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Ejercicio 29

Un objeto con densidad media ρ flota sobre un fluido de densidad 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 . a) ¿Qué relación debe haber entre las dos densidades? b) A la luz de su respuesta en el inciso a), ¿cómo pueden flotar barcos de acero en el agua? c) En términos de ρ y 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 , ¿qué fracción del objeto está sumergida y qué fracción está sobre el fluido? Verifique que sus respuestas den el comportamiento correcto en el límite donde 𝜌 → 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 y donde 𝜌 → 0. d) Durante un paseo en yate, un primo suyo recorta una pieza rectangular (dimensiones: 5.0 x 4.0 x 3.0 cm) de un salvavidas y la tira al mar, donde flota. La masa de la pieza es de 42 g. ¿Qué porcentaje de su volumen está sobre la superficie del océano?

Identificar

Para un objeto flotante, el peso del objeto es igual a la fuerza de flotabilidad hacia arriba, B, ejercida por el fluido.

𝐵 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑔. El peso del objeto puede escribirse como: 𝑤 = 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑉𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑔. Para el agua de mar la densidad seria: 𝜌 = 1.03𝑥103 𝐾𝑔ൗ𝑐𝑚3. a) El fluido desplazado debe pesar más que el objeto, por lo que 𝜌 < 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 b) Si el barco no tiene fugas, gran parte del agua será desplazada por el aire o la carga, y la densidad media del barco flotante es menor que la del agua.

La figura 1. Ilustra el diagrama de cuerpo libre del barco en equilibrio. Podemos calcular la fuerza de flotación B usando el principio de Arquímedes.

Plantear

Ejecutar

y B x

mg Figura 1.

Entonces la porción sumergida tendría volumen V, y el volumen total es 𝑉0 entonces: 𝑉 𝜌 𝜌𝑉0 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉, así que = la fracción sobre 𝑉0

𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜

la superficie del fluido es entonces 1 −

𝜌 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜

.

Si 𝜌 → 0, todo el objeto flota, y si 𝜌 → 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ninguno de los objetos está por encima de la superficie.

d) Usando los resultados de la parte (C) 0.042 𝐾𝑔

1−

𝜌 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜

=1−

𝑚Τ 𝑉

𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜

=1−

൘ 5.0𝑥4.0𝑥3.0 𝑥 1𝑥10−6 𝑚3 1030 𝐾𝑔ൗ𝑚3

= 0.32 x 100% = 32%

El 32% del volumen del objeto esta sobre la superficie del fluido.