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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA “Norte de la universidad Peruana” Fundada el 13 de feberero de 1963

Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil EJERCICIOS I.

CAMPO DE DIRECCIONES

1. Mediante isoclinas determinar el campo direccional y obtener la solución particular en c  0 .

y´  y  sen( x) dy   y  sen( x) dx dy  y   sen( x) dx 1dx u ( x)  e   e x

 d e y     e sen( x)dx x

x

Para:

  e x sen ( x)dx du  e x dx  u  e x v  sen ( x)  dv  cos( x)dx Entonces :  e x cos( x)   e x cos( x)dx du  e x dx  u  e x v  cos( x)  dv   sen ( x)dx ex y 

1e x ( sen ( x)  cos( x))  c 2

Cuya solución general es:

y

1 ( sen( x)  cos( x))  ce  x 2

El campo de direcciones se muestra en la figura siguiente, junto con la gráfica de cuatro miembros de la familia de soluciones (que llamamos curvas isóclinas).

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Se puede apreciar que tres de las curvas convergen a una cuarta (onda verde en la pantalla). Esta cuarta curva es la solución que se obtiene al poner c=0, es decir

y  ( sen( x) 

cos( x) ) 2

Podemos decir que, en la gráfica del campo de direcciones de una ecuación diferencial se pueden apreciar todas las soluciones de la ecuación dada. Por el teorema de existencia y unicidad, cada curva solución se determina, ya sea dándole un valor a la constante c o de forma equivalente, estipulando un punto (Xo,Yo) del plano por donde pasa la solución.

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 2. Trazar un campo de pendientes para la ecuación diferencial 𝒚′ = 𝟐𝒙 + 𝒚 Usar un campo de pendientes para representar gráficamente la solución que pasa por el punto (1,1). Solución. i.

Hacemos una tabla que demuestre las pendientes en varios puntos. La tabla siguiente es un pequeño ejemplo. Se deben calcular las pendientes de muchos puntos para el campo de pendientes representativo. 𝒙

-2 -2 -1 -1 0

𝒚

-1 1

-1 1

0 1

2

-1 1 -1 1 -1 1

𝒚′ = 𝟐𝒙 + 𝒚 -5 -3 -3 -1 -1 1 1

ii.

1 2

3 3

5

A continuación, dibujamos segmentos de rectas en los puntos con sus respectivas como se muestra en la figura:

iii.

Después de dibujar el campo de pendientes, se comienza en el punto inicial (1,1) y se mueve a la derecha en la dirección del segmento.

A continuación, dibujar la curva solución de (1,1).

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iv.

Se puede notar que el campo de pendientes muestra que mientras 𝑥 aumenta, 𝑦′ lo hace hasta el infinito.

3. Determinar el campo direccional para la siguiente ecuación diferencial: 𝒚′ = 𝒙 − 𝟒𝒙𝒚 Solución Se procede a resolver por separación de variables: 𝑦 ′ = 𝑥 − 4𝑥𝑦 𝑦 ′ = 𝑥(1 − 4𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑥(1 − 4𝑦) 𝑑𝑥 ∫

𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 (1 − 4𝑦)

ln(1 − 4𝑦) = −2𝑥 2 − 4𝑘 1 𝑒 −2𝑥 𝑦= − 4 4

2 −4𝑘

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 1 𝑒 −2𝑥 𝑦 = − 4𝑘 4 4𝑒

2

1 2 + 𝑐𝑒 −2𝑥 4

𝑦=

Se ilustra el campo de direcciones y algunas curvas isóclinas: c=1 y c=-1.5

En la gráfica del campo de direcciones se pueden apreciar todas las soluciones de la ecuación dada. Por el teorema de existencia y unicidad, cada curva solución se determina, ya sea dándole un valor a la constante c o de forma equivalente, estipulando un punto (xo, yo) del plano por donde pasa la solución. 4. Graficar el campo de direcciones de la Ecuación Diferencial: 𝒅𝒚 𝒅𝒙

𝒙

=𝒚,

Luego representar algunas curvas de la Ecuación Diferencial propuesta. Solución. Sea la Ecuación Diferencial:

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑥

𝑥

= 𝑦 , entonces tenemos que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦, y además las 𝑥

𝑥

isóclinas son rectas de la forma 𝑐 = 𝑦 o bien, 𝑦 = 𝑐 .

Ahora, si damos valores a c, entonces formaremos las rectas mencionadas.

Con c = 1, entonces tenemos la isóclina y = x en donde los segmentos a lo largo de esta recta serán de pendiente =1 o de ángulo = 45°

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Con c = -1, entonces tenemos la isóclina y = -x en donde los segmentos a lo largo de esta recta serán de pendiente =-1 o de ángulo = 135°

𝑑𝑦

𝑥

Además a partir de la Ecuación Diferencial 𝑑𝑥 = 𝑦 , podemos obtener que en el caso de los ejes x, y siendo estos y=0, x=0 respectivamente, las pendientes de los segmentos serán perpendiculares a dichos ejes, a excepción del punto (0,0)

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Ahora con c=2 y c=-2 entonces tendremos las rectas y=x/2, y=-x/2 respectivamente, las cuales contendrán a los segmentos con pendientes de ½ y -1/2 es decir ángulos de 63.43° y -63.43°

Con varios valores para c y formando nuevas isóclinas tenemos.

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Finalmente podemos graficar la siguiente familia de curvas a partir del campo de direcciones.

5. Sea y` = x − y para los puntos (−1,1), (0,1) y (1,1)

Solución

La pendiente de la curva en cualquier punto (x, y) es F(x, y) = x − y. Así: La pendiente en el punto (−1,1) es y` = −1 − 1 = −2; La pendiente en (0,1) es y` = 0 − 1 = −1; La pendiente en (1,1) es y` = 1 − 1 = 0;

 Identificar campos de pendientes para ecuaciones diferenciales

i) y` = x + y

ii) y` = x

iii) y` = y

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Solución

a) En la figura “a)” se puede observar que la pendiente de cualquier punto a lo largo del eje y es 0. La única ecuación que satisface esta condición es y` = x. Así, la gráfica corresponde con ii).

b) En la figura “b)” se puede observar que la pendiente en el punto (1,−1) es 0. La única ecuación que satisface esta condición es y` = x + y. Así, la gráfica corresponde con i).

c) En la figura “c)” se puede observar que lapendiente de algún punto a lo largo del eje x es 0. La única ecuación que satisface esta condición es y` = y. Así, la gráfica corresponde con iii).

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 6. Represente el campo de direcciones e indique algunas curvas integrales de la ecuación diferencial

𝒅𝒚 𝒙 =− 𝒅𝒙 𝒚 Solución: 𝑥

𝑥

Ahora 𝑓(𝑥, 𝑦) = − 𝑦 y las isóclinas son rectas de la forma − 𝑦 = 𝑐 o bien 𝑦=−

𝑥 𝑐

Si 𝑐 = 1 tenemos la isóclina 𝑦 = −𝑥 a lo largo de la cual la inclinación de las tangentes a las curvas integrales es de 45°. Con 𝑐 = −1 resulta la isóclina 𝑦 = 𝑥 sobre las tangentes forman un ángulo de 135°con respecto al eje 𝑂𝑋. Además, a partir de la ecuación diferencial misma podemos concluir lo siguiente. Las tangentes trazadas a las curvas integrales en los puntos de intersección con el eje 𝑥(𝑦 = 0) y con el eje 𝑦(𝑥 = 0) son verticales y horizontales, respectivamente, con excepción del punto (0,0). El campo de direcciones y algunas curvas integrales se muestran en la figura (a).

Figura (a).

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 7. Trace el campo de direcciones e indique varios posibles miembros de la familia de curvas de solución de

𝒅𝒚 𝒅𝒙

= 𝒙𝒍𝒐𝒈(𝒚).

Solución. Antes de trazar el campo de direcciones que corresponde a las isoclinas

𝑥 𝑦

=

𝑐 o 𝑦 = log(𝑐) se debe examinar la ecuación diferencial para cerciorarse de que proporcione la siguiente información.  Si una curva de solución cruza el eje x (y = 0), lo hace tangente a un elemento lineal vertical en cada punto, excepto quizás en (0, 0).  Si una curva de solución cruza el eje y (x = 0), lo hace tangente a un elemento lineal horizontal en cada punto, excepto quizás en (0, 0).  Los elementos lineales correspondientes a las isoclinas c =1 y c = 1 son colineales con las rectas y = x y y =Â -X, respectivamente. En realidad, y = x y y = -x son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada (compruébelo). Obsérvese que, en general, las isoclinas no son soluciones de una ecuación diferencial. En la figura se muestra el campo de direcciones y varias curvas de solución posibles en gris. Recuérdese que sobre una isoclina todos los elementos lineales son paralelos. También se pueden trazar los elementos lineales de tal manera que sugieran el curso de determinada curva; en otras palabras, podemos imaginar que las isoclinas están tan próximas que si se unieran los elementos lineales tendríamos una curva poligonal que indicara la forma de una curva suave de solución.

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Uso de computadora El trazo de un campo de dirección es sencillo pero muy tardado; es una de las tareas de las que se puede discutir si vale la pena hacerlas a mano una o dos veces en la vida, pero 𝑑𝑦

se pueden efectuar con eficiencia mediante el software adecuado. Si 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑜𝑔(𝑦) y se usa el programa idóneo se obtiene la figura.

Obsérvese que en esta versión computadorizada de los elementos lineales se trazan con espaciamiento uniforme en sus isoclinas (que no se dibujan). El campo de direcciones que resulta sugiere aún más la forma de las curvas de solución.

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil MÉTODO DE ISOCLINAS 1. Sirviéndose de las isoclinas, trazar aproximadamente las curvas integrales de la ecuación diferencial 𝒚′ = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 Solución. Para obtener las ecuaciones de las isóclinas, podemos 𝑦 ′ = 𝑘 (k es una constante). Se tiene 𝑥2 + 2𝑥 − 𝑦 = 𝑘 o bien 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 𝑘 , las isóclinas son parábolas con el eje vertical de simetría x=-1; ver en la figura n°1.

Figura n°1

Figura n°2

𝑥2 + 2𝑥 − 𝑘 = 𝑦, 𝑦′ = 2𝑥 + 2 Se tiene que 2 = −2𝑥 + 𝑘 , esta igualdad no puede verificarse con respecto a x, ver figura de la derecha n°2. Los puntos de intersección con la isóclina 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 ver figura n°2. La parábola 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 divide el plano “xy” en dos partes: Una de ellas es 𝑦 ′ < 0 (las soluciones decrecen); mientras que en la otra 𝑦 ′ > 0 (las soluciones crecen). Como esta isóclina no es una curva integral, en ella están situados los puntos de extremos relativos de las curvas integrales:

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil Los puntos de máximo se encuentran en la parte de la parábola𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥, en que

𝑥 < −1, y los puntos de mínimo, en la otra parte de la misma, en que

𝑥 > −1. La curva integral que pasa por el punto (-1, -1), o sea, por el vértice de la parábola 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥, no tiene extremo relativo en ese punto (Ver Fig.).

Figura n°3 Para analizar las direcciones de las concavidades de las curvas integrales, hallemos la segunda derivada. 𝑦 ′′ = 2𝑥 + 2 − 𝑦 ′ = 2𝑥 − +2 − 𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑦 ′

𝑦 ′′ = −𝑥 2 + 𝑦 + 2, 𝑦 ′′ = 0,

𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑥 2 − 2

Esta se anula solamente en los puntos situados en la parábola 𝑦 = 𝑥 2 − 2. En los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la condición 𝑦 ′′ < 0 , es decir 𝑦 < 𝑥 2 − 2, las curvas integrales tienen sus concavidades hacia abajo. Los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la condición 𝑦 ′′ > 0 , donde 𝑦 > 𝑥 2 − 2, sus curvas integrales tienen concavidades dirigidas hacia arriba. Ver figura n°4.

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Figura n°4. Los puntos de intersección de las curvas integrales con la parábola 𝑦 = 𝑥 2 − 2, son los puntos de inflexión de éstas. Como podemos observar la parábola 𝑦 = 𝑥 2 − 2 es el lugar geométrico de los puntos de inflexión de las curvas integrales.

Figura n°5 En la construcción de la Fig. 5 nos apoyamos en el Asistente Matemático DERIVE para trazar la familia de curvas integrales, el campo de dirección y así comparar los resultados.

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 2. Aplicando el método de las isóclinas, trazar las curvas integrales de la ecuación.

dy y  x  dx y  x Solución. Poniendo y´ k (k  const ) , obtenemos la ecuación de la familia de isóclinas.

yx k yx Por lo tanto, las isóclinas son rectas que pasan por el origen de coordenadas O (0.0). Para k=-1, obtenemos la isóclina y=0 (El eje OX); para k=0, la isóclina y=x; para k=1, la isóclina x = 0 (El eje OY). Examinando la ecuación “invertida”.

dy y  x  dx y  x Hallamos la isóclina y = -x, en todos los puntos de la cual, las curvas integrales tienen tangentes verticales. Todas las isóclinas de la ecuación considerada se cortan en el punto (0,0) (punto singular de la ecuación). Sirviéndose de las isóclinas obtenidas trazamos las curvas integrales.

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Métodos de las Isóclinas

dy  xy dx Igualamos a una cte.

dy c dx Entonces:

c  xy Despejando y: y   Si c = 0:

y

0 0 x

 Si c = 1:

y

1 x

 Si c = 2:

c x

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil y

2 x

 Si c = 3:

y

3 x

 Si c = -1:

y

1 x

 Si c = -2:

y

2 x

 Si c = -3:

y

3 x

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 3. Supóngase que se lanza una pelota de béisbol en línea recta hacia abajo desde un helicóptero suspendido a una altitud de 3000 ft. Nos preguntamos si alguien abajo pudiera cogerla. Para estimar la velocidad con la cual la bola llegará a tierra, puede usarse un sistema de álgebra en una computadora portátil para construir un campo de isóclinas de la ecuación diferencial 𝒅𝒗 = 𝟑𝟐 − 𝟎. 𝟏𝟔𝒗 𝒅𝒕

Solución. El resultado se muestra en la figura junto con varias curvas correspondientes a diferentes valores de la velocidad inicial 𝑣(0) con las cuales se podría lanzar la pelota hacia abajo. Nótese que todas estas curvas solución tienden asintóticamente a la línea horizontal 𝑣 = 200.

Esto implica que como quiera que sea lanzada la bola de béisbol 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑟á 𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣 = 200 [𝑓𝑡/𝑠] en lugar de acelerar indefinidamente (como sería en ausencia de la resistencia del aire). Convirtiendo el resultado a millas por hora, 60 [𝑚𝑖/ℎ] = 88 [𝑓𝑡/𝑠] resulta: 𝑣 = 200 [𝑓𝑡/𝑠] ∗

60 [𝑚𝑖/ℎ] 80 [𝑓𝑡/𝑠]

𝑣 = 136.36 [𝑚𝑖/ℎ] Tal vez un “cátcher” acostumbrado a bolas rápidas de 100 𝑚𝑖/ℎ podría tener alguna oportunidad de capturar esa pelota.

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 4. Determinar las curvas isóclinas para la siguiente ecuación diferencial: 𝑦 ′ = 𝑥𝑦 Solución. Se procede a resolver por separación de variables: 𝑑𝑦 = 𝑥𝑦 𝑑𝑥 ∫

𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝑦

ln(𝑦) =

𝑥2 +𝑘 2 𝑥2

𝑦 = 𝑒2

+𝑘

𝑥2

𝑦 = 𝑒2 ∗ 𝑒𝑘 𝑥2

𝑦 = 𝑐. 𝑒 2

Se ilustra algunas curvas isóclinas tomando diferentes valores para la constante “c”

Estas curvas se denominan curvas isóclinas. Para ecuaciones relativamente simples, es posible trazar el campo direccional dibujando unas cuantas isóclinas y luego insertar los segmentos rectilíneos tangentes a la solución en varios puntos de cada una.

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 5. Al lanzar una pelota desde un helicóptero que sobrevuela una zona a una altura de 1 km, y teniendo como único dato la siguiente ecuación diferencial: 𝒅𝒗 = 𝟏𝟔 − 𝟎. 𝟏𝟔𝒗 𝒅𝒕

Se pide estimar la velocidad con la que dicho balón llegará a la superficie terrestre.

Solución.

Nos apoyaremos en el software GEOGEBRA.

En el gráfico se muestra las direcciones junto con varias curvas solución correspondientes a diferentes valores de velocidad inicial con los cuales se podría lanzar el balón, además podemos notar que todas las curvas tienden asintóticamente a la línea V=100 es decir, que la velocidad de llegada será 100 m/s o 360 km/h sea cual sea la velocidad inicial.

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Facultad de ingenierÍa Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil 6. Sirviéndose de las isóclinas, trazar aproximadamente las curvas integrales de la ecuación diferencial 𝑦 ′ = 2𝑥 − 𝑦

Solución

Para obtener las ecuaciones de las isóclinas, ponemos y` = k (k = constante) Se tiene: 2x – y = k, 0 bien, y = 2x - k, Las isóclinas son rectas paralelas. Para k =0 se obtiene la isóclina y =2x. Esla recta divide el plano XOY en dos partes, en cada una de las cuales la derivada y` tiene un mismo signo (fig. 1).

Consideremos otras dos isóclinas: K = -1, y = 2x + 1 y, k = 1, y = 2x—1.

(fig. 1).

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Las tangentes, trazadas a las curvas integrales en los puntos de intersección con las isóclinas k = -1 y k = 1, forman con el eje OX ángulos de 135º y 45º, respectivamente, Hallemos ahora la segunda derivada: y” = 2 - y` = 2 - 2x + y. La recta y = 2x - 2, en la que y” =0, es la isóclina que se obtiene para k = 2, y a la vez es una curva integral, de lo que puede uno convencerse sustituyendo en la ecuación.

Como el segundo miembro de la ecuación considerada f(x, y) = 2x— y, satisface a las condiciones del teorema de existencia y unicidad en todo el plano XOY, las demás curvas integrales no se cortan con esta isóclina.

La isóclina y = 2x, en la que se encuentran los puntos mínimos de las curvas integrales, está situada sobre la isóclina y = 2x - 2, por lo cual, las curvas integrales que pasan por debajo de la isóclina y = 2x - 2 no tienen puntos extrémales. La recta y = 2x— 2 divide el plano XOY en dos partes, en una de las cuales (la que está situada sobre la recta) y” > 0, por lo tanto, las curvas integrales tienen dirigidas hacia” arriba sus concavidades, y en la otra, y” 0. Cuando: 1



𝑐 = 4,



c = 1,



c = 9/4



c=4

se obtienen circunferencias de radio ½, 1, 3/2 y 2

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Los elementos lineales que se trazan en cada circulo tienen una pendiente que corresponde al valor elegido de c. Parece lógico que una curva de solución aproximada que pase por el punto (0, 1) tenga la forma que se ilustra en la figura.

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Uso de computadora El trazo de un campo de dirección es sencillo pero muy tardado; es una de las tareas de las que se puede discutir si vale la pena hacerlas a mano una o dos veces en la vida, pero se pueden efectuar con eficiencia mediante el software adecuado. 𝑑𝑦

Si 𝑑𝑥 = 𝑋 2 + 𝑌 2 y se usa el programa idóneo se obtiene la figura.

En la figura obtenida con un programa ODE volver, hemos sobrepuesto la curva aproximada de solución para la ecuación diferencial del ejemplo 2, que pasa por (0, 1), a su campo de direcciones generado por computadora.