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´ EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL II (2017.2.4125)

´Indice 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Determinantes Valores y vectores propios Diagonalizabilidad Subespacios invariantes y el Teorema de Cayley-Hamilton Productos y cocientes Producto tensorial La forma can´ onica de Jordan, primera parte La forma can´ onica de Jordan, segunda parte Adenda Cambios de notaci´ on

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2 3 6 9 12 15 17 19 22 23

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1. Determinantes Para los fines de esta secci´ on F ser´a un campo, n ∈ N y A, B ∈ F n×n . Definici´ on 1.1. eij a la (1) Si n ≥ 2, entonces para cualesquiera i, j ≤ n denotaremos por A matriz de tama˜ no (n−1)×(n−1) que resulta de remover el i-´esimo rengl´on y la j-´esima columna de la matriz A. (2) El determinante de A, det(A), se define recursivamente como sigue (a) cuando n = 1, det(A) = A11 y (b) en el caso n ≥ 2, n X e1j ). det(A) = (−1)1+j A1j · det(A i=1

Proposici´ on 1.2. La funci´ on determinante es una transformaci´ on lineal en cada rengl´ on siempre que el resto de los renglones se quedan fijos, en otras palabras, para cualesquiera {u, v} ∪ {wi : i ≤ n} ⊆ F 1×n (esto es, una familia de vectores rengl´ on) y α ∈ F , entonces para cada j ≤ n se tiene que       w1 w1 w1    ..   ..  ..    .   .  .            det  u + αv  = det  u  + α det   v .    .   .  ..    ..   ..  . wn wn wn Proposici´ on 1.3. Para cualquier i ≤ n, n X eij ). (−1)i+j Aij · det(A det(A) = i=1

Proposici´ on 1.4. Si A tiene dos renglones iguales, entonces det(A) = 0. Proposici´ on 1.5. Los enunciados siguientes son ciertos para cualquier α ∈ F \{0}. (1) Si B es la matriz que se obtiene de intercambiar dos renglones de A, entonces det(B) = − det(A). (2) Cuando B es la matriz que resulta de multiplicar alg´ un rengl´ on de A por el escalar α, se sigue que det(B) = α det(A). (3) Si B es la matriz que se obtiene de sumar un m´ ultiplo escalar de un rengl´ on de A con otro rengl´ on de A, tenemos la igualdad det(A) = det(B). Proposici´ on 1.6. Si rank(A) < n, entonces det(A) = 0. Proposici´ on 1.7. det(AB) = det(A) det(B). Proposici´ on 1.8. La matriz A es invertible si y s´ olo si det(A) 6= 0. M´ as a´ un, si A es invertible, entonces
1 . det A−1 = det(A) Proposici´ on 1.9. det (At ) = det(A).

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Para los fines de las secciones 2, 3 y 4 supondremos siempre que V es un espacio vectorial sobre el campo F , T ∈ L (V ), λ ∈ F y n ∈ N. 2. Valores y vectores propios 2.1. En este ejercicio, F = R; adem´as, en cada inciso se proporciona una base B para V . Calcule [T ]B y determine si todos los elementos de B son vectores propios de T . (1) V = R2 , T (x) = (10x1 − 6x2 , 17x1 − 10x2 ) y B = {(1, 2), (2, 3)}. (2) V = R1 [x], T (a + bx) = (6a − 6b) + (12a − 11b)x y B = {3 + 4x, 2 + 3x}. (3) V = R3 , T (x) = (3x1 + 2x2 − 2x3 , −4x1 − 3x2 + 2x3 , −x3 ) y B = {(0, 1, 1), (1, −1, 0), (1, 0, 2)}. (4) V = R2 [x], T (a + bx + cx2 ) = (−4a + 2b − 2c) − (7a + 3b + 7c)x + (7a + b + 5c)x2 y B = {x − x2 , −1 + x2 , −1 − x + x2 }. 2.2. Para cada A ∈ F n×n realice lo siguiente. • Halle todos los valores propios de A. • Para cada valor propio de A halle el conjunto de vectores propios correspondientes a ´este. • En los casos en que sea posible, halle una base para F n formada por valores propios de A, una matriz diagonal D y una matriz invertible Q tales que Q−1 DQ = A.   1 2 (1) F = R y A = . 3 2   0 −2 −3 1 −1 . (2) F = R y A =  −1 2 2 5   i 1 (3) F = C y A = . 2 −i   2 0 −1 (4) F = R y A =  4 1 −4 . 2 0 −1 2.3. En este ejercicio, F = R. Para cada inciso encuentre una base ordenada B para V de tal modo que [T ]B sea una matriz diagonal. (1) V = R2 y T (x) = (−2x1 + 3x2 , −10x1 + 9x2 ). (2) V = R3 y T (x) = (7x1 − 4x2 + 10x3 , 4x1 − 3x2 + 8x3 , −2x1 + x2 + 2x3 ). (3) V = R2 [x] y T (p) = xp0 + p(2)x + p(3). (4) V = R3 [x] y T (p) = p + p(2)x. (5) V = R3 [x] y T (p) = xp0 + p00 − p(2). (6) V = R2×2 y

 T

a b c d



 =

d c

b a

 .

(7) V = R2×2 y T (A) = At + 2 tr(A)I2 . 2.4. Suponga que λ es un valor propio de T . Demuestre que x ∈ V es un vector propio de T correspondiente a λ si y s´olo si x ∈ ker(T − λIV ) \ {~0}.

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2.5 (Determinante de un operador lineal). Suponga que V tiene dimensi´on finita y demuestre los siguientes enunciados. (1) Si B y C son bases ordenadas para V , entonces det ([T ]B ) = det ([T ]C ) . Basados en lo anterior, definimos det(T ), el determinante de T , como sigue: dada B, una base ordenada arbitraria para V , det(T ) := det ([T ]B ). (2) T es invertible si y s´ olo si det(T ) 6= 0. (3) Si T es invertible, entonces
det T −1 =

1 . det(T )

(4) Para cada U ∈ L (V ), det(U T ) = det(U ) det(T ). (5) Si B es una base ordenada para V , det(T − λIV ) = det ([T ]B − λI) . 2.6. Demuestre los enunciados siguientes suponiendo que V tiene dimensi´on finita. (1) T es invertible si y s´ olo si el cero de F no es un valor propio de T . (2) Si T es invertible y λ ∈ F , entonces λ es un valor propio de T si y s´olo si λ−1 es un valor propio de T −1 . (3) Enuncie y demuestre los resultados an´alogos a los incisos anteriores para matrices. 2.7. Pruebe que si M ∈ F n×n es una matriz triangular superior, entonces los valores propios de M son precisamente las entradas de la diagonal de M . 2.8. Suponga que V tiene dimensi´on finita. (1) Muestre que si B es una base ordenada para V , entonces [λIV ]B = λI. (2) Calcule el polinomio caracter´ıstico de λIV . (3) Verifique que λIV es diagonalizable y tiene s´olo un valor propio. 2.9 (Matrices escalares). Sea M ∈ F n×n . Se dir´a que M es una matriz escalar si existe λ ∈ F con M = λI; en otras palabras, una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todas las entradas de la diagonal de ´esta son iguales. (1) Pruebe que si M es una matriz escalar y N ∈ F n×n es similar a M , entonces N = M. (2) Muestre que si M es diagonalizable y posee s´olo un valor propio, entonces M es una matriz escalar.   1 1 (3) Verifique que no es diagonalizable. 0 1 2.10. Suponga que M, N ∈ F n×n y demuestre los enunciados siguientes. (1) Si M y N son similares, entonces tienen el mismo polinomio caracter´ıstico. (2) Si B y C son bases finitas para V , entonces, para cada λ ∈ F , det ([T ]B − λI) = det ([T ]C − λI) . 2.11. Sean B y C bases ordenadas de cardinalidad n para V . Haga M := [T ]C B y suponga que λ es un valor propio de M (y, por ende, de T ). Recuerde que en clase

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mencionamos que el diagrama de abajo conmuta V ϕB

/V

T





Fn

LM

ϕB

/ Fn

y emplee esta informaci´ on para demostrar que los enunciados siguientes son ciertos. (1) Para cada x ∈ V , si ϕB (x) es un vector propio de M correspondiente a λ, entonces x es un vector propio de T correspondiente a λ. (2) Para cualquier y ∈ F n , y es un vector propio de M correspondiente a λ si y s´ olo si ϕB −1 (y) es un vector propio de T correspondiente a λ. 2.12. Verifique que si M ∈ F n×n , entonces M y M t tienen el mismo polinomio caracter´ıstico (y, en consecuencia, poseen los mismos valores propios). 2.13. Suponga que λ es un valor propio de T y demuestre que si x ∈ V es un vector propio de T correspondiente a λ, entonces λn es un valor propio de T n y x es un vector propio de T n correspondiente a λn . 2.14. Enuncie y demuestre el resultado an´alogo al del ejercicio previo para matrices cuadradas. 2.15. Recuerde que si M ∈ F n×n , entonces la traza de M es el escalar n X Mii . tr(M ) = i=1

(1) Compruebe que si M, N ∈ F n×n son similares, entonces tr(M ) = tr(N ) (sugerencia: puede usar, sin demostrar, que para cualesquiera P, Q ∈ F n×n se tiene la igualdad tr(P Q) = tr(QP )). (2) Revise el ejercicio 2.5 e intente definir tr(T ), la traza de T . Verifique que su definici´ on es adecuada (porfas). 2.16. Sea T : Rn×n → Rn×n el operador lineal dado por T (M ) = M t . (1) Muestre que 1 y −1 son los u ´nicos valores propios de T . (2) Describa los elementos de Rn×n que son vectores propios de T . (3) Encuentre una base ordenada B para R2×2 de tal modo que [T ]B sea una matriz diagonal. (4) Para cada n ∈ N, halle una base ordenada C para Rn×n tal que [T ]C sea una matriz diagonal. 2.17. Sean M, N, Q ∈ F n×n tales que Q es invertible y N = Q−1 M Q. Recuerde que LM : F n → F n es el operador lineal dado por LM (x) = M x, para cada x ∈ F n , y pruebe que existe C, una base ordenada para F n , con [LM ]C = N . 2.18. Demuestre, por inducci´ on sobre n, que el polinomio caracter´ıstico de cualquier matriz cuadrada de tama˜ no n con entradas en F es un polinomio de grado n con coeficientes en F cuyo coeficiente principal es (−1)n . 2.19. Suponga que el polinomio caracter´ıstico de M ∈ F n×n es n X f= ai ti , i=0

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donde an = (−1)n . Demuestre los enunciados siguientes. (1) f (0) = a0 = det(M ) y deduzca que M es invertible si y s´olo si a0 6= 0. (2) Existe q ∈ F [t] tal que ∂q ≤ n − 2 y f=

n Y

(Mii − t) + q

i=1

(sugerencia: emplee inducci´on matem´atica sobre n). (3) tr(M ) = (−1)n−1 an−1 . 2.20. Suponga que λ es un valor propio de T y que g ∈ F [t]. (1) Pruebe que si x ∈ V es un vector propio de T correspondiente a λ, entonces g(λ) es un valor propio del operador lineal g(T ) y x es un vector propio de g(T ) correspondiente a g(λ), esto es, g(T )(x) = g(λ)x. (2) Establezca y demuestre el resultado an´alogo al inciso anterior para matrices cuadradas con entradas en F . (3) Verifique el resultado del inciso anterior cuando F = R, A es como en el ejercicio 2.2(1), g = 2t2 − t + 1, x = (2, 3) y λ = 4. (4) Si T es diagonalizable y f es el polinomio caracter´ıstico de T , entonces f (T ) es el operador cero en V , es decir, f (T )(x) = ~0V para cualquier x ∈ V . 2×2

2.21. Halle la lista completa de polinomios caracter´ısticos de elementos de (Z2 ) (Z2 es el campo de los enteros m´odulo 2). 3. Diagonalizabilidad

3.1. En cada inciso se da una matriz cuadrada M con coeficientes en R. Si M es diagonalizable, halle una matriz invertible Q y una matriz diagonal D de tal modo que Q−1 M Q = D.   1 2 (1) M = 0 1   1 3 (2) M = 3 1   1 4 (3) M = 3 2   7 −4 0 (4) M =  8 −5 0  6 −6 3   0 0 1 (5) M =  1 0 −1  0 1 1   3 1 1 4 2  (6) M =  2 −1 −1 1

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

1 (7) M =  0 0

1 1 0

7

 0 2  3

3.2. Para cada operador lineal T , si T es diagonalizable, halle una base ordenada B para V tal que [T ]B sea una matriz diagonal. (1) F = R, V = R3 [x] y T (p) = p0 + p00 . (2) F = R, V = R2 [x] y T (a + bx + cx2 ) = c + bx + ax2 . (3) F = R, V = R3 y T (x) = (x2 , −x1 , 2x3 ). (4) F = R, V = R2 [x] y T (p) = p(0) + p(1)(x + x2 ). (5) F = C, V = C2 y T (z, w) = (z + iw, iz + w). (6) F = R, V = R2×2 y T (M ) = M t . 3.3. Muestre que si M ∈ F n×n tiene n valores propios diferentes, entonces M es diagonalizable. 3.4. Para cada n ∈ N, calcule M n , donde  1 M= 2

4 3

 .

3.5. Demuestre que si M ∈ F n×n posee dos valores propios distintos, λ y µ, con dim (Eλ ) = n − 1, entonces M es diagonalizable. 3.6. Suponga que B es una base finita para V de tal forma que [T ]B es una matriz triangular superior. (1) Verifique que el polinomio caracter´ıstico de T se factoriza completamente en polinomios lineales sobre F . (2) Establezca y demuestre el an´alogo al resultado del inciso interior para matrices. (3) Pruebe que si T tiene k valores propios distintos, digamos {λi : i ≤ k}, y que si mi es la multiplicidad de λi , para cualquier i ≤ k, entonces cada λi aparece mi veces en la diagonal de [T ]B (esto es, {j ≤ n : ([T ]B )jj = λi } tiene cardinalidad mi ). 3.7. Suponga que A ∈ F n×n es similar a una matriz triangular superior y que posee k valores propios distintos, {λi : i ≤ k}, con correspondientes multiplicidades {mi : i ≤ k}. Muestre que tr(A) =

k X i=1

mi λi

y

det(A) =

k Y

mi

(λi )

.

i=1

3.8. Pruebe que si V tiene dimensi´on finita, λ es un valor propio de T y T es invertible, entonces los enunciados siguientes son ciertos. (1) El espacio propio de T correspondiente a λ es igual al espacio propio de T −1 correspondiente a λ−1 (recuerde el ejercicio 2.6(2)). (2) T −1 es diagonalizable, siempre que T lo es. 3.9. Suponga que λ es un valor propio de A ∈ F n×n y denote por Eλ y Eλ0 a los espacios propios de A y At correspondientes a λ (recuerde el ejercicio 2.12), respectivamente. Demuestre lo siguiente. (1) No siempre se tiene la igualdad Eλ = Eλ0 . (2) dim (Eλ ) = dim (Eλ0 ).

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(3) Si A es diagonalizable, At tambi´en lo es.

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4. Subespacios invariantes y el Teorema de Cayley-Hamilton Para los fines de esta secci´ on z ∈ V \ {~0}. 4.1. Demuestre que los siguientes subespacios de V son T -invariantes: {~0V }, ker(T ) y im(T ). M´ as a´ un, si λ es un valor propio de T , entonces Eλ tambi´en es T -invariante. 4.2. Pruebe que si W es un subespacio T -invariante de V y g ∈ F [x], entonces W es g(T )-invariante. 4.3. SupongaTque S es una familia no vac´ıa de subespacios T -invariantes de V y muestre que S es un subespacio T -invariante de V . 4.4. En cada uno de los incisos siguientes halle una base para el subespacio T -c´ıclico generado por el vector z. (1) V = R4 , T (x) = x1 + x2 , x2 − x3 , x1 + x3 , x1 + x4 ) y z = e1 . (2) V = R3 [x], T (p) = p00 y z = x3 .   0 1 2×2 t (3) V = R , T (M ) = M y z = . 1 0    1 1 0 (4) V = R2×2 , T (M ) = M yz= 2 2 1

1 0

 .

4.5. Si W es un subespacio T -invariante de V , entonces los enunciados siguientes son ciertos. (1) T  W ∈ L (W ). (2) Si x ∈ W es un vector propio de T  W correspondiente al valor propio λ, entonces x es un vector propio de T correspondiente al valor propio λ. 4.6. Para cada inciso del ejercicio 4.4 denote por W al subespacio T -c´ıclico correspondiente y haga lo siguiente. (1) Calcule el polinomio caracter´ıstico de T  W de dos formas distintas (tal y como se hizo en clase). (2) Verifique que el polinomio caracter´ıstico de T  W divide al polinomio caracter´ıstico de T . 4.7. Verifique que si g, h ∈ F [t] y f := gh, entonces f (T ) es la composici´on de g(T ) con h(T ), esto es, f (T ) = g(T ) ◦ h(T ) (sugerencia: emplee inducci´ on sobre ∂g). 4.8. Demuestre los enunciados siguientes suponiendo que W es el subespacio T c´ıclico generado por z. (1) W es T -invariante. (2) Si X es un subespacio T -invariante de V y z ∈ X, entonces W ⊆ X. (3) Para cualquier y ∈ V : y ∈ W si y s´olo si existe g ∈ F [x] tal que y = g(T )(z); en otras palabras, W = {g(T )(z) : g ∈ F [x]}. (4) Si V tiene dimensi´ on finita, digamos n, entonces W = {g(T )(z) : g ∈ Fn [x]}.

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4.9. Suponga que V tiene dimensi´on finita y que W es un subespacio T -invariante de V . Ahora sean B, una base ordenada para W , y E, un subconjunto ordenado linealmente independiente de V , tales que B ∩E = ∅ y C := B ∪E (uni´on ordenada) e, es una base para V . Demuestre que si M := [T  W ]B , entonces existen N y N un par de matrices con entradas en F , tales que   M N [T ]C = e , O N donde O es la matriz cero del tama˜ no adecuado. 4.10. Sea f el polinomio caracter´ıstico de la matriz M ∈ F n×n y denote por O a la matriz cero de tama˜ no n × n. El teorema de Cayley-Hamilton para matrices afirma que f (M ) = O. (1) Halle el error en la siguiente “prueba” del teorema de Cayley-Hamilton para matrices. Por definici´ on, f = det(M − tIn ), as´ı que podemos evaluar a f en M y obtener f (M ) = det (M − M In ) = det(M − M ) = det(O) = 0. (2) D´e una argumento correcto para la igualdad f (M ) = O. 4.11. Sea W un subespacio T -invariante del espacio vectorial de dimensi´on finita V . Denote por f y g a los polinomios caracter´ısticos de T y de T  W , respectivamente. Suponga que f se factoriza completamente en polinomios lineales y demuestre los enunciados siguientes. (1) g tambi´en se factoriza completamente en polinomios lineales. (2) W contiene un vector propio de T . 4.12. Pruebe que para cualquier M ∈ F n×n se tiene que

dim span {M k : k ∈ N ∪ {0}} ≤ n. 4.13. Suponga que el polinomio caracter´ıstico de M ∈ F n×n es n X f= ai ti i=0

y demuestre lo siguiente. (1) M es invertible si y s´ olo si a0 6= 0. (2) Si M es invertible, entonces M −1 =

n 1 X ai M i−1 . a0 i=1

4.14. Emplee el inciso (2) del ejercicio anterior para calcular  −1 1 2 1  0 2 3  . 0 0 −1
4.15. Suponga que V = span {T k (z) : k ∈ N ∪ {0}} y demuestre que los enunciados siguientes son equivalentes para cualquier U ∈ L (V ). (1) U ◦ T = T ◦ U .

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(2) Existe g ∈ F [t] con U = g(T ). Nota: seg´ un el ejercicio 4.8(3), existe g ∈ F [t] con U (z) = g(T )(z). 4.16. Suponga que dim(V ) = 2 y demuestre que alguna de las condiciones siguientes es cierta. ~ (1) V es un subespacio T -c´ıclico de s´
ı mismo, esto es, existe w ∈ V \ {0} con V = span {T k (w) : k ∈ N ∪ {0}} . (2) T es un m´ ultiplo escalar de la identidad, es decir, T = αIV para alg´ un α ∈ F. 4.17. Sea W un subespacio T -invariante del espacio vectorial de dimensi´on finita V . Suponga que k ∈ N y que para cada i ≤ k, xi es un vector propio de T ; m´as a´ un, siempre que i < j ≤ k, se sigue que los valores propios correspondientes a xi y xj son distintos. Emplee inducci´on matem´atica sobre k para verificar que si Pk i=1 xi ∈ W , entonces {xi : i ≤ k} ⊆ W . 4.18. Use el ejercicio anterior para probar que si T es diagonalizable y W es un subespacio T -invariante de V , entonces T  W es diagonalizable. 4.19. Demuestre que si T tiene n valores propios y n = dim(V ), entonces V es un subespacio T -c´ıclico de s´ı mismo (sugerencia: utilice el ejercicio 4.17 para hallar w ∈ V \{~0} de tal modo que {T k (w) : 0 ≤ k ≤ n−1} es linealmente independiente).

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5. Productos y cocientes Para esta secci´ on: V , W y X ser´an espacios vectoriales sobre el campo F . 5.1. A las funciones πV : V × W → V y πW : V × W → W definidas mediante las f´ ormulas πV (x, y) = x y πW (x, y) = y se les llama proyecciones; de manera precisa: πV es la proyecci´on en la primera coordenada y πW es la proyecci´ on en la segunda coordenada. Demuestre lo siguiente. (1) Tanto πV como πW son transformaciones lineales suprayectivas. (2) Las igualdades ker(πV ) = {~0V } × W y ker(πW ) = V × {~0W } son ciertas. (3) Los subespacios ker(πV ) y ker(πW ) son isomorfos a W y a V , respectivamente. Suponga que V y W tienen dimensi´on finita y utilice el Teorema de la Dimensi´on y los incisos anteriores para probar, nuevamente, que dim(V × W ) = dim(V ) + dim(W ). 5.2. Verifique que la funci´ on T : F 2 × F 2 → F 2×2 dada por   x1 x2 T (x, y) = y1 y2 es un isomorfismo (de hecho, este resultado se puede generalizar para obtener un n isomorfismo entre (F n ) y F n×n para cualquier n ∈ N). 5.3. Muestre que si V0 ≤ V y W0 ≤ W , entonces V0 × W0 ≤ V × W . 5.4. Defina E := {(t, t) : t ∈ R} y verifique los enunciados siguientes. (1) E ≤ R × R. (2) No existen V0 ≤ R y W0 ≤ R tales que E = V0 × W0 . 5.5. Demuestre que si T : V → W × X es una funci´on, entonces T es una transformaci´ on lineal si y s´ olo si tanto πW ◦ T : V → W como πX ◦ T : V → X son transformaciones lineales (estamos empleando la notaci´on del ejercicio 5.1). En otros t´erminos, una funci´ on que llega a un producto de espacios vectoriales es una transformaci´ on lineal si y s´ olo sus funciones coordenada son transformaciones lineales. 5.6. Suponga que V0 y W0 son espacios vectoriales sobre F y que U : V → V0 y T : W → W0 son transformaciones lineales. Defina U × T : V × W → V0 × W0 mediante (U × T )(x, y) = (U (x), T (y)) y haga lo siguiente. (1) Pruebe que U × T es una transformaci´on lineal. (2) Exprese a ker(U × T ) en t´erminos de ker(U ) y ker(T ). (3) Halle una expresi´ on para im(U × T ) que involucre a im(U ) y im(T ). A la transformaci´ on lineal U × T se le suele llamar el producto de U con T . 5.7. Sean U : V → W y T : V → X un par de transformaciones lineales, y sea U 4T : V → W × X la funci´ on dada por (U 4T )(x) = (U (x), T (x)). (1) Verifique que U 4T es una transformaci´on lineal.

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(2) Exprese a ker(U 4T ) en t´erminos de ker(U ) y ker(T ). (3) ¿Es cierto que im(U 4T ) = im(U ) × im(T )? A la transformaci´ on lineal U 4T se le suele llamar la diagonal de U con T . 5.8. Suponga que W ≤ V y que V tiene dimensi´on finita. En clase probamos, usando el Teorema de la Dimensi´on, que dim(V /W ) = dim(V ) − dim(W ). El prop´ osito de este ejercicio es dar una demostraci´on de este hecho que no use el teorema de la dimensi´ on. Fije una base ordenada {xi : i ≤ m} para W (donde m ∈ N) y un conjunto {yi : i ≤ n} ⊆ V \ W (aqu´ı, n ∈ N y la lista no tiene repeticiones) de tal modo que la uni´ on ordenada {xi : i ≤ m} ∪ {yj : j ≤ n} sea una base para V . Denote por η : V → V /W a la proyecci´ on natural y demuestre lo siguiente. (1) El conjunto {η(yj ) : j ≤ n} genera a V /W . (2) Si {βj : j ≤ n} ⊆ F satisface n X

βj η(yj ) = ~0V /W ,

j=1

entonces βj = 0, para cada j ≤ n. De todo lo anterior se concluye que {η(yj ) : j ≤ n} es una base para V /W cuya cardinalidad es dim(V ) − dim(W ). 5.9. Suponga que W ≤ V y que T : V /W → X es una funci´on. Demuestre que si η : V → V /W es la proyecci´on natural, entonces T es lineal si y s´olo si T ◦ η es lineal. 5.10. Sea T ∈ L (V, W ). En clase probamos que si η : V → V / ker(T ) es la proyecci´ on natural, entonces existe una funci´on T de tal modo que el diagrama de abajo conmuta V

T

/W :

η

 V / ker(T )

T

Demuestre los enunciados siguientes. (1) T es una transformaci´on lineal inyectiva. (2) Si T es suprayectiva, entonces T es un isomorfismo. 5.11. Demuestre que si α ∈ F y W := {p ∈ F [x] : p(α) = 0}, entonces W ≤ F [x] y F [x]/W es isomorfo a F (sugerencia: defina T : F [x] → F mediante T (p) = p(α)). 5.12. Emplee los ejercicios 5.8 y 5.10 para dar una prueba del Teorema de la Dimensi´ on. Para los ejercicios 5.13 y 5.14 supondremos lo siguiente: T ∈ L (V ), W ≤ V y η : V → V /W es la proyecci´ on natural. 5.13. Pruebe que los enunciados siguientes son equivalentes.

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(1) Existe una transformaci´on lineal T + que hace conmutativo el diagrama de abajo. T /V V η

 V /W

η

T+

 / V /W

(2) W es un subespacio T -invariante de V . 5.14. Con la notaci´ on e hip´ otesis del ejercicio 5.8: hagamos B := {xi : i ≤ m}, C := B ∪ {yj : j ≤ n} (uni´on ordenada) y D := {η(yj ) : j ≤ n}. Suponga, adem´ as, que W es T -invariante y que T + es como en el ejercicio previo. Demuestre lo siguiente. (1) Existe M ∈ F m×n tal que   [T  W ]B M [T ]C = , O [T + ]D donde O es la matriz cero de tama˜ no n × m. (2) Si f , g y h son los polinomios caracter´ısticos de los operadores lineales T , T  W y T + , respectivamente, entonces f = gh. (3) Si T es diagonalizable, entonces T + tambi´en es diagonalizable. (4) Si T  W y T + son diagonalizables y ning´ un valor propio de T  W es un valor propio de T + , entonces T es diagonalizable. 5.15. Sean



 1 1 −3 4 , M :=  2 3 1 2 1 T := LM y W el subespacio T -c´ıclico generado por e1 en R3 . Haga lo siguiente. (1) Calcule el polinomio caracter´ıstico de T  W sin emplear determinantes (recuerde lo hecho en el ejercicio 4.6(1)). (2) Muestre que {e3 + W } es una base para R3 /W y use esta informaci´on para determinar el polinomio caracter´ıstico de T + (estamos siguiendo la notaci´ on establecida en el ejercicio 5.13). (3) Emplee el ejercicio previo para hallar el polinomio caracter´ıstico de M . La moraleja de este ejemplo es que, a veces, se puede encontrar el polinomio caracter´ıstico sin calcular determinantes.

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6. Producto tensorial 6.1. Suponga que `, m, n ∈ N y demuestre que las funciones siguientes son bilineales. (1) b : Rn × Rn → R dada por b(x, y) = x · y (el producto punto o producto interior de los vectores x y y). (2) b : F `×m × F m×n → F `×n dada por b(M, N ) = M N (producto de matrices). (3) b : R3 × R3 → R3 dada por b(x, y) = x × y (el producto cruz o producto vectorial de x con y). (4) b : F 2 × F 2 → F dada por   x1 x2 b(x, y) = det . y1 y2 Para el resto de los ejercicios de esta secci´on: V , W y X ser´an tres espacios vectoriales sobre el campo F . 6.2. Demuestre que L (V, W ; X) y L (V, L (W, X)) son isomorfos. 6.3. Si S0 y S1 son conjuntos que generan a V y a W , respectivamente, entonces {x ⊗ y : x ∈ S0 ∧ y ∈ S1 } genera a V ⊗ W . 6.4. El prop´ osito de este ejercicio es verificar que el producto tensorial es asociativo, esto es, que (V ⊗ W ) ⊗ X es isomorfo a V ⊗ (W ⊗ X). Con esta idea en mente, demuestre que los enunciados siguientes son ciertos. (1) Si v ∈ V , entonces existe Tv : W ⊗ X → (V ⊗ W ) ⊗ X, una transformaci´on lineal, de tal forma que Tv (w ⊗ x) = v ⊗ (w ⊗ x), para cualesquiera w ∈ W y x ∈ X (sugerencia: argumente que la funci´on bv : W × X → (V ⊗ W ) ⊗ X dada por bv (w, x) := (v ⊗ w) ⊗ x, para cualesquiera w ∈ W y x ∈ X, es bilineal). (2) Si v ∈ V y α ∈ F , entonces Tαv = αTv (sugerencia: comience por notar que los dominios y contradominios de estas funciones coinciden; con respecto a la regla de correspondencia, como ambas funciones son transformaciones lineales y S := {w ⊗ x : w ∈ W ∧ x ∈ X} genera a W ⊗ X, basta con mostrar que Tαv  S = (αTv )  S). (3) Si v, v 0 ∈ V , entonces Tv+v0 = Tv + Tv0 . (4) Hay una transformaci´on lineal T : V ⊗ (W ⊗ X) → (V ⊗ W ) ⊗ X que satisface T (v ⊗ (w ⊗ x)) = (v ⊗ w) ⊗ x, siempre que v ∈ V , w ∈ W y x ∈ X (sugerencia: use los incisos (2) y (3) para probar que la funci´on b : V × (W ⊗ X) → (V ⊗ W ) ⊗ X definida mediante b(v, z) := Tv (z), para cualesquiera v ∈ V y z ∈ W ⊗ X, es bilineal). (5) Existe una transformaci´on lineal U : (V ⊗ W ) ⊗ X → V ⊗ (W ⊗ X) tal que U ((v ⊗ w) ⊗ x) = v ⊗ (w ⊗ x), para cualesquiera v ∈ V , w ∈ W y x ∈ X.

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(6) Las funciones T y U son una la inversa de la otra: U ◦ T = IV ⊗(W ⊗X) y T ◦ U = I(V ⊗W )⊗X (sugerencia: emplee el ejercicio 6.3). 6.5. Suponga que V 0 , W 0 y X 0 son espacios vectoriales sobre F y demuestre los enunciados siguientes. (1) Existe una transformaci´on lineal Λ : L (V, W ) ⊗ L (V 0 , W 0 ) → L (V ⊗ V 0 , W ⊗ W 0 ) ˙ U , para cualesquiera T ∈ L (V, W ) y de tal suerte que Λ(T ⊗ U ) = T × U ∈ L (V 0 , W 0 ). (2) Si T ∈ L (V, W ), T 0 ∈ L (V 0 , W 0 ), U ∈ L (W, X) y U 0 ∈ L (W 0 , X 0 ), entonces ˙ U 0 ) ◦ (T × ˙ T 0 ) = (U ◦ T ) × ˙ (U 0 ◦ T 0 ). (U × 6.6. Sean V 0 y W 0 un par de espacios vectoriales sobre F y sean T ∈ L (V, W ) y U ∈ L (V 0 , W 0 ). Suponga, adem´as, que B = {xj : j ≤ k}, C = {yi : i ≤ `}, B 0 = {x0j : j ≤ m} y C 0 = {yi0 : i ≤ n} son bases ordenadas para V , W , V 0 y W 0 , respectivamente, donde k, `, m, n ∈ N. Halle la matriz asociada a la transformaci´on Sk S` lineal T ⊗ U con respecto a las bases j=1 {xj ⊗ x0i : i ≤ m} y j=1 {yj ⊗ yi0 : i ≤ n} C0 (ambas son uniones ordenadas) en t´erminos de las matrices [T ]C B y [U ]B 0 .

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´ nica de Jordan, primera parte 7. La forma cano Para esta secci´ on: V ser´ a un espacio vectorial sobre el campo F , T ∈ L (V ) y λ ∈ F. 7.1. Suponga que µ ∈ F y, para simplificar notaci´on, haga U0 := T − λIV

U1 := T − µIV .

y

Demuestre que los enunciados siguientes son ciertos para cualesquiera k, ` ∈ N∪{0}. k

k

(1) (U0 ) ◦ U1 = U1 ◦ (U0 ) (sugerencia: inducci´on sobre k). k ` ` k (2) (U0 ) ◦ (U1 ) = (U1 ) ◦ (U0 ) . (3) Si W es un subespacio T -invariante de V , entonces W es (T − λIV )invariante y, adem´ as, (T  W − λIW )k = (T − λIV )k  W (sugerencia: emplee inducci´on sobre k). 7.2. En cada inciso de este ejercicio se proporciona una matriz M . Halle una base para cada uno de los espacios generalizados de LM consistente de uniones ajenas de ciclos de vectores propios generalizados y emplee esta informaci´on para calcular una forma can´ onica de Jordan para M .     1 1 1 2 (1) M = (2) M = −1 3  3 2   2 1 0 0 11 −4 −5  0 2 1 0   (4) M =  (3) M =  21 −8 −11   0 0 3 0  3 −1 0 0 1 −1 3 7.3. En este problema, F = R. Para cada inciso determine una base para cada uno de los espacios generalizados de T consistente de uniones ajenas de ciclos de vectores propios generalizados y emplee esta informaci´on para calcular una forma can´ onica de Jordan para T . (1) V = R2 [x] y T (p) = 2p − p0 . (2) V es el subespacio de C(R) generado por {fi : i ≤ 5}, donde f1 (t) = 1, f2 (t) = t, f3 (t) = t2 , f4 (t) = et y f5 (t) = tet , para cada t ∈ R, y T (f ) = f 0 . (3) V = R2×2 y  T (M ) =

1 0

1 1

 · M.

(4) V = R2×2 y T (M ) = 2M + M t . 7.4. Suponga que λ es un valor propio de T y demuestre los enunciados siguientes. (1) Si C es un ciclo de vectores propios generalizados de T correspondientes a λ, entonces span(C) es un subespacio T -invariante de V . (2) Si C0 y C1 son ciclos de vectores propios generalizados de T correspondientes a λ con vectores iniciales distintos, entonces C0 ∩ C1 = ∅. 7.5. Verifique que las igualdades siguientes son ciertas para cualesquiera U ∈ L (V ) y k ∈ N.

(1) ker U k = ker (−U )k .

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(2) ker (T − λIV )k = ker (λIV − T )k . 7.6. Suponga que V tiene dimensi´on finita y demuestre los enunciados siguientes.

k+1 (1) Para todo k ∈ N, ker T k ⊆ ker T

. (2) Si dim (im (T m )) = dim im T m+1 para alg´ un m ∈ N, entonces

dim (im (T m )) = dim im T k para cualquier k ∈ N con k ≥ m.

(3) Si dim (im (T m )) = dim im T m+1 para alg´ un m ∈ N, entonces
m k ker (T ) = ker T para cualquier k ∈ N con k ≥ m.

(4) Si dim (im ((T − λIV )m )) = dim im (T − λIV )m+1 para alg´ un m ∈ N, entonces Kλ = ker ((T − λIV )m ). (5) Segundo criterio de diagonalizabilidad. Supongamos que el polinomio caracter´ıstico de T se factoriza completamente en polinomios lineales y que {λi : i ≤ k} es una lista sin repeticiones de todos los valores propios de T . Entonces, T es diagonalizable si y s´olo si
dim(im(T − λi IV )) = dim im(T − λi IV )2 para cada i ≤ k. (6) El inciso anterior puede ser empleado para resolver el ejercicio 4.18. 7.7. Con las hip´ otesis y notaci´on del inciso (5) del ejercicio anterior: pruebe que si para cada i ≤ k tenemos xi , yi ∈ Kλi de tal modo que k X

xj =

j=1

k X

yj ,

j=1

entonces xi = yi para cualquier i ≤ k. 7.8. Suponga que V tiene dimensi´on finita y que el polinomio caracter´ıstico de T se factoriza completamente en polinomios lineales. Pruebe lo siguiente. (1) Si B es una base para V que es uni´on ajena de ciclos de vectores propios generalizados de T , entonces B es una base can´onica de Jordan para T . (2) Si B es una base can´ onica de Jordan para T y λ es un valor propio de T , entonces B ∩ Kλ es una base para Kλ . 7.9. Con las mismas hip´ otesis del problema anterior: suponga que λ es un valor propio de T y demuestre los enunciados siguientes. (1) Si B es una base para Kλ que es uni´on ajena de ` ciclos de vectores propios generalizados de T , entonces ` ≤ dim(Eλ ). (2) Si B es una base can´onica de Jordan para T y [T ]B posee ` bloques de Jordan cuyas entradas diagonales son λ, entonces ` ≤ dim(Eλ ). 7.10. Si M es una matriz cuadrada con entradas en F cuyo polinomio caracter´ıstico se factoriza completamente en polinomios lineales, entonces M posee una forma can´ onica de Jordan a la que es similar.

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´ nica de Jordan, segunda parte 8. La forma cano Para esta secci´ on: V ser´ a un espacio vectorial de dimensi´ on finita sobre el campo F y T ser´ a un operador lineal en V cuyo polinomio caracter´ıstico se factoriza completamente en polinomios lineales. 8.1. Suponga que la lista completa de valores propios de T es λ1 = 2, λ2 = 4 y λ3 = −3, y que los diagramas de puntos para T  Kλi , i ≤ 3, son como sigue. λ1 = 2 s

s

s

s

λ2 = 4 s

s

s

λ3 = −3 s

s

s

s

s

Halle una forma can´ onica de Jordan para T 8.2. Suponga que F = R y que  2  0   0   0   0   0 0

una forma can´onica de Jordan para T es  1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0   0 2 0 0 0 0   0 0 2 1 0 0  . 0 0 0 2 0 0   0 0 0 0 3 0  0 0 0 0 0 3

Haga lo siguiente. (1) Calcule el polinomio caracter´ıstico de T . (2) Halle el diagrama de puntos correspondiente a cada uno de los valores propios de T . (3) Determine para cu´ ales valores propios λ de T se satisface que Kλ = Eλ . (4) Para cada valor propio λ de T encuentre el m´ınimo p ∈ N tal que Kλ = ker ((T − λIV )p ) . (5) Para cada valor propio λ de T calcule las dimensiones de los siguientes subespacios de V . (a) im  (T  Kλ ).  (b) im (T  Kλ )

2

.

(c) ker  (T  Kλ ).  2 (d) ker (T  Kλ ) . 8.3. Para cada matriz M (con entradas en R) halle una forma can´onica de J y una matriz invertible Q de tal forma que J = Q−1 M Q.     −3 3 −2 0 1 −1 6 −3  (1) M =  −7 (2) M =  −4 4 −2  1 −1 2 1  −2 1   0 −3 1 0 −1 −1  −2 1 −1 (3) M =  −3 −1 −2  (4) M =   −2 1 −1 7 5 6 −2 −3 1

Jordan

 2 2   2  4

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8.4. Para cada T encuentre una forma can´onica de Jordan J para T y una base can´ onica de Jordan B para T de tal suerte que [T ]B = J. (1) V es el subespacio de C(R) generado por {gi : i ≤ 4}, donde g1 (t) = et , g2 (t) = tet , g3 (t) = t2 et y g4 (t) = e2t , para cada t ∈ R, y T est´a dado por T (f ) = f 0 . (2) V = R3 [x] y T (p) = xp00 . (3) V = R3 [x] y T (p) = p00 + 2p. (4) V = R2×2 y   3 1 T (M ) = · M − M t. 0 3 (5) V = R2×2 y 

3 1 T (M ) = 0 3 (6) V = R2 [x, y] y T (p) = D1 p + D2 p.



· (M − M t ).

8.5. Sean n ∈ N y M ∈ F n×n . Demuestre que si el polinomio caracter´ıstico de M se factoriza completamente en polinomios lineales, entonces M y M t tienen una forma can´ onica de Jordan en com´ un (sugerencia: empiece
por verificar que si λ
es un valor propio de M y k ∈ N, entonces rank (M − λIn )k = rank (M t − λIn )k ). 8.6. Suponga lo siguiente: n ∈ N, M ∈ F n×n , el polinomio caracter´ıstico de M se factoriza completamente en polinomios lineales, λ ∈ F es un valor propio de M y C es un ciclo de vectores propios generalizados de M correspondientes a λ. Haga W := span(C) y denote por C ← al conjunto ordenado de vectores que resulta de invertir el orden natural en C. t (1) Verifique que [LM  W ]C ← = ([LM  W ]C ) . (2) Pruebe que si J es una forma can´onica de Jordan para M , entonces J y J t son similares (sugerencia: emplee el inciso previo). (3) Concluya que M y M t son similares. 8.7. Sea B una base can´ onica de Jordan para T y sea λ ∈ F un valor propio de T . (1) Muestre que para cada α ∈ F \ {0}, {αx : x ∈ B} es una base can´onica de Jordan para T . (2) Suponga que C es un ciclo de vectores propios generalizados de T correspondientes a λ con C ⊆ B y que la longitud de C es al menos 2. Sea x el vector final de C y sea y ∈ Eλ \ {~0}. Pruebe que C 0 := (C \ {x}) ∪ {x + y} (en otras palabras, C 0 se obtiene de C al reemplazar x con x+y y dejar todos los dem´ as vectores iguales) tambi´en es un ciclo de vectores generalizados de T correspondientes a λ y que (B \ C) ∪ C 0 tambi´en es una base can´onica de Jordan para T . (3) En clase argumentamos que B = {−(1, 1, 1, 1), e2 + 2e3 , e1 , e1 + e4 } es una base can´ onica de Jordan para LM , donde   2 −1 0 1  0 3 −1 0  . M :=   0 1 1 0  0 −1 0 3

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Use el inciso anterior para hallar una base can´onica de Jordan para M distinta a B. 8.8. Suponga que tenemos un diagrama de puntos con k renglones y ` columnas. Para cualesquiera i ≤ k y j ≤ `, denote por pi y qj al n´ umero de puntos en el i-´esimo rengl´ on y al n´ umero de puntos en la j-´esima columna del diagrama, respectivamente. Demuestre los enunciados siguientes. (1) ` = p1 y k = q1 . (2) Si i ≤ k y j ≤ `, entonces qj = max{s ≤ k : ps ≥ j}

y

pi = max{s ≤ ` : qs ≥ i}

(sugerencia: use inducci´on sobre k). (3) Para cada i < k, ri+1 ≤ ri . 8.9. Emplee en el ejercicio anterior para verificar que el n´ umero de puntos en cada columna de un diagrama de puntos est´a determinado por el n´ umero de puntos en los renglones. 8.10. Suponga que λ ∈ F es un valor propio de T y que J es una forma can´onica de Jordan para T . Pruebe los enunciados siguientes. (1) La dimensi´ on de Kλ es igual a la suma de las longitudes de los bloques de Jordan correspondientes a λ en J. (2) La igualdad Eλ = Kλ equivale a que todos los bloques de Jordan correspondientes a λ en J sean matrices de tama˜ no 1 × 1.

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9. Adenda Para esta secci´ on: V ser´ a un espacio vectorial sobre el campo F , λ ∈ F y T ∈ L (V ). Probado en clase: Proposici´ on 9.1. Si C es un ciclo de vectores propios generalizados de T correspondientes a λ y C 0 es el conjunto que resulta de remover de C su vector final, entonces los enunciados siguientes son ciertos. (1) Si C 0 6= ∅ y p es la longitud de C, entonces C 0 es un ciclo de longitud p − 1 de vectores propios generalizados de T correspondientes a λ; m´ as a´ un, C y C 0 tienen el mismo vector inicial. (2) Para cada y ∈ C 0 existe z ∈ C de tal modo que y = (T − λIV )(z). (3) Si z ∈ C satisface que (T − λIV )(z) 6= ~0, entonces (T − λIV )(z) ∈ C 0 . 9.1. Si W ≤ V es T -invariante, entonces todo ciclo de vectores propios generalizados de T  W correspondientes a λ es un ciclo de vectores propios generalizados de T correspondientes a λ. 9.2. Sea ` ∈ N. Para cada i ≤ ` sea Ci un ciclo de vectores propios generalizados de T correspondientes a λ y sea Ci 0 el conjunto que resulta de quitarle a Ci su vector final. Defina ` ` [ [ C := Ci , C 0 := Ci 0 y W := span(C). i=1

i=1

Use la proposici´ on 9.1 para demostrar los enunciados siguientes. (1) W es (T − λIV )-invariante. (2) C 0 genera a im ((T − λIV )  W ). 9.3. Suponga que V tiene dimensi´on finita y que λ es un valor propio de T . Defina Kλ := {x ∈ V : ∃p ∈ N ((T − λIV )p (x) = ~0)}, U := (T − λIV )  Kλ y W := im(U ). Demuestre lo siguiente. (1) dim(W ) < dim(Kλ ). (2) W es T -invariante. (3) ker(U ) = {x ∈ V : T (x) = λx}. (4) El espacio de vectores propios generalizados de T  W correspondientes a λ es W , es decir, {x ∈ W : ∃p ∈ N ((T  W − λIW )p (x) = ~0)} = W. (5) Si C es un ciclo de vectores propios generalizados de T  W correspondientes a λ y x ∈ Kλ es tal que U (x) es el vector final de C, entonces C ∪ {x} es un ciclo de vectores propios generalizados de T correspondientes a λ. M´as a´ un, C y C ∪ {x} tienen el mismo vector inicial.

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´n 10. Cambios de notacio Donde el libro dice... nosotros decimos... Mm×n (F ) F(S, F ) P(F ) Pn (F ) N(T ) R(T ) φB

F m×n FS F [x] Fn [x] ker(T ) im(T ) ϕB

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