 subintervalos de igual longitud. b-) Estimar el error cometido. c-) Cu´al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un error menor a 0.0001?. 29.- Considerar

Z I=

π

sen(x) dx 0

36 a-) Calcular una aproximaci´on de I, usando la regla del Simpson. b-) Interpolando la funci´on sen(x) en los puntos 0, π/2, π, obtener el valor de I. b-) Que se deduce al comparar los resultados en a) y b). 30.- Considerar

Z I=

1

ex dx

0

a-) Calcular una aproximaci´on de I, usando las reglas del trapecio y Simpson compuestas, estimar el error cometido. b-) Cu´al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un error menor a 0.01?. 31.- Determinar la f´omula de integraci´on para la integral Z b f (x)dx a

si se consideran los siguientes puntos de interpolaci´on x0 = x1 = a,

32.- Considerar

Z I=

x2 = x3 = b.

1

xe−x dx

0

a-) Usando 3 subintervalos de igual longitud calcular una aproximaci´on de I, usando las reglas del trapecio y Simpson compuestas. b-) Estimar el error cometido en a-) para cada regla compuesta. c-) Cu´al es el n´ umero m´ınimo de subintervalos que se deben considerar para obtener un error menor a 0.01, usando las reglas compuestas?. 33.- Si f (x) es n veces diferenciable y suave en el intervalo [c, d] que contiene al intevalo [a, b], entonces f (x) se puede escribir como f (x) = N (x) + f [x0 , x1 , ..., xn , x]Φn (x)

(1)

1.2 Ejercicios Propuestos

37

, donde N (x) es el polinomio (dado por la f´ormula de Newton) que interpola a f (x) en los n+1 puntos {x0 , x1 , ..., xn }, donde Φn (x) = (x−x0 )(x−x1 )···(x−xn ) y f [x0 , x1 , ..., xn , x] es una funci´on de x continua e integrable en (c, d). El error de integraci´on estimado esta dado Z

b

b

Z f (x) dx −

E(f ) =

Z N (x) dx =

a

b

f [x0 , x1 , ..., xn , x]Φn (x) dx

a

a

Si Φn no cambia de signo en (a, b) y si se considera que f (x) es n + 1 veces diferenciable en (c, d), se tiene que f n+1 () E(f ) = (n + 1)!

b

Z

para alg´ un  ∈ (c, d)

Φn (x) dx,

(2)

a

Ahora, si Φn cambia de signo en (a, b) y

Rb a

Φn (x) dx = 0 y si se considera que f (x) es

n + 2 veces diferenciable en (c, d), se tiene que f n+2 () E(f ) = (n + 2)!

b

Z

para alg´ un  ∈ (c, d)

Φn+1 (x) dx,

(3)

a

Entonces, a-) Usando la representaci´on (1) para f (x), deducir la regla del trapecio para calcular Rb f (x) dx. a b-) Usando (2) o (3) determinar la f´ormula para acotar el error. 34.- Demostrar las siguientes propiedades de la integraci´on num´erica: a) (Invarianza bajo traslaciones) Si Z

b

f (x)dx ≈ a

n X

Ai f (xi )

i=0

y Z

b+d

f (x)dx ≈ a+d

n X

Bi f (xi + d)

i=0

entonces Ai = Bi ,

∀i = 0, 1, ..., n.

38 b) (Modificaci´on por homotecias) Si b

Z

f (x)dx ≈

n X

a

i=0

cb

n X

Ai f (xi )

y Z

f (x)dx ≈ ca

Bi f (cxi )

i=0

entonces Ai = cBi ,

∀i = 0, 1, ..., n.

a) (Simetr´ıa) Si los nodos estan distribuidos sim´etricamente respecto al centro del intervalo de integraci´on [a, b], es decir, a+b a+b − xi = xn−i − , 2 2

i = 0, 1, ..., n

entonces los coeficientes de Z

b

f (x)dx ≈ a

n X

Ai f (xi )

i=0

verifican que Ai = An−i , 35.- Hacer tareas de la teoria.

∀i = 0, 1, ..., n.