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• Kenyi Luis

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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS TRABAJO PRÁCTICO 1.

HALLAR EL ÁREA LIMITADA POR LA RECTA 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟎 Y EL EJE 𝑶𝑿 Y LAS ORDENADAS DE 𝒙 = 𝟐 Y 𝒙=𝟖 8

𝐴 = ∫2 −𝑥 + 10. 𝑑𝑥 −𝑥 2 8 𝐴=[ + 10𝑥] 2 2 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐴 = (−32 + 80) − (−2 + 20) 𝐴 = (48) − (18) 𝐴 = 30𝑢2

2.

CALCULAR EL ÁREA DEL RECINTO LIMITADO POR LA CURVA 𝒚 = 𝟗 − 𝒙𝟐 Y El Eje 𝑶𝑿 0 = 9 − 𝑥2

;

𝑥=3

;

𝑥 = −3

3

𝐴 = ∫−3 9 − 𝑥 2 . 𝑑𝑥 𝐴 = 2[9𝑥 −

𝑥3 3 ] 3 0

𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 A=2((27 − 9) − (0 + 0)) 𝐴 = 2(18) 𝐴 = 36𝑢2

Pág. 1

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 3.

CALCULAR EL ÁREA DEL TRIÁNGULO DE VÉRTICES A (3,0), B (6,3), C (8,0).

Ecuación de la recta que pasa por AC:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

x 3 6 8

y 0 3 0

Pág. 2

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 4.

CALCULAR EL ÁREA LIMITADA POR LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 e 𝒚 = 𝒙𝟐 .

x

y=√𝟒𝒙

1 4 9

0 2 4 6

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = x2 9 4 1 0 1 4 9

Pág. 3

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 5.

CALCULAR EL ÁREA LIMITADA POR LA CURVA 𝒙𝒚 = 𝟑𝟔, EL EJE 𝑶𝑿 Y LAS RECTAS: 𝒙 = 𝟔 Y 𝒙 = 𝟏𝟐. x 6 12

y = 36/x 6 3

Pág. 4

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 6.

CALCULAR EL ÁREA LIMITADA POR LA CURVA 𝒚 = 𝟐(𝟏 − 𝒙𝟐 ) Y LA RECTA 𝒚 = −𝟏.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2(1--x2 ) -16 -6 0 2 0 -6 -16

Pág. 5

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 7.

CALCULAR EL ÁREA DEL RECINTO LIMITADO POR LA PARÁBOLA 𝒚 = 𝒙𝟐 Y La Recta Que Pasa Por Los Puntos (-1,0) y (1,4).

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = x2 9 4 1 0 1 4 9

x -1 1 3

y 0 4 8

Pág. 6

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 8.

HALLAR EL ÁREA LIMITADA POR LA RECTA, 𝒀 = CORRESPONDIENTES 𝒂 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙 = 𝟒.

x 0 1 2 3 4

𝟑𝒙−𝟔 𝟐

EL EJE DE ABSCISAS Y LAS ORDENADAS

y = (3x-6)/2 -3 -1.5 0 1.5 3

Pág. 7

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 9.

CALCULAR EL ÁREA LIMITADA POR LA CURVA 𝒚 = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟑 Y El Eje De Abscisas.

Pág. 8

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 10. HALLAR EL ÁREA DE LA REGIÓN DEL PLANO LIMITADA POR LAS CURVAS 𝒚 = 𝒍𝒏 𝒙 , 𝒚 = 𝟐 Y LOS EJES COORDENADOS.

El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x. El área de rectángulo es base por altura.

El área bajo la curva y = ln x es:

Pág. 9

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 11. CALCULAR EL ÁREA DE LA REGIÓN DEL PLANO LIMITADA POR EL CÍRCULO 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗.

El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.

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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 12. HALLAR EL ÁREA DE UNA ELIPSE DE SEMIEJES a Y b.

Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.

Pág. 11

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 13. CALCULAR EL ÁREA DE LA REGIÓN DEL PLANO LIMITADA POR LA CURVA : 𝒇(𝒙) = |𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑| y EL EJE 𝑶𝑿.

Pág. 12

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 14. HALLAR EL ÁREA DE LA FIGURA LIMITADA POR : 𝒚 = 𝒙𝟐 , 𝒚 = 𝒙 , 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙 = 𝟐.

Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.

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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 15. HALLAR EL ÁREA DEL RECINTO PLANO Y LIMITADO POR LA PARÁBOLA 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 Y LAS TANGENTES A LA CURVA EN LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON EL 𝑶𝑿. .

Puntos de intersección:

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):

Pág. 14

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 143. CALCULE EL ÁREA ENTRE 𝐟(𝐱) = 𝐱 𝟑 Y EL EJE X EN EL INTERVALO /-3,3/.

0

3

𝐴 = ∫ 𝑥 3 . 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 3 . 𝑑𝑥 3

0 3

𝐴 = 2 ∫ 𝑥 3 . 𝑑𝑥 0 3

𝐴 = |2

𝐴=2

𝐴=

𝑥4 | 4 0

〈3〉4 4

=

2 (81) 4

(81) = 40.5 2

144. CALCULE EL ÁREA BAJO LA CURVA 𝐟(𝐱) = 𝐞𝐱 , EN /1,2/. 3

𝐴 = ∫ 𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 0

2 𝐴 = 𝑒 𝑥 | . 𝑑𝑥 1 𝐴 = 𝑒 2 − 𝑒1 𝐴 = 4.67

Pág. 15

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

𝝅

145. ENCUENTRE EL ÁREA ENTRE LA CURVA 𝐟(𝐱) = 𝟑𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱√𝟐 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 Y EL EJE X EN [− , 𝟎 ] 𝟐

0

𝐴 = ∫ 3𝑠𝑒𝑛2𝑥√2 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 . 𝑑𝑥 𝜋/2

𝑢 = 2 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑑𝑥 𝑢1 = 2 − cos(−𝜋) = 3 𝑢2 = 2 − cos(0) = 1

1

𝐴 = −3/2 ∫ √𝑢 . 𝑑𝑢 3 1

𝑢2+1 1 𝐴 = −3/2 | 1 +1 3 2 . 3

𝑢2 1 𝐴 = −3/2 | 3/2 3 𝐴 = √27 − 1 𝐴 = 4.38

Pág. 16

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

146. Encuentre el área de la región limitada por las curvas 𝟒𝒙𝟐 + 𝐲 = 𝟒 𝐲 𝒙𝟒 − 𝒚 = 𝟏 .

𝟒𝒙𝟐 + 𝐲 − 𝟒 = 𝟎 { 𝒙𝟒 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟓 = 𝟎

𝒙𝟐 = −𝟓 𝒙𝟐 = 𝟏 𝒙 = −𝟏 𝚲 𝐱 = 𝟏 𝒙𝟒 + 𝟏 < 𝟒 − 𝟒𝒙𝟐 𝐞𝐧 (−𝟏, 𝟏)

1

𝐴 = ∫ (4 − 4𝒙𝟐 ) − (𝒙𝟒 − 1) . 𝑑𝑥 −1 1

𝐴 = ∫ (5 − 4𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 ) . 𝑑𝑥 −1

. 𝐴 = 5𝑥 − 4/3𝒙𝟐 − 𝒙𝟓 /𝟓|

𝟏 −𝟏

𝐴 = 10 − 8/3 − 𝟐/𝟓 𝐴 = 6.93

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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 147.

Encuentre el área limitada por el eje y las curvas 𝐱 = (𝐲 − 𝟏)𝟐

i.

𝒚 = 𝟑 − 𝐱, & 𝐱 = 𝟐√𝐲. 𝟑 − 𝐱 = √𝐱 + 𝟏 (𝟐 − 𝒙)𝟐 = 𝒙 𝟒 − 𝟓𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝟎 𝒚 = 𝒙𝟐 /𝟒 𝒙𝟐 =𝟑−𝒙 𝟒 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏𝟐 = (𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 (𝒙 + 𝟔) = 𝟎 𝒙 = −𝟔 (𝒙 − 𝟐) = 𝟎 𝒙=𝟐 1

2

𝐴 = ∫ (√𝑥 + 1) − (𝒙𝟒 /4) . 𝑑𝑥 + ∫ (3 − 𝑥) − ( 0

1

𝒙𝟒 ) . 𝑑𝑥 4

1 𝒙𝟐 𝒙𝟑 2 𝐴 = [2𝒙𝟑/𝟐 /3] + [3𝑥 − − ] 0 2 12 1 𝐴=

2 1 8 1 1 +1− + (6 − 2 − ) − (3 − − ) 3 12 12 2 2

𝐴 = 2.5

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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS 148. Sobre la parábola 𝐱 = 𝐲 𝟐 ,se construye un sólido cuya sección es un rectángulo con base sobre la parábola y su altura es igual la mitad de su ancho. ¿Cuál será el volumen del sólido? Si se limita por el plano x = 5. 𝐱 = 𝐲𝟐 Del volumen dv=(ancho del rectángulo)(alto del rectángulo)(espesor) dv=(2y)(y)dx 𝐝𝐯 = 𝟐𝐲 𝟐 . 𝒅𝒙 𝐝𝐯 = 𝟐𝒙. 𝒅𝒙 El volumen es: 5

𝑉 = ∫ 2𝑥 . 𝑑𝑥 0

𝑉 = 𝑥 2| 𝑉 = 52

5 0 =

25

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